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数学联赛国家集训队不等式证明



奥林匹克数学集训队高中数学联赛专题
专题一 不等式证明 不等式及其基本证明方法

概述 不等式在数学中占有重要地位,数学奥林匹克中不等式的题目甚多,几乎每届 IMO 与 CMO 都有一道 不等式的题目,在全国高中数学联赛中,不等式也是屡见不鲜.不等式的题目有各种难度,能够很好 地区分出学生的水平与创造力,在现在的竞赛中,不等式几乎已经可以和平面几何分

庭抗礼了. 不等式的一些基本的性质: (1)设 a,b ? R ,那么 a ? b ? a ? b ? 0 ; a ? b ? a ? b ? 0 ; a ? b ? a ? b ? 0 .

a ? 1. b (3)传递性: a ? b,b ? c ? a ? c . (4) a ? b ? a ? c ? b ? c . (5) a ? c,b ? d ? a ? b ? c ? d;a ? c,b ? d ? a ? b ? c ? d . (6) a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b,c ? 0 ? ac ? bc . (7) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd .
(2)设 a,b ? 0 ,那么 a ? b ? (8) a ? b ? an ? bn (n ? N? ) . (9) a ? b,ab ? 0 ?

1 1 ? . a b

(10) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N?,n ? 1) . 由性质(1) (2) ,可以得到证明不等式的基本方法,即比较法,分为差值比较与商值比较,一般而言, 对于和式的比较,通常采用差值比较,主要涉及到代数式的恒等变形,如配方、因式分解、拆项与合 并等,这就要求我们对代数式的变形的技巧熟练掌握,而对于含有指数的连乘积形式的代数式,通常 采用商值比较. 1? 3? 1? 3? 【例 1】已知 a ? 0,b ? ? a ? ?,c ? ? b ? ? ,试比较 a,b,c 的大小. 2? a? 2? b? 当a ? 3时
a?b?c a?c?b

当0? a ? 3 时 当a ? 3时

c?b?a

【例 2】设 a,b,c ? R ,证明: a 2 ? b2 ? c2 ≥ ab ? bc ? ca . 1 1 1 a2 ? b2 ? c2 ? (ab ? bc ? ac) ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ≥ 0 2 2 2 【例 3】设 x,y,z ? R , A, B, C 为 △ ABC 的三个内角,请明三角形嵌入不等式:
x2 ? y 2 ? z 2 ≥ 2xy cos C ? 2 yz cos A ? 2zx cos B ,并求出取等条件. x2 ? y 2 ? z 2 ? (2xy cos C ? 2 yz cos A ? 2zx cos B) ? ( x ? y cos C ? z cos B)2 ? ( y sin C)2 ? ( z sin B)2 ? 2 yz cos B cos C ? 2 yz cos A

? ( x ? y cos C ? z cos B)2 ? ( y sin C)2 ? ( z sin B)2 ? 2 yz sin B sin C ? ( x ? y cos C ? z cos B)2 ? ( y sin C ? z sin B)2 ≥ 0

等事情成立 ? x ? y cos C ? z cos B
y sin C ? z sin B ? x y z ? ? sin A sin B sin C

【例 4】设实数 x,y,z 满足 xy ? yz ? zx ? 1 ? 0 ,求证: x2 ? 5 y 2 ? 8z 2 ≥ 4 .
x2 ? 5 y 2 ? 8z 2 ? 4 ? x2 ? 5 y 2 ? 8z 2 ? 4( xy ? yz ? zx) ? ( x ? 2 y ? 2 z)2 ? ( y ? 2 z)2 ≥ 0

【例 5】设 a,b,c 为正实数,证明: a 2a b2b c 2c ≥ ab ? c ba ?c c a ?b . 不妨设 a ≥ b ≥ c ? 0
a 2 a b 2b c 2 c ?a? ?? ? ab ? c ba ? c c a ? b ? b ?
a ?b

?b? ? ? ?c?

b ?c

?a? ? ? ?c?

a ?c

≥1

【例 6】设 a,b,x,y 为实数,证明: (a2 ? b2 )( x2 ? y 2 ) ≥ (ax ? by)2 .
(a2 ? b2 )( x2 ? y 2 ) ? (ax ? by)2 ? (a2 x2 ? b2 y 2 ? a2 y 2 ? b2 x2 ) ? (a 2 x 2 ? b2 y 2 ? 2abxy ) ? (ay ? bx)2 ≥ 0

