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江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6:数列 Word版含答案



【推荐】 江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 6: 数列
一、填空题
1 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 如图所示:矩形 An Bn Cn Dn 的一边 An Bn

在 x 轴 上 , 另 两 个 顶 点 Cn 、 Dn 在 函 数 f ( x) ? x ?

r />1 ( x ? 0) 的 图 像 上 , 若 点 Bn 的 坐 标 为 x
【答案】216

? n, 0 ? (n ? 2, n ? N * ) ),矩形 An Bn Cn Dn 的周长记为 an ,则 a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ? ____.
y Dn

Cn

O An

Bn

x

2 . (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)已知数列{ an }的通项公式为 an

? 7n ? 2 ,数

列{ bn }的通项公式为 bn ? n2 .若将数列{ an },{ bn }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列 { cn },则 c9 的值为_____.
【答案】961

3 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若

?S ? S7 ? 7 , S15 ? 75 ,则数列 ? n ? 的前 20 项和为____. ?n?

【答案】55;

4 . 镇 江 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 题 ) 在 等 比 数 列 {an } 中 , S n 为 其 前 n 项 和 , 已 知 (

a5 ? 2 S 4 ? 3 , a6 ? 2 S5 ? 3 ,则此数列的公比 q 为______.

【答案】

3;

5 . (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)各项均为正数的等比数列

?an ? 中,

若 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,则 a4 的取值范围是_________

【答案】

?9 ? ? 2 ,8? ? ?

6 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)在 1 和 9 之间插入三个正数,使这

五个数成等比数列,则插入的三个数的和为______.

【答案】 4

3 ?3

7 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题) 观察下列等式:

3 1 1 3 1 4 1 × =1- 2, × + × 2 1×2 2 2 1×2 2 2×3 2

1

1 3 1 4 1 5 1 1 * =1× + × 2+ × 3=12, 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N , 3×2 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×2 3 1 4 1 n+2 1 × + × 2++ × n=______. 1×2 2 2×3 2 n? n+1? 2
【答案】 1 ?

1 ?n ? 1? ? 2 n

0) 8 . (泰、通、扬、宿、淮安 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)过点 P(?1, 作曲线 C : y ? e x 的切线,

切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影 是点 H 2 ,,依次下去,得到第 n ? 1 (n ? N) 个切点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为______.【答案】 n,n e
2

?

?

9 (泰、 扬、 淮安 2013 届高三第三次调研) . 通、 宿、 已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a4 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,

且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值范围是______.

【答案】

? ?1 ?2 5 ,?1?2 5 ?

10. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)设 S n , Tn 分别是等差数列

?an ? , ?bn ? 的
41 78

前 n 项和,已知

S n 2n ? 1 ,n? N *, ? Tn 4n ? 2



a10 a11 ? ? _______. b3 ? b18 b6 ? b15

【答案】

11. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)某厂去年的产值为 1,若计划在今后五年内

每年的产值比上年增长 10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为_________.(保留一 位小数,取 1.15 ? 1.6 )
【答案】6.6

12. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104,则 a5

与 a7 的等比中项为________.

【答案】答案: ?4 2 .

本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算. 法一 用性质.S9=9a5= -36,S13= 13a7= -104,于是 a5= -4,a7= -8,等比中项为 ?4 2 . 法二 用基本量.S9=9a1+36d= -36,S13=13a1+78d= -104,解得 a1=4,d= -2.下同法一.
13.常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) ( 已知数列

?an ? 满足 a1 ?

4 12 , 2 ? an ?1 ? ?n ? N* ? , 3 an ? 6



1 ? a =______. i ?1 i

n

【答案】

2 ? 3n ? n ? 2 4
【答案】 ?30

14. 江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) ( 等差数列{an}的公差为-2,且 a1,a3,a4 成等比数列,

则 a20=_______________.

15. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)已知数列{an}的通项公式为 an=-n+p,数列{bn}

的通项公式为 bn=2 .设 cn=? ________.

n-5

?an,an≤bn, ?bn,an>bn,

若在数列{cn}中,c8>cn(n∈N*,n≠8),则实数 p 的取值范围是

【答案】(12,17)

16. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)在等差数列

?an ?中,



a3 ? a5 ? a7 ? 9 ,

则其前 9 项和

S9

的值为

.

【答案】27
2

17. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) 正项等比数列{an}中, a3a11 =16,则

log2 a2 ? log2 a12 =______.

【答案】4;

18. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知等比数列 {a n } 的前 n 项和

为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是_____.

【答案】 ?2

19. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)设数列{ an }是公差不为 0 的等差数列,S 为其
2 2 2 2 前 n 项和,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 , S5 ? 5 ,则 a7 的值为_____.

【答案】9

20. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)各项均为正数的等

比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值时,数列 ?an ? 的通项公式 an=______.

【答案】 2 n ?1

21 . 扬 州 、 南 通 、 泰 州 、 宿 迁 四 市 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 设 数 列 {an} 满 (

足: a3 ? 8, an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n ?N* ) ,则 a1 的值大于 20 的概率为____. ?
22. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题) 已知数列

【答案】 1 4

?an ? 的通项公式为

an ? 2n ? 1,则数据 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为_____.

