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数学联赛国家集训队不等式证明



奥林匹克数学集训队高中数学联赛专题
专题一 不等式证明 不等式及其基本证明方法

概述 不等式在数学中占有重要地位,数学奥林匹克中不等式的题目甚多,几乎每届 IMO 与 CMO 都有一道 不等式的题目,在全国高中数学联赛中,不等式也是屡见不鲜.不等式的题目有各种难度,能够很好 地区分出学生的水平与创造力,在现在的竞赛中,不等式几乎已经可以和平面几何分

庭抗礼了. 不等式的一些基本的性质: (1)设 a,b ? R ,那么 a ? b ? a ? b ? 0 ; a ? b ? a ? b ? 0 ; a ? b ? a ? b ? 0 .

a ? 1. b (3)传递性: a ? b,b ? c ? a ? c . (4) a ? b ? a ? c ? b ? c . (5) a ? c,b ? d ? a ? b ? c ? d;a ? c,b ? d ? a ? b ? c ? d . (6) a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b,c ? 0 ? ac ? bc . (7) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd .
(2)设 a,b ? 0 ,那么 a ? b ? (8) a ? b ? an ? bn (n ? N? ) . (9) a ? b,ab ? 0 ?

1 1 ? . a b

(10) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N?,n ? 1) . 由性质(1) (2) ,可以得到证明不等式的基本方法,即比较法,分为差值比较与商值比较,一般而言, 对于和式的比较,通常采用差值比较,主要涉及到代数式的恒等变形,如配方、因式分解、拆项与合 并等,这就要求我们对代数式的变形的技巧熟练掌握,而对于含有指数的连乘积形式的代数式,通常 采用商值比较. 1? 3? 1? 3? 【例 1】已知 a ? 0,b ? ? a ? ?,c ? ? b ? ? ,试比较 a,b,c 的大小. 2? a? 2? b? 当a ? 3时
a?b?c a?c?b

当0? a ? 3 时 当a ? 3时

c?b?a

【例 2】设 a,b,c ? R ,证明: a 2 ? b2 ? c2 ≥ ab ? bc ? ca . 1 1 1 a2 ? b2 ? c2 ? (ab ? bc ? ac) ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ≥ 0 2 2 2 【例 3】设 x,y,z ? R , A, B, C 为 △ ABC 的三个内角,请明三角形嵌入不等式:
x2 ? y 2 ? z 2 ≥ 2xy cos C ? 2 yz cos A ? 2zx cos B ,并求出取等条件. x2 ? y 2 ? z 2 ? (2xy cos C ? 2 yz cos A ? 2zx cos B) ? ( x ? y cos C ? z cos B)2 ? ( y sin C)2 ? ( z sin B)2 ? 2 yz cos B cos C ? 2 yz cos A

? ( x ? y cos C ? z cos B)2 ? ( y sin C)2 ? ( z sin B)2 ? 2 yz sin B sin C ? ( x ? y cos C ? z cos B)2 ? ( y sin C ? z sin B)2 ≥ 0

等事情成立 ? x ? y cos C ? z cos B
y sin C ? z sin B ? x y z ? ? sin A sin B sin C

【例 4】设实数 x,y,z 满足 xy ? yz ? zx ? 1 ? 0 ,求证: x2 ? 5 y 2 ? 8z 2 ≥ 4 .
x2 ? 5 y 2 ? 8z 2 ? 4 ? x2 ? 5 y 2 ? 8z 2 ? 4( xy ? yz ? zx) ? ( x ? 2 y ? 2 z)2 ? ( y ? 2 z)2 ≥ 0

【例 5】设 a,b,c 为正实数,证明: a 2a b2b c 2c ≥ ab ? c ba ?c c a ?b . 不妨设 a ≥ b ≥ c ? 0
a 2 a b 2b c 2 c ?a? ?? ? ab ? c ba ? c c a ? b ? b ?
a ?b

?b? ? ? ?c?

b ?c

?a? ? ? ?c?

a ?c

≥1

【例 6】设 a,b,x,y 为实数,证明: (a2 ? b2 )( x2 ? y 2 ) ≥ (ax ? by)2 .
(a2 ? b2 )( x2 ? y 2 ) ? (ax ? by)2 ? (a2 x2 ? b2 y 2 ? a2 y 2 ? b2 x2 ) ? (a 2 x 2 ? b2 y 2 ? 2abxy ) ? (ay ? bx)2 ≥ 0

【例 7】设 a,b,c 为正实数,证明:

a b c 3 a? b2 c2 a?b?c . ? ? ≥ ; (2) ? ? ≥ b?c a?c a ?b 2 b?c a ?c a ?b 2 a b c 3 (1) ? ? ? b?c a ?c a ?b 2
(1)
1? ? b 1? ? c 1? ? a ?? ? ??? ? ??? ? ? b ? c 2 a ? c 2 a ? b 2? ? ? ? ? ? 1?a?b a?c? 1?b?c b?a? 1?c?a c?b ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? b?c b?c ? 2? a ?c a ?c ? 2?a ?b a ?b? 1?a?b b?a? 1?a?c c?a ? 1?b?c c?b ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? b?c a ?c? 2?b?c a ?b? 2?a ?c a ?b? ? 1 ( a ? b) 2 1 (a ? c) 2 1 (b ? c) 2 ? ? ? ? ? ≥0 2 (a ? c)(b ? c) 2 (b ? c)(a ? b) 2 (a ? c)(a ? b)

(2)

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? b?c a?c a?b 2

1? 1? ? c 1? ? a ? b ? a? ? ? ? b? ? ? ? c? ? ? ?b?c 2? ?a ?c 2? ?a ?b 2? a? a ?b a ?c ? b? b ?c b ?a ? c ? c ?a c ?b ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? b?c b?c ? 2?a ?c a ?c ? 2?a ?b a ?b? ? a a ?b b b ?a ? ? a a ?c c c ?a ? ?b b ?c c c ?b ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? 2 b?c 2 2 ? ? 2 b?c 2 a?b? ?2 a?c 2 a?b? (a ? b ? c)(a ? b) 2 (a ? b ? c)(a ? c) 2 (a ? b ? c)(b ? c) 2 ? ? ? ≥0 2(b ? c)(c ? a) 2(b ? c)(b ? a ) 2(a ? c)(a ? b)

【例 8】已知 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? 1 ,证明:
(a ? b)4 ? (a ? c)4 ? (a ? d )4 ? (b ? c)4 ? (b ? d )5 ? (c ? d )4 ≤ 6 . (a ? b)4 ? (a ? c)4 ? (a ? d )4 ? (b ? c)4 ? (b ? d )4 ? (c ? d )4 ? 6 ? (a ? b)4 ? (a ? c)4 ? (a ? d )4 ? (b ? c)4 ? (b ? d )4 ? (c ? d )4 ? 6(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )2 ? (a4 ? 4a3b ? 6a2b2 ? 4ab3 ? b4 ) ? (a4 ? 4a3c ? 6a2c2 ? 4ac3 ? c4 ) ? (a4 ? 4a3d ? 6a2 d 2 ? 4ad 3 ? d 4 ) ?(b4 ? 4b3c ? 6b2c2 ? 4bc3 ? c4 ) ? (b4 ? 4b3d ? 6b2 d 2 ? 4bd 3 ? d 4 ) ? (c4 ? 4c3d ? 6c2 d 2 ? 4cd 3 ? d 4 ) ?6(a4 ? b4 ? c4 ? d 4 ? 2a2b2 ? 2b2c2 ? 2c2 d 2 ? 2a2c2 ? 2b2 d 2 ? 2a2 d 2 ) ? ?(a4 ? 4a3b ? 6a2b2 ? 4ab3 ? b4 ) ? (a4 ? 4a3c ? 6a 2c 2 ? 4ac3 ? c 4 ) ? (a 4 ? 4a3d ? 6a 2d 2 ? 4ad 3 ? d 4 ) ?(b4 ? 4b3c ? 6b2c2 ? 4bc3 ? c4 ) ? (b4 ? 4b3d ? 6b2 d 2 ? 4bd 3 ? d 4 ) ? (c4 ? 4c3d ? 6c2 d 2 ? 4cd 2 ? d 4 )
4 4 4 4 4 4 ? ?? ?(a ? b) ? (a ? c) ? (a ? d ) ? (b ? c) ? (b ? d ) ? (c ? d ) ? ? ≤0

【例 9】设 a,b,c 为正实数,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ,证明:

1 1 ? 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? 2? 2? ≥3 . 2 a b c abc

1 1 1 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? ? ? ?3 a 2 b2 c 2 abc 1 1 ? 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? 1 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?3 b c ? abc ?a
? a 2 b2 a 2 c 2 b2 c 2 ? 2(a3 ? b3 ? c3 ) ?? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?? a c a c b ? abc ?b ? c 2 c 2 2c 2 ? ? b2 b2 2b2 ? ? a 2 a 2 2a 2 ? ?? 2 ? 2 ? ? ??? ? ? ??? ? ? b ab ? ? a 2 c 2 ac ? ? b2 c 2 bc ? ?a ? c c? ?b b? ?a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥0 ?a b? ?a c? ?b c?
2 2 2

【例 10】设 a,b,c 为正实数,证明:

b ? c c ? a a ? b (a 2 ? b 2 ? c 2 )(ab ? bc ? ca ) ? ? ? ≥3 . a b c abc(a ? b ? c)

b ? c c ? a a ? b (a 2 ? b 2 ? c 2 )(ab ? bc ? ca ) ? ? ? ?3 a b c abc(a ? b ? c)
2 2 2 ?b c c a a b ? ? (a ? b ? c )(ab ? bc ? ca) ? ? ? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? 3? abc(a ? b ? c) ?a a b b c c ? ? ?
? ? ? ?b a ? ?b c ? ?c a ? (a ? b ? c )(ab ? bc ? ac) ? 3abc (a ? b ? c) ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2? ? abc(a ? b ? c) ?a b ? ?c b ? ?a c ? 2 3 3 3 3 3 3 ( a ? b) a c ? ac ? b c ? bc ? a b ? ab ? 2abc(a ? b ? c) ?? ? ab abc(a ? b ? c)

??
??

