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2014-2015学年江苏省扬州中学高一(下)期中数学试卷



2014-2015 学年江苏省扬州中学高一(下)期中数学试卷
一、填空题(14×5′=70) 1. (5 分) (2015 春?库车县校级期末)不等式 2. (5 分) (2015 春?扬州校级期中) 已知 α 为锐角, cosα= 的解集为 , 则 tan (α+ ) = . .

3. (5 分) (2016?商丘二模) 等差数列{an}的前 n 项和 Sn, 若 a1=2, S3=12, 则 a6= . 2 4. (5 分) (2015 春?南昌校级期末)已知不等式 ax +bx﹣1>0 的解集为{x|3<x<4},则实 数 a= . 5. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)在△ ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=75°, B=45°,c=3 ,则 b= . 6. (5 分) (2014 春?通州区校级期末)在△ ABC 中,已知 (a+b+c) (a+b﹣c)=ab,则∠C 的大小为 . 7. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)已知 sinαcosα= 且 α∈(0, ) ,则 cosα﹣sinα 的值

是 . 8. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)等比数列{an}中,若 a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5 等 于 . 9. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p, 第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 10. (5 分) (2013?潼南县校级模拟)已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 为 . ﹣
2

的最小值

11. (5 分) (2015?张掖二模) 数列{an}满足 a1=3,

=5 (n∈N+) , 则 an= +x)﹣ cos2x( ≤x≤

. )

12. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)函数 f(x)=2sin ( 的最小值为 .

13. (5 分) (2015 春?扬州校级期中) 在正项等比数列{an}中 a3+a4= , a6=1, 则满足 a1+a2+…+an >a1a2…an 的最大正整数 n 的值为 .
2 2

14. (5 分) (2015 春?泰兴市校级期末)若实数 x,y 满足 x +y =1,则 是 .

的取值范围

二、解答题(15、16 每题 14 分,17、18 每题 15 分,19、20 每题 16 分) 15. (14 分) (2015 春?扬州校级期中)已知 (1)求 cosα 的值; (2)若 , ,求 cosβ 的值.
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,且



16. (14 分) (2014 秋?秦安县校级期末)已知函数 f(x)=ax +x﹣a,a∈R (1)若不等式 f(x)有最大值
2

2

,求实数 a 的值;

(2)若不等式 f(x)>﹣2x ﹣3x+1﹣2a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<0,解不等式 f(x)>1. 17. (15 分) (2015 春?扬州校级期中)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,并且满 足 a1+a2=5,a5+a6=29,以及 b7=a22 (1)求 a22 的值; (2)设 b8=64m(m≠0) ,求数列{bn}的子数列 b7,b8,b9,b10,b11,…的前 n 项和 Sn. (3)在(2)的条件下,若 m=2,求数列 的前 n 项和 Tn.

18. (15 分) (2014?南通二模)为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内, 每喷洒 1 个单位的净化剂,空气中释放的浓度 y(单位:毫克/立方米)随着时间 x(单位:

天)变化的函数关系式近似为 y=

.若多次喷洒,则某一

时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和. 由实验知, 当 空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a(1≤a≤4)个单位的药剂,要使接下 来的 4 天中能够持续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 取 1.4) . 19. (16 分) (2014 春?姜堰市期中) 如图, 在 Rt△ ABC 中, ∠ACB=90°, ∠BAC=60°, AC=4, 点 M 在线段 AB 上. (1)若 CM= ,求 AM 的长; (2)若点 N 在线段 MB 上,且∠MCN=30°,求△ MCN 的面积最小值并求△ MCN 的最小面 积时 MN 的长.

20. (16 分) (2015 春?扬州校级期中)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=An +Bn+C * (n∈N ) ,其中 A、B、C 为常数. (1)已知 A=B=0,a1≠0,求证:数列{an}是等比数列; (2)已知数列{an}是等差数列,求证:3A+C=B; (3)已知 a1=1,B>0 且 B≠1,B+C=2,若 <λ 对 n∈N 恒成立,求实数 λ 的取值范围.
*

2

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2014-2015 学年江苏省扬州中学高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(14×5′=70) 1. (5 分) (2015 春?库车县校级期末) 不等式 【考点】其他不等式的解法. 【分析】不等式等价于 【解答】解:不等式
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的解集为 (﹣∞, ﹣1) ∪[2, +∞) .