【答案】8

23 . 江 苏 省 盐 城 市 2013 届 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ) 若 等 比数列 (
2 am am?4 ? a4 ( m ? N * 且 m ? 4 ),则 a1a5 的值为________.

?an ? 满 足 am?3 ? 4 且

【答案】16

24 . 扬 州 市 期 末 检 测 高 三 数 学 试 题 ) 数 列 (

?an ? 满 足

a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) , (n ? N ? ) , 且
【答案】 ?

1 1 1 ? ?? ? a ? 4a1 的最小值为____. a1 a2 a2012 =2,则 2013
二、解答题

7 2

25. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)设数列

?an ? 的各项均为正数,其前 n 项

的和为 S n ,对于任意正整数 m , n , S m ? n ?

2a2 m (1 ? S 2 n ) ? 1 恒成立.

(1)若 a1 ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1) ,求证:数列 ?an ? 成等比数列.

3

4

26 .( 江 苏 省 泰 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高 三 数 学 试 题 ) 已 知 数 列

an ? n ? 16 , bn ? (?1)n n ?15 ,其中 n ? N *
(1)求满足 an ?1 = bn 的所有正整数 n 的集合 (2)n ? 16,求数列

bn 的最大值和最小值 an

(3)记数列 ?anbn ? 的前 n 项和为 Sn ,求所有满足 S2m ? S2n (m<n)的有序整数对(m,n)
【答案】(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当 n≥15 时,an+1=|bn|恒成立,

当 n<15 时,n-15=-(n-15) ,n=15 n 的集合{n|n≥15,n∈N*} (2)
n bn (?1) n ? 15 = n ? 16 an

(i)当 n>16 时,n 取偶数

1 bn n ? 15 = =1+ n ? 16 an n ? 16

当 n=18 时(

3 bn )max= 无最小值 2 an 1 bn =-1n ? 16 an

n 取奇数时

n=17 时(

bn )min=-2 无最大值 an
(?1) n (n ? 15) bn = n ? 16 an

(ii)当 n<16 时,

当 n 为偶数时

1 bn ? (n ? 15) = =-1n ? 16 n ? 16 an

n=14 时(

1 b 13 bn )max=- ( n )min=2 an 14 an 1 1 14 bn n ? 15 b = =1+ , n=1 , ( n )max=1= , n ? 16 15 15 an n ? 16 an

当 n 奇数

n=15,(

bn )min=0 an

综上,

3 bn 最大值为 (n=18)最小值-2(n=17) 2 an
5

(3)n≤15 时,bn=(-1) (n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 ,n>15 时,bn=(-1) (n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中 a15b15+a16b16=0 ? S16=S14 m=7, n=8
27. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? a2

n-1

n

? a3 ? 15 ,数列

{bn } 是等比数列, b1b2b3 ? 27 .
(1)若 a1 ? b2 , a4 ? b3 .求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 是正整数且成等比数列,求 a3 的最大值.
【 答 案 】 解 :(1) 由 题 得 a2

? 5, b2 ? 3 , 所 以 a1 ? b2 ? 3 , 从 而 等 差 数 列 {an } 的 公 差 d ? 2 , 所 以

an ? 2n ? 1 ,从而 b3 ? a4 ? 9 ,所以 bn ? 3n ?1
(2)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 a1 ? 5 ? d , b1 ?
3 , a3 ? 5 ? d , b3 ? 3q . q

因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以 (a1 ? b1 ) ? ( a3 ? b3 ) ? ( a2 ? b2 ) 2 ? 64 . 设?

?a1 ? b1 ? m , m, n ? N * , mn ? 64 , ? a3 ? b3 ? n

3 ? ?5 ? d ? ? m q 则? ,整理得, d 2 ? (m ? n)d ? 5(m ? n) ? 80 ? 0 . ?5 ? d ? 3q ? n ?
解得 d ?

n ? m ? (m ? n ? 10) 2 ? 36 (舍去负根). 2
2

? a3 ? 5 ? d , ? 要 使 得 a3 最 大 , 即 需 要 d 最 大 , 即 n ? m 及 ( m ? n ? 10)

取最 大

值.? m, n ? N * , mn ? 64 ,
? 当且仅当 n ? 64 且 m ? 1 时, n ? m 及 ( m ? n ? 10) 取最大值.
2

从而最大的 d ?

63 ? 7 61 , 2 73 ? 7 61 2

所以,最大的 a3 ?

28 . 2012-2013 学 年 度 苏 锡 常 镇 四 市 高 三 教 学 情 况 调 研 ( 二 ) 数 学 试 题 ) 已 知 数 列 (

?bn ? 满 足

b1 ?

