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第1节 集合的概念与运算



高三总复习----集合逻辑与推理
第1节 集合的有关概念及运算

课堂笔记

一.学习目标:
1.理解集合的有关概念; 2.能正确的表示元素与集合、集合与集合之间的关系; 3.会用常见的符号表示数集; 4.会进行集合的交集、并集、补集的运算;

二.基础知识
1.集合的有关概念: ⑴ 集合中

的元素具有三个性质: ⑵ 集合常用的表示方法有: 其中有限集常用 、 、 、 、 、 表示。 。 ; ; ; 。 。

法表示;无限集常用

⑶ 正确的识别一个集合的关键是 如:A= y y ? B= x y ?

?

x

2

? 2 x ? 3 表示 ? 2 x ? 3 表示
2

?

?

x

2

?

C= ? x , y ? y ? D= n n ?

?

x
2

? 2 x ? 3 表示

?

?

m

? 2 m ? 3 表示

?

2.元素与集合、集合与集合之间的关系: ⑴ “? 、 ” ? 用于 3.常见数集的符号表示及其关系: N 表示 R 表示 4.集合的运算: 常见的集合运算是指求集合的子集、交集、并集、补集。 ① 子集的概念:A ? B 的意思可以表示为:对任意的 x∈ 真子集的概念: ② 交集的概念:A∩B={x| },图形表示为: ,则必有 x∈ 。 ,N 表示
*



⑵ “ ? 、? 、? 、 、 用于 ? ”
?



,N ? 表示 。它们的关系是

, 表示 Z

, 表示 Q

, 。

,C 表示

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第2讲

课堂笔记

③ 并集的概念:A∪B={x|

},图形表示为:

④ 补集的概念: C U A ={x|

},图形表示为:

⑤ 进行集合的运算时,常常借助 5、集合运算中常用的结论: ⑴ A ? B=A ? ⑵ ,A ? B=B ?

来进行。

。 ,真子集的个数是 ,

﹡有 n 个元素所组成的集合,其子集的个数为 非空真子集的个数是 。

具体原因可以用数学式子表示为: ⑶ 空集是任何集合的 。



⑷ ﹡集合间元素的个数
c a r( ? d A )B ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

三、例题精讲 例 1.关于集合的定义、表示、集合间的关系 ⑴.不能形成集合的是 ( A 大于 2 的实数 C 方程 y ? x ? 1 所对应的直线上的所有的点 ) B 不等式 x ? 2 ? 1 的所有解 D 原点附近的所有点 ) D
{m } ? M
?

⑵.设集合 M ? ? x x ? 3 2 ? , m ? 2 6 ,则下列关系中正确的是 ( A
m?M
?

B
? ? k 2 1

m?M

C

{m } ? M

⑶.如果集合 M ? ? x | x ? A. M ? N ? ?

?

k 1 ? ? ? ,k ? Z ?,N ? ?y | y ? ? , k ? Z ? ,那么( 4 4 2 ? ? ?



B. M ? N

C. N

? M

?

D. M

? N

?

⑷.已知集合 A ? ? x ? 2 ? x ? 5 ???,? B ? ? x m ? 1 ? x ? 2 m ? 1? , B ? A ,求实数 m 的取值 范围。

高三 ? 一轮(理)

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第2讲

例 2.集合间的运算 ⑴、全集 U ? ? a , b , c , d , e ???, ?集 合 M ? ? a , b , c ????N ? ? b, d , e ? , 则 ? C U M ? ? ? C U N ? =( A
?

课堂笔记
)

B

?d ?

C

? a , c?

D

? b , e?