【例 7】设 a,b,c 为正实数,证明:

a b c 3 a? b2 c2 a?b?c . ? ? ≥ ; (2) ? ? ≥ b?c a?c a ?b 2 b?c a ?c a ?b 2 a b c 3 (1) ? ? ? b?c a ?c a ?b 2
(1)
1? ? b 1? ? c 1? ? a ?? ? ??? ? ??? ? ? b ? c 2 a ? c 2 a ? b 2? ? ? ? ? ? 1?a?b a?c? 1?b?c b?a? 1?c?a c?b ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? b?c b?c ? 2? a ?c a ?c ? 2?a ?b a ?b? 1?a?b b?a? 1?a?c c?a ? 1?b?c c?b ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? b?c a ?c? 2?b?c a ?b? 2?a ?c a ?b? ? 1 ( a ? b) 2 1 (a ? c) 2 1 (b ? c) 2 ? ? ? ? ? ≥0 2 (a ? c)(b ? c) 2 (b ? c)(a ? b) 2 (a ? c)(a ? b)

(2)

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? b?c a?c a?b 2

1? 1? ? c 1? ? a ? b ? a? ? ? ? b? ? ? ? c? ? ? ?b?c 2? ?a ?c 2? ?a ?b 2? a? a ?b a ?c ? b? b ?c b ?a ? c ? c ?a c ?b ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? b?c b?c ? 2?a ?c a ?c ? 2?a ?b a ?b? ? a a ?b b b ?a ? ? a a ?c c c ?a ? ?b b ?c c c ?b ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? 2 b?c 2 2 ? ? 2 b?c 2 a?b? ?2 a?c 2 a?b? (a ? b ? c)(a ? b) 2 (a ? b ? c)(a ? c) 2 (a ? b ? c)(b ? c) 2 ? ? ? ≥0 2(b ? c)(c ? a) 2(b ? c)(b ? a ) 2(a ? c)(a ? b)

【例 8】已知 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? 1 ,证明:
(a ? b)4 ? (a ? c)4 ? (a ? d )4 ? (b ? c)4 ? (b ? d )5 ? (c ? d )4 ≤ 6 . (a ? b)4 ? (a ? c)4 ? (a ? d )4 ? (b ? c)4 ? (b ? d )4 ? (c ? d )4 ? 6 ? (a ? b)4 ? (a ? c)4 ? (a ? d )4 ? (b ? c)4 ? (b ? d )4 ? (c ? d )4 ? 6(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )2 ? (a4 ? 4a3b ? 6a2b2 ? 4ab3 ? b4 ) ? (a4 ? 4a3c ? 6a2c2 ? 4ac3 ? c4 ) ? (a4 ? 4a3d ? 6a2 d 2 ? 4ad 3 ? d 4 ) ?(b4 ? 4b3c ? 6b2c2 ? 4bc3 ? c4 ) ? (b4 ? 4b3d ? 6b2 d 2 ? 4bd 3 ? d 4 ) ? (c4 ? 4c3d ? 6c2 d 2 ? 4cd 3 ? d 4 ) ?6(a4 ? b4 ? c4 ? d 4 ? 2a2b2 ? 2b2c2 ? 2c2 d 2 ? 2a2c2 ? 2b2 d 2 ? 2a2 d 2 ) ? ?(a4 ? 4a3b ? 6a2b2 ? 4ab3 ? b4 ) ? (a4 ? 4a3c ? 6a 2c 2 ? 4ac3 ? c 4 ) ? (a 4 ? 4a3d ? 6a 2d 2 ? 4ad 3 ? d 4 ) ?(b4 ? 4b3c ? 6b2c2 ? 4bc3 ? c4 ) ? (b4 ? 4b3d ? 6b2 d 2 ? 4bd 3 ? d 4 ) ? (c4 ? 4c3d ? 6c2 d 2 ? 4cd 2 ? d 4 )
4 4 4 4 4 4 ? ?? ?(a ? b) ? (a ? c) ? (a ? d ) ? (b ? c) ? (b ? d ) ? (c ? d ) ? ? ≤0

【例 9】设 a,b,c 为正实数,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ,证明:

1 1 ? 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? 2? 2? ≥3 . 2 a b c abc