1 1 , ? bn ?1 ? 2(n ? 2, n ? N *) . 2 bn

(1)求 b2 , b3 ,猜想数列 ?bn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明;
6

n n (2)设 x ? bn , y ? bn ?1 ,比较 x 与 y y 的大小.
x

29. (徐州、宿迁市 2013)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? a + 2(a ≥ 0) , an ?1 ?

an + a , n?N* . 2

⑴若 a ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ? an?1 ? an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn ? a1 .
【答案】⑴若 a ? 0 时, a1 ? 2 , an ?1 ?

an 2 ,所以 2an?1 ? an ,且 an ? 0 . 2

两边取对数,得 lg 2 + 2lg an?1 ? lg an , 化为 lg an?1 + lg 2 ? (lg an + lg 2) , 因为 lg a1 + lg 2 ? 2lg 2 , 所以数列 {lg an + lg 2} 是以 2lg 2 为首项,

1 2

1 为公比的等比数列 2
2?n ?1

所以 lg an + lg 2 ? 2( )n?1 lg 2 ,所以 an ? 22 ⑵由 an ?1 ?

1 2

an + a 2 ,得 2an?1 ? an + a ,① 2

当 n ≥ 2 时, 2a 2 ? an?1 + a ,② n ① ? ②,得 2(an?1 + an )(an?1 ? an ) ? an ? an?1 ,
7

由已知 an ? 0 ,所以 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号
2 因为 a2 ? a + 1 ,且 a ? 0 ,所以 a12 ? a2 ? (a + 2)2 ? (a + 1) ? a2 + 3a + 3 ? 0 恒成立,

所以 a2 ? a1 ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 0 因为 bn ? an?1 ? an ,所以 bn ? ?(an?1 ? an ) , 所以 Sn ? ?[(a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + ? + (an?1 ? an )]

? ?(an?1 ? a1 ) ? a1 ? an?1 ? a1
30. (南京市、盐城市 2013 三模试卷)如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的

1 概率均为 ,刚开始时,棋子在上底面点 A 处,若移了 n 次后,棋子落在上底面顶点的概率记为 pn. 3 (1)求 p1,p2 的值; (2)求证: ∑ 1 n2 > . i=14Pi-1 n+1
n

A C

B

D F (第 23 题)

E

【答案】解(1)p1= ,

2 3

2 2 1 2 5 p2= × + ×(1- )= . 3 3 3 3 9

???????? 2 分

(2)因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn,故落在下底面顶点的概率为 1-pn. 2 1 1 1 于是移了 n+1 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn+1= pn+ (1-pn)= pn+ .?? 4 分 3 3 3 3 1 1 1 从而 pn+1- = (pn- ). 2 3 2 1 1 1 所以数列{pn- }是等比数列,其首项为 ,公比为 . 2 6 3 1 1 1 - 1 1 1 所以 pn- = × )n 1.即 pn= + × n. ( 2 6 3 2 2 3 ???????? 6 分

8

用数学归纳法证明: 1 3 1 3 1 ①当 n=1 时,左式= = ,右式= ,因为 > ,所以不等式成立. 2 5 2 5 2 4× -1 3 1 1 78 4 78 4 当 n=2 时,左式= + = ,右式= ,因为 > ,所以不等式成立. 2 5 55 3 55 3 4× -1 4× -1 3 9 ②假设 n=k(k≥2)时,不等式成立,即 ∑
k

1 k2 > . i=14Pi-1 k+1
k

1 1 k2 1 k2 3k+1 则 n=k+1 时,左式= ∑ + > + = + . 1 1 1 4Pk+1-1 k+1 k+1 3k+1+2 i=14Pi-1 4( + × k+1)-1 2 2 3 (k+1)2 k2 3k+1 要证 + k+1 ≥ , k+1 3 +2 k+2 只要证 只要证 只要证 (k+1)2 3k+1 k2 ≥ - . k+1 3 +2 k+2 k+1 k2+3k+1 3k+1 ≥ 2 . k+1 3 +2 k +3k+2 2 1 ≤ . 3k+1 k2+3k+1

只要证 3k+1≥2k2+6k+2. 因为 k≥2, 所以 3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4C2)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2, k (k+1)2 k2 3k+1 所以 + k+1 ≥ .[来源:Z#xx#k.Com] k+1 3 +2 k+2 即 n=k+1 时,不等式也成立. 由①②可知,不等式 ∑ 1 n2 > 对任意的 n∈N*都成立. ????????10 分 i=14Pi-1 n+1
n

31. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ?

n(an ? a1 ) . 2

(1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

an ?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出所有满 3n

足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

1(a1 ? a1 ) =0 2
① ②
9

(2)由 Sn ? 得

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2 (n ? 1)an ?1 . 2

Sn ?1 ?

②-①,得

(n ? 1)an ?1 ? nan .

③ ④

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 .

③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1 (3)假设存在正整数数组(p, q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是,

2p 1 q ? ? 3 p 3 3q 2p 1 ? ) (☆). 3p 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, p ?1 3 3 3 3

所以, q ? 3q (

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是

2p 1 ? ≤ 2 ? 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. p 3 3 33 3
在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列 注

在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分. 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个基本数列属 C 能要求, 属高考必考之内容,属各级各类考试之重点. 第(3)问中,若数列{an}为等差数列,则数列{ k an }(k>0 且 k≠1)为等比数列;反之若数列{an}为等比数 列,则数列{ log a an }(a>0 且 a≠1)为等差数列. 第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数 m,p,q(其中 m<p<q),使 bm,bp,bq 成等比数列?若存在, 求出所有满足条件的数组(m,p,q);若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解 题时,只须添加当 m≥2 时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同. 对于第(2)问,在得到关系式: (n ? 1)an ?1 ? nan 后,亦可将其变形为
an ?1 ? n ,并进而使用累乘法(迭 an n ?1

乘法),先行得到数列{an}的通项公式,最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可.但需要说明

n≥2.
考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检 测,因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问 4 分,不设置任何 的障碍,基本让学生能得分.

