9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版



第二节

平面向量的基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理
如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对 于这一平面内的任意向量 a, 有且只有 一对实数 λ1,λ2, 使 a= λ1e1+λ2e2 .

其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组 基底 .

>2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2) , λa= (λx1,λy1) ,|a|=
2 x2 1+y1 .

(2)向量坐标的求法:

①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐 标.
②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = (x2-x1,y2-y1) ,
2 2 ? x - x ? + ? y - y ? 2 1 2 1 | AB |= .

3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b? x1y2-x2y1

=0 ____.

1. 若 a、 b 为非零向量, 当 a∥b 时, a, b 的夹角为 0° 或 180° , 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错; 2.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们

完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信 息.

3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表

x1 y1 示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,应表示为 x1y2-x2y1=0. x2 y2

[试一试]
1.若向量 BA =(2,3), CA=(4,7),则 BC = A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10) ( )

答案:A 2.(2013· 石家庄模拟)已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v
=2a-b,且 u∥v,则实数 x 的值是________.

解析:∵u=(1+2x,4),v=(2-x,3),u∥v,∴8-4x=3+ 1 6x,∴x= . 2 1 答案: 2

用基向量表示所求向量时,注意方程思想的运用.
[练一练]

设 e1、e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2, 则向量 e1+e2 可以表示为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b.
解析:由题意,设 e1+e2=ma+nb. 因为 a=e1+2e2,b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.

? ?m-n=1, 由平面向量基本定理,得? ? ?2m+n=1,

2 ? ?m=3, 所以? ?n=-1. 3 ?
2 答案: 3 1 - 3

1.(2014· 昆明一中摸底)已知点 M(5,-6)和向量 a=(1,-2), 若 MN =-3a,则点 N 的坐标为 A.(2,0) C.(6,2) B.(-3,6) D.(-2,0) ( )

解析:MN =-3a=-3(1, -2)=(-3,6), 设 N(x, y), 则 MN
? ?x-5=-3, =(x-5, y-(-6))=(-3,6), 所以? ? ?y+6=6, ? ?x=2, 即? ? ?y=0,

选 A.

2.(2013· 北京高考)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所 λ 示.若 c=λa+μb(λ,μ∈R),则μ=________.

解析:设 i,j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量, 则 a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,所以-i-3j=λ(-i+ 1 j)+μ(6i+2j),根据平面向量基本定理得 λ=-2,μ=- ,所 2 λ 以μ=4. 答案:4

3.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB =a,BC =b,

CA=c. (1)求 3a+b-3c;
(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.
解:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24) =(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ?-6m+n=5, ∴? ? ?-3m+8n=-5, ? ?m=-1, 解得? ? ?n=-1.

[类题通法]

1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合 起来,从而可使几何问题转化为数量运算.

2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意 方程(组)思想的应用.

如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ 1 BC,且 AD= BC,E,F 分别为线段 AD 与 3 BC 的中点.设 BA =a, BC =b,试用 a,b 为基底表示向量 EF , DF , CD . 1 1 1 [解] EF = EA+ AB + BF =- b-a+ b= b-a, 6 2 3 1 1 1 DF = DE + EF =-6b+(3b-a)=6b-a, 1 1 2 CD = CF + FD =-2b-(6b-a)=a-3b.

[典例]

点 评

解答此类问题注意将向量放在恰当的三角形或多 边形中,利用向量加减法的三角形或多边形法则.

[类题通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向 量的形式,再通过向量的运算来解决.

(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来 方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.

[针对训练]

1 (2014· 济南调研)如图, 在△ABC 中,AN = NC , 3 2 P 是 BN 上的一点,若 AP =m AB + AC ,则实 11 数 m 的值为________.

解析:因为 AP = AB + BP BP = AB +k BN = AB +k( AN -
?1 AB ) = AB + k ?4 ?

AC - AB

? k ? = (1 - k) AB + AC ,且 AP = 4 ?

2 k 2 8 3 m AB + AC ,所以 1-k=m, = ,解得 k= ,m= . 11 4 11 11 11 3 答案: 11

[ 典例] 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2), c=(4,1).
(1)求满足 a=mb +nc 的实数 m ,n ;

[ 解] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n (4,1), 5 m= , 9 -m +4n =3, 所以 得 8 2m +n =2, n= . 9 点评 两向量相等则其对应坐标相等!

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k;

解:a+kc=(3+4k,2+ k ),2b-a= (-5,2), 由题意得 2× (3+4k )-(-5)×(2+ k )=0. 16 ∴k =- . 13

注意区分两向量共线和 垂直的坐标运算形式的 不同之处!

在本例条件下, 若 d 满足(d-c)∥(a+b), 且|d-c|= 5,求 d. 解: 设 d=(x, y), d-c=(x-4, y-1), a+b=(2,4),
? ?4?x-4?-2?y-1?=0, 由题意得? 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5, ? ?x=3, 得? ? ?y=-1 ? ?x=5, 或? ? ?y=3.

∴d=(3,-1)或(5,3).

[类题通法]
1.向量共线的两种表示形式

设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a ∥b?x1y2-x2y1= 0,至于使用哪种形式,应视题目的具体条 件而定,一般情况涉及坐标的应用②.
2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另

外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知 数的值.

[针对训练]

已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式;

(2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标.
解:(1)由已知得 AB =(2,-2), AC =(a-1,b-1), ∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ AC . ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. (2)∵ AC =2 AB ,∴(a-1,b-1)=2(2,-2).
? ?a-1=4, ∴? ? ?b-1=-4, ? ?a=5, 解得? ? ?b=-3.