1 1 1 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? ? ? ?3 a 2 b2 c 2 abc 1 1 ? 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? 1 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?3 b c ? abc ?a
? a 2 b2 a 2 c 2 b2 c 2 ? 2(a3 ? b3 ? c3 ) ?? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?? a c a c b ? abc ?b ? c 2 c 2 2c 2 ? ? b2 b2 2b2 ? ? a 2 a 2 2a 2 ? ?? 2 ? 2 ? ? ??? ? ? ??? ? ? b ab ? ? a 2 c 2 ac ? ? b2 c 2 bc ? ?a ? c c? ?b b? ?a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥0 ?a b? ?a c? ?b c?
2 2 2

【例 10】设 a,b,c 为正实数,证明:

b ? c c ? a a ? b (a 2 ? b 2 ? c 2 )(ab ? bc ? ca ) ? ? ? ≥3 . a b c abc(a ? b ? c)

b ? c c ? a a ? b (a 2 ? b 2 ? c 2 )(ab ? bc ? ca ) ? ? ? ?3 a b c abc(a ? b ? c)
2 2 2 ?b c c a a b ? ? (a ? b ? c )(ab ? bc ? ca) ? ? ? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? 3? abc(a ? b ? c) ?a a b b c c ? ? ?
? ? ? ?b a ? ?b c ? ?c a ? (a ? b ? c )(ab ? bc ? ac) ? 3abc (a ? b ? c) ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2? ? abc(a ? b ? c) ?a b ? ?c b ? ?a c ? 2 3 3 3 3 3 3 ( a ? b) a c ? ac ? b c ? bc ? a b ? ab ? 2abc(a ? b ? c) ?? ? ab abc(a ? b ? c)

??
??

3 3 2 2 (a ? b)2 ? a(c ? b ? b c ? bc ) ? ab abc(a ? b ? c)

( a ? b) 2 a (b ? c)(b ? c) 2 ?? ab bc(a ? b ? c)

原稿未完 课后习题 【演练 1】设 a,b,c 为正实数, x,y,z 为实数,证明:
x2 ? y 2 ? z 2 ≥ 2 ? a?b abc b?c c?a ? xy ? yz ? zx ? ? ? ?. (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? c a b ?
2 2 2

? a b ? ? c b ? ? a c ? ?? ? c ? ax ? b ? c y? ? ?? ? b ? c y ? a ?bz? ? ?? ? a ? b z ? c ? a x? ? ≥0 ? ? ? ? ? ?
【演练 2】已知 a,b,c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: a2 ? b2 ? c2 ? 1≥ 4(ab ? bc ? ca) .
? a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ≥ 4(ab ? bc ? ca) ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ≥ 0 .

【演练 3】设 x,y 为实数,证明: 3( x ? y ? 1)2 ? 1≥ 3xy .
? 3x2 ? 6( y ? 1) x ? 3( y ? 1)2 ? 1 ? 3xy ≥ 0 ? 3x2 ? (3 y ? 6) x ? 3 y 2 ? 6 y ? 4 ≥ 0 ? ? (3 y ? 6)2 ? 12(3 y 2 ? 6 y ? 4) ? ?27 y 2 ? 36 y ? 12 ? ?3(3 y ? 2)2 ≤ 0 .

【演练 4】设 a,b,c 为实数,证明: (a? ? 1)(b2 ? 1)(c2 ? 1) ≥ (ab ? bc ? ca ? 1)2 .
? a 2b2 c 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ≥ ?2ab ? 2bc ? 2ca ? 2a 2bc ? 2ab2 ? 2abc 2

? a2b2c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2abc(a ? b ? c) ≥ 0 . ? (abc ? a ? b ? c)2 ≥ 0 .

【演练 5】已知三角形的三边长 a,b,c 及其面积 S ,证明: a2 ? b2 ? c2 ≥ 4 3S ,并指出等号成立的 条件.
? (a2 ? b2 ? c2 )2 ? 48S 2 ? 3(?a4 ? b4 ? c4 ? 2a2b2 ? 2b2c2 ? 2c2 a2 )
? 4a 4 ? 4b4 ? 4c4 ? 4a 2b2 ? 4b2 c 2 ? 4c 2 a 2 ≥ 0 .

? (a2 ? b2 )2 ? (b2 ? c2 )2 ? (c2 ? a2 )2 ≥ 0 .