10

32. (盐城市 2013 届第二次模拟考试数学试卷)已知数列 {an } 满足 a1

n ? 2 , an?1 ? an ?1 ? (n ? 1) .

(1)证明: an ? n ( n ? 3 ); (2)证明: 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? n n ? 2 .

【答案】(1)因为 a1

3 ? 2, a2 ? 2, 所以 a3 ? a2 ? 3 ? 5 ? 3.

k 假设当 n ? k ? 1 时,因为 ak ?1 ? k k ?1 ? k 2 ? k ? 9k ? 2k ? 2 , k 所以, ak ?1 ? ak ?1 ? k ?1 ? k ? 1. 由数学归纳法知,当 n ? 3 时 an ? n n n (2)由(1)知, an ? an?1 ? n ? 0, 得 an?1 ? n ,

n? 所以 an?1 ? n n. 所以 an?1 ? ? n ? 1? ? 2

n

n? n , 即 an?1 ? ? n ? 1? ? n n , 2

n ?1 n ? 1 ? n n ,以此类推,得 2 ? a1 ? 所以 an ? 2 ?

2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? n n ,问题得证

33. (盐城市 2013 届二次模拟)设 S n 是各项均为非零实数的数列

?an ?的前 n 项和,给出如下两个命题上:

命题 p : ?an ? 是等差数列;命题 q :等式 成立,其中 k, b 是常数. ⑴若 p 是 q 的充分条件,求 k, b 的值;

1 1 1 kn ? b 对任意 n ( n ? N * )恒 ? ??? ? a1a 2 a 2 a3 a n a n ?1 a1a n?1

⑵对于⑴中的 k 与 b ,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由;
2 2 ⑶若 p 为真命题,对于给定的正整数 n ( n ? 1 )和正数 M,数列 ?an ? 满足条件 a1 ? an?1 ? M ,试求 S n

的最大值.

【答案】解:(1)设

?a ? 的公差为 d ,则原等式可化为
n

1 nd kn ? b 1? 1 1 1 1 1 1 ? kn ? b , ? , 所以 ? ? ? ? ? ??? ? ?? d a1an?1 a1an?1 d ? a1 a2 a2 a3 an an?1 ? a1an?1
即 ? k ?1? n ? b ? 0 对于 n ? N 恒成立,所以 k ? 1, b ? 0.
?

(2)当 k ? 1, b ? 0 时,假设 p 是否为 q 的必要条件,即“若
? 任意的 n n ? N 恒成立,则 an ? 为等差数列”.

1 1 1 n ? ?? ? ? ①对于 a1a2 a2 a3 an an?1 a1an?1

?

?

?

11

当 n ? 1 时,

1 1 显然成立 ? a1a2 a1a2 1 1 1 n ?1 ②,由①-②得, ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an?1an a1an?1

当 n ? 2 时,

1 1 ? n n ?1 ? ? ? ? ? ,即 nan ? ? n ?1? an?1 ? a1 ③. an an?1 a1 ? an?1 an ?
当 n ? 2 时, a1 ? a3 ? 2a2 ,即 a1 、 a2 、 a3 成等差数列, 当 n ? 3 时, ? n ?1? an?1 ? ? n ? 2? an ? a1 ④,即 2an ? an?1 ? an?1 .所以 an ? 为等差数列,即 p 是否为

?

q 的必要条件
2 2 (3)由 a1 ? an?1 ? M ,可设 a1 ? r cos? , an?1 ? r sin ? ,所以 r ?

M.
r sin ? ? r cos ? , n

设 an ? 的公差为 d ,则 an?1 ? a1 ? nd ? r sin ? ? r cos? ,所以 d ? 所以 an ? r sin ? ?
2

?

? a1 ? an ? n ? ? n ? 1? cos? ? ? n ? 1? sin ? r r sin ? ? r cos ? , Sn ? n 2 2
2

?

? n ? 1? ? ? n ? 1?
2

? M ?

2 2 M ? n 2 ? 1? ,所以 Sn 的最大值为 M ? n 2 ? 1? 2 2

34. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋友分糖果.她发

现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就先从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友; 2

1 再从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友 3
后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第 n( n ? 1,2,3,? k ) 个小朋友.如果设分 n ?1

给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an . (1) 当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2) 请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请求出所 有的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2 ? ?

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2
12

1 ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? 1 ?a2 ? 2? ? 6 3 4 1 (2)由题意知: an ? ?an ?1 ? 2 ? ? ?an ?1 ? 2? ? n ?an ?1 ? 2? , n ?1 n ?1
即 ?n ? 1?an ? n?an ?1 ? 2 ? ? nan ?1 ? 2n , ? bn ? ( n ? 1)an ,? bn ? bn ?1 ? 2n,

a2 ? ?a1 ? 2 ? ?

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, ? b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n ? n ? n?n ? 1? ,
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 , n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列, 则 a1 ? a3 ? 2a2 , 即 (1 ? a0 ) ? 3 ?