⑵、﹡把右图的阴影部分用恰当的集合语言表示出来。 图 1: ;

图 2:
2



⑶、设 A={-4,2a-1, a },B={9,a-5,1-a}.已知 A ? B={9},求实数 a 的值。

⑷、已知 A ? { y | y ? x ? 4 x ? 3 , x ? R }, B ? { y | y ? ? x ? 2 x ? 2 , x ? R }. 求 A ? B .
2 2

例 3、记函数 f(x)= 2 ? ⑴ 求A

x ? 3 x ?1

的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为 B, ⑵ 若 B ? A ? B ,求实数 a 的取值范围。

例 4、﹡某实验班有 21 个学生参加数学竞赛,17 个学生参加物理竞赛,10 个学生参加化 学竞赛,他们之间既参加数学又参加物理竞赛的有 12 人,既参加数学又参加化学 竞赛的有 6 人,既参加物理又参加化学竞赛的有 5 人,三科都参加的有 2 人。现在 参加竞赛的学生都要到外地去参观学习,问需要订购 张火车票?

例 5、定义集合 A ? B ? ? x x ? A 且 x ? B ? 。 ⑴、若 M ? {1, 2 , 3, 4 , 5}??,? N ? { 2 , 3, 6}?,?则 N ? M ? ( A M B N C ) D ) D M
第2讲

?1, 4 , 5 ?

? 6?

⑵、﹡设 M、P 为两个非空集合,则 M ? ( M ? P ) 等于( A P B
M ? P

C

M ? P

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课堂笔记

三 巩固练习
1. 12 鲁文理 2】 【 全集 U (A){1,2,4} 集合 A ? {1, 2 , 3} ? {0 ,1, 2 , 3, 4} , (C){0,2,4} ,B 则 ? { 2 , 4} , ( C U A )? B (D){0,2,3,4} 为 ( )

(B){2,3,4}

2.【2012 湖北文 1】已知集合 A{x| x 2 -3x +2=0,x∈R } , B={x|0<x<5,x∈N },则满足 条件 A ? C ? B 的集合 C 的个数为( ) A1 B2 C 3

D4

3. 2012 新课标理 1】 【 已知集合 A ? {1, 2 , 3, 4 , 5} , B ? { ( x , y ) x ? A , y ? A , x ? y ? A } ; B 则 中所含元素的个数为(
( A) 3 (B) 6


(C ) ? ( D ) ??

4.能正确表示方程组 ? ①{x=-1, y=2}, ④(-1,2) ,

?2 x ? y ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0

的解集的是 ③{-1,2}, ⑥{x,y|x=-1,y=2}

.

②{(x,y)|x= -1,y=2}, ⑤{(-1,2)},

5.设 M={(x,y)|mx+ny=4},且{(2,1)(-2,5)} ? M,则 m·n= , 6.已知集合 M={ x| x -3x-28≤0},N={ x| x -x-6>0},则 M ? N 为(
2 2



A { x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} C { x|x≤-2 或 x>3}

B D

{ x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} { x|x<-2 或 x≥3}

7.﹡设集合 A={ x|x=2k,k? Z},B={ x|x=2k+1,k? Z},C={ x|x=4k+1,k? Z},若 a? A,b? B,则 ) ( A a+b ? A B a+b ? B
2

C

a+b ? C
2

D

a-b ? C )

8.设集合 M={y|y= x -2x+2},N={(x,y)|y= x -2x+2},则有( A M? N B M
2

N

C
2

N

M

D M ? N= ? ) D M ? N= ?

9.﹡设集合 M={y|y= x +2},N={y|y= x -2x+2},则有( A M? N B M
k? 2 ?

N
?
4

C

M
k? 4

N
?

10.﹡设 M={ x|x= A M? N

,k ? Z},N={ x|x= C

?
2

,k ? Z},则有(



B M=N

N? M )

D M ? N= ?