3 3 2 2 (a ? b)2 ? a(c ? b ? b c ? bc ) ? ab abc(a ? b ? c)

( a ? b) 2 a (b ? c)(b ? c) 2 ?? ab bc(a ? b ? c)

原稿未完 课后习题 【演练 1】设 a,b,c 为正实数, x,y,z 为实数,证明:
x2 ? y 2 ? z 2 ≥ 2 ? a?b abc b?c c?a ? xy ? yz ? zx ? ? ? ?. (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? c a b ?
2 2 2

? a b ? ? c b ? ? a c ? ?? ? c ? ax ? b ? c y? ? ?? ? b ? c y ? a ?bz? ? ?? ? a ? b z ? c ? a x? ? ≥0 ? ? ? ? ? ?
【演练 2】已知 a,b,c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: a2 ? b2 ? c2 ? 1≥ 4(ab ? bc ? ca) .
? a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ≥ 4(ab ? bc ? ca) ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ≥ 0 .

【演练 3】设 x,y 为实数,证明: 3( x ? y ? 1)2 ? 1≥ 3xy .
? 3x2 ? 6( y ? 1) x ? 3( y ? 1)2 ? 1 ? 3xy ≥ 0 ? 3x2 ? (3 y ? 6) x ? 3 y 2 ? 6 y ? 4 ≥ 0 ? ? (3 y ? 6)2 ? 12(3 y 2 ? 6 y ? 4) ? ?27 y 2 ? 36 y ? 12 ? ?3(3 y ? 2)2 ≤ 0 .

【演练 4】设 a,b,c 为实数,证明: (a? ? 1)(b2 ? 1)(c2 ? 1) ≥ (ab ? bc ? ca ? 1)2 .
? a 2b2 c 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ≥ ?2ab ? 2bc ? 2ca ? 2a 2bc ? 2ab2 ? 2abc 2

? a2b2c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2abc(a ? b ? c) ≥ 0 . ? (abc ? a ? b ? c)2 ≥ 0 .

【演练 5】已知三角形的三边长 a,b,c 及其面积 S ,证明: a2 ? b2 ? c2 ≥ 4 3S ,并指出等号成立的 条件.
? (a2 ? b2 ? c2 )2 ? 48S 2 ? 3(?a4 ? b4 ? c4 ? 2a2b2 ? 2b2c2 ? 2c2 a2 )
? 4a 4 ? 4b4 ? 4c4 ? 4a 2b2 ? 4b2 c 2 ? 4c 2 a 2 ≥ 0 .

? (a2 ? b2 )2 ? (b2 ? c2 )2 ? (c2 ? a2 )2 ≥ 0 .

专题二

两个基本不等式及其应用技巧

概述 均值不等式(又称算数几何平均值不等式, AM ? GM 不等式)与柯西不等式(Cauchy 不等式)在不 等式的证明中有着非常特殊的地位,具有重要的作用,这两个不等式的证明以及它们的运用,均涉及 到解决一般不等式问题的基本方法和技巧,熟练掌握和灵活运用这两个不等式,对于提高我们解决和 证明不等式问题的能力、运算能力、逻辑推理能力,都具有重要的作用, 要证明均值不等式需要用到数学归纳法, 先简单谈谈数学归纳法. 数学归纳法是数学上证明与自然数 n 相关的一类命题的方法,在高中数学中应用广泛,尤其是在数列问题.原则上,凡是和所有自然数相 关的命题,均可以尝试用数学归纳法证明.常用的数学归纳法包括第一数学归纳法和第二数学归纳 法.第一数学归纳法的证明过程如下:(1)首先验证 n 取初始值 n0 (一般为 0 或 1,也有特殊情况)时 命题成立;(2)假设 n ? k ( k ≥ n0 )时结论或立,在此基础上,证明 n ? k ? 1 时命题也成立:综合(1)(2), 即可得到命题对一切自然数 n ( n ≥ n0 )都成立.第二数学归纳法的证明过程如下:(1)首先验证 n 取 初始值 n0 (一般为 0 或 1,也有特殊情况)时命题成立;(2)假设 n ≤ k ( k ≥ n0 )时结论成立.在此基 础上,证明 n ? k ? 1 时命题也成立:综合(1)(2),即可得到命题对一切自然数 n ( n ≥ n0 )都成立. 定理 1 设 a1 , a 2 ,…, a n 都是正实数,则有 不等式)

a1 ? a2 ? … ? an ≥ n a1a2 …an ,等号成立,当且仅当 n

M G M ? a1 ? a2 ? … ? an . (A

证明:设 An ?

a1 ? a2 ? … ? an , Gn ? n a1a2…an ,原命题等价于证明 An ≥ Gn . n a1 ? a2 1 ? a1a2 ? ( a1 ? a2 )2 ≥ 0 ,知 A2 ≥ G2 成立,等号成立条件为 a1 ? a2 ; 2 2

(1)当 n ? 2 时,由

(2)假设当 n ? k 时,有 Ak ≥ Gk 成立且等号成立条件为 a1 ? a2 ? … ? an , 那么当 n ? k ? 1 时,有:

1 1 ?(k ? 1) Ak ?1 ? (k ? 1) Ak ?1 ? ? ?(a1 ? a2 ? … ? ak ?1 ) ? (k ? 1) Ak ?1 ? 2k 2k a ? (k ? 1) Ak ?1 ? 1 ? 1? k ?1 ? k ?1 k k ? ? Ak ? k ?1 ? ≥ 2 ?Gk ? ak ?1 Ak ?1 ? ≥ Gk ak ?1 Ak ?1 2? k ? Ak ?1 ?
?1 ?1 k ?1 2k ? 2k a1a2…ak ?1 Akk? Gkk? 1 ? 1A k ?1

?1 从 而 , Ak ?1 ≥ Gk ?1 , 等 号 成 立 条 件 为 : a1 ? a2 ? … ? an , ak ?1 ? Ak ?1 , Gk ? k ak ?1 Akk? 1 即

a1 ? a2 ? … ? ak ? ak ?1 ,从而结论对 n ? k ? 1 时也成立;

综合(1) (2)可知,命题对于一切正整数都成立. 推论 1 设 a1 , a 2 , … , a n 都 是 正 实 数 , 则 ( 1 ) a1 ? a2 ? … ? an ≥ n n a1a2…an ; (2)

n n a1n ? a2 ? … ? an ≥ na1a2 …an ,等号成立当且仅当 a1 ? a2 ? … ? an .

推论 2 设 a1 , a 2 ,…, a n 都是正实数, p1,p2,…,pn 为正常数,则
? ? n ?? n pk xk ≥ ? ? pk ? ? ? xkp ? ? k ?1 ? k ?1 ?? k ?1 ?
n 1/

? pk
k ?1

n

,等事情成立当且仅当 a1 ? a2 ? … ? an . (加权 AM ? GM 不等式)

定理 2 设 a1 , a 2 ,…, a n ; b1 , b2 ,…, bn 是两组实数,则有:
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? … ? an )(b12 ? b2 ? … ? bn ) ≥ (a1b1 ? a2b2 ? … ? anbn )2



















a a1 a2 ? ?…? n . (Cauchy 不等式) b1 b2 bn

? n ?? n ? ? n ? 证明:根据拉格朗日(Lagrange)恒等式 ? ? ai2 ?? ? bi2 ? ? ? ? ai bi ? ? ? (ai b j ? a j bi )2 易知原不等式 ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ? 1≤i ? j≤n

2

成立,等号成立当且仅当 ai b j ? a j bi ? 0 ,即

a ai a j a a ,也即 1 ? 2 ? … ? n . ? b b bn bi b j 1 2

推论 1 设 a1 , a 2 ,…, a n ; b1 , b2 ,…, bn 是两组实数,则有:

(a1 ? a2 ? … ? an )(b1 ? b2 ? …? bn ) ≥ ( a1b1 ? a2b2 ? …? anbn )2 ,等号成立当且仅当
?1 1 1 设 a1 , a 2 ,…, a n 为实数,则 (a1 ? a2 ? … ? an ) ? ? ? … ? an ? a1 a2

a a1 a2 ? ?…? n . b1 b2 bn

推论 2

? 2 ? ≥ n ,等号成立当且仅当 ?

a1 ? a2 ? … ? an .

推论 3

2 2 设 a1 , a 2 ,…, a n 为实数,则 n(a12 ? a2 ? … ? an ) ≥ (a1 ? a2 ? … ? an )2 ,等事情成立当且仅当

a1 ? a2 ? … ? an .

此外,如果 a1 , a 2 ,…, a n 为正实数,有以下几种常见变形形式.

变形 1

? ai bi ?
i ?1 i ?1 n n

n

n

ai ? n ? ≥ ? ai ? ; bi ? ? i ?1 ?
2

2

变形 2

a2 ? n ? bi ? i ≥ ? ? ai ? . ? i ?1 i ?1 bi ? i ?1 ?