1 2

a0 ? a ? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 , 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列 [注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查 阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有 5 名小朋友,每个小 朋友都分到糖果,求 a0 的最小值.
35. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.

(1)求证:数列{ }是等差数列; (2)若 a1=1,且对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立,求数列{an}的通项公式; (3)记 bn=aan (a>0),求证:

Sn n

b1+b2+?+bn b1+bn ≤ . n 2 n(n-1) Sn n-1 d,从而 =a1+ d. 2 n 2

【答案】解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

所以当 n≥2 时, -

Sn Sn-1 n-1 n-2 d =(a1+ d)-(a1+ d)= . n n-1 2 2 2

即数列{ }是等差数列 (2)因为对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立, 所以 Sn+1+ Sn-1=2 Sn,即数列{ Sn}是等差数列 设数列{ Sn}的公差为 d1,则 Sn= S1+(n-1)d1=1+(n-1)d1, 所以 Sn=[1+(n-1)d1] ,所以当 n≥2 时,
13
2

Sn n

an=Sn-Sn-1=[1+(n-1)d1]2-[1+(n-2)d1]2=2d2n-3d2+2d1, 1 1
因为{an}是等差数列,所以 a2-a1=a3-a2,即 (4d2-3d2+2d1)-1=(6d2-3d2+2d1)-(4d2-3d2+2d1), 1 1 1 1 1 1 所以 d1=1,即 an=2n-1. 又当 an=2n-1 时,Sn=n , Sn+k+ Sn-k=2 Sn对任意正整数 n,k(n>k)都成立, 因此 an=2n-1 (3)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,bn=aan, 所以
2

bn d =aan an-1=a , bn-1

即数列{bn}是公比大于 0,首项大于 0 的等比数列 记公比为 q(q>0). 以下证明:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. 因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1q -b1q -b1q =b1(q -1)( q -1). 当 q>1 时,因为 y=q 为增函数,p-1≥0,k-1≥0, 所以 q -1≥0,q -1≥0,所以 b1+bn≥bp+bk. 当 q=1 时,b1+bn=bp+bk. 当 0<q<1 时,因为 y=q 为减函数,p-1≥0,k-1≥0, 所以 q -1≤0,q -1≤0,所以 b1+bn≥bp+bk. 综上,b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n 所以 n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)++(b1+bn) ≥(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)++(bn+b1) =(b1+b2++bn)+(bn+bn-1++b1), 即
p-1 k-1 x p-1 k-1 x n-1 p-1 k-1 p-1 k-1

b1+b2+?+bn b1+bn ≤ n 2
+

36. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) 已知数列{an}中,a1=2,n∈N ,an>0,数列{an}的前 n

项和 Sn,且满足 an ?1 ?

2 . Sn?1Sn ? 2

(Ⅰ)求{Sn}的通项公式; (Ⅱ)设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求 b3; + (2)存在 N(N∈N ),当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围.
【答案】

14

37. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)已知数列 ?an ? 是首

项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比 数列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由.
【答案】解:(1)依题意, a5 ? b5 ? b1q5?1 ? 1? 34 ? 81 ,

故d ?

a5 ? a1 81 ? 1 ? ? 20 , 5 ?1 4

所以 an ? 1 ? 20(n ? 1) ? 20n ? 19 , 令 Sn ? 1?1 ? 21? 3 ? 41? 32 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3n?1 , 则 3Sn ? ①

1? 3 ? 21? 32 ? ??? ? (20n ? 39) ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n , ②

① ? ②得, ?2Sn ? 1+20 ? 3 ? 32 ? ??? ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n ,

?

?

? 1+20 ?

3(1 ? 3n?1 ) ? (20n ? 19) ? 3n 1? 3

? (29 ? 20n) ? 3n ? 29 ,

所以 Sn ?

(20n ? 29) ? 3n ? 29 2

(2)因为 ak ? bk ,

15

所以 1 ? (k ? 1)d ? qk ?1 ,即 d ? 故 an ? 1 ? (n ? 1) 又 bn ? qn?1 ,

q k ?1 ? 1 , k ?1

qk ?1 ? 1 , k ?1

? q k ?1 ? 1? 所以 bn ? an ? q n ?1 ? ?1 ? (n ? 1) k ?1 ? ? ?
? 1 ?(k ? 1) ? q n ?1 ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?1 ? 1?? ? k ?1 ?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ? (ⅰ)当 1 ? n ? k 时,由 q ? 1 知 ? bn ? an ? ? q ?1 ? (k ? n) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? qn?1 ?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? n)(n ? 1)qn?2 ? (n ? 1)(k ? n)q n?1 ? ? k ?1 ?

??

(q ? 1)2 qn?2 (k ? n)(n ? 1) k ?1

?0, (ⅱ)当 n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? qk ?1 ? ? (n ? k ) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? 1)(n ? k )qk ?1 ? (n ? k )(k ? 1)q k ?2 ? ? k ?1 ?

? (q ? 1)2 qk ? 2 (n ? k ) ? 0 ,
k 综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1, 时, an ? bn .