∴点 C 的坐标为(5,-3).

[课堂练通考点]
1.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边 的中点,且 AB =a, AD =b,则 BE =( 1 A.b- a 2 1 C.a+ b 2 1 B.b+ a 2 )

1 D.a- b 2 1 1 解析: BE = BA + AD + DE =-a+b+ a=b- a. 2 2 答案:A

2.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b), m 则 n 等于 A.-2 1 C.- 2 B. 2 1 D. 2 ( )

解析:由题意得 ma+nb=(2m-n,3m+2n), a-2b=(4,-1),由于(ma+nb)∥(a-2b), m 1 可得-(2m-n)-4(3m+2n)=0,可得 n =- ,故选 C . 2

3. (2013· 大连沙河口模拟)非零不共线向量 OA、 且 2OP =x OA OB , +y OB , 若 PA=λ AB (λ∈R), 则点 Q(x, y)的轨迹方程是( A.x+y-2=0 C.x+2y-2=0 B.2x+y-1=0 D.2x+y-2=0 )

解析: PA=λ AB ,得 OA - OP =λ( OB - OA ),即 OP =(1+ λ) OA -λOB .又
? ?x=2+2λ, 2 OP =xOA +y OB ,∴? ? ?y=-2λ,

消去 λ 得

x+y=2,故选 A .

4.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行;② AB + BC = CA;③ OA+ OC = OB ;④ AC = OB -2 OA. 其中正确结论的个数是 A.1 B. 2 ( )

C.3 D.4 2- 1 1 1 1 解析:∵由题意得 kOC= =- ,kBA= =- ,∴OC 2 2 -2 0- 2
∥BA,①正确;∵ AB + BC = AC ,∴②错误; ∵ OA + OC =(0,2)= OB ,∴③正确; ∵ OB -2 OA =(-4,0), AC =(-4,0),∴④正确. 答案:C

5.(2014· 朝阳一模)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N 为AM中点, AN =λ AB +μ AC ,则λ+μ的值为 1 A. 2 1 B. 3 1 C. 4 D.1 ( )

解析:∵M 为边 BC 上任意一点, ∴可设 AM =x AB +y AC (x+y=1). ∵N 为 AM 中点, 1 1 1 ∴ AN = AM = x AB + y AC =λ AB +μ AC . 2 2 2 1 1 ∴λ+μ= (x+y)= . 2 2 答案:A

6.(2013· 保定调研)已知两点A(1,0),B(1,1),O为坐标原点, 点C在第二象限,且∠AOC=135° ,设 OC =-OA+λOB (λ∈R),则λ的值为________.

解析:由∠AOC=135° 知,点 C 在射线 y=-x(x<0)上,设 点 C 的坐标为(a,-a),a<0,则有(a,-a)=(-1+λ,λ), 1 得 a=-1+λ,-a=λ,消掉 a 得 λ= . 2 1 答案: 2



相关文档:


更多相关文章:
...第一轮复习学案——平面向量的基本定理及坐标表示
2014届高考数学(理)第一轮复习学案——平面向量的基本定理及坐标表示_高考_高中教育_教育专区。今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...
2017年高考(文)数学一轮复习第2节 平面向量基本定理及...
2017年高考(文)数学一轮复习第2节 平面向量基本定理及其坐标表示_高考_高中教育_教育专区。第 2 节 平面向量基本定理及其坐标表示 【选题明细表】 知识点、方法 ...
...高考数学一轮复习_5.2平面向量基本定理及坐标表示(...
【步步高】高考数学一轮复习_5.2平面向量基本定理及坐标表示(生)_数学_高中教育_教育专区。文档名中的最后,带有“(生)”的没有答案; 带有“(师)”的文档,有...
【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第四章 第二节 平...
【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示突破热点题型 文_数学_高中教育_教育专区。第二节 平面向量基本定理及坐标表示 考...
...一轮专题复习---平面向量的基本定理及坐标表示(有详...
高三数学一轮专题复习---平面向量的基本定理及坐标表示(有详细答案)_数学_高中教育_教育专区。平面向量的基本定理及坐标表示 考情分析 考点新知 ① 了解平面向量...
2014高考数学第一轮复习 平面向量坐标运算
2014高考数学一轮复习...1/2 相关文档推荐 【高考A计划】2014高考数... ...第2平面向量基本定理及其坐标表示 【2014 年高考会这样考】 1.考查平面向量...
...复习讲练测:专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示(讲...
2017届高考数学(理)一轮复习讲练测:专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示(讲).doc_高考_高中教育_教育专区。2017 年高考数学讲练测【新课标版】 【讲】 第五...
一轮复习自己整理绝对经典2016向量--第一轮
绝对经典2016向量--第一轮_高三数学_数学_高中教育...坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、...? ?2 ?2 题型二:平面向量基本定理及基底的相关...
...必修部分25 平面向量基本定理及坐标表示
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分25 平面向量基本定理及坐标表示_高中教育_教育专区。开卷速查(二十五) 平面向量基本定理及坐标表 示 A ...
...复习课时跟踪检测26平面向量的基本定理及坐标表示
【三维设计】2013高考数学总复习课时跟踪检测26平面向量的基本定理及坐标表示 【2014三维设计文科一轮课时跟踪检测】【2014三维设计文科一轮课时跟踪检测】隐藏>> 课时...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图