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高三理科参数方程和极坐标讲义



教育学科教师辅导讲义
学员学校: 学员姓名: 课 题 年 级:高三 辅导科目:数学 课 时 数: 学科教师: 参数方程和极坐标 2016 年 4 月 16 日 1、掌握极坐标、参数方程和标准方程的互换原则和方法; 2、注重方程和函数及其图像之间的联系,能灵活运用相应知识点求解问题。 ? ? 重点:极坐标、参数方程与标准方程的互换; 难点:极坐标、参数方程与标准方程的互换。 教学内容

授课日期及时段 教学目标 重点、难点

知识分析
参数方程和极坐标系
一、 知识要点
(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数,即

? x ? f (t ) ? ? y ? f (t )

并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数 方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 .设 A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则 AB = t B ?t A = ○ 2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ○ 2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:
第 1 页

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .

tA ? tB . 2

知人善教 培养品质 引发成长动力

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:

x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

(或

x ? b cos? ) y ? a sin ?

中心在点(x0,y0)焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 ? 4.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:

? x ? x0 ? a cos? , (?为参数) ? y ? y0 ? b sin ? .

x ? a sec? y ? btg?

( ? 为参数)

(或

x ? btg? ) y ? asec?

5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
直线的参数方程和参数的几何意义

(t 为参数,p>0)

过定点 P(x0,y0) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程是 J3.2 极坐标系

? x ? x 0 ? t cos? ? y ? y ? t sin ? 0 ?

(t 为参数) .

1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正 方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点 M,用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角, ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐 标系。

M

?
?

O

图1

x

第 2 页

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2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有 序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、? 对应惟一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的极坐 标不惟一. 一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的, P( ? ,? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? ) 或( ? ? , ? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极径为 0,而极角任意取.若对 ? 、 ? 的取值范围加以限制.则除极点 外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是, 直角坐标系中, 点与坐标是一一对应的, 而极坐标系中, 点与坐标是一多对应的. 即 一个点的极坐标是不惟一的. 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴? ? ? 0 ⑷? ? ⑵? ?

a cos ?
a sin ?

⑶? ? ? ⑹? ?

a cos ?

a sin ?

⑸? ? ?

a cos(? ? ? )

M(? , ?
?



M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

第 3 页

知人善教 培养品质 引发成长动力

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 ( a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )

a ?
?

M
?

M

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?
y

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )
式: 5 、极坐标与直角坐标互化公

?
N x

( ,

)

?
?

M y H

? ? ? ? ? ? ?

x ? ? cos?

O

y ? ? sin?

? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

(直极互化 图)

典例分析
第 4 页

知人善教 培养品质 引发成长动力

例一、 (1)直线:3x-4y-9=0 与圆: ? A.相切 B.相离

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
D.相交但直线不过圆心

)

C.直线过圆心

(2)在参数方程 ?

? x ? a ? t cos? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数值分别为 t1、t2,则线 ? y ? b ? t sin ?


段 BC 的中点 M 对应的参数值是(

(3)曲线的参数方程为 ?

? x ? 3t 2 ? 2
2 ? y ? t ?1

(t 是参数),则曲线是(



A、线段

B、双曲线的一支

C、圆

D、射线 )

(4)实数 x、y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值为( A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

例二、 (1)极点到直线 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 3 的距离是________ (2)极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是_______

_____。 _____。

?? ? 例三、1、求圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程。 ? 6?

2、已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。
2 2

第 5 页

知人善教 培养品质 引发成长动力

3、求椭圆

x2 y2 1, 0)之间距离的最小值。 ? ? 1 上一点P与定点( 9 4

课后练习
2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文理科)
极坐标与参数方程 龙岩市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(- 2 , ?2 3 )的极坐标是( )

π 4π 2π ) ) (B) (4, ) (C) (4, D. (4, 3 3 3 2? (2)经过点 M (1,5) 且倾斜角为 的直线,以定点 M 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程是( 3 1 1 ? ? ? ? 3 3 x ? 1? t x ? 1? t x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 (A) ? (B) ? ( C) ? D. ? ?y ? 5? 3 t ? y ? 5? 1 t ? y ? 5? 1 t ?y ? 5? 3 t ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 (3) 圆 ? ? 2 2(cos? ? sin ? ) 的圆心极坐标是( ) 3π 5π ? 7? ? ? 3? ? (A) ( 2, ) (B) ? 2, (C) (2, ) D. ? 2, ? ? 4 4 ? 4 ? ? 4 ? (4)极坐标系中与圆 ? ? 6sin ? 相切的一条直线的方程为( )

2π ) (A) ( ?4, ? 3



(A) ? sin ? ? 3

(B) ? cos ? ? 3 )

(C) ? ? 6 sin(? ?