在不等式的证明中,通常会涉及到常数的变换,裂项,变量引入等方法,具有很强的灵活性,熟练掌

握基本不等式的证明是学好不等式的关键,多练习、总结与反思才能灵活变通,活学巧用. 【例 1】设 a,b,c 为正实数,利用均值不等式证明以下不等式: (1) a 2 ? b2 ? c2 ≥ ab ? bc ? ca ; (2) 3(a2 ? b2 ? c2 ) ≥ (a ? b ? c)2 ≥ 3(ab ? bc ? ca) ; (3)

a 2 ? b2 ? c 2 a?b?c 3 3 . (调和不等式) ≥ ≥ abc ≥ 1 1 1 3 3 ? ? a b c

?a 2 ? b2 ≥ 2ab ? (1) ?b2 ? c 2 ≥ 2bc ? 2 2 ?c ? a ≥ 2ca
(2)由(1)可得. 1 1 1 (3) ? ? 3 abc . 1 1 1 3 1 ? ? 33 a b c abc 【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明以下不等式:

1 1 1 ? ? ≥9: a b c ? 1 ?? 1 ?? 1 ? (2) ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ≥ 8 ; ? a ?? b ?? c ? (3) (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ≥ 8(1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ;
(1)
? bc a ? ? ac b ? ? ab c ? (4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥ 10 . ? a bc ? ? b ac ? ? c ab ? ?1 1 1? (1) ? ? ? ? ? a ? b ? c ? ≥ 9 ?a b c?

(2) ?
左≥

b?c c?a a?b ? ? ≥8 a b c

2 bc 2 ca 2 ab ? ? ?8. a b c

(3)左

? ? (a ? b) ? (a ? c) ??(b ? c) ? (b ? a) ??(c ? a)(c ? b) ? ≥ 2 (a ? b)(a ? c) ? 2 (b ? c)(b ? a) ? 2 ( c ? a)(c ? b)

? 8(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 右 .

(4)

bc ac bc ca ab ? ≥ 2c. ? ? ? ≥ a ? b ? c ? 1 a b a b c

a b 2 a b c 1 1 1 ? ≥ ? ? ? ≥ ? ? ≥ 原稿缺 bc ac c bc ca ab a b c
【例 3】设 x,y,z 为正实数,且 xyz ? 1 ,求证: x2 ? y2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx ≥ 2 x ? 2 y ? 2 z .
1? ? 左 ? ? ? x2 ? ? x? ?

≥2 x ? 2 y ? 2 z .

【例 4】设 a1,a2,…,an 为正实数,记 S ? a1 ? a2 ? … ? an ,证明:
an a1 a2 n ? ?…? ≥ . S ? a1 S ? a2 S ? an n ?1

左≥

(a1 ? a2 ? … ? an )2

? a (S ? a )
i ?1 i i

n

?

S2 S 2 ? ? ai2
i ?1 n



S2 S2 ? S n
2

?

n . n ?1

【例 5】非负实数 a1,a2,…,an 满足 a1 ? a2 ? … ? an ? 1 ,证明:
an a1 a2 n ? ?…? ≥ . 1 ? a2 ? a3 ? … ? an 1 ? a1 ? a3 ? … ? an 1 ? a1 ? a2 ? … ? an ?1 2n ? 1

左?

an a1 ?…? 2 ? a1 2 ? an



(a1 ? … ? an )2 a1 (2 ? a1 ) ? … ? an (2 ? an )

?

1 1 n ≥ ? . 2 1 2 ? (a ? … ? an ) 2 ? 2n ? 1 n
2 1

【例 6】设 x,y,z,w 为正实数,证明: x y z w 2 ? ? ? ≥ . y ? 2 z ? 3w z ? 2w ? 3x w ? 2 x ? 3 y x ? 2 y ? 3z 3 左≥
( x ? y ? z ? w)2 ( x ? y ? z ? w)2 ? ??( y ? 2 z ? 3w) 4( xy ? yz ? zw ? wx ? xz ? yw)

3( x ? y ? z ? w)2 ? 8( xy ? yz ? zw ? wx ? xz ? yw) ? ( x ? y)2 ? ( y ? z)2 ? ( z ? w)2 ? (w ? x)2 ? ( x ? z)2 ? ( y ? w)2 ≥ 0 .

【例 7】设 a,b,c 为正实数,且 ab ? bc ? ca ? 1 ,证明:
?1 1 1? ? ? ? ? ? ? ab ? bc ? ca ? ≥ 3(a ? b ? c) ?a b c?

1 1 1 ? ? ≥ 3(a ? b ? c) . a b c

?

bc ca ab ? ? ≥a ? b ? c. a b c

? bc ca ? a ? b ≥ 2c ? ? ca ab ? ? ≥ 2a c ?b ? ab bc ? c ? a ≥ 2b. ?

【例 8】设 x,y,z 为正实数且 xyz ? 1 ,证明:
x3 y3 z3 3 ? ? ≥ . (1 ? y )(1 ? z ) (1 ? z )(1 ? x) (1 ? x)(1 ? y ) 4

x3 1 ? y 1 ? z 3x ? ? ≥ . (1 ? y )(1 ? z ) 8 8 4

? (1 ? y)(1 ? z) ≥ 4 ( x ? y ? z) ? 4 (1 ? x ? 1 ? y ? 1 ? z)

1 3 ? ( x ? y ? z) ? 2 4 3 ≥ . 4

x3

3

1

【例 9】设 a,b,c 是正实数,证明: a3 b3 c3 1 ? ? ≤ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2a ? b )(2a ? c ) (2b ? c )(2b ? a ) (2c ? a )(2c ? b ) a ? b ? c
(2a2 ? b2 )(2a2 ? c2 ) ? (a2 ? b2 ? b2 )(a2 ? c2 ? a2 ) ≥ (a2 ? ab ? ac)2 ? a2 (a ? b ? c)2 .
?左 ≤ ? a 1 ? (a ? b ? c)2 a ? b ? c

【例 10】设 x1,x2,…,xn 都是正实数且 ? xi ? 1 ,证明: ?
i ?1

n

n

xi 1 ? xi

?

?
i ?1

n

xi

i ?1

n ?1



n ? 1 左 ? ?? ? 1 ? xi ? i ?1 ? 1 ? xi

? ? ? ?



n2

?
i ?1

n

1 ? xi
n2

? ? 1 ? xi
i ?1

n

?

n(n ? 1)

? n(n ? 1)

?

n n(n ? 1)

?

n n ?1



?x
i ?1

n

i

n ?1



?
i ?1 n i ?1

n

1 ? xi ≤ n(n ? 1)
i

?x ≤

n.

课后练习 【演练 1】设 a,b,c 为正实数,证明:

a 2 b2 c 2 ? ? ≥ a ? b ? c; b c a 1 1 1 1 1 1 (2) . ? ? ≥ ? ? 2a 2b 2c a ? b b ? c c ? a
(1)

? a2 ? ? b ? ≥ 2a ?b ? b2 (1) ? ? c ≥ 2b ?c ? c2 ? ? a ≥ 2c. ?a

1 1 ?1 ? 4a ? 4b ≥ a ? b ? 1 1 ?1 (2) ? ? ≥ ? 4b 4c b ? c ?1 1 1 ? 4c ? 4a ≥ c ? a . ?

1 1 1 2 2 2 ? ? ≥ ? ? . 1? a 1? b 1? c 1? a 1? b 1? c 1 1 1 1? 1 1 ? 1 4 2 ? ? ?? ? ? ?? 左= . ?≥ ? ? b?c c?a a?b 2?b?c c ?a ? 2 (b ? c )(c ? a ) 1? c
【演练 2】设 a,b,c 为正实数且 a ? b ? c ? 1 ,证明: 【演练 3】设 x,y,z 为正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,证明:
xy yz ? ? z ? xy x ? yz zx 3 ≤ . y ? zx 2

左= ?

1? x y ? 3 xy ≤? ? ? ? ? . 2? z ? x z ? y ? 2 ( z ? x)( z ? y )

【演练 4】设正实数 a1,a2,…,an 满足 a1 ? a2 ? …+an ? 1 ,求证:

? ? 1? ? 1? 1? (n2 ? 1)2 (1) ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? … ? ? an ? ? ≥ ; a1 ? ? a2 ? an ? n ? ?
? 1 ?? 1? ? 1 ? ? n2 ? 1 ? (2) ? a1 ? ?? a2 ? ?…? an ? ? ≥ ? ? . a1 ?? a2 ? ? an ? ? n ? ?
? ? ? ? 1 1 (2)左= ? a1 ? 2 ? n2 ?……? an ? 2 ? n2 ? n a1 n an ? ? ? ?
? ? 1 ? 2? ≥ (n 2 ? 1) ? ? a1 ? ? n 2 a ? n ? ? 1 ? ? ? ?
1 n2 ?1

2

2

2

n

? ? 1 ?n ? n2 ?1 2 ……? n ? 1? ? an ? 2 ? ? ? ? n an ? ? ? ?
2

1

? ? n 1 ? ? ? n2 ? 1? ? ? 2 n3 n2 ?1 ? ? ? n ? ? a1 ? an ? ? ? ?
? n2 ? 1 ? ?? ? . ? n ?
n

1 n2 ?1

? ? n3 ?1 ? n? 1 ≥ ? n2 ? 1? ? ? ? n2 n3 ? 1 ? 3 ? ? nn ? n ? ?

1

2 n 2 ?? ? ? n2 ? 1 ?2n ? n ? n2 ? 1? ? 1? 1? ? ? ? ? ? (1)左 ? n ? a1 ? ? ……? an ? ? .(由(1) ) ≥n ?? ?? n ? ? ?? a1 ? an ? ? n ? ? ? ? ? ? 1 ? x2 1 ? y2 1 ? z2 ? ? ≥2. 【演练 5】设 x,y,z 为大于 ?1 的实数,证明: 2 2 1? y ? z 1 ? z ? x 1 ? x ? y2 2

1

1

左≥ ?

