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高一函数的奇偶性学生版复习课教案


戴氏高考中考学校

一对一 VIP

袁游老师

2013.10.19

高一

第一讲

函数的奇偶性
教学目标: 1、巩固偶函数和奇函数的定义; 2、 学会判断简单函数的奇偶性和利用函数奇偶性解决有关问题, 进一步理解偶函 数和奇函数的性质。 教学重点:函数的奇偶性的判断和应用。 教学难点:函数的奇偶性的应用。 教学过程: 一、知识回顾: 1.偶函数定义; 2.奇函数定义; 3.奇偶性:如果函数 f ( x) 是奇函数或偶函数,那么就说函数 f ( x) 具有奇 偶性. 注:①函数 y ? f ( x) 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是:定义域在数 轴上所对应的区间关于原点对称; ②若奇函数在原点处有定义,则有 f (0) ? 0 ; ③若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则对于定义域内的每个 x ,都有 f ( x ) ? f ( x) ; ④既是奇函数又是偶函数的函数是 f ( x) ? 0 , x ? A ,定义域 A 是关于原点对称的 非空数集; ⑤函数的奇偶性与单调性的差异:奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是
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反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势.函数的奇偶性是函数的整体性质,而 单调性是函数的局部性质. 4.奇函数、偶函数的图象的性质: 一个函数是奇(偶)函数当且仅当它的图像关于原点(或 y 轴)对称. 二、函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: 1.定义法: 定义域 (关于原点对称) →验证 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 或
f ( ? x) ? ?1( f ( x) ? 0) →下结论. f ( x)

2.图像法:一个函数是奇(偶)函数当且仅当它的图像关于原点(或 y 轴) 对称. 3.性质法:两个奇函数的和为奇函数; 两个偶函数的和为奇函数; 两个奇函数的积是偶函数; 两个偶函数的积是偶函数; 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注:以上函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上.

练习 1
、 (1) 已 知 f ( x) g ( x) 别 是 [-10,10] 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 则 函 数 分

F ( x) ? f ( x) g ( x) 的图象关于________对称.
x a b (2) 函 数 f ( x)? a2x ? b ? 2 ? 是 定 义 在 [ a ? 1, 2a ] 上 的 偶 函 数 , 则
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a ? b ? _____.

练习 2 判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)
1? x 1? x

? x 2 ? x ( x ? 0) (2) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? x ( x ? 0)

练习 3 函数 f ( x) ?
f ( x) 的解析式.

ax ? b 1 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f ( ) ? ,求函数 2 1? x 2 5

三、函数奇偶性的应用 函数的奇偶性的应用主要体现在以下几个方面: 1.求函数值. 例 1 已知 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,求 f (2) .

2.求解析式. 例 2 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 3 x ,求 x ? 0 时, f ( x) 的解析式.

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①在哪个区间求解析式, x 就设在哪个区间里; ②利用 f ( x) 的奇偶性把 f ( x) ? ? f (? x) 或 f (? x) ; ③将 f (? x) 中的 ?x 代入已知解析式中,从而解出 f ( x) .

3.解抽象函数不等式 例 3 设 f ( x) 在 R 上 是 偶 函 数 , 在 区 间 ( - ∞ , 0 ) 上 递 增 , 且 有
f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,求 a 的取值范围.

注:在此用到以下结论: ① 若函数 f ( x) 为奇函数, f ( x) 在区间[ a, b ]上是单调函数时, f ( x) 在 当 则 区间[ ?b, ?a ]上也是单调的,且单调性相同; ② 若函数 f ( x) 为偶函数, f ( x) 在区间[ a, b ]上是单调函数时, f ( x) 在 当 则 区间[ ?b, ?a ]上也是单调的,且单调性相反.

4.函数的综合问题 例 4 已 知 f ( x) 是 定 义 在 [-1,1] 上 的 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若
a, b ? [-1,1], a ? b ? 0 时,有

f (a) ? f (b) ? 0 成立. a?b
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(1)判断 f ( x) 在[-1,1]上的单调性,并证明;
1 1 (2)解不等式: f ( x ? ) ? f ( ); 2 x ?1

(3)若 f ( x) ? m2 ? 2am ? 1对所有的 a?[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围.

练习 4 已知定义域为 R 的奇函数 f ( x) , 求证: 若在区间[ a, b ]( b ? a ? 0 )上 f ( x) 有最大值 M,那么 f ( x) 在区间[ ?b, ?a ]上必有最小值 .

练习 5 (1)已知 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,求 y ? f ( x) 的 解析式; (2)已知奇函数 f ( x) 有最大值 7,试问它有无最小值?若有,求出最小值;

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练习 6 已知函数 f ( x) 是偶函数,其定义域为(-1,1) ,且在[0,1)上为增函数, 若 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 ,试求 a 的取值范围.

课后习题
1、判断奇偶性: f ( x) ?

x2 ?1 ? 1? x2

2、已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f ( 2) ?
5 3

? x 2 ( x ? 0) f ( x) ? ? 2 3、判断函数 的奇偶性。 ? ? x ( x ? 0)

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4、若 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f (x) 的单调区间?

5、 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0) 是偶函数, g ( x) ? ax ? bx ? cx 的奇偶性。 判
3 2 3 2

6、定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 (??,0) 是单调递减,若 f (a ? 6) ? f (2a) ,则 a 的取值 范围是如何?

7、设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, 的 图 象 如 右 图 , 是 则 不 等 式 .

f(x)

f ?x ? ? 0 的 解

8、函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 9、已知函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是 a x

10、定义在R 上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是x=0,则 A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)

( )

11、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,且 f(m-1)-f(1-2m)>0,实数 m 的取值范围.
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