?
3

)

D. ? ? 6 sin(? ?

?
3

)

(5)曲线 xy ? 1 的一个参数方程是(

? ?x ? t , (A) ? 1 ? y ? t?2 ?
1 2

t ? ?x ? 2 (B) ? ?t ? ?y ? 2

t ? ? x ? log 2 (C) ? 2 ? ? y ? log t

? x ? sin ? ? D. ? 1 y? ? sin ? ?

? ? ? x ? cos ? sin ? ? 2 2 (6)参数方程 ? ? y ? 1 ?1 ? sin ? ? ? 2 ?

?0 ? ? ? 2? ?表示(



第 6 页

知人善教 培养品质 引发成长动力

1? 2? 1? ? (C)双曲线的一支,这支过点 ? ? 1, ? 2? ?
(A)抛物线的一部分,这部分过 ?1, ?

? ?

? ? ? 1? D. 双曲线的一支,这支过点 ?1, ? ? 2?

(B) 抛物线的一部分,这部分过 ? ? 1, ?

1? 2?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。

? x ? 1 ? 2t ( t 为参数) ,则直线的斜率为 ? y ? 2 ? 4t ? (8)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? ( ? ? R ) 的距离是 _____ . 3 ? x ? ?2 ? 4cos ? (9)点 (2,3) 在圆 ? 的____________. (内部 、外部、圆上 、与θ 的值有关,四种关系选一个填写) ? y ? 6 ? 4sin ?
(7) 若直线的参数方程为 ? (10)在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 2 2 ,

?

?? ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 3 与极轴的交点,圆 C 的极坐标 3? 4 ?

?

方程是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本小题满分 10 分)

x 轴的正半轴为极轴, 以直角坐标系的原点 O 为极点, 已知点 P 的直角坐标 (?2,3) , 点M
的极坐标为 (6,

?
2

) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为

? ,圆 C 以 M 为 圆心、 6 为半径. 3

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. (12) (本小题满分 15 分) 已知点 P (2 ? cos ? ,sin ? ) ,参数 ? ? ?0, ? ? ,点 Q 在曲线 C: ? ? (Ⅰ)求在直角坐标系中点 P 的轨迹方程和曲线 C 的方程; (Ⅱ)求|PQ|的最大值. (13) (本小题满分 15 分)

8

2 sin(? ? ) 4

?

上.

? x ? 2 ? t cos ? ? x ? 2cos ? ,圆 C2 : ? ( ? 为参数), (t 为参数) y ? t sin ? y ? 2sin ? ? ? ? (Ⅰ)当 ? ? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (Ⅱ)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出
已知直线 C1 : ? 它是什么曲线.

2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文理科)
极坐标与参数方程参考答案
第 7 页

知人善教 培养品质 引发成长动力

龙岩市数学组
一 、选择题。 1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.A 二、填空题。 7. -2 ; 8. 1 ; 9. 外部 ; 10. ? ? 4cos ? . 三、解答题。 11.(本小题 10 分)

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数) 3 ?y ? 3? t ? ? 2 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 12sin ? 。
2 3 ?3 3 ?1

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

(Ⅱ)圆心的直角坐标是 (0, 6) ,直线 l 的普通方程是 3 x ? y ? 2 3 ? 3 ? 0 , 圆心到直线的距离 d ? 12. (本小题 15 分) 解: (Ⅰ)设 P( x, y ) ,则 ?

? 3?

3 ? 6 ,所以直线 l 和圆 C 相交. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分 2

x ? y ?8 ? 0

? x ? 2 ? cos ? 2 2 ,点 P 的轨迹是上半圆: ( x ? 2) ? y ? 1( y ? 0). 曲线 C 的直角坐标方程: ? y ? sin ?

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分

(Ⅱ)|PQ|的最大值就是点 (1, 0) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离,

PQ max ?

1? 8 2

?

7 2 2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15 分

13. (本小题 15 分) 解: (Ⅰ)当 ? ?

?
3

时, C1 的普通方程为 y ? 3( x ? 2) , C2 的普通方程为

? y ? 3( x ? 2) ? 解得 C1 与 C2 的交点为 (1, ? 3) , (2, 0) x 2 ? y 2 ? 4. . 联立方程组 ? 2 2 ? ?x ? y ? 4 (Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? 2sin ? ? 0 . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分
A 点坐标为 (2sin 2 ? , ?2cos ? sin ? ) ,故当 ? 变化时, P 点轨迹的参数方程为

? x ? sin 2 ? ( ? 为参数) ? ? y ? ? cos ? sin ? 1 1 P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4

故 P 点是圆心为 ( , 0) ,半径为

1 2

1 的圆. ┈┈┈┈┈┈15 分 2

第 8 页

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