≥0,等价于 ,等价于 ≥0,等价于

,由此求得 x 的范围. .

解得 x<﹣1,或≥2, 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪[2,+∞) . 【点评】本题主要考查分式不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.

2. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)已知 α 为锐角,cosα=
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,则 tan(α+

)= ﹣3 .

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】利用同角三角函数基本关系求得 tanα 的值,再利用两角和公式求得答案. 【解答】解:∵α 为锐角,cosα= ∴tanα= =2, ∴tan(α+ )= = =﹣3. ,

故答案为:﹣3. 【点评】 本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用. 考查了学生对三角函数基础公 式的掌握程度. 3. (5 分) (2016?商丘二模)等差数列{an}的前 n 项和 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6= 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据等差数列的通项公式以及前 n 项和公式进行求解即可. 【解答】解:∵S3=12,
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12 .

∴S3=3a1+

d=3a1+3d=12.

解得 d=2, 则 a6=a1+5d=2+2×5=12, 故答案为:12 【点评】 本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用, 根据条件求出公差是解决本题的 关键.

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4. (5 分) (2015 春?南昌校级期末)已知不等式 ax +bx﹣1>0 的解集为{x|3<x<4},则实 数 a= ﹣ .
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2

【考点】一元二次不等式的解法. 2 【分析】由题意可知 3,4 是方程 ax +bx﹣1=0 的两个实根,利用韦达定理即可求得 a 值. 2 【解答】解:∵等式 ax +bx﹣1>0 的解集为(x|3<x<4}, 2 ∴3,4 是方程 ax +bx﹣1=0 的两个实根, 则 解得 a=﹣ =12, , .

故答案为:﹣

【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法,考查根与系数的关系,深刻理解“三个二次” 间的关系是解决相关问题的关键. 5. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)在△ ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=75°, B=45°,c=3 ,则 b= 2 . 【考点】正弦定理. 【分析】由三角形内角和定理可求角 C,利用正弦定理即可求 b 的值. 【解答】解:∵A=75°,B=45°,c=3 , ∴C=180°﹣A﹣B=60°,
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∴由正弦定理可得:b=

=

=2



故答案为:2 . 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,正弦定理的应用,属于基本知识的考查. 6. (5 分) (2014 春?通州区校级期末)在△ ABC 中,已知 (a+b+c) (a+b﹣c)=ab,则∠C 的大小为 .
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【考点】余弦定理.

【分析】 由题中等式, 化简出 a +b ﹣c =ab, 再根据余弦定理算出 cosC= 结合三角形内角的范围即可算出角 C 的大小. 【解答】解:∵在△ ABC 中, (a+b+c) (a+b﹣c)=ab, 2 2 2 2 2 ∴(a+b) ﹣c =ab,整理得 a +b ﹣c =﹣ab 由余弦定理,得 cosC= 结合 C∈(0,π) ,可得 C= 故答案为: .
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2

2

2

的值,

=﹣ , ;

【点评】本题给出三角形边之间的关系,求角的大小.着重考查了利用余弦定理解三角形的 知识,属于基础题. 7. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)已知 sinαcosα= 且 α∈(0, . 【考点】同角三角函数间的基本关系. 【分析】依题意,可知 cosα>sinα>0,于是 cosα﹣sinα 的符号为正,先平方,再开方即可.
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) ,则 cosα﹣sinα 的值是

