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3.4基本不等式习题课



§3.4《基本不等式》 习题课



例 2、已知 x >0, y >0:(1) xy =100,求 x + y 的最小值;

(2) x + y =10,求 xy 的最大值。

1、重要不等式 和基本不等式

2、常用变形

? a?b? ?

?1?ab ? ? ? , (2)a ? b ? 2 ab, a, b ? R ? 2 ?

2

?

?

3.最值定理:和定积大,积定和小
(注意一正二定三相等)

4.平方平均数

a2+b2 a+b ,算术平均数 ,几 2 2 1的大小顺序为 + a b
栏 目 链 接

何 平 均 数 ab , 调 和 平 均 数 1 a2+b2 2 a+b ≥ ≥ ab≥ 1 1. 2 + a b 2

2

注意:这里 a、b 都为正实数,当且仅当 a= b 时, 2 a2+b2 a+b = = ab= 1 1. 2 2 + a b

【预习自测】

1、若 x +2 y =3,则 2 +4 的最小值是( C ) A、 2 B、4 C、4 2 D、8 2
x y x 2 y

x

y

分析:原式 ? 2 2 ? 4 ? 2 2 ? (2 )

?2 2

x?2 y

? 2 2 ? 4 2。
3

1 x +2 y =1, 2、若 x >0, y >0,且 则 2 xy 的最大值为 4 。
? x ? 2y ? ? 1 ? 1 分析:原式=x ? 2 y ? ? ? ?? ? ? 。 ? 2 ? ?2? 4
2 2

2x 3、若 x >0,则 y = 2 的最大值为 1 。 x ?1

2 y ? ? ? ? ? 1 。 2 法一) x 1 x? 1 1 2 ? 2 x? x x x x

2x x

2

2

1 2 当x ? , 即x ? 1, x ? 1 ? 0时取等号。 x

2x 3、若 x >0,则 y = 2 的最大值为 1 。 x ?1

2x 2x 2x 法二) y ? x 2 ? 12 ?? 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 1。

当x ? 1 ? 0时取等号。

【典例探究】

x ? 3x ? 4 例 1、若 x >0,则函数 f ? x ? = ( A ): x
2

A、无最大值,有最小值7 B、无最大值,有最小值—1 C、有最大值7,有最小值—1 D、有最大值—1,无最小值
2

解:f x ? x ? 3x ? 4 ? ? x ? 4 ? ? 3 ? ? ? ? x x x ? x? 4 ? 2 x ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7。 x

例 2、若 x >0, y >0,且 9 ? 1 =1,求 x + y 的最小值。 x y

9 1 解:原式= ? x ? y ? ? 1 ? ? x ? y ? ( ? ) x y
“1” 代换 ?x ? 3y x 9y ? 法 2 2 当 ? 即x ? 9 y , 故 ? 9 1 , y x ?x ? y ?1 ? ?y ? 4 即? 时“等号成立”。 ? x ? 12

? x 9y ? x 9y ? 10 ? ? ? ? ? 10 ? 2 ? ? 16。 y x ?y x ?

例 2、若 x >0, y >0,且 9 ? 1 =1,求 x + y 的最小值。 x y

9 1 解:原式= ? x ? y ? ? 1 ? ? x ? y ? ( ? ) x y
9 1 9 ? 2 xy ? 2 ? ? 4 xy ? ? 12。 x y xy

思考:下列解法错在何处?

1 分析:原式=1 ? ? x ? y ? ? ? 2 ? x ? y ? 2
1 9 1 1 ? x 9y ? ? ( ? ) ? x ? y ? ? 5 ? ? ? ? ? 8。 2 x y 2? y x ?