专题二

两个基本不等式及其应用技巧

概述 均值不等式(又称算数几何平均值不等式, AM ? GM 不等式)与柯西不等式(Cauchy 不等式)在不 等式的证明中有着非常特殊的地位,具有重要的作用,这两个不等式的证明以及它们的运用,均涉及 到解决一般不等式问题的基本方法和技巧,熟练掌握和灵活运用这两个不等式,对于提高我们解决和 证明不等式问题的能力、运算能力、逻辑推理能力,都具有重要的作用, 要证明均值不等式需要用到数学归纳法, 先简单谈谈数学归纳法. 数学归纳法是数学上证明与自然数 n 相关的一类命题的方法,在高中数学中应用广泛,尤其是在数列问题.原则上,凡是和所有自然数相 关的命题,均可以尝试用数学归纳法证明.常用的数学归纳法包括第一数学归纳法和第二数学归纳 法.第一数学归纳法的证明过程如下:(1)首先验证 n 取初始值 n0 (一般为 0 或 1,也有特殊情况)时 命题成立;(2)假设 n ? k ( k ≥ n0 )时结论或立,在此基础上,证明 n ? k ? 1 时命题也成立:综合(1)(2), 即可得到命题对一切自然数 n ( n ≥ n0 )都成立.第二数学归纳法的证明过程如下:(1)首先验证 n 取 初始值 n0 (一般为 0 或 1,也有特殊情况)时命题成立;(2)假设 n ≤ k ( k ≥ n0 )时结论成立.在此基 础上,证明 n ? k ? 1 时命题也成立:综合(1)(2),即可得到命题对一切自然数 n ( n ≥ n0 )都成立. 定理 1 设 a1 , a 2 ,…, a n 都是正实数,则有 不等式)

a1 ? a2 ? … ? an ≥ n a1a2 …an ,等号成立,当且仅当 n

M G M ? a1 ? a2 ? … ? an . (A

证明:设 An ?

a1 ? a2 ? … ? an , Gn ? n a1a2…an ,原命题等价于证明 An ≥ Gn . n a1 ? a2 1 ? a1a2 ? ( a1 ? a2 )2 ≥ 0 ,知 A2 ≥ G2 成立,等号成立条件为 a1 ? a2 ; 2 2

(1)当 n ? 2 时,由

(2)假设当 n ? k 时,有 Ak ≥ Gk 成立且等号成立条件为 a1 ? a2 ? … ? an , 那么当 n ? k ? 1 时,有:

1 1 ?(k ? 1) Ak ?1 ? (k ? 1) Ak ?1 ? ? ?(a1 ? a2 ? … ? ak ?1 ) ? (k ? 1) Ak ?1 ? 2k 2k a ? (k ? 1) Ak ?1 ? 1 ? 1? k ?1 ? k ?1 k k ? ? Ak ? k ?1 ? ≥ 2 ?Gk ? ak ?1 Ak ?1 ? ≥ Gk ak ?1 Ak ?1 2? k ? Ak ?1 ?
?1 ?1 k ?1 2k ? 2k a1a2…ak ?1 Akk? Gkk? 1 ? 1A k ?1

?1 从 而 , Ak ?1 ≥ Gk ?1 , 等 号 成 立 条 件 为 : a1 ? a2 ? … ? an , ak ?1 ? Ak ?1 , Gk ? k ak ?1 Akk? 1 即

a1 ? a2 ? … ? ak ? ak ?1 ,从而结论对 n ? k ? 1 时也成立;

综合(1) (2)可知,命题对于一切正整数都成立. 推论 1 设 a1 , a 2 , … , a n 都 是 正 实 数 , 则 ( 1 ) a1 ? a2 ? … ? an ≥ n n a1a2…an ; (2)

n n a1n ? a2 ? … ? an ≥ na1a2 …an ,等号成立当且仅当 a1 ? a2 ? … ? an .