【解答】解:∵sinαcosα= , ∴2sinαcosα= ,即 sin2α= , ∴(cosα﹣sinα) =1﹣sin2α= . ∵α∈(0, ) ,
2

∴cosα>sinα>0, ∴cosα﹣sinα= . 故答案为: . 【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系,求得 cosα>sinα>0 是关键,属于基础题. 8. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)等比数列{an}中,若 a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5 等 于 ±27 . 【考点】等比数列的性质.
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【分析】根据等比数列的性质可知 a3+a4 与 a1+a2 的比值等于 q ,把 a1+a2=1,a3+a4=9 代入 即可求出 q 的值,然后利用等比数列的通项公式化简 a1+a2=1 后,把 q 的值代入即可求出首 项,然后利用首项和公比,利用等比数列的通项公式即可求出 a4+a5 的值. 2 【解答】解:∵a3+a4=(a1+a2)?q ,a1+a2=1,a3+a4=9, 2 ∴q =9,∴q=±3. 当 q=﹣3 时,a1+a2=a1﹣3a1=﹣2a1=1,∴a1=﹣ ,a4+a5=﹣ ×(q +q )=﹣27; 同理当 q=3 时,a4+a5=27, 故答案为:±27. 【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一 道综合题.学生做题时应注意 q 的值有两解,不要遗漏了解. 9. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p, 第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 1 . 【考点】有理数指数幂的化简求值. ﹣
3 4

2

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【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为 x,由题意(1+x) =(1+p) (1+q) ,解 方程即可. 【解答】解:设该市这两年生产总值的年平均增长率为 x,由题意(1+x) =(1+p) (1+q) , 所以 x= 故答案为: ﹣1; ﹣1.
2

2

【点评】本题考查了平均增长率的问题属于基础题.

10. (5 分) (2013?潼南县校级模拟)已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 . 【考点】基本不等式. 【分析】利用乘“1”法,再使用基本不等式即可求出. 【解答】解:∵正数 x,y 满足 x+2y=1,
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的最小值为



=

=3 , .

= 时取等号.

,当且仅当



x+2y=1,x>0,y>0 即 因此 的最小值为

故答案为 . 【点评】熟练掌握变形应用基本不等式的性质是解题的关键. 11. (5 分) (2015?张掖二模) 数列{an}满足 a1=3,
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=5 (n∈N+) , 则 an=



【考点】数列递推式;等差数列的通项公式. 【分析】根据所给的数列的递推式,看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项 看出等差数列的首项,根据等差数列的通项公式写出数列,进一步得到结果. 【解答】解:∵根据所给的数列的递推式 ∴数列{ ∵a1=3, ∴ = , }是一个公差是 5 的等差数列,

∴数列的通项是 ∴ 故答案为: 【点评】 本题看出数列的递推式和数列的通项公式, 本题解题的关键是确定数列是一个等差 数列,利用等差数列的通项公式写出通项,本题是一个中档题目.
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12. (5 分) (2015 春?扬州校级期中)函数 f(x)=2sin (

2

+x)﹣

cos2x(

≤x≤



的最小值为 2 . 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】首先要把函数化成标准形式,然后根据 x 的取值范围,求出相位的范围,即可求函 数的最小值.
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【解答】解:f(x)=2sin ( =1﹣cos( =sin2x﹣ +2x)﹣ cos2x+1, )+1,

2

+x)﹣

cos2x

cos2x,

=2sin(2x﹣ ∵ ∴ ≤x≤ ≤2x﹣ = ,





当 2x﹣

,函数有最小值,

∴f(x)min=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查了三解函数的最值求法,关键是化成标准形式,考查了转化的思想.

13. (5 分) (2015 春?扬州校级期中) 在正项等比数列{an}中 a3+a4= , a6=1, 则满足 a1+a2+…+an >a1a2…an 的最大正整数 n 的值为 12 . 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】设正项等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,由题意可得关于这两个量的方程组,解 之可得数列的通项公式和 a1+a2+…+an 及 a1a2…an 的表达式,化简可得关于 n 的不等式,解之 可得 n 的范围,取上限的整数部分即可得答案.
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【解答】解:∵在正项等比数列{an}中 a3+a4= ,a6=1, ∴a1q (1+q)= ①, a1q =1②,q 为数列的公比, 联立①②,解得 a1= ,q=2,
5 2

∴Tn=a1+a2+…+an=

=

(2 ﹣1) ,

n

Sn=a1a2…an=

?2

1+2+…+n﹣1

=



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由题意可得 Tn>Sn,即
n

(2 ﹣1)>

n



化简得:2 ﹣1> 因此只须 n> 解得 <n<

,即 2 ﹣ ,即 n ﹣13n+10<0 ,
2

n

>1,

由于 n 为正整数,因此 n 最大为

的整数部分,也就是 12.

