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四川省木里县中学高三数学总复习 函数的简单知识和性质 新人教A版



四川省木里县中学高三数学总复习 函数的简单知识和 新人教 A 版
函数表示法:

性质

1、作图y ? 2 x ? 1 ? 1, 并求x ? ?? 2,3?上的值域。

2、已知如右图象, 请写出解析式。
3、已知一次函数与x轴交点为(? 2, 0),与y轴交点 为(0, 1 ),求此函数。

/>? x, x ? 0 4、已知函数f ? x ? ? ? 2 , 试求f ? f ?? 2??的值。 ?x , x ? 0
5、已知正方形ABCD边长为 ,一只蚂蚁从A出发,沿 1 正方形边顺次经过B、C到达D点,若x表示P点的行程, y表示?APD的面积,求函数y ? f ( x )的解析式。

函数单调性 一般地 , 设函数 y= f(x) 的定义域为 A,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内 的任意两个值 x1 , x2 ,

当x1 ? x2时 都 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,那么就说 y= f(x)在区间 I 上是单调增函数,I 称为 y= f(x) 的单调 , 有
增区间. 一般地 , 设函数 y= f(x) 的定义域为 A,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内 的任意两个值 x1 , x2 ,

当x1 ? x2时 都 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,那么就说 y= f(x)在区间 I 上是单调减函数,I 称为 y= f(x) 的单调 , 有
减区间. 如果函数 y=f(x)在区间 I 是单调增函数或单调减函 数,那么就说函数 y=f(x)在区间 I 上具有单调性。 单调增区间和单调减区间统称为单调区间 . 证明函数单调性的四步骤: (1)设量:(在所给区间上任意设两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 (2)比较: (作差 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,然后变形,常通过“因式分解”“通分”“配方”等手段将差式变形) 、 、 (3)定号:(判断 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 的符号) (4)结论: (作出单调性的结论)
1

例 1、画出下列函数图象,并写出单调区间:

(1) y ? ? x 2 ? 2
(2) y ? 1 ( x ? 0) x

例 2、求证:函数 f ? x ? ? ?

1 ? ? 1在区间( ?0, ? ? 上是单调增函数. x ax 例 3、判断函数 f ? x ? ? 2 ?a ? 0? 在区间(-1,1)上的单调性。 x ?1 4 例 4、研究 y ? x ? 的单调性,并给出证明,试求出该函数的值域。 x
值域求法: 例 1 求函数 y ? x 2 ? x ? 例 2 求函数 y ?

1 (?1 ? x ? 1) 的值域;y∈[-3/4,3/2]. 2

x2 ? x ?1 的值域。 2x2 ? 2x ? 3

解 :由函数知 定义域为 R,则变形可得: (2y-1)x -(2y-1)x+(3y-1 )=0. 当 2y-1=0 即 y=1/2 时,代入方程左边=1/2·3-1≠0,故≠1/2. 当 2y-1≠0,即 y ≠1/2 时,因 x∈R,必有△=(2y-1) -4(2y-1)(3y-1) ≥0 得 3/10≤y≤1/2, 综上所得,原函数的 值域为 y∈〔3/10,1/2〕. 例 3 求函数 y ? 5 ? x ? 3x ? 1 的值域:
2 2

令t ? 3 x ? 1 ? 0; 有x ?

1 2 t ?1 , 3
2

?

?

1 2 1 ? 3 ? 65 是 ; 解: 于 y ? 5 ? t ? 1 ? t ? ? ? t ? ? ? 3 3 ? 2 ? 12 3 65 65 所 t ? 时 ymin ? , 故y ? (??, ) 以 , 2 12 12
方法总结 一、配方法 形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例 1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; [6, 11]; ②[-4, 1]; [2, 11]; ③[-2, 1]; [2, 6]; ④[0, 1]. [3, 6].
2

?

?

二、换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数函数、对数函数等超越 函数转化为代数函数来 求函数值域的方法( 关注新元范围). 例 2 求下列函数的值域:

()y ? x ? x ? 1; 1 (2) y ? x ? 2 ? x 2 ;
三、判别式法

??

?3 ? ? ?4, ?? ? ? 2,2

?

能转化为 A(y) x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.

dx2 ? ex ? f 主要适用于形如 y ? ax2 ? bx ? c
例 5 求函数 y ?

(a, d 不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).

? 2 3 2 3? x2 ? x , 1? 的值 域. ?1 ? ? 2 3 3 ? x ? x ?1 ?

例 6 求下列函数的值域:

2x ; x ?1 x2 ? 2x ? 5 (2) y ? ( x ? 1) x ?1 (1) y ?
2

?? 1,1? ?4, ? ? ?

函数奇偶性: y =x ;对任意 x,f(-x)=f(x)
2

y ? x 3 ;对任意 x,f(-x)= -f(x)

偶函数定义: 如果对于函数定义域内的任意一个 x ,都有 f(-x) =f(x)。 那么 f(x)就叫偶函数。 奇函 数定义:如果对于函数定义域内的 任意一个 x ,都有 f(-x)= -f(x )。那么 f(x)就叫奇函数。
3

例 1、判断下列函数的奇偶性(定义域是否关于原点对称)

()f ? x ? ? ?2 x 1 (2) f ( x) ? 1 ? x 2

?3? f ?x ? ? ? x 2 ( x ? ?? 3,1? ?4? f ( x) ? 2 x ? 1
例 2、已知函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 。求证:f(x)=0 证明:因为 f(x) 既是奇函数又是偶函数 所以 f(-x)=f(x),且 f(-x)= -f(x)
f ( x)只是解析式的特征, 若改变函数的定义域, 如f ( x ) ? 0, x ? [?1,1]和f ( x ) ? 0, x ? {?2,?1, , ,2, } 01 显然是不同的函数, 但它们都既是奇函数又是 偶函数, 所以这样的函数有无数多个

所以 f(x)= -f(x) 所以 2f(x)=0 即 f(x)=0.

例 3、判断下列函数 的奇偶性

(1) f ( x) ? kx ? b

(k ? 0)

解: 当 b=0 时,f(x)为奇函数;当 b ? 0 时,f(x) 既 不是奇函数,也 不是偶函数。

?2? f ( x) ? a

( a ? R)

解:当 a=0 时,f(x) 既是奇函数又是偶函数,当 a ? 0 时,f(x)是偶函数。 例 4、已知函数 f(x)为奇函数,定义域为 R,且 X≥0 时, f ?x ? ? x ? 2 x ; 求函数 f(x)的解析式。
2

判断方法: 1.定义式:

f ??x? ? ? f ? x?

2.等价形式:

f ??x? ? f ? x? ? 0

f ??x? f ? x?

? ?1 ? f ? x ? ? 0 ?

3.具有奇偶性的函数图象的特 征;偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称 4.性质法:偶与偶的和差积商仍为偶;奇 与奇的和差为奇,积商为偶;奇与偶的积商为奇. 结论: 1、非零常数函数 f ( x) ? a(a ? 0) 为偶函数; f ( x) ? 0, x ?[?m, m],(m ? 0) 为既奇又偶函数(唯一型). 2、奇函数若 f(x)在 x=0 处有定义,则必有 f(0)=0. 3、若函数 f(x)为偶函数,则必有 f ( x) ? f (? x) ? f (| x |)
4



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