推论 2 设 a1 , a 2 ,…, a n 都是正实数, p1,p2,…,pn 为正常数,则
? ? n ?? n pk xk ≥ ? ? pk ? ? ? xkp ? ? k ?1 ? k ?1 ?? k ?1 ?
n 1/

? pk
k ?1

n

,等事情成立当且仅当 a1 ? a2 ? … ? an . (加权 AM ? GM 不等式)

定理 2 设 a1 , a 2 ,…, a n ; b1 , b2 ,…, bn 是两组实数,则有:
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? … ? an )(b12 ? b2 ? … ? bn ) ≥ (a1b1 ? a2b2 ? … ? anbn )2



















a a1 a2 ? ?…? n . (Cauchy 不等式) b1 b2 bn

? n ?? n ? ? n ? 证明:根据拉格朗日(Lagrange)恒等式 ? ? ai2 ?? ? bi2 ? ? ? ? ai bi ? ? ? (ai b j ? a j bi )2 易知原不等式 ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ? 1≤i ? j≤n

2

成立,等号成立当且仅当 ai b j ? a j bi ? 0 ,即

a ai a j a a ,也即 1 ? 2 ? … ? n . ? b b bn bi b j 1 2

推论 1 设 a1 , a 2 ,…, a n ; b1 , b2 ,…, bn 是两组实数,则有:

(a1 ? a2 ? … ? an )(b1 ? b2 ? …? bn ) ≥ ( a1b1 ? a2b2 ? …? anbn )2 ,等号成立当且仅当
?1 1 1 设 a1 , a 2 ,…, a n 为实数,则 (a1 ? a2 ? … ? an ) ? ? ? … ? an ? a1 a2

a a1 a2 ? ?…? n . b1 b2 bn

推论 2

? 2 ? ≥ n ,等号成立当且仅当 ?

a1 ? a2 ? … ? an .

推论 3

2 2 设 a1 , a 2 ,…, a n 为实数,则 n(a12 ? a2 ? … ? an ) ≥ (a1 ? a2 ? … ? an )2 ,等事情成立当且仅当

a1 ? a2 ? … ? an .

此外,如果 a1 , a 2 ,…, a n 为正实数,有以下几种常见变形形式.

变形 1

? ai bi ?
i ?1 i ?1 n n

n

n

ai ? n ? ≥ ? ai ? ; bi ? ? i ?1 ?
2

2

变形 2

a2 ? n ? bi ? i ≥ ? ? ai ? . ? i ?1 i ?1 bi ? i ?1 ?

在不等式的证明中,通常会涉及到常数的变换,裂项,变量引入等方法,具有很强的灵活性,熟练掌

握基本不等式的证明是学好不等式的关键,多练习、总结与反思才能灵活变通,活学巧用. 【例 1】设 a,b,c 为正实数,利用均值不等式证明以下不等式: (1) a 2 ? b2 ? c2 ≥ ab ? bc ? ca ; (2) 3(a2 ? b2 ? c2 ) ≥ (a ? b ? c)2 ≥ 3(ab ? bc ? ca) ; (3)

a 2 ? b2 ? c 2 a?b?c 3 3 . (调和不等式) ≥ ≥ abc ≥ 1 1 1 3 3 ? ? a b c

?a 2 ? b2 ≥ 2ab ? (1) ?b2 ? c 2 ≥ 2bc ? 2 2 ?c ? a ≥ 2ca
(2)由(1)可得. 1 1 1 (3) ? ? 3 abc . 1 1 1 3 1 ? ? 33 a b c abc 【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明以下不等式:

1 1 1 ? ? ≥9: a b c ? 1 ?? 1 ?? 1 ? (2) ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ≥ 8 ; ? a ?? b ?? c ? (3) (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ≥ 8(1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ;
(1)
? bc a ? ? ac b ? ? ab c ? (4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥ 10 . ? a bc ? ? b ac ? ? c ab ? ?1 1 1? (1) ? ? ? ? ? a ? b ? c ? ≥ 9 ?a b c?

(2) ?
左≥

b?c c?a a?b ? ? ≥8 a b c

2 bc 2 ca 2 ab ? ? ?8. a b c

(3)左

? ? (a ? b) ? (a ? c) ??(b ? c) ? (b ? a) ??(c ? a)(c ? b) ? ≥ 2 (a ? b)(a ? c) ? 2 (b ? c)(b ? a) ? 2 ( c ? a)(c ? b)

? 8(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 右 .

(4)

bc ac bc ca ab ? ≥ 2c. ? ? ? ≥ a ? b ? c ? 1 a b a b c

a b 2 a b c 1 1 1 ? ≥ ? ? ? ≥ ? ? ≥ 原稿缺 bc ac c bc ca ab a b c
【例 3】设 x,y,z 为正实数,且 xyz ? 1 ,求证: x2 ? y2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx ≥ 2 x ? 2 y ? 2 z .
1? ? 左 ? ? ? x2 ? ? x? ?