故答案为:12. 【点评】本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法,属中档题. 14. (5 分) (2015 春?泰兴市校级期末)若实数 x,y 满足 x +y =1,则 是 (﹣∞,1﹣ ]∪( 【考点】圆的标准方程. +1,+∞) . sin(θ+ )∈[﹣ , ].则
2 2

的取值范围

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【分析】令 x=cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π) ,x+y=t= = 化简为 +

+1,分类讨论,利用基本不等式求得它的

范围,综合可得结论. 2 2 【解答】解:∵实数 x,y 满足 x +y =1,可令 x=cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π) , 则 x+y=t= 则 sin(θ+ )∈[﹣ , ].

=

=

=

=

=

+

+1, ]时,利用基本不等式可得 + +1≥ +1,当期仅当 t=1+ 时,取等

当 t∈(1, 号, 而 t=1+

不可能,故

+

+1>

+1.

当 t<1 时,1﹣t>0, ∵﹣ ﹣ 故 , + +1≤1﹣ .
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+(﹣

)≥

,当且仅当 1﹣t=

,即 t=1﹣

时,取等号,故

+



综上可得,

≤1﹣





+1,

故答案为: (﹣∞,1﹣ ]∪( +1,+∞) . 【点评】本题考查三角恒等变换,基本不等式的应用,考查计算能力,属于中档题. 二、解答题(15、16 每题 14 分,17、18 每题 15 分,19、20 每题 16 分) 15. (14 分) (2015 春?扬州校级期中)已知 (1)求 cosα 的值; (2)若 , ,求 cosβ 的值.
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,且



【考点】二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数. 【分析】 (1)把已知条件平方可得 sinα= ,再由已知 (2)由条件可得﹣ <α﹣β<

,可得 cosα 的值.

,cos(α﹣β)= ,再根据 cosβ=cos(﹣β)=cos[(α﹣β )

﹣α],利用两角 和差的余弦公式,运算求得结果. 【解答】解: (1)由 再由已知 (2)∵ = . ∴cosβ=cos(﹣β)=cos[(α﹣β )﹣α]=cos(α﹣β)cosα+sin(α﹣β)sinα = + =﹣ . ,可得 α= , ,平方可得 1+sinα= ,解得 sinα= . ,∴cosα=﹣ . <α﹣β< ,cos(α﹣β)

,∴﹣

【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系, 二倍角公式、 两角和差的余弦公式的应用, 属于中档题. 16. (14 分) (2014 秋?秦安县校级期末)已知函数 f(x)=ax +x﹣a,a∈R (1)若不等式 f(x)有最大值
2 2

,求实数 a 的值;

(2)若不等式 f(x)>﹣2x ﹣3x+1﹣2a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<0,解不等式 f(x)>1. 【考点】二次函数的性质;函数恒成立问题.
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【分析】 (1)由

=

,解出即可; (2)通过讨论 a 的范围,得不等式组,解出即

可; (3)问题者解不等式(x﹣1) (ax+a+1)>0,通过讨论 a 的范围,从而求出不等式的解集.

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【解答】解: (1)由题意 a<0,且
2

=
2

,解得:a=﹣2 或 a=﹣ ;

(2)由 f(x)>﹣2x ﹣3x+1﹣2a,得(a+2)x +4x+a﹣1>0, 若 a=﹣2,不等式 4x﹣3>0 不对一切实数 x 恒成立,舍去, 若 a≠﹣2,由题意得 ,解得:a>2,

故 a 的范围是: (2,+∞) ; 2 (3)不等式为 ax +x﹣a﹣1>0,即(x﹣1) (ax+a+1)>0, ∵a<0,∴(x﹣1) (x+ ∵1﹣(﹣ )= , ,解集为:{x|1<x<﹣ }, )<0,

∴﹣ <a<0 时,1<﹣
2

a=﹣ 时, (x﹣1) <0,解集为?, a<﹣ 时,1>﹣ ,解集为{x|﹣ <x<1}.

【点评】本题考查了二次函数的性质,求不等式的解集,求参数的范围,考查了分类讨论思 想,是一道中档题. 17. (15 分) (2015 春?扬州校级期中)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,并且满 足 a1+a2=5,a5+a6=29,以及 b7=a22 (1)求 a22 的值; (2)设 b8=64m(m≠0) ,求数列{bn}的子数列 b7,b8,b9,b10,b11,…的前 n 项和 Sn. (3)在(2)的条件下,若 m=2,求数列 【考点】等差数列与等比数列的综合.
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的前 n 项和 Tn.