(注:仅给出“ 1 ? n ? k 时, an ? bn ; n ? k 时, an ? bn ”得 2 分.)
38. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知数列{an}满足: a1 ? 2a ? 2, an ?1 ? a an ?1 ? 1(n ? N* ) . (1)若 a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式; (2)若 a ? 3 ,试证明:对 ?n ? N* ,an 是 4 的倍数.
a ?1 【答案】解:(1)当 a ? ?1 时, a1 ? ?4, an ?1 ? (?1) n ? 1 .

令 bn ? an ? 1 ,则 b1 ? ?5, bn ?1 ? (?1)bn . 因 b1 ? ?5 为奇数, bn 也是奇数且只能为 ?1 ,
??5, n ? 1, ??4, n ? 1, 所以, bn ? ? 即 an ? ? ??1, n ? 2, ?0, n ? 2.
16

(2)当 a ? 3 时, a1 ? 4, an ?1 ? 3an ?1 ? 1 下面利用数学归纳法来证明:an 是 4 的倍数. 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 4 ? 1 ,命题成立; 设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,则存在 t ? N*,使得 ak ? 4t , [来源:学科网]

? ak ?1 ? 3ak ?1 ? 1 ? 34t ?1 ? 1 ? 27 ? (4 ? 1) 4(t ?1) ? 1 ? 27 ? (4m ? 1) ? 1 ? 4(27 m ? 7) ,
3 其中, 4m ? 44(t ?1) ? C1 t ?1) ? 44t ?5 ? ? ? (?1) r C r t ?1) ? 44t ? 4 ? r ? ? ? C4t t??1) ? 4 , 4( 4( 4(

? m ? Z ,? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.
? 由数学归纳法原理知命题对 ?n ? N* 成立

39. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)若数列

?an ? 是首项为 6 ? 12t ,

公差为 6

的等差数列;数列 (1)求数列

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t .

?an ? 和?bn ? 的通项公式; ?bn ? 是 等 比 数 列 ,
试 证 明 : 对 于 任 意 的 n( n ? N , n ? 1) , 均 存 在 正 整 数 cn , 使 得

(2) 若 数 列

bn?1 ? acn

, 并求数列

?cn ? 的前 n 项和 Tn ;
使得“ d k ? d k ?1 与 d k ? d k ?1 ”同

(3)设数列

?d n ? 满足 d n ? an ? bn , 且 ?d n ? 中不存在这样的项 d k ,

? 时成立(其中 k ? 2 , k ? N ), 试求实数的取值范围.

南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分
【答案】解: (1)因为

?an ? 是等差数列,所以 an ? (6 ? 12t ) ? 6(n ? 1) ? 6n ? 12t
bn ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 ,

而数列

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t ,所以当 n ? 2 时,

n ?1 ? 3 ? t, bn ? ? n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2 又 b1 ? S1 ? 3 ? t ,所以
(2)证明:因为

?bn ? 是等比数列,所以 3 ? t ? 2 ? 31?1 ? 2 ,即 t ? 1 ,所以 an ? 6n ? 12
? 2 ? 3n ? 6 ? 3n?1 ? 6 ? (3n?1 ? 2) ? 12 ,

对任意的 n( n ? N , n ? 1) ,由于 bn?1

n ?1 cn ? 3n?1 ? 2 ? N * ,则 acn ? 6(2 ? 3 ) ? 12 ? bn?1 ,所以命题成立 令

数列

?cn ? 的前 n 项和

Tn ? 2n ?

1 ? 3n 1 n 1 ? ? 3 ? 2n ? 1? 3 2 2

17

?6(3 ? t )(1 ? 2t ), n ? 1 dn ? ? n n ? 2, ? 4(n ? 2t )3 , (3)易得
n ?1 n 由于当 n ? 2 时, d n?1 ? d n ? 4(n ? 1 ? 2t )3 ? 4(n ? 2t )3

3 ? 8[n ? (2t ? )] ? 3n 2 ,所以

①若

2t ?

3 7 ?2 t? 2 4 ,则 d n?1 ? d n ,所以当 n ? 2 时,?d n ? 是递增数列,故由题意得 ,即

d1 ? d 2 ,即 6(3 ? t )(1 ? 2t ) ? 36(2 ? 2t ) ,解得

?5 ? 97 ?5 ? 97 7 ?t ? ? 4 4 4,

②若

2 ? 2t ?

3 7 9 ?3 ?t ? 2 4 ,则当 n ? 3 时,?d n ? 是递增数列,, ,即 4 t? 7 4

2 3 故由题意得 d 2 ? d 3 ,即 4(2t ? 2)3 ? 4(2t ? 3)3 ,解得

③若

m ? 2t ?

3 m 3 m 5 ? m ? 1(m ? N , m ? 3) ? ? t ? ? (m ? N , m ? 3) 2 2 4 ,即 2 4 ,

则当 2 ? n ? m 时,

?d n ? 是递减数列,

当 n ? m ? 1 时,

?d n ? 是递增数列,
t? 2m ? 3 4

m m ?1 则由题意,得 d m ? d m?1 ,即 4(2t ? m)3 ? 4(2t ? m ? 1)3 ,解得

?5 ? 97 ?5 ? 97 2m ? 3 ?t ? t? 4 4 4 (m ? N , m ? 2) 综上所述,的取值范围是 或
40. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)已知函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数.