≥2 x ? 2 y ? 2 z .

【例 4】设 a1,a2,…,an 为正实数,记 S ? a1 ? a2 ? … ? an ,证明:
an a1 a2 n ? ?…? ≥ . S ? a1 S ? a2 S ? an n ?1

左≥

(a1 ? a2 ? … ? an )2

? a (S ? a )
i ?1 i i

n

?

S2 S 2 ? ? ai2
i ?1 n



S2 S2 ? S n
2

?

n . n ?1

【例 5】非负实数 a1,a2,…,an 满足 a1 ? a2 ? … ? an ? 1 ,证明:
an a1 a2 n ? ?…? ≥ . 1 ? a2 ? a3 ? … ? an 1 ? a1 ? a3 ? … ? an 1 ? a1 ? a2 ? … ? an ?1 2n ? 1

左?

an a1 ?…? 2 ? a1 2 ? an



(a1 ? … ? an )2 a1 (2 ? a1 ) ? … ? an (2 ? an )

?

1 1 n ≥ ? . 2 1 2 ? (a ? … ? an ) 2 ? 2n ? 1 n
2 1

【例 6】设 x,y,z,w 为正实数,证明: x y z w 2 ? ? ? ≥ . y ? 2 z ? 3w z ? 2w ? 3x w ? 2 x ? 3 y x ? 2 y ? 3z 3 左≥
( x ? y ? z ? w)2 ( x ? y ? z ? w)2 ? ??( y ? 2 z ? 3w) 4( xy ? yz ? zw ? wx ? xz ? yw)

3( x ? y ? z ? w)2 ? 8( xy ? yz ? zw ? wx ? xz ? yw) ? ( x ? y)2 ? ( y ? z)2 ? ( z ? w)2 ? (w ? x)2 ? ( x ? z)2 ? ( y ? w)2 ≥ 0 .

【例 7】设 a,b,c 为正实数,且 ab ? bc ? ca ? 1 ,证明:
?1 1 1? ? ? ? ? ? ? ab ? bc ? ca ? ≥ 3(a ? b ? c) ?a b c?

1 1 1 ? ? ≥ 3(a ? b ? c) . a b c

?

bc ca ab ? ? ≥a ? b ? c. a b c

? bc ca ? a ? b ≥ 2c ? ? ca ab ? ? ≥ 2a c ?b ? ab bc ? c ? a ≥ 2b. ?

【例 8】设 x,y,z 为正实数且 xyz ? 1 ,证明:
x3 y3 z3 3 ? ? ≥ . (1 ? y )(1 ? z ) (1 ? z )(1 ? x) (1 ? x)(1 ? y ) 4

x3 1 ? y 1 ? z 3x ? ? ≥ . (1 ? y )(1 ? z ) 8 8 4

? (1 ? y)(1 ? z) ≥ 4 ( x ? y ? z) ? 4 (1 ? x ? 1 ? y ? 1 ? z)

1 3 ? ( x ? y ? z) ? 2 4 3 ≥ . 4

x3

3

1

【例 9】设 a,b,c 是正实数,证明: a3 b3 c3 1 ? ? ≤ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2a ? b )(2a ? c ) (2b ? c )(2b ? a ) (2c ? a )(2c ? b ) a ? b ? c
(2a2 ? b2 )(2a2 ? c2 ) ? (a2 ? b2 ? b2 )(a2 ? c2 ? a2 ) ≥ (a2 ? ab ? ac)2 ? a2 (a ? b ? c)2 .
?左 ≤ ? a 1 ? (a ? b ? c)2 a ? b ? c

【例 10】设 x1,x2,…,xn 都是正实数且 ? xi ? 1 ,证明: ?
i ?1

n

n

xi 1 ? xi

?

?
i ?1

n

xi

i ?1

n ?1



n ? 1 左 ? ?? ? 1 ? xi ? i ?1 ? 1 ? xi

? ? ? ?



n2

?
i ?1

n

1 ? xi
n2

? ? 1 ? xi
i ?1

n

?

n(n ? 1)

? n(n ? 1)

?

n n(n ? 1)

?

n n ?1



?x
i ?1

n

i

n ?1



?
i ?1 n i ?1

n

1 ? xi ≤ n(n ? 1)
i

?x ≤

n.