1 ? x2 2a ( a ? b ? c) 2 2(a ? b ? c)2 ? ≥ 2 ? ? ≥2 ? 2c ? b 1 ? y2 a(2c ? b) 3(ab ? bc ? ca) 2 ? 1? z ? 2 专题三 均值不等式与柯西不等式的联用

概述 在实际的不等式证明中,利用一次不等式放缩往往并不能直接证明结论,而是常常需要联合多种方法 来进行证明.同时,由于均值不等式与柯西不等式的重要地位,其运用也非常灵活,在恰当的时机利 用平均值不等式与柯西不等式往往能够在证明不等式的过程中收到奇效. 利用平均值不等式与柯西不等式进行不等式的证明过程中,通常会结合分析法,综合法,换元法来进 行证明,同时,对于其次不等式的齐次化与归一化也通常是化简和证明不等式的有效手段. a2 b2 c2 3 ? ? ≥ . 【例 1】设 a,b,c 为正实数,证明: (a ? b)(a ? c) (b ? a)(b ? c) (c ? a)(c ? b) 4 左≥
(a ? b ? c) 2 (a ? b ? c) 2 ? 2 ? (a ? b)(a ? c) (a ? b2 ? c2 ) ? 3(ab ? bc ? ca)

4(a ? b ? c)2 ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9(ab ? bc ? ca)

1 1 1 ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ≥ 0. 2 2 2
【例 2】已知 x,y,z 为正实数,且满足 x4 ? y 4 ? z 4 ? 1 ,证明: 左≥
( x 4 ? y 4 ? z 4 )2 1 ? . 5 8 5 x (1 ? x ) ( x ? ? ? x13 )
x3 y3 z3 9 ? ? ≥ 43. 8 8 8 1? x 1? y 1? z 8

x13 ?

x4 ? …… ? ≥ x? 9 4 9 3 9 3 ??? ? ???? ?
8个

x4

∴ x13 ? y13 ? z13 ?

8 9 3
4

≥ x5 ? y 5 ? z 5

【例 3】设 a, b, c, d 是正实数,且满足 a ? b ? c ? d ? 1 ,证明:

1 6(a3 ? b3 ? c3 ? d 3 ) ≥ a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? . 8
(a3 ? b3 ? c3 ? d 3 ) ? (a ? b ? c ? d ) ≥ (a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )2 .

原式

1 左 ≥ 6(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )2 ≥ a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? . 8

【例 4】设 a,b,c,? ? 0 ,且 a n ?1 ? bn ?1 ? cn ?1 ? 1 ( n ≥ 2 ) ,证明: 左≥
?

an bn cn 1 . ? ? ≥ b ? ?c c ? ?a a ? ?b 1 ? ?

(a n ?1 ? b n ?1 ? c n ?1 )2 a n ? 2 (b ? ? c) ? b n ? 2 (c ? ? a ) ? c n ? 2 (a ? ?b)
b?b
n?2

(a

n?2

c?c

n?2

1 a ) ? ? (a n ? 2 c ? b n ? 2 a ? c n ? 2 b )



1 a n ?1 ? b n ?1 ? c n ?1 ? ? (a n ?1 ? b n ?1 ? c n ?1 )

?

1 . 1? ?

【例 5】设 a,b,c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明:

a b c ? ? ≥ 3(a2 ? b2 ? c? ) b c a

? a 2 b2 c 2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c) ≥ 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) c a? ? b 3 3 3 a b c ab2 bc2 ca 2 ? ? ? ? ? ? ≥ 2(a 2 ? b2 ? c2 ) b c a c a b
? a3 ab 2 a 2 c ? ≥ 3a 2, ? ? c b ?b ? a 3 b3 c 3 ? ? ab 2 bc 2 ca 2 ? ? b3 bc 2 ab 2 2 2 2 由? ? ? ≥ 3b 2 . ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ≥ 3(a ? b ? c ) c a c b c a c a b ? ? ? ? ? ? c3 a 2 c bc 2 2 ? ≥ 3c ? ? b a ?a

a3 b3 c3 ) ? ? ≥ a2 ? b2 ? c2 (排■可证. b c a 【例 6】设 a,b,c 是正实数,证明:
结合
a4 ? b4 ? c4 ? a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ≥ a3b ? b3c ? c3a ? ab3 ? bc3 ? ca3 .

?a 4 ? a 2b2 ≥ 2a3b ? 4 2 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ?b ? b c ≥ 2b c ? (a ? b ? c ) ? ? a b ? b c ? c a ? ≥ 2(a b ? b c ? c a) ? 4 2 2 3 ?c ? c a ≥ 2c a
同理…… ≥ 2(ab3 ? bc3 ? ca3 )
?(a4 ? b4 ? c4 ) ? (a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ) ? (a3b ? b3c ? c3a) ? (ab3 ? bc3 ? ca3 ) ①
4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 ? ?(a ? b ? c )(a b ? b c ? c a ) ≥ (a b ? b c ? c a) ? ? 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 ? ?(a ? b ? c )(c a ? a b ? b c ) ≥ (ab ? bc ? ca )

(a4 ? b4 ? c4 )(a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ) ≥ (a3b ? b3c ? c3a)(ab3 ? bc3 ? ca3 ) ②

由①、②,将原式两边平方既得. 【例 7】已知 a,b,c 是非负实数,证明: (a ? b)3 ? 4c3 ≥ 4( a3b3 ? b3c3 ? c3a3 ) . 利用 2a2b ? 2ab2 ≥ 4 a3b3 .
(a ? b)3 ? 4c3 ? a3 ? b3 ? 3a2b ? 3ab2 ? 4c3 ≥ a3 ? b3 ? a2b ? ab2 ? 4c3 ? 4 a3b3

? (a2 ? b2 )(a ? b) ? 4c3 ? 4 a3b3

≥ 4 (a2 ? b2 )(a ? b)c3 ? 4 a3b3
? 4 ( a 3 ? b3 ) 2 c 3 ? 4 a 3b 3

? 4( a3b3 ? b3c3 ? c3a3 )
【例 8】设 a,b,c 是正实数,且 a ? b ? c ? 3 ,证明: 法一:左 ≥ ?
≥ 4? 1 2 ? ab
a 2 ? 3b 2 b 2 3c 2 c 2 ? 3a 2 ? 2 ? 2 ≥4. 2 ab (4 ? ab) bc (4 ? bc) ca (4 ? ca )

2ab ? 2b2 2(a ? b) 4 ab 1 ?? ≥? ? 4? ab2 (4 ? ab) ab(4 ? ab) ab(4 ? ab) ab (2 ? ab )(2 ? ab )2 ?4 9 ≥ 4.
2

? (a ?

ab )

?1 1 1? ? ? ? ? a a t2 a b c? ?? 2 ≥? ? 法二: ? 2 . 4 ? ab ab (4 ? ab) ab (4 ? ab) 4t ? 3 ? a
2

(其中 t ?

1 1 1 . ? ? ) a b c
2

?1 1 1? ? ? ? ? b2 1 t2 a b c ? ab2 (4 ? ab) ? ? a(4 ? ab) ≥ ? 4 ? ab? ? 4t ? 3 . ? a

?左≥

4t 2 . ≥ 4.(?t ≥ 3) 4t ? 3

【例 9】设 x,y,z 为正实数,且满足 x ? y ? z ? 1 ,证明:
x2 ? yz 2 x2 ( y ? z ) ? y 2 ? zx 2 y 2 ( x ? z) ? z 2 ? xy 2 z 2 ( y ? x) ≥1 .

?

x2 2x ( y ? z)
2

?

( x ? y ? z )2

?

2( y ? z )

?

1

?
2

2( y ? z )

?


? yz zx xy ? ? ? ? ? ? x y z ? yz ? ? ≥ 2 2( y ? z ) 2x ( y ? z) ?
yz xy zx ?a, ?c. ?b , x z y

左≥

1 ? (a ? b ? c) 2

?

2a(b ? c)



2(a ? b ? c) ? 1. 2a ? b ? c ? 2

【例 10】已知实数 a,b,c,x,y,z 满足: (a ? b ? c)( x ? y ? z ) ? 3 , (a2 ? b2 ? c2 )( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? 4 ,证 明: ax ? by ? cz ≥ 0 . 令
a 2 ? b2 ? c2 ? k4 . x2 ? y 2 ? c2

a b c 令 a1 ? ,b1 ? ,c1 ? . k k k
x1 ? kx,y1 ? ky,z1 ? kz .

则 a12 ? b12 ? c12 ? x12 ? y12 ? z12 ? 2 .
(a1 ? b1 ? c1 )( x1 ? y1 ? z1 ) ? 3 .
ax ? by ? cz ? a1 x1 ? b1 y1 ? c1 z1 ? ( x1 ? a1 ) 2 ? ( y1 ? b1 ) 2 ? ( z1 ? c1 ) 2 ? 4 2

1 4 ( x1 ? y1 ? z1 ? a1 ? b1 ? c1 )2 ? 4 ( x1 ? y1 ? z1 )(a1 ? b1 ? c1 ) ? 4 3 3 ? ≥ ?0 2 2

课后练习 【演练 1】已知 a1,a2,…,an 为正实数,证明:
2 2 2 an an a a a12 a2 a a ?1 ? ? … ? ? ≥ 1 ? 2 ? … ? n ?1 ? n . 2 2 2 2 a2 a3 an a1 a2 a3 an a1

a12 2a ? 1≥ 1 2 a2 a2

累加得

2 ?a an a ? a12 ? … ? ? n ≥ 2? 1 ? …? n ? . 2 2 a2 a1 a1 ? ? a2



2 an a12 ? … ? ≥n 2 a2 a12

相加得证.

?a b c? ? 1 1 1? 【演练 2】已知 a,b,c 是正实数,证明: ? ? ? ? ≥ (a ? b ? c) ? ? ? ? . ?b c a? ?a b c?