11.已知集合 A ? { x ? R | x ? 1 < 3 } ,则有( A.3 ? A 且 ? 3 ? A B.3 ? A 且 ? 3 ? A )

C.3 ? A 且 ? 3 ? A

D.3 ? A 且 ? 3 ? A

12.下列命题中正确的是(
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第2讲

A. {0}是空集 C. { x ? Q | x ? x ? 2 ? 0 } 是空集
2

B. { x ?

Q |

6 x

? N } 是有限集

课堂笔记

D. {1,2}和{2,1}是不同的集合 )

13.若集合 M ? { x | x ? 1} , N ? { x | x ? p } ,若 M ? N ? ? ,则 p 的取值范围为( A. p > 1 B. p ≥ 1
2

C. p < 1

D. p ≤1 )

14.集合 A ? {1, 3 , x } , B ? { x ,1} , A ? B ? {1, 3 , x } .则满足条件的 x 的个数是( A.4 B.3 C.2 D.1 )

15.若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M ? N ”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
?

16、集合 P= ?1, 3, 5, 7 , 9, ? , 2 n ? 1, ? ? ? n ? N
?

? ,若 a ? P , b ? P , 则 a ? b ? P ,那么运算

可能是(

) B
2

A 加法

减法

C 乘法

D 除法 )

17.已知 A ? { x | x ? mx ? 1 ? 0 } ,若 A ? R ? ? ,则实数 m 的取值范围是( A. m ? 2 或 m ? ? 2 18.满足{1} B. - 2 ? m ? 2 C. m ? 2 或 m ? ? 2

D. - 2 ? m ? 2

A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 的个数为
y ? 2 x ?1

19.﹡设集合 U={(x, y)|y=3x-1}, A={(x, y)|

=3}, C U A= 则
? ?
I

.
M ? ?

20. (2011 年辽理 2) 已知 M, 为集合 I 的非空真子集, M, 不相等, N N 且 N 若 则M ? (A)M
N ?





) (B)N

(C)I
2 2

(D) ?

B 21. (2011 广东理 2) 已知集合 A ? ? ? x , y ? x , y 为 实 数 , 且 x ? y ? 1? , ? ? ? x , y ? x , y 为

实数,且 y ? x ? ,则 A ? B 的元素个数为( A.0 B.1 C.2
m ? ? ?? x, y ? ? 2 ?

) D.3
? 2? ? y
2 2

22. ﹡﹡(2011 江苏 14)设集合 A

?x

? 2 ? m , x, y ? R ? ?

, B ? {? x , y ?

2 m ? x ? y ? 2 m ? 1, x , y ? R } , 若 A ? B ? ? 则实数 m 的取值范围是________

23.﹡某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都 不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

24.﹡某班有学生 50 人,参加数学小组的有 25 人,参加物理小组的有 32 人,求既参加数 学小组又参加物理小组的人数的最大值与最小值。 26.【2012 江苏 26】设集合 Pn
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? {1 , , , n } 2 …

, n ? N * .记

f (n)

为同时满足下列条件的
第2讲

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课堂笔记

集合 A 的个数:① A (1)求
f (4)

? Pn

;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C
f (n)

pn

A

,则 2 x ? C

p
n

A。



(2)求

的解析式(用 n 表示) .

28. ( 10 京 理 20 ) 本 小 题 共 13 分 ) 已 知 集 合 S n ? { X | X ? ( x 1 , x 2 , … , x n ) , (
x 1 ? {0 , 1} , i ? 1, 2 , … , n } ( n ? 2 ) 对于 A ? ( a 1 , a 2 , … a n , ) ,B ? ( b1 , b 2 , … b n , ) ? S n , 定义

A 与 B 的 差 为 A ? B ? ( | a 1 ? b 1 | ,a| 2? b
n

2

…, a n | ? b |

n

| ; A)与 B 之间的距离为

d ( A, B ) ?

?
i ?1

| a i ? bi |

Ⅰ)﹡﹡证明: ? A , B , C ? S n , 有 A ? B ? S n ,且 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A , B ) ; Ⅱ)﹡﹡﹡证明: ? A , B , C ? S n , d ( A , B ), d ( A , C ), d ( B , C ) 三个数中至少有一个是偶数 Ⅲ) ﹡﹡﹡设 P ? S n ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为
d ( P ) . 证明: d ( P ) ≤

mn 2 ( m ? 1)

.

反思总结
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