(1)求实数 a 的取值范围; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1) , an ?1 ? ln(2 ? an ) ? an , n ? N* ,证明 0 ? an ? an ?1 ? 1 .
【答案】解:(1)? 函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数.

? f ??x ? ?

?1 ? a ? 0 在区间 (0,1) 上恒成立, 2? x 1 1 ,又 g ?x ? ? 在区间 (0,1) 上是增函数 ?a ? 2? x 2? x

? a ? g ?1? ? 1 即实数 a 的取值范围为 a ? 1
(2)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 . 当 n ? 1 时, a1 ? (0,1) 成立, 假设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 成立,
18

当 n ? k ? 1 时,由(1)知 a ? 1 时,函数 f ?x ? ? ln ?2 ? x ? ? x 在区间 (0,1) 上是增函数

? ak ?1 ? f ?ak ? ? ln ?2 ? ak ? ? ak
即 0 ? ak ?1 ? 1 成立, 下证 a n ? an ?1 .

? 0 ? ln 2 ? f ?0 ? ? f ?ak ? ? f ?1? ? 1 ,

? 当 n ? N ? 时, 0 ? an ? 1 成立

? 0 ? an ? 1, ? an ?1 ? an ? ln ? 2 ? an ? ? ln1 ? 0.

?a n ? an ?1 .

综上 0 ? an ? an ?1 ? 1

41 . 苏 北 三 市 ( 徐 州 、 淮 安 、 宿 迁 ) 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 (

a n ?1 ?

1 2 1 a n ? na n ? 1(n ? N * ), 且 a1 ? 3. 2 2

(1) 计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,由此猜想数列 {a n } 的通项公式,并给出证明;
n (2) 求证:当 n ? 2 时, a n ? 4n n .

徐州市 2012—2013 学年度高三第一次质量检
【答案】⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* )

①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 ,
2 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ? ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 ,

1 2

1 2

1 2

1 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) ⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 . 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; 当 n ? 2 时, (1 ? )n ? C0 ? C1 n n

2 n

2 n

2 2 2 2 2 n 2 ? C2 ( )2 ? ? ? Cn ( )n ≥ C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n n n n n n n

> C0 ? C1 n n

2 2 2 2 ? Cn ( )2 ? 5 ? ? 4 , n n n

n 综上所述,当 n ≥ 2 时, an ≥ 4nn

42. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n .

(Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 公式;

? a3 ? 3a 2 , a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项,求数列 ?a n ? 的通项

(Ⅱ)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请求出所有满足条 件的等差数列;若不存在,请说明理由.
19

【答案】解:(Ⅰ)设等比数列

?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,

依题意,有 ? 由

? a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a3 ? 3a 2 , 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)

(1) 得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 . ? 1 时,不合题意舍;
? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n

当q 当q

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: [a1 ? (n ? 1)d ][a1 n ?

n(n ? 1) d ] ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2

d2 2 3 3 1 n ? ( a1 d ? d 2 )n ? (a12 ? a1 d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N * 恒成立, 2 2 2 2
?d2 ? 2 ? 2, ? ?3 2 则 ? a1 d ? d ? 2, ?2 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?
解得 ?

?d ? 2, ?d ? ?2, 或? 此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n . ?a1 ? 2, ?a1 ? ?2.

故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n , 或 an ? ?2n 方法 2:令 n ? 1 , a12 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,
2 令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 , 若 a2 ? 4 ,则 d ? 2 , an ? 2n , S n ? n(n ? 1) ,对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ; 若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) .

②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 , 若 a2 ? ?4 ,则 d ? ?2 , an ? ?2n , S n ? ? n(n ? 1) ,对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ;
20

若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . 综 上 所 述 , 存 在 等 差 数 列 {an } , 使 对 任 意 n ? N * 都 有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) . 其 中 an ? 2n , 或

an ? ?2n

43. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 0, 令

a1 ? a, b1 ? b, 且 对 任 意 正 整 数 k , 当 a k ? bk ? 0 时 , a k ?1 ?

1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ; 当 a k ? bk ? 0 2 4 4

1 1 3 时, bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 4 2 4
(1) 求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2) 若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比数列?若存在,求出
a, b 满足的条件;若不存在,说明理由;

(3) 若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ?

3 b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式. 4

1 1 3 an ? bn 且 bn?1 ? bn , 2 4 4 1 1 3 1 所以 an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) , [来源:学科网] 2 4 4 2 1 1 3 又当 an ? bn ? 0 时, bn?1 ? ? an ? bn 且 an?1 ? an , 4 2 4 3 1 1 1 an?1 ? bn?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) , 4 4 2 2 1 因此,数列 ?an ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列, 2
【答案】⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an?1 ?

?1? 所以, a n ? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1 ?

3 ?3? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ?4?
n ?1

n ?1

,

?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ? 2?