2

?

a 2 b2 c 2 a b c c a b ? ? ? ? ? ≥3 ? ? ? . b2 c 2 a 2 c a b a b c

a 2 b2 c 2 a b c ? 2 ? 2≥ ? ? . 2 b c a b c a a b c 结合 ? ? ≥ 3 .可证. c a b
由(1)得 【演练 3】设 a,b,c 为正实数,证明:
? a (b ? c) 6 ≤ 2 2 a (b ? c) 5

(b ? c ? a)2 ( a ? c ? b) 2 (b ? a ? c)2 3 ? 2 ? 2 ≥ . 2 2 2 a ? (b ? c) b ? (a ? c) c ? (b ? a )2 5

左≤ ?

a(b ? c) a(b ? c) 4a a?b?c ≤? ?? ? 12 ? 12? . 2 3 ( b ? c ) 3 4 a ? 3 b ? 3 c 4 a ? 3 b ? 3 c 2 2 2 a(b ? c) ? (b ? c) a ? ? (b ? c) 4 4 4
9(a ? b ? c) 6 ? . (4 a ? 3 b ? 3 c ) 5 ?

≤ 12 ? 12

【演练 4】设 a,b,c 为正实数, ab ? bc ? ac ? 3 ,证明:

a ? b2 c 2 b ? a 2 c 2 c ? a 2b 2 ? ? ≥3. b?c a?c a?b

?b?c≥

a

(a ? b ? c) 2 (a ? b ? c ) 2 (a ? b ? c ) 2 ? ? 6 ? a(b ? c) 2(ab ? bc ? ca)

b2 c 2 (bc ? ca ? ab)2 9 ≥ ? . ?b ?c ( b ? c ) 2( a ? b ? c) ?
(a ? b ? c) 2 9 3 ? ≥ 2 (a ? b ? c) ≥ 3. 6 2(a ? b ? c) 4 (a ? b ? c ≥ 3)
2

n n ? 1? ?S n? 【演练 5】已知 a1,a2,…,an 为正实数, S ? ? ak ,证明: ? ? ai ? ? ≥ n ? ? ? . a k ?1 ?n S? i ?1 ? i ?

2

n ? ? 1? n2 ? S ? ?S ? ? ? ? ? 2 S ? i ?1 ai ? ?S n? ≥? ? n? ? ? 左≥ ? n n ?n s?

2

2

专题四 排序不等式与琴生不等式及其应用 概述 对于许多不等式,如果将所涉及到的数按照大小顺序排列(尤其是针对齐次轮换对称式) ,讨论起来就 比较简单,这就需要用到如下的排序不等式:
…,jn 是 1,2,…, n 的任意两个排列,则有 定理 1 设 a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an , b1 ≤ b2 ≤ …≤ bn , j1,j2,

如下两个不等式成立:

a1bj1 ? a2bj2 ? … ? anbjn ≤ a1b1 ? a2b2 ? … ? anbn (乱序和 ≤ 顺序和) a1bj1 ? a2bj2 ? … ? anbjn ≥ a1bn ? a2bn?1 ? … ? anb1 (乱序和 ≥ 逆序和)
可以简单记为逆序和 ≤ 乱序和 ≤ 顺序和. (排序不等式) 证 明 : 令 乱 序 和 A ? a1bj1 ? a2bj2 ? … ? anbjn , 如 果 jn ? n , 假 设 此 时 bn 所 在 的 项 为 a jm , 则 由

(am ? a m ≥ ) 0? an bn? a b ≥ j ) (bn ? b nj m j n j

an nb? j

m

jn ? n 时,调换 A 中 bn 与 bjn 的位置,其 a,也就是说 j bn

余都不动,则可以得到 an bn 项,并使 A 变为 A1 ,则 A1 ≥ A ,用同样的方法,可以再得到 an ?1bn ?1 项,并 使 A1 变为 A2 ,使得 A2 ≥ A1 .继续这个过程,至多经过 n ? 1 次调换,得到 a1b1 ? a2b2 ? … ? anbn ,并且
a1b1 ? a2b2 ? … ? anbn ≥ A ,即顺序和 ≥ 乱序和;类似的,可以证明 A ≥ a1bn ? a2bn ?1 ? … ? anb1 ,即乱序

和 ≥ 逆序和.两个等号同时成立当且仅当 a1 ? a2 ? …=an 或者 b1 ? b2 ? …=bn . 定理 2 切比雪夫(Chebyshev)不等式:设 a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an , b1 ≤ b2 ≤ …≤ bn ,则有:
n? ak bn ?1? k ≤ ? ak ? bk ≤ n? ak bk .这是排序不等式的直接推论.
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 n n n n

琴生(Jensen)不等式是利用函数的凹凸性质来证明不等式,在解决一类形式相同、参数相互分离的不 等式往往有奇效.

定 义 对 于 定 义 在 区 间 ( a,b ) 上 的 函 数 f ? x ? , 对 于 任 意 的 两 个 实 数 x1 , x2 ? (a,b), 有
f ? x1 ? ? ? x2 ? 2 ? x ? x2 ? ≥f? 1 则称 f ? x ? 是区间 ( a,b ) 上的下凸函数: 若对于任意实数 x1 ,x2 ? , (a,b) ?, ? 2 ?
? x ? x2 ? f? 1 则称 f ? x ? 是区间( a,b )上的上凸函数. 如果 f ?? ? x ? ≥ 0 在区间 (a,b) 上 ?, ? 2 ?



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 2

恒成立,则 f ( x) 为下凸函数:如果 f ?? ? x ? ≤ 0 在区间 (a,b) 上恒成立,则 f ( x) 为上凸函数. 定理 3
?,xn ? (a,b) , 有 若 f ( x) 是 在 区 间 (a,b) 上 的 下 凸 函 数 , 则 对 于 任 意 的 实 数 x1,x2,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( xn ) ? x ? x2 ? … ? xn ? ≥f? 1 ? : 若 f ? x ? 时 定 义 在 区 间 (a,b) 上 的 上 凸 函 数 , 有 n n ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( xn ) ? x ? x2 ? … ? xn ? ≤f? 1 ? ,等号成立当且仅当 x1 ? x2 ? … ? xn . n n ? ?

证明:我们利用数学归纳法证明结论对下凸函数成立(上凸函数可以类似证明) . 当 n ? 1,2 时,根据下凸函数的定义结论显然成立: f ( x1 ) ? f (x2 ) ? … ? f (xk ) ? x ? x 2 ? … ? xk ? ≥f? 1 假设当 n ? k 时,结论成立,即 ? ,则当 n ? k ? 1 时,令 k k ? ? x ? x2 ? … ? xk ? 1 x ? x ? … ? xk x ? (k ? 1) A (k ? 1 A )? k (? 1 A) , B? 1 2 , C ? k ?1 , 则 有 A? A? 1 k ?1 k k 2k x ? x ? … ? xk ?1 ? (k ? 1) A B ? C ,根据归纳假设,有: ? 1 2 ? 2k 2
f ( B) ? f (C ) 1 ? ? x1 ? x2 ? … ? xk ? B?C ? f ( A) ? f ? ? ?f ? ?≤ 2 2 2? ? k ? ?
1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( xk ) f ( xk ?1 ) ? (k ? 1) f ( A) ? ≤ ? ? ? 2? k k ?

? ?? ?

? x (k ? 1) A ?? f ? k ?1 ?? k ? ??

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( xk ?1 ) ? (k ? 1) f ( A)? 2k f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( xk ?1 ) 从而, f ( A) ? ,当且仅当 x1 ? x2 ? … ? xk ?1 时取等; k ?1 综上,命题对一切正整数 n 都成立, ?
(a,b) 定理 4 (加权琴生不等式)若 f ( x) 时定义在区间 上的下凸函数, p1,p2 ,…, pn 是 n 个正数,

…,xn ? (a,b) ,有 则对于任意的实数 x1,x2,

p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? … ? pn f ( xn ) ≥ p1 ? p2 ? … ? pn

? p x ? p2 x2 ? … ? pn xn ? f? 1 1 ?; p1 ? p2 ? … ? pn ? ?

(a,b) 若 f ? x ? 时定义在区间 上的上凸函数,则有

? p x ? p2 x2 ? … ? pn xn ? p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? … ? pn f ( xn ) ≤f? 1 1 ?, p1 ? p2 ? … ? pn p1 ? p2 ? … ? pn ? ?

等号成立当且仅当 x1 ? x2 ? …=xn . 排序不等式和琴生不等式是另外两个重要的基本不等式,在不等式的证明中具有非常重地位,应用非 常广泛,熟练掌握和应用这两个基本不等式对于不等式的证明有着非常重作用. 【例 1】设 a,b,c 为正实数,证明: (1)

a b c 1 1 1 ? ? ≥ ? ? ; bc ac ab a b c

(2) a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ≥ abc(a ? b ? c) ; (3)

a b c 3 ? ? ≥ . b?c a?c a ?b 2 1 1 1 ≥ ≥ bc ac ab


(1)不妨设 a ≥ b ≥ c ? 从而 a ?

1 1 1 1 1 1 ? b ? ? c ? ≥a ? ? b? ? c ? bc ac ab ab bc ac (2)不妨设 a ≥ b ≥ c ? ab ≥ ac ≥ bc

a b c 1 1 1 ? ? ≥ ? ? bc ac ab a b c
即 a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ≥ abc(a ? b ? c)

从而 ab ? ab ? ac ? ac ? bc ? bc ≥ ab ? ac ? ac ? bc ? bc ? ab (3)不妨设 a ≥ b ≥ c ?

