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直线与圆锥曲线综合


直线与圆锥曲线

考点对接

题型一:直线与圆锥曲线的关系
【变式训练1】 (2012· 安徽)如图, 点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C: x2 y2 a2 + b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过 点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部 分于点P,过点F2作直线PF2的垂线 a2 交直线x= c 于点Q. (1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程; (2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.

题型二:圆锥曲线中的范围、最值问题

(2012· 四川)如图,动点M与两定点 A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB,且 直线MA、MB的斜率之积为4.设动 点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程. (2)设直线y=x+m (m>0)与y轴相交于点P, 与轨迹C相交于点Q,R, 且|PQ|<|PR|.求的取值范围.

题型三:圆锥曲线中的定点、定值问题

例3.已知椭圆C经过点A,两个焦点 为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆C的方程; (2)E、F是椭圆C上的两个动点, 如果直线AE的斜率与AF的斜率 互为相反数,证明直线EF的斜 率为定值,并求出这个定值.

变式:若直线l:y=kx+m与椭圆C 相交于A,B两点(A,B不是左,右 顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l过定点,并 求出该定点的坐标.

题型四:圆锥曲线中的探索性问题

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过 点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得 直线l与椭圆C有公共点,且直线OA 与l的距离等于4?若存在,求出直线 l的方程;若不存在,说明理由.

题型五:圆锥曲线中的函数思想

例5. 已知椭圆+=1上的两个动点 P,Q,设P(x1,y1),Q(x2,y2)且 x1+x2=2. (1)求证:线段PQ的垂直平分线经 过一个定点A; (2)设点A关于原点O的对称点是B, 求|PB|的最小值及相应的P点坐标.


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