课后练习 【演练 1】设 a,b,c 为正实数,证明:

a 2 b2 c 2 ? ? ≥ a ? b ? c; b c a 1 1 1 1 1 1 (2) . ? ? ≥ ? ? 2a 2b 2c a ? b b ? c c ? a
(1)

? a2 ? ? b ? ≥ 2a ?b ? b2 (1) ? ? c ≥ 2b ?c ? c2 ? ? a ≥ 2c. ?a

1 1 ?1 ? 4a ? 4b ≥ a ? b ? 1 1 ?1 (2) ? ? ≥ ? 4b 4c b ? c ?1 1 1 ? 4c ? 4a ≥ c ? a . ?

1 1 1 2 2 2 ? ? ≥ ? ? . 1? a 1? b 1? c 1? a 1? b 1? c 1 1 1 1? 1 1 ? 1 4 2 ? ? ?? ? ? ?? 左= . ?≥ ? ? b?c c?a a?b 2?b?c c ?a ? 2 (b ? c )(c ? a ) 1? c
【演练 2】设 a,b,c 为正实数且 a ? b ? c ? 1 ,证明: 【演练 3】设 x,y,z 为正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,证明:
xy yz ? ? z ? xy x ? yz zx 3 ≤ . y ? zx 2

左= ?

1? x y ? 3 xy ≤? ? ? ? ? . 2? z ? x z ? y ? 2 ( z ? x)( z ? y )

【演练 4】设正实数 a1,a2,…,an 满足 a1 ? a2 ? …+an ? 1 ,求证:

? ? 1? ? 1? 1? (n2 ? 1)2 (1) ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? … ? ? an ? ? ≥ ; a1 ? ? a2 ? an ? n ? ?
? 1 ?? 1? ? 1 ? ? n2 ? 1 ? (2) ? a1 ? ?? a2 ? ?…? an ? ? ≥ ? ? . a1 ?? a2 ? ? an ? ? n ? ?
? ? ? ? 1 1 (2)左= ? a1 ? 2 ? n2 ?……? an ? 2 ? n2 ? n a1 n an ? ? ? ?
? ? 1 ? 2? ≥ (n 2 ? 1) ? ? a1 ? ? n 2 a ? n ? ? 1 ? ? ? ?
1 n2 ?1

2

2

2

n

? ? 1 ?n ? n2 ?1 2 ……? n ? 1? ? an ? 2 ? ? ? ? n an ? ? ? ?
2

1

? ? n 1 ? ? ? n2 ? 1? ? ? 2 n3 n2 ?1 ? ? ? n ? ? a1 ? an ? ? ? ?
? n2 ? 1 ? ?? ? . ? n ?
n

1 n2 ?1

? ? n3 ?1 ? n? 1 ≥ ? n2 ? 1? ? ? ? n2 n3 ? 1 ? 3 ? ? nn ? n ? ?

1

2 n 2 ?? ? ? n2 ? 1 ?2n ? n ? n2 ? 1? ? 1? 1? ? ? ? ? ? (1)左 ? n ? a1 ? ? ……? an ? ? .(由(1) ) ≥n ?? ?? n ? ? ?? a1 ? an ? ? n ? ? ? ? ? ? 1 ? x2 1 ? y2 1 ? z2 ? ? ≥2. 【演练 5】设 x,y,z 为大于 ?1 的实数,证明: 2 2 1? y ? z 1 ? z ? x 1 ? x ? y2 2

1

1

左≥ ?

1 ? x2 2a ( a ? b ? c) 2 2(a ? b ? c)2 ? ≥ 2 ? ? ≥2 ? 2c ? b 1 ? y2 a(2c ? b) 3(ab ? bc ? ca) 2 ? 1? z ? 2 专题三 均值不等式与柯西不等式的联用

概述 在实际的不等式证明中,利用一次不等式放缩往往并不能直接证明结论,而是常常需要联合多种方法 来进行证明.同时,由于均值不等式与柯西不等式的重要地位,其运用也非常灵活,在恰当的时机利 用平均值不等式与柯西不等式往往能够在证明不等式的过程中收到奇效. 利用平均值不等式与柯西不等式进行不等式的证明过程中,通常会结合分析法,综合法,换元法来进 行证明,同时,对于其次不等式的齐次化与归一化也通常是化简和证明不等式的有效手段. a2 b2 c2 3 ? ? ≥ . 【例 1】设 a,b,c 为正实数,证明: (a ? b)(a ? c) (b ? a)(b ? c) (c ? a)(c ? b) 4 左≥
(a ? b ? c) 2 (a ? b ? c) 2 ? 2 ? (a ? b)(a ? c) (a ? b2 ? c2 ) ? 3(ab ? bc ? ca)