1 1 1 ≥ ≥ b?c a?c a?b a b c 1 1 1 ? ? 1 ? ? ≥ (a ? b ? c) ? ? ? 由切比雷夫不等式: ? b?c a?c a?b 3 ?a?c a?c a?b?
? 1 1 1 1 ? 1 2 3 ? ? ?(b ? c) ? (a ? c) ? (a ? b)? ? ? ?≥ ?3 ? 6 2 ?b?c a?c a?b? 6

【例 2】已知 a1,a2,…,an 为正实数,且满足 a1 ? a2 ? …+an ? 1 ,证明:
an a1 a2 n ? ?…? ≥ . 2 ? a1 2 ? a2 2 ? an 2n ? 1

不妨设 a1 ≥ a2 ≥ …≥ an .则 由切比雷夫不等式 ?
n

1 1 1 ≥ ≥ …≥ 2 ? a1 2 ? a2 2 ? an

n ai 1 n 1 1 n 1 ≥ ? ? ai ? ? ? ? n i ?1 n i ?1 2 ? ai x ?1 2 ? ai i ?1 2 ? ai

? n ? ? ?1? 1 ? i ?1 ? 1 n2 n . ≥ ? n ? ? ? n n 2n ? 1 2n ? 1 2 ? a ? i
i ?1

【例 3】设 a,b,c 为正实数,且 abc ? 1 ,证明: 由 abc ? 1 知 ?
1 a 2b2 c 2 b2c2 ? ? ? ? a 3 (b ? c) a 3 (b ? c) ab ? ac

1 1 1 3 ? 3 ? 3 ≥ . a (b ? c) b (a ? c ) c (a ? b) 2
3

1 1 1 ≤ ≤ ab ? ac ab ? bc ac ? bc 2 2 bc 1 1 ? ? ≥ (? b 2 c 2 ) ? ? 由切比雷夫不等式 ? ? ab ? ac 3 ab ? ac ? ?
不妨设 a ≥ b ≥ c ? a 2b2 ≥ a 2c 2 ≥ b2c 2

(?1)2 1 1 ≥ ? (? bc)2 ? 3 3 ? ab ? ac
? 1 9 ? (? bc)2 ? 9 2? bc

?

1 ? bc 2

1 3 ≥ ? 3 3 a 2 b2 c 2 ? 2 2
【例 4】设 a,b,c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: 考虑函数 f ( x) ?

x 1? x

a b c 3 ? ? ≤ . 1? a 1? b 1? c 4 ?x? y? 先证明: f ( x) ? f ( y ) ≤ 2 f ? ? ? 2 ?

y?x y?x x? ?y x y x? y 2 2 ? ? ≤ ? ≤ x? y? x? y? 1? x 1? y 1? x ? y ? ? (1 ? x) ?1 ? ? (1 ? y ) ?1 ? ? 2 2 2 ? ? ? ?

y?x y?x ≤ y(1 ? x) ? ? ( y ? x)2 ≥ 0 2 2 即 f ( x) 为上凸函数 ? x(1 ? y) ?

显然成立

?a?b?c? ?1? 3 从而 f (a) ? f (b) ? f (c) ≤ 3 f ? ? ?3f ? ? ? 3 ? ? ? 3? 4 证毕.

【例 5】设 a,b,c ? R ? ,且 abc ? 1 ,证明: 令 f ( x) ?

1 1 ? 2ex

1 1 1 ? ? ≥1 . 1 ? 2a 1 ? 2b 1 ? 2c ?x? y? ( x ? y ≥ 0) 先证明: f ( x) ? f ( y ) ? 2 f ? ? ? 2 ?
2 1 ? 2e
x? y 2

?

1 1 2 2 ? 2e x ? 2e y ? ? ? ≥ 1 ? 2e x 1 ? 2e y 1 ? 2e( x ? y )/2 (1 ? 2e x )(1 ? 2e y )
x? y 2

? 2(1 ? e x ? e y )(1 ? 2e
? 1 ? 2e
x? y 2

) ≥ 2(1 ? 2e x ? 2e y ? 4e x ? y )
? e y ? 2e
x?3 y 2

? e x ? 2e
x y

3x? y 2

≥ 1 ? 2e x ? 2e y ? 4e x ? y

? (2e

x? y 2

? 1)(e 2 ? e 2 )2 ≥ 0

当 x ? y ≥ 0 时显然成立.

不妨设 a ≥ b ≥ c ,令 a ? e x , b ? e y , c ? e z ? x ? y ? z ? 0 由 x ≥ y ≥ z ? z ≤ 0
1 1 2 2 ?x? y? ? x ? y ≥ 0 ? f ( x) ? f ( y ) ≥ 2 f ? , ? ≥ ? ?即 ? 2 ? 1 ? 2a 1 ? 2b 1 ? 2 ab 1 ? 2 c

只需证
1?

2 2 c

?

1 ≥1 1 ? 2c

? 4c c ? 3 c ? 2 ≥ 2c c ? 4c ? c ? 2 ? 2 c ( c ? 1)2 ≥ 0 显然成立.
【例 6】已知 a,b,c ? R ? ,且 a 4 ? b4 ? c4 ? 3 ,证明: 考虑函数 f ( x) ?
1 4 x 1 4? y
16 ? ? ?0≤ x≤ ? 9? 4? x ? 1

1 1 1 ? ? ≤1 . 4 ? ab 4 ? bc 4 ? ac ?x? y? 先证明: f ( x) ? f ( y ) ≤ 2 f ? ? ? 2 ?
≤ 4? 2 x? y 2

?

?

≤ 4?

2 x? y 2

?

8? x ? y 16 ? 4 x ? 4 y ? xy

? x? y ? ?? ? (8 ? x ? y ) ≤ 32 ? 8( x ? y ? 2 xy ) ?4 ? 2 ? ? ?

令a? x ? y

b?

x? y 2

则 2 xy ? a2 ? 2b2 由 x ? y ≤2
x? y ? a ≤ 2b 2

? (4 ? b)(8 ? a) ≤ 32 ? 8a ? a2 ? 2b2 ? (a ? b ? 4)(a ? 2b) ≥ 0

又 0≤ x≤ 由 a2b2 ≤

16 9

0≤ y ≤

16 ? a ? b ? 4≤0 9

从而上式成立.

a4 ? b4 3 16 ? ? ,由琴生不等式: 2 2 9 1 3 3 ≤ ?1 ? 4 ? ab ≤ 2 2 2 2 2 2 4 a b ?b c ?c a a ? b4 ? c 4 4? 4? 3 3
1 1 1 n ? ?…? ≥ . n r r …r ? 1 1 ? r1 1 ? r2 1 ? rn 1 2 n
?x? y? ? ? ? 2 ?

【例 7】设 r1,r2,…,rn 为不小于 1 的实数,证明: 考虑函数 f ( x) ?

1 ( x ? a) 先证明: f ( x) ? f ( y ) ≥ 2 f 1 ? ex
2 1? e
x? y 2

?

1 1 ? ≥ 1 ? ex 1 ? e y

x? y 2

?

2 ? ex ? e y ? 1 ? ex ? e y ? ex? y

2 1? e
x? y 2

? (2 ? e x ? e y )(1 ? e ? (e
x? y 2 x y

) ≥ 2(1 ? e x ? e y ) ? 2e x ? y

? 1)(e 2 ? e 2 )2 ≥ 0

由 xy ≥ 0 知此式成立

? x ? … ? xn ? 由琴生不等式: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ? f ( xn ) ≥ nf ? 1 ? ( xi ≥ 0) n ? ?

令 ri ? e xi (ri ≥1) ,即得原不等式成立. 【例 8】已知 a,b,c ? R ? ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ,证明: 记S ?a?b?c 原不等式 ?
a b c 3 3?3 ? ? ≥ . 1? a 1? b 1? c 2

f ( x) ?

1 1? x

x ? (0, 1)

a b c 3 3?3 f (a ) ? f (b) ? f (c) ≥ s s s 2s

由琴生不等式

? a 2 ? b2 ? c 2 ? a b c ?1? f (a) ? f (b) ? f (c) ≥ f ? ?? f ? ? s s s s ?s? ? ?

1 3 又 s ? a ? b ? c ≤ 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3 ? s ≤ 3 ? ≥ s 3

?1? ? f ? ?≥ ?s?

? 3? 3 3 ?3 f? ? 3 ? ?? 2 ? ?
n xik ?1 n 1 1 n x ≤ ?i ? ? k. i ?1 1 ? xi i ?1 i ?1 1 ? xi i ?1 xi n

【例 9】设 xi ? 0 , i ? 1 ,2,…, n , k ≥ 1 ,证明: ?
k k 不妨设 x1 ≥ x2 ≥…≥ xn ? x1k ≥ x2 ≥…≥ xn

xk x1k xk ≥ 2 ≥ …≥ n 1 ? xi 1 ? x2 1 ? xm

1 1 1 ? k ≤…≤ k x1k x2 xn

由切比雷夫不等式: ?

n ? xk ?n 1 xik ?1 n 1 ? ? k ? ? ? i ? xi ?? k i ?1 1 ? xi i ?1 xi i ?1 ? 1 ? xi ? i ?1 xi n



n n 1 n xik 1 ? ? xi ? ? k ? n i ?1 1 ? xi i ? 1 i ? 1xi

?

n xk 1 n xi ? i ? n i ?1 i ?1 1 ? xi

?x
i ?1

n

1
k i

n n ? xk 1 ? ≥ ? xi ? ? i ? ? xi k ? i ?1 i ?1 ? 1 ? xi

? ? xi ? ?
i ?1

n

1 i ?1 1 ? xi

n

【例 10】已知 x,y,z 为正实数,且满足 x ? y ? z ? 1 , k 为正整数,证明:
x
k ?1

xk ?2 yk ?2 zk ?2 1 ? k ?1 ? k ?1 ≥ . k k k k k k ?y ?z y ?z ?x z ?x ?y 7

不妨设 x ≥ y ≥ z 则 xk ? 2 ≥ y k ? 2 ≥ z k ? 2 , xk ?1 ? y k ? z k ≤ y k ?1 ? z k ? xk ≤ z k ?1 ? xk ? y k 由切比雷夫: ?
? ? xk ? 2 1 1 ≥ (? x k ? 2 ) ? ? ? k ?1 k ?1 k k k k ? x ?y ?z 3 ? x ?y ?z ?

1 9 k ?1 ≥ (? x)(? x ). k ?1 9 ( x ? yk ? zk ) ? ? (? x k ?1 ) ? 1 ? 2? x k

?x

k ?1

? (? x k ?1 ) ?