【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,依题意,列出关于其首项与公差的方程组,解之 即可得 an,从而可求 a22 的值; (2)依题意可求得{bn}的公比 q=m(m≠0) ,对 m 分类讨论,可得数列{bn}的子数列 b7,b8, b9,b10,b11,…的前 n 项和 Sn. n﹣1 1 2 n﹣1 (3)可求得 bn=2 ,从而可得 Tn=1+2×2 +3×2 +…+n×2 ,利用错位相减法即可求得 Tn. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 ∴an=1+(n﹣1)×3=3n﹣2, ∴a22=64…5 分 (2)∵{bn}为等比数列,b7=a22=64,b8=64m(m≠0) , ∴{bn}的公比 q= =m(m≠0) , ,解得 d=3,a1=1,…3 分

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∴Sn=
6

…10 分

(3)∵m=2,b7=64=b1?2 , n﹣1 ∴b1=1,故 bn=2 . ∴Tn= [(a1+2)b1+(a2+2)b2+…+(an+2)bn] = (3×1+6×2 +…+3n×2
1 2 1 n﹣1



=1+2×2 +3×2 +…+n×2 ①…12 分 1 2 n﹣1 n 2Tn=1×2 +2×2 +…+(n﹣1)×2 +n×2 ② 2 n﹣1 n ①﹣②得:﹣Tn=1+2+2 +…+2 ﹣n×2 = ﹣n×2
n n

n﹣1

=(1﹣n)×2 ﹣1,…14 分 n ∴Tn=1+(n﹣1)×2 …15 分 【点评】 本题考查等差数列与等比数列的综合, 突出考查等差数列的通项公式与等比数列的 通项公式,着重考查错位相减法求和,属于难题. 18. (15 分) (2014?南通二模)为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内, 每喷洒 1 个单位的净化剂,空气中释放的浓度 y(单位:毫克/立方米)随着时间 x(单位:

天)变化的函数关系式近似为 y=

.若多次喷洒,则某一

时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和. 由实验知, 当 空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a(1≤a≤4)个单位的药剂,要使接下 来的 4 天中能够持续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 取 1.4) . 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)利用已知可得:一次喷洒 4 个单位的净化剂,浓度
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,分类讨论解出 f(x)≥4 即可; (2)设从第一次喷洒起,经 x(6≤x≤10)天,可得浓度 g(x) = ,变形利用基本不等式即可得出.

【解答】解: (1)∵一次喷洒 4 个单位的净化剂, ∴浓度

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则当 0≤x≤4 时,由



解得 x≥0,∴此时 0≤x≤4. 当 4<x≤10 时,由 20﹣2x≥4,解得 x≤8, ∴此时 4<x≤8. 综合得 0≤x≤8, 若一次投放 4 个单位的制剂,则有效净化时间可达 8 天. (2)设从第一次喷洒起,经 x(6≤x≤10)天, 浓度

. ∵14﹣x∈[4,8],而 1≤a≤4, ∴ , 故当且仅当 时,y 有最小值为 . 令 , 解得 , ∴a 的最小值为 . 【点评】本题考查了分段函数的意义与性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能 方法,考查了分析问题和解决实际问题的能力,属于难题. 19. (16 分) (2014 春?姜堰市期中) 如图, 在 Rt△ ABC 中, ∠ACB=90°, ∠BAC=60°, AC=4, 点 M 在线段 AB 上. (1)若 CM= ,求 AM 的长; (2)若点 N 在线段 MB 上,且∠MCN=30°,求△ MCN 的面积最小值并求△ MCN 的最小面 积时 MN 的长.