? 3? ? a? ? ? 4?

n ?1

,

假设存在 a , b ,使得 ?bn ? 能构成等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16

故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列
21

⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ? 所以

3 1 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2

3 1 1 1 3 1 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? b2n?1 4 4 2 4 4 4
3 4 1 4

所以 (b2n?1 ? b2n?1 ) ? ? (a2n?1 ? b2n?1 ) ,

?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

2n?2

,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ?

a?b?1? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2n?1 ? b2n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?b? ?1 ? ? ? ? , 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?
n 3 3 (a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? 1? ? ? ? , ? 4 4 3 ? ?4? ? ? ?
n ?1 ? ? ? ?b ? 4(a ? b) ?1 ? ? 1 ? 2 ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? ? ? 所以, bn ? ? n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?

44 . 扬 州 、 南 通 、 泰 州 、 宿 迁 四 市 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 设 无 穷 数 列 ?an ? 满 (

足: ?n ? Ν ? , an ? an?1 , an ? N? .记 bn ? aan, n ? aan ?1 (n ?N* ) . c (1)若 bn ? 3n(n ? N* ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值; (2)若 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论. (附加题)
【答案】 【解】(1)因为 an ? N? ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾,

≥ 若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1 a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2

于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下:

22

an?1 ? an ? n≥2 时, an ? an?1 ,所以 an≥an ?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)

? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,
即 cn?1 ? cn≥an?1 ? an ,由题设, 1 an ?1 ? an ,又 an ?1 ? an≥1 , ≥ 所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列
45. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数),其

前 n 项和 Sn 满足:Sn=

(n?N*). 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 (2)若 a=2,且 am ? Sn ? 11 ,求 m、n 的值; 4 (3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an ? b ? p 的最大项恰为第 3p-2 项?若存 在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明:由已知,得 a1=S1=

n(an-a1)

1?(a1-a1) nan =0,?Sn= , 2 2

(n+1)an+1 则有 Sn+1= , 2 ?2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan n?N*, ?nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,2an+1=an+2+an n?N*, 即 an+1-an+1=an+1-an n?N*, 故数列{an}是等差数列. 又 a1=0,a2=a,?an=(n-1)a (2)若 a=2,则 an=2(n-1),?Sn=n(n?1).

1 2 2 2 2 2 由 am ? Sn ? 11 ,得 n ?n+11=(m?1) ,即 4(m?1) -(2n?1) =43, 4 ?(2m+2n?3)(2m-2n?1)=43 ∵43 是质数, 2m+2n?3>2m-2n?1, 2m+2n?3>0,
?2m-2n-1=1 ?? ,解得 m=12,n=11 ?2m+2n-3=43

(III)由 an+b?p,得 a(n-1)+b?p. 若 a<0,则 n? 若 a>0,则 n?

p-b +1,不合题意,舍去; a p-b +1. a

∵不等式 an+b?p 成立的最大正整数解为 3p-2, p-b ?3p-2? +1<3p-1,

a

即 2a-b<(3a-1)p?3a-b,对任意正整数 p 都成立. 1 ?3a-1=0,解得 a= , 3 2 2 此时, -b<0?1-b,解得 <b?1. 3 3 1 2 故存在实数 a、b 满足条件, a 与 b 的取值范围是 a= , <b?1 3 3
23

46. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ? S n ? An 2 ? Bn ? 1 ( A ? 0 ).

3 9 , a2 ? ,求证数列 ?an ? n? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2 4 B ?1 (2)已知数列 ?an ? 是等差数列,求 的值. A
(1)若 a1 ?
【答案】

24

47. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷) 已知数列 {an } 的各项都为正数,且对任意
2 n ? N * ,都有 an?1 ? an an?2 ? k (k 为常数).

(1)若 k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列;(2)若 k=0,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1

(3)已知 a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数),是否存在常数 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都成立? 若存在.求出 ? ;若不存在,说明理由.
【答案】

25

48. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知等差数列
2 不为零,且 a3 ? a7 , a2 ? a4 ? a6 .

?an ? 的公差 d

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合.
【答案】

49. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)空间内有 n 个平面,设这 n 个平面最多将空间分成 an

个部分. (1)求 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)写出 an 关于 n 的表达式并用数学归纳法证明.
【答案】解:(1) a1

? 2, a2 ? 4, a3 ? 8, a4 ? 15 ;

(2) an ?

当 n ? 1 时显然成立,

1 3 (n ? 5n ? 6) .证明如下: 6
?

1 3 (k ? 5k ? 6) , 6 则当 n ? k ? 1 时,再添上第 k ? 1 个平面,因为它和前 k 个平面都相交,所以可得 k 条互不平行且不共
设 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时结论成立,即 ak ?
26

点 的 交 线 , 且 其 中 任 3 条 直 线 不 共 点 , 这 k 条 交 线 可 以 把 第 k ?1 个 平 面 划 最 多 分 成

1 [(k ? 1)2 ? (k ? 1) ? 2)] 个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此,空间区域 2 1 2 的 总 数 增 加 了 [ (k ? 1) ? k ? 1) 2 ) ] ( ? 2 1 1 1 个 , ? ak ?1 ? ak ? [(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 2)] ? (k 3 ? 5k ? 6) ? [(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 2)] 2 6 2 1 ? [(k ? 1)3 ? 5(k ? 1) ? 6)] , 6 即当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 1 综上,对 ?n ? N ? , an ? (n3 ? 5n ? 6) . 6

27



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