4(a ? b ? c)2 ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9(ab ? bc ? ca)

1 1 1 ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ≥ 0. 2 2 2
【例 2】已知 x,y,z 为正实数,且满足 x4 ? y 4 ? z 4 ? 1 ,证明: 左≥
( x 4 ? y 4 ? z 4 )2 1 ? . 5 8 5 x (1 ? x ) ( x ? ? ? x13 )
x3 y3 z3 9 ? ? ≥ 43. 8 8 8 1? x 1? y 1? z 8

x13 ?

x4 ? …… ? ≥ x? 9 4 9 3 9 3 ??? ? ???? ?
8个

x4

∴ x13 ? y13 ? z13 ?

8 9 3
4

≥ x5 ? y 5 ? z 5

【例 3】设 a, b, c, d 是正实数,且满足 a ? b ? c ? d ? 1 ,证明:

1 6(a3 ? b3 ? c3 ? d 3 ) ≥ a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? . 8
(a3 ? b3 ? c3 ? d 3 ) ? (a ? b ? c ? d ) ≥ (a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )2 .

原式

1 左 ≥ 6(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )2 ≥ a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? . 8

【例 4】设 a,b,c,? ? 0 ,且 a n ?1 ? bn ?1 ? cn ?1 ? 1 ( n ≥ 2 ) ,证明: 左≥
?

an bn cn 1 . ? ? ≥ b ? ?c c ? ?a a ? ?b 1 ? ?

(a n ?1 ? b n ?1 ? c n ?1 )2 a n ? 2 (b ? ? c) ? b n ? 2 (c ? ? a ) ? c n ? 2 (a ? ?b)
b?b
n?2

(a

n?2

c?c

n?2

1 a ) ? ? (a n ? 2 c ? b n ? 2 a ? c n ? 2 b )



1 a n ?1 ? b n ?1 ? c n ?1 ? ? (a n ?1 ? b n ?1 ? c n ?1 )

?

1 . 1? ?

【例 5】设 a,b,c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明:

a b c ? ? ≥ 3(a2 ? b2 ? c? ) b c a

? a 2 b2 c 2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c) ≥ 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) c a? ? b 3 3 3 a b c ab2 bc2 ca 2 ? ? ? ? ? ? ≥ 2(a 2 ? b2 ? c2 ) b c a c a b
? a3 ab 2 a 2 c ? ≥ 3a 2, ? ? c b ?b ? a 3 b3 c 3 ? ? ab 2 bc 2 ca 2 ? ? b3 bc 2 ab 2 2 2 2 由? ? ? ≥ 3b 2 . ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ≥ 3(a ? b ? c ) c a c b c a c a b ? ? ? ? ? ? c3 a 2 c bc 2 2 ? ≥ 3c ? ? b a ?a

a3 b3 c3 ) ? ? ≥ a2 ? b2 ? c2 (排■可证. b c a 【例 6】设 a,b,c 是正实数,证明:
结合
a4 ? b4 ? c4 ? a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ≥ a3b ? b3c ? c3a ? ab3 ? bc3 ? ca3 .

?a 4 ? a 2b2 ≥ 2a3b ? 4 2 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ?b ? b c ≥ 2b c ? (a ? b ? c ) ? ? a b ? b c ? c a ? ≥ 2(a b ? b c ? c a) ? 4 2 2 3 ?c ? c a ≥ 2c a
同理…… ≥ 2(ab3 ? bc3 ? ca3 )
?(a4 ? b4 ? c4 ) ? (a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ) ? (a3b ? b3c ? c3a) ? (ab3 ? bc3 ? ca3 ) ①
4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 ? ?(a ? b ? c )(a b ? b c ? c a ) ≥ (a b ? b c ? c a) ? ? 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 ? ?(a ? b ? c )(c a ? a b ? b c ) ≥ (ab ? bc ? ca )

(a4 ? b4 ? c4 )(a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ) ≥ (a3b ? b3c