1 k ?1 x ? 2 ? ? x ? ? xk 1

≥ (? x k ?1 ) ?

?x

k ?1

? ? x k ?1 ? 2 ? 3

?
课后练习

1 7

【演练 1】已知 xi,yi ? R , i ? 1 ,2,…, n 且 x1 ≥ x2 ≥ …≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ …≥ yn , z1,z2,…,zn 为
y1,y2,…,yn 的一个排列,证明: ? ( xi ? yi )2 ≤ ? ( xi ? zi ) .
i ?1 i ?1 n n 2

? ? xi2 ? ? yi2 ? 2? xi yi ≤ ? xi2 ? ? zi2 ? 2? xi zi
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

n

n

由于 z1,z2 …zn 是 y1,y2 …yn 的一个排列
? ? yi2 ? ? zi2
i ?1 n i ?1 n n

? ? xi yi ≥ ? xi zi 由排序不等式,显然成立.
i ?1 i ?1

n

1 【演练 2】设 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ,且 a ? b ? c ? d ? e ? 1 ,证明: ad ? dc ? cb ? be ? ea ≤ . 5 由 a ≤b≤c ≤ d ≤e ? d ? e≥c ? e≥b ? d ≥ a ? c≥a ? b ad ? dc ? cb ? be ? ea ? 1 ?a(d ? e) ? b(c ? e) ? c(b ? d ) ? d (a ? c) ? e(a ? b)? 2

1 1 ≤ ? (a ? b ? c ? d ? e) ? (d ? e ? c ? e ? b ? d ? a ? c ? a ? b) 2 5 ? 1 5 1 . n3

4 4 【演练 3】已知 a1,a2,…,an 为正实数,且 a1 ? a2 ? … ? an ? 1 ,证明: a14 ? a2 ? … ? an ≥

2 2 3 3 3 不妨设 a1 ≥ a2 ≥…≥ an ? a12 ≥ a2 ≥…≥ an ,a1 ≥ a2 ≥…≥ an

由切比雷夫不等式:

?a
i ?1

n

4 i

1 ? n ?? n 1 1 ? n ?? n ? 1 n ? 1 ≥ ? ? ai ?? ? ai3 ? ? ? ai3 ≥ ? ? ? ai ?? ? ai2 ? ? 2 n ? i ?1 ?? i ?1 ? n i ?1 n n ? i ?1 ?? i ?1 ? n
2

?a
i ?1

n

2 i



1 1? n ? 1 ? ? ai ? ? 3 n2 n ? n ? i ?1 ?

【演练 4】设 a,b,c 是三角形的三条边,证明: a2 (b ? c ? a) ? b2 (c ? a ? b) ? c2 (a ? b ? c) ≤ 3abc. 不妨设 a ≤ b ≤ c 则容易验证 a(b ? c ? a) ≥ b(c ? a ? b) ≥ c(a ? b ? c)

由排序不等式: ? a2 (b ? c ? a) ? ? a ? a(b ? c ? a) ≤ ? ac(b ? c ? a)
? 3abc ? (b ? a)(c ? b)(a ? c) ≤ 3abc
a ?1 b ?1 c ?1 ? ? ≥2. a (a ? 2) b(b ? 2) c(c ? 2)

【演练 5】已知正实数 a,b,c 满足 a ? b ? c ≤ 3 ,证明: 令 x ? a ?1 记 f ( x) ?
2

y ? b ?1 z ? c ?1 则 x ? y ? z ≤ 6
( x ≥ 1)

x x ?1

?

x y x? y ? 2 ≥ x ? 1 y ? 1 ? x ? y ?2 ? ? ? 2 ?
2

?x? y? 先证明 f ( x) ? f ( y ) ≥ 2 f ? ? ? 2 ? 1 1 (3x2 ? xy)( y ? x) ( xy ? 3 y 2 )( y ? 1) 4 4 ? ≥ ? ? x ? y ?2 ? ? ? x ? y ?2 ? 2 2 ?1 ( x ? 1) ? ? ? 1 ( y ? 1) ? ? ? ? 1? ?? 2 ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 ? ?

? (3x2 ? xy)( y 2 ? 1)( y ? x) ≥ (3 y 2 ? xy)( x2 ? 1)( y ? x) ? (3 ? xy)( y ? x)( y ? x)2 ≥ 0

显然成立.

?x? y?z? ?6? 由琴生不等式: f ( x) ? f ( y ) ? f ( z ) ≥ 3 f ? ?≥3 f ? ? ? 2 . 3 ? ? ? 3? 专题五 不等式综合运用(一) 概述 不等式的证明,分析法与综合法是比较常用的手段,此外放缩法与反证法也是证明不等式的有力武 器.不等式的变量替换、齐次化思想与归一化思想也显得尤其重要,在本讲中,我们利用所学不等式, 并结合这些基本方法,对不等式的证明进行综合运用. 齐次化:在证明不等式的过程中,我们通常需要利用题目所给的条件将需要证明的不等式进行升次或 者降次,以达到不等式左右两边齐次,以便于我们利用基本不等式进行证明. 归一化:归一化(也称之为标准化)主要是利用了齐次对称式的性质,通常可以设变量之和或者积为 某一常数 k ,这样不仅化简了式子,同时增加了条件,有助于我们解决问题. 变量替换:有时候不等式的形式比较复杂,通过变量代换,可以达到化简式子,简化证明的作用,常 x 见的变量代换包括三角代换、 三角形边长代换 a ? x ? y,b ? y ? z,c ? z ? x , 乘积代换 abc ? 1 ,a ? , y

z y , c ? ,增量代换 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? (? ≥ 0) 等. x z 分析法:执果索因,由结论出发,一步步等价化简,最后利用条件证明. 综合法:执因索果,由条件出发,利用基本不等式证明结论. 放缩法:有时候要直接证明 A ≥ C 比较困难,可以尝试去寻我中间变量 B ,去证明一个更强的不等式 A ≥ B ≥ C 成立,从而原不等式成立.所谓放缩,就是将 C 放大到 B ,再将 B 放大到 A :或者反过来 将 A 缩小到 B ,再将 B 缩小到 C .大多数的不等式的证明都要经过放缩实现,不等式的证明技巧通常 都体现在放缩的尺度把握上. 反证法:当不等式从正面证明比较困难时,我们可以尝试着利用反证法证明,即先假设我们所证明的 不等式不成立,然后根据恒等变形或者重要的不等式和变量代换,推理得出矛盾. 1 1 1 1 1 1 【例 1】设 x, y, z 为正实数, xyz ? 1 且满足 ? ? ≥ x ? y ? z ,证明: k ? k ? k ≥ x k ? y k ? z k 对 x y z x y z

b?

所有的正整数 k 都成立. 1 1 1 ? ? ≥ x ? y ? z ? yz ? zx ? xy ≥ x ? y ? z x y z

? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ≥ 0

由于 (1 ? x)(1 ? xk ) ≥ 0 从而 (1 ? x)(1 ? xk )(1 ? y)(1 ? y k )(1 ? z)(1 ? z k ) ≥ 0 从而 (1 ? xk )(1 ? y k )(1 ? z k ) ≥ 0 即 xk y k ? y k z k ? z k xk ≥ x k ? y k ? z k 即
1 1 1 ? k ? k ≥ xk ? y k ? z k . k x y z

3 【例 2】设 x,y,z 为实数,且满足 x ? y ? z ? 0 ,证明 6( x3 ? y3 ? z3 )2 ≤(x2 + y 2 + z 2 ) .

z ? ?( x ? y) ? x3 ? y3 ? z 3 ? ?3xy( x ? y) x2 ? y 2 ? z 2 ? 2( x2 ? y 2 ? xy)

原不等式 ? 54x2 y 2 ( x ? y)2 ≤ 8( x2 ? y 2 ? xy)3
1 27 ?3 ? ?3 ? 8( x 2 ? y 2 ? xy )3 ? 8 ? ? ( x ? y )2 ? ( x ? y )2 ? ≥ 8 ? ? ( x ? y )2 ? ? ( x ? y )6 4 8 ?4 ? ?4 ?
3 3


证毕.

27 ? ( x ? y)2 ? (4 xy)2 ? 54 x2 y 2 ( x ? y)2 8 a ? 3c 4b 8c ? ? ≥ ?17 ? 12 2 . a ? 2b ? c a ? b ? 2c a ? b ? 3c

【例 3】设 a,b,c 为正实数,证明:
?a ? 2b ? c ? x ?a ? ? x ? 5 y ? 3z ? ? 令 ?a ? b ? 2c ? y ? ?b ? x ? z ? 2 y ?a ? b ? 3c ? z ?c ? z ? y ? ?

原不等式 ?

2 y ? x 4 x ? 4 z ? 8 y 8 y ? 8z ? ? ≥ 17 ? 12 2 x y z 2 y 4x 4z 8 y ? ? ? ≥ ?17 ? 12 2 x y y z

? ?17 ?