9 1 思考:若 x >0, y >0,且 ? =2,如何求 x + y 的最小值? x y

9 1 变式:若 x >0, y >0,且 x + y =2,如何求 ? 的最小值? x y
?9 1? 1 ?9 1? 解:原式=1? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?x y? 2 ?x y? ?9 1? 1 1 ? x 9y ? ? ( x ? y) ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 2 2? y x ? ?x y? 1 x 9y ? 5? ?2 ? ? 5 ? 3 ? 8。 2 y x 1

? y? ? x 9y ? 2 2 2 ?x ? 3y 当 ? , 即x ? 9 y , ? ,? 时取等号。 y x ?x ? y ? 2 ?x ? 3 ? ? 2

例3

变式:一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18m 问 这个矩形的长、宽各为多少时,菜园面积最大?最大面积为多少?

x

x

y

解: 设矩形的宽为 x m,长为 y m (y ? 18),则有2x ? y ? 30。 1 1 2 x ? y 2 225 面积S ? xy ? ? 2 x ? y ? ? ( ) ? 2 2 2 2 ?2x ? y 15 225 当且仅当 ? , 即 y =15 ? 18,x ? 时,Smax ? 2 2 ?2 x ? y ? 30 15 225 2 故当矩形的长为15m,宽为 m时,面积取最大值 m。 2 2

2.某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为 12 m 2 ,房屋正面每平方米的造价为 1200 元, 变 背面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低造价是多少?
解: 设房屋底面的正面长为 x m,侧面边长为ym, 则xy ? 12。 总造价z ? 1200 ? 3 x ? 800 ? 2 ? 3 y ? 5800 ? 1200(3x +4y ) ? 5800 ? 1200 ? 2 3 x ? 4 y ? 5800 ? 2400 12 xy ? 5800 ? 2400 12 ?12 ? 5800 ? 34600; ? xy ? 12 ?x ? 4 当? , 即? 时, zmin =34600。 ?3 x ? 4 y ?y ? 3 答:当房屋底面的正面长为 4 m,侧面 边长为3m, 总造价最低,最低总造价 是34600元。

: 房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价为 5800 元,如果墙高为 3 m ,且不计房屋

3

3

y

x

y

例43(理科):若 a >0, b >0, ab = a + b +3,求 ab 的最小值。 例

解:因ab ? (a ? b) ? 3 ? 2 ab ? 3,
故ab ? 2 ab ? 3, 即

?

ab ? 1

??

?

ab

ab ? 3 ? 0。

?

?

2

? 2 ab ? 3 ? 0,

∵ ab ? 0, ∴ ab ?1 ? 0。故 ab ? 3 ? 0, ∴ ab ? 3, ab ? 9。

思考(理科):若 a >0, b >0, ab = a + b +3,如何求 a +b 的最小值?

a ? b 2 ( a ? b) 解:因? a ? b ? ? 3 ? ab ? ( ) ? , 2 4 2
2

故4(a ? b)+12 ? (a ? b) ,
2

∴ (a ? b) ? 4(a ? b) ? 12 ? 0,
即[(a ? b) ? 2][(a ? b) ? 6] ? 0。

∵ (a ? b) ? 2 ? 0, 故(a ? b) ? 6 ? 0, ∴ a ? b ? 6。

1 例 例4 5 x ? ?4,9?时, y ? x ? 的最大值和最小值是 x

变:求y ?

x ?5
2

x ?4
2

的最小值

【总结提升】 a?b 2 ? 据 a ? b ? 2 ab (a、b ? R ),ab ? ( ) ? a、b ? R ?
2

求函数的最值时,须弄清谁是公式中的a, 谁是公式中的b。且当a ? b时,结果为定值。

【总结提升】 1、 取最值的条件“一正,二定,三相等” 2、 已知 x ? 0, y ? 0 ,则 有”积定和最小,和定积最大”. 3、 在应用均值不等式时注意凑项及等号成立的条件。

1、设 a, b ? R 且a+b=3,求2a+2b的最小值___。
2 2

b 2、设 a ? 0, b ? 0, a ? ? 1,则 a 1 ? b 2 的最大值为_____。 2
3、设x, y 满足 x ? 4 y ? 40

x ? 0, y ? 0 ,且lg x ? lg y

则的最大值是( A、40


B、10

) C 、4 D 、2



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