【考点】解三角形的实际应用;基本不等式. 【分析】 (1)CM= ,直接利用余弦定理求 AM 的长; (2)设∠ACM=α,α∈[0°,60°]在△ ACN 中,由正弦定理求出 CN,在△ ACM 中,由正弦 定理求出 CM,然后表示出△ MCN 的面积,利用三角函数的有界性求出三角形面积的最小 值并求△ MCN 的最小面积时 MN 的长. 【解答】解: (1)在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=4,点 M 在线段 AB 上. ∵CM= , 2 2 2 ∴CM =AC +AM ﹣2AC?AMcosA; 2 即 13=16+AM ﹣4?AM, 解得 AM=1 或 AM=3.
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(2)设∠ACM=α,α∈[0°,60°]在△ ACN 中,由正弦定理得:





在△ ACM 中,由正弦定理得: ∴ ∴ ∵0°≤α≤60° ∴60°≤2α+60°≤180°, ∴0≤sin(2α+60°)≤1 ∴当 α=15°时,△ MCN 的面积最小为:24﹣12 此时 MN 最小值为 . . = = ,



【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,三角函数的以及的应用,考查转化思想以及 计算能力. 20. (16 分) (2015 春?扬州校级期中)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=An +Bn+C * (n∈N ) ,其中 A、B、C 为常数. (1)已知 A=B=0,a1≠0,求证:数列{an}是等比数列; (2)已知数列{an}是等差数列,求证:3A+C=B; (3)已知 a1=1,B>0 且 B≠1,B+C=2,若 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.
* 2

<λ 对 n∈N 恒成立,求实数 λ 的取值范围.

*

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【分析】 (1)由 an+Sn=C(n∈N )得:an+1+Sn+1=C,两式相减后根据等比数列的定义,可 证明数列{an}是等比数列; (2)由题意设公差为 d,根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式,求出 an、Sn 并代入已 知的式子化简,利用对应系数相等证明等式成立; 2 (3)把 n=1 代入递推公式,结合 a1=1 和 B+C=2 求 A,代入 an+Sn=An +Bn+C 化简,由数 列的通项公式和前 n 项和公式关系化简, 利用构造法和等比数列的定义求出 an, 再代入 分离常数,对 B 进行分类讨论,分别利用指数函数的单调性和 B 的范围求出 λ 的范围.
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【解答】证明: (1)由 A=B=0 得,an+Sn=C(n∈N ) ,① ∴an+1+Sn+1=C. ②…2 分 ②﹣①式得:2an+1=an, 又 a1≠0,所以数列{an}是以 为公比的等比数列; (2)由题意知:数列{an}是等差数列,设公差为 d, ∴an=a1+(n﹣1)d, ∵an+Sn=An +Bn+C(n∈N ) , ∴a1+(n﹣1)d+ 化简得: n +
2 2 *

*



=An +Bn+C, +a1﹣d=An +Bn+C,
2

2



,∴3A+C=

=

=B,

即 3A+C=B; 解: (3)∵a1=1,B+C=2,an+Sn=An +Bn+C(n∈N ) , ∴当 n=1 时,2a1=A+B+C,则 2=A+B+C,有 A=0, ∴an+Sn=Bn+(2﹣B) ,则 an+1+Sn+1=B(n+1)+(2﹣B) , 两式相减得:2an+1﹣an=B,即 an+1= (an+B) , ∴an+1﹣B= (an﹣B) , 又 a1=1,B≠1,则 a1﹣B≠0,则数列{an﹣B}是以 为公比的等比数列, ∴an﹣B=(a1﹣B)? = ,则 an= +B,
2 *



=

=

=1+



又 B>0 且 B≠1,有以下两种情况: ①当 0<B<1 时,1﹣B>0,则 y= 随着 n 的增大而减小,





,即

=



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对 n∈N 恒成立,∴

*



②当 B>1 时,1﹣B<0,则 y=

随着 n 的增大而增大,



<0,则

0=1,



对 n∈N 恒成立,∴λ≥1,

*

综上所述,当 0<B<1 时,

;当 B>1 时,λ≥1.

【点评】本题是数列综合题,考查等比数列的定义、通项公式,等差数列的通项公式、前 n 项和公式等,数列的函数特征,以及构造法、分离常数法,分类讨论思想,考查由所给的递 推关系证明数列的性质,难度较大,综合性很强,对答题者探究的意识与探究规律的能力要 求较高,是一道能力型题.

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参与本试卷答题和审题的老师有: caoqz; wsj1012; maths; wyz123; w3239003; qiss; wfy814; 刘长柏;changq;沂蒙松;涨停;whgcn;海燕;1619495736;gongjy(排名不分先后) 菁优网 2016 年 4 月 29 日

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