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7.43简单线性规划



y

线性规划的实际应用

o

x

复习引入
1.已知:

{

x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1

(1)画出不等式组所表示的平面区域; ( 2 )设 z=2x+y ,则式中变量 x,y 满足 的二元一次不等式组叫做x,y的 ;

y
3

x+y=1
0

x-y=0
x
(2,-1)

z=2x+y 叫做
使z=2x+y取得最大值的可行解 且最大值为 ;




y=-1
(-1,-1) ,

使z=2x+y取得最小值的可行解

2x+y=0

且最小值为

.

例题分析
例1、某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产 品1吨需消耗A种矿石10吨、B种矿石5吨、煤4吨; 生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4吨、B种矿石4吨、 煤9吨.每1吨甲种产品的利润是600元,每1吨乙种产 品的利润是 1000 元 . 工厂在生产这两种产品的计划 中要求消耗A种矿石不超过300吨、消耗B种矿石不 超过 200 吨、消耗煤不超过 360 吨 . 甲、乙两种产品 应各生产多少 ( 精确到 0.1 吨 ), 能使利润总额达到最 大?
解:设生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨,利润总额为z元, 那么 10x+4y≤300 5x+4y≤200 z=600x+1000y. 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0

10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y.
作出可行域: 作出一组平行直线: 600x+1000y=z, 经过可行域上的点M时,目标 函数在y轴上截距最大.此时 z=600x+1000y取得最大值. 由 5x+4y=200 4x+9y=360

y

M (12.4,34.4)

4x+9y=360
x 0 5x+4y=200

10x+4y=300 600x+1000y=0

{

解得交点M的坐标为(12.4,34.4)

线性规划问题解题步骤:
分析问题 (列表)

实际问题
最 优 解 解决 问题

列出约束条件 建立目标函数 转 化

设立变量

线性规划问题

注意: 列约束条件时要注意到变量的范围.

例2、 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格
2 1

B规格
1 2

C规格
1 3

第一种钢板 第二种钢板

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两种 钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少。

解:设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

目标函数为 z=x+y

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y

法一:打网格线法

目标函数

B(3,9)
A(18/5,39/5)

C(4,8)

z= x+y
作出可行域

x+y =0

0

x
2x+y=15

x+2y=18 x+3y=27

作出一组平行直线 z = x+y, 当直线经过点A时 z=x+y=11.4,但它不是最优整数解,在可行域内打出网格线,

将直线x+y=11.4继续向上平移,经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距 离最近的直线是x+y=12,它们是最优解.

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y

二、调整优值法:

目标函数

B(3,9)
A(18/5,39/5)

z= x+y

C(4,8)

x+y =0

0

x
2x+y=15

x+y=12 x+2y=18

x+3y=27

作出一组平行直线 z= x+y,当直线经过点A时 z=x+y=11.4,但它不是最优整数解. 作直线x+y=12, 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8) . 直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.

练习巩固
1. 某家具厂有方木材 90m3 ,木工板 600m3 ,准备加工成 书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料 0.1m3 、 木工板 2m3 ;生产每个书橱需要方木料 0.2m3 ,木工板 1m3 ,出售一张书桌可以获利 80 元,出售一张书橱可以 获利120元;

(1)怎样安排生产可以获利最大?
(2)若只生产书桌可以获利多少?

(3)若只生产书橱可以获利多少?

分析:
产品
资源 方木料 m
3

书桌(张) 0.1 2

书橱(张) 0.2 1

资源限额 m3 90 600

木工板 m3

利润 (元)

80

120

由上表可知: (1)只生产书桌,用完木工板了,可生产书桌 600÷2=300张, 可获利润:80×300=24000元,但木料没有用完 (2)只生产书橱,用完方木料,可生产书橱90÷0.2=450 张,可 获利润120×450=54000元,但木工板没有用完

1.某家具厂有方木材90m3,木工板600m3,准备加工成书桌和书橱出售,
已知生产每张书桌需要方木料 0.1m3、木工板2m3;生产每个书橱需要方木 料0.2m3,木工板1m3,出售一张书桌可以获利80元,出售一张书橱可以获 利120元; (1)怎样安排生产可以获利最大? (2)若只生产书桌可以获利多少? y 求解: (3)若只生产书橱可以获利多少? (1)设生产书桌x张,书橱y张,利 润为z元, 则约束条件为

600

A(100,400)

{

0.1x+0.2y≤90 2x+y≤600 x,y∈N*

450

x+2y-900=0
300

Z=80x+120y 0 作出不等式表示的平面区域, 将直线z=80x+120y平移可知: 当生产 100 张书桌, 400 张书橱时利润最大为 z=80×100+120×400=56000元

x
900

2x+y-600=0

(2)若只生产书桌可以生产300张,用完木工板,可获利 24000元;
(3)若只生产书橱可以生产450张,用完方木料,可获利54000元。

2.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资 的任务,该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨 的B型卡车,有10名驾驶员;每辆卡车每天往返的次数为A型卡车 4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元, B型卡车为504元,问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最 低,最低为多少元?(要求每型卡车至少安排一辆)

解:设每天调出的A型车x辆,
B型车y辆,公司所花的费用为 z元,则

y

4x+5y=30

x+y=10

x=8

{

x≤8 y≤4 x+y≤10 4x+5y≥30 x,y∈N* Z=320x+504y

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y=4

X

作出可行域 作出可行域中的整点,

可行域中的整点(5,2)使Z=320x+504y取得最 小值,且Zmin=2608元

320x+504y=0



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