由均值不等式:

2 y 4x ? ≥2 8 ? 4 2 x y 4z 8 y ? ≥ 2 32 ? 8 2 y z

得证. 【例 4】设 x,y,z 为正数,证明:
xyz ( x ? y ? z ? x 2 ? y 2 ? z 2 ) 3 ? 3 ≤ . ( x 2 ? y 2 ? z 2 )( xy ? yz ? zx) 9

1 ( xy ? yz ? zx)2 xyz ( x ? y ? z ) 1 xy ? yz ? zx 1 3 ≤ 2 ? ? 2 ≤ 2 2 2 2 2 ( x ? y ? z )( xy ? yz ? zx) ( x ? y ? z )( xy ? yz ? zx) 3 x ? y 2 ? z 2 3

xyz x 2 ? y 2 ? z 2 xyz xyz 1 3 ≤ ≤ ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )( xy ? yz ? zx) 9 3 3 x ? y ? z ? ( xy ? yz ? zx) 33 x y z ? 33 x y z

相加即得 【例 5】设 a,b,c 是正实数,求证:
(2a ? b ? c)2 (2b ? a ? c)2 (2c ? a ? b)2 ? 2 ? 2 ≤8 . 2 2 2 2a ? (b ? c) 2b ? (a ? c) 2c ? (a ? b)2

不等式齐次,不妨设 a ? b ? c ? 1 ,则原不等式化为

2 2 ? ? a? ?1 (a ? 1)2 a 2 ? 2a ? 1 4a ? 1 3 ? ?1? 2 ? ? 2a2 ? (1 ? a)2 ? ? 3a2 ? 2a ? 1 ? ? ? 3 ? 3a3 ? 2 2 ? 2a ? 1 ? 3 3a ? 2a ? 1 ? ? ? ? ?
?1? 2 4a ? 1 2 4a ? 1 ?1? ? ? 1 ? ? (4a ? 1) ? 1 ? 7 ? 8 . ? 4 2 3 3 1? 2 ? 3? a ? ? ? 3 3? 3 ?

【例 6】设 a, b, c, d 为正实数且 a ? b ? c ? d ? 4 ,证明: 原不等式 ? ?

a 2 b2 c 2 d 2 ? ? ? ≥ 4 ? (a ? b)2 . b c d a

a2 ? 4 ≥ (a ? b)2 b a2 ? ?b ? ? a ≥ (a ? b)2 b

??

? a2 ? ? ? ? ? b ? 2a ? ≥ (a ? b)2 ? b ?

??

(a ? b)2 ≥ (a ? b)2 b
2 (a ? b)2 (?| a ? b |) (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |)2 ? ? b 4 ?b

由柯西不等式 ?

(| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |)2 ? (a ? b)2 4 1 1 1 3 【例 7】设 a,b,c 为正数,且 a ? b ? c ? 3 ,证明: ? ? ≤ . 2 2 2 2 2 2 2?a ?b 2?b ?c 2?c ?a 4 ≥
原不等式 ? ?
? 2 3 a 2 ? b2 ? 3 ≤ ? ? ?1 ? ≤ 2 2 2 2 ? 2?a ?b 2 ? 2?a ?b ? 2

??

a 2 ? b2 3 ≥ 2 2 2?a ?b 2
(? a2 ? b2 )? 2? a2 ? 2? (a2 ? b2 )(a2 ? c2 ) a 2 ? b2 ≥ ? 2 ? a 2 ? b2 6 ? 2? a2 ? (2 ? a2 ? b2 )
4a ?
2

由柯西不等式: ?

2? a2 ? 2 a ( 2 ? bc ) ? ? ? 6 ? ? a2
证毕. 【例 8】设 0 ≤ a1,a2,…,an ≤1, 证明

?

6?

2ab a ? ?a ( ? ?3 ? 2 2? a ? 6 ?a
2 2 2

2

?

) ? a 3? 2
2

39 ? . 2 a ? 6 2 ?

an a1 a2 ? ?…? ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1- an )≤ 1 a2 ? a3 ? … ? an ? 1 a1 ? a3 ? … ? an ? 1 a1 ? a2 ? … ? an ?1 ? 1

不妨设 a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an 则?
n n

S ? ? ai
i ?1

n

ai ? (1 ? a1 )…(1- an ) i ?1 1 ? S ? a i ai S ? (1 ? a1 )…(1- an ) ? ? (1 ? ai )? (1 ? an ) 1 ? s ? an i ?1 1 ? S ? an
1 ? an ? (1 ? a1 )…(1 ? an ) 1 ? S ? an
1 ? an ?1 ? (1 ? S ? an )(1 ? a1 )…(1- an?1 )? 1 ? S ? an

≤?
?1?
?1?

≤1 ?
?1?

1 ? an 1 ? S ? an

? ? 1 ? S ? an ? 1 ? a1 ? … ? 1 ? an?1 ?n ? ?1 ? ? ? ? n ? ? ? ? ? ?

1 ? an (1 ? 1) 1 ? S ? an a
2

?1
【例 9】设 a,b,c 为正实数,证明: 令x?
a a ? 8bc
2

y?

b b ? 8ac
2

a ? 8bc b ? 8ac c z? 2 c ? 8ab
2

?

b

?

c c ? 8ab
2

≥1 .

?? 1 ? 1 ?? 1 ? 则 ? 2 ? 1? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1? ? 512 x y z ? ?? ? ??



(1 ? x)(1 ? x)(1 ? y )(1 ? y )(1 ? z )(1 ? z ) ? 512 x2 y 2 z 2

若 x ? y ? z ?1 则 (1 ? x)(1 ? x)(1 ? y)(1 ? y )(1 ? z )(1 ? z ) ? ( x ? x ? y ? z )( y ? z )( x ? y ? y ? z )( x ? z )( x ? y ? z ? z )( x ? y )

≥ 4 4 x2 yz ? 2 yz ? 4 4 xy2 z ? 2 xz ? 4 4 xyz 2 ? 2 xy
? 512x2 y 2 z 2



(1 ? x)(1 ? x)(1 ? y )(1 ? y )(1 ? z )(1 ? z ) ? 512 矛盾! x2 y 2 z 2

从而 x ? y ? z ≥1 【例 10】设 x,y,z 为非负实数,且 x2 ? y 2 ? z 3 ? 1 ,证明: 1 ≤ 我们首先证明:
x y z ? ? ≤ 2. 1 ? yz 1 ? xz 1 ? xy

x y2 ? z2 ≥ x 2 ? x ? xyz ? 1 由 x ? xyz ≤ x ? x ? 1 ? yz 2

1 ? x2 1 1 ?x? ? 2 ? ( x ? 1)2 ( x ? 2)? ? ? 2 ? 1 成立 ? ? 2 2 2 x ≥ ? x2 ? 1 从而 ? 1 ? yz ? x?

其次证明:

x 2x ≤ ? x ? y ? z ≤ 2 ? 2 yz 1 ? yz x? y?z

? ( x ? y ? z)2 ≤ 2(1 ? yz)2 ? 2( xy ? yz ? zx) ≤1 ? 4 yz ? 2 y 2 z 2 ? ( y ? z ? x)2 ? 2 y 2 z 2 ≥ 0 成立.

从而 ?

x 2x ≤? ? 2 1 ? yz x? y?z

成立.

课后练习 【演练 1】设 x,y,z 为正实数,证明:
x? y?z 3 2? x? y ? ? xyz ≥ ? ? xy ? . 3 3? 2 ?

? z ? xy ? xy ≥ 33 xyz
由均值不等式易知显然成立.

a7 ? b7 b7 ? c7 c7 ? a7 1 ? ? ≥ . b5 ? c5 c5 ? a5 a5 ? b5 3 1 1 1 不妨设 a ≥ b ≥ c 则 a7 ? b7 ≥ a7 ? c7 ≥ b7 ? c7 , 5 ≤ 5 5≤ 5 5 5 a ?b a ?c b ?c
【演练 2】已知 a,b,c 为正实数且 a ? b ? c ? 1 ,证明:

a7 ? b7 a7 ? b7 ? ? a5 ? b5 b5 ? c5 1 由切比雷夫不等式: a7 ? b7 ≥ (a2 ? b2 )(a5 ? b5 ) 2
由排序不等式: ? 从而 ? 证毕 【演练 3】已知 a,b,c 为非负实数,证明: a ? b ? c ≥
2 a7 ? b7 1 1 1 ≥ ? ? a 2 ? b2 ? ? ? a 2 ≥ ? ? a ? ? 5 5 a ?b 2 3 3

a(bc ? c ? 1) b(ca ? a ? 1) c(ab ? b ? 1) . ? ? ca ? a ? 1 ab ? b ? 1 bc ? c ? 1

a(bc ? c ? 1) ≥0 ca ? a ? 1 ab ? b ? (ac ? a) ? ab ? b ? 1 ? ?? ? ?? ? 1? ≥ 0 ca ? a ? 1 ? ca ? a ? 1 ? ? ?b ? ? ab ? b ? 1 由均值不等式,显然成立. ≥3 ca ? a ? 1 【演练 4】设 x,y,z 为正实数,且满足 xyz ? 1 ,证明: 1 1 1 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . 1 ? 2x 1 ? 2 y 1 ? 2z 2 ? x 2 ? y 2 ? z ??
我们证明: ? 令x?

1 1 ≥1≥ ? 1 ? 2x 2? x

a b

y?

b c

z?

c a

(? b)2 (? b)2 1 b 则? ?? ≥ ? ?1 1 ? 2x b ? 2a ? (b2 ? 2ab) (? a)2

又?

1 12 ? 4( x ? y ? z ) ? ( xy ? yz ? zx) ? ≤ 1 ? xy ? yz ? zx ≥ 3 2 ? x 9 ? 4( x ? y ? z ) ? 2( xy ? yz ? zx)

由均值不等式知显然成立. 【演练 5】设 x,y,z 为非负实数,证明:
( x ? y ? z)2 ( xy ? yz ? zx)2 ≤ 3( x2 ? xy ? y 2 )( y 2 ? yz ? z 2 )( z 2 ? zx ? x2 ) .

3 由 x2 ? xy ? y 2 ≥ ( x ? y)2 4 3 y 2 ? yz ? z 3 ≥ ( y ? z)2 4 3 z 2 ? zx ? x2 ≥ ( z ? x)2 4
只需证

81 ( x ? y)2 ( y ? z)2 ( z ? x)2 ≥ ( x ? y ? z)2 ( xy ? yz ? zx)2 64 ? 9( x ? y)( y ? z )( z ? x) ≥ 8( x ? y ? z )( xy ? yz ? zx)
? 9? x2 ( y ? z) ? 18xyz ≥ 8? x2 ( y ? 1) ? 24xyz ? ? x2 ( y ? z) ≥ 6xyz

由均值不等式显然成立.



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