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正余弦定理及解三角形



正余弦定理及解三角形(高二)
知识点归纳: 1、设△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,R 是△ABC 的外接圆半径. (1)正弦定理 三角 形的 各边和它所对角的正弦的比相等,即 (2)正弦定理的逆用(边与正弦的转化关系) ① a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,c= 2Rsin C(边到角的转换); ②sin A ? a , sin

B ? b , sin C ? c (角到边的转换); 2R 2R 2R ③ a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2、三角形常用面积公式 (1)
S? S? 1 a ?h 2

(h 表示三角形长为 a 的边上的高)

(2)

1 1 1 acsin B ? bcsin A ? absin C. 2 2 2

(3)

S?

1 r(a ? b ? c) 2

(r 为三角形的内切圆半径).

3、余弦定理(边的平方与余弦的转化关系) 三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两 倍 ,即 a2= b2+c2-2bccos A , b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C. (2)余弦定理的逆用

b2 ? c2 - a 2 a 2 ? c2 - b2 a 2 ? b2 - c2 cos A ? , cos B ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab
4、判断三角形中解的个数问题: 公式法与图像法 5、解题方法:1.构造三角形 2.选择定理 3.求边长或角度都放在某几个三角形 内,求角应先求角的正余弦值。 4.sinA=sinB,注意 A=B 或 A+B= ? .5.两角和与 差的正余弦公式。

题型一:正余弦定理的应用(求边、角、解的个数) 1. 在△ABC 中,已知 a=11,b=20,A=130° ,则此三角形(

)

A.无解

B.只有一解

C.有两解 D.解的个数不确定

2.在四边形 ABCD 中,BC=a,DC=2a,四个角 A:B:C:D=3:7:4:10,求 AB 的长。

3. 在 △ABC 中, 角 A, B 均为锐角, 且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是 ( A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形



题型二:求三角形 1. 边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A.
900


1500

B.

1200

C.

1350

D.

2.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么 ?

3. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,A= (1)求 cosB 的值; (2)若 2c=b+2,求边长 b.

π 3 ,sinB= . 3 3

题型三:实际应用 1. 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个观测点 C 与 D,测得∠BCD=15° ,∠BDC=30° ,CD=30 m,并在点 C 处测 得塔顶 A 的仰角为 60° ,求塔高 AB.

变式练习 1. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 bcosC+ccosB=asinA,判断形状。

2. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,asinAsinB+bcos A=2a,则
2

b = a

作业 1、已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3, BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为:
A. 750
B.

600

C.

450

D.

300

2、在 ?ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分又不必要条件 3 3、三角形的两边之差为 2 ,夹角的余弦为 ,这个三角形的面积为 14 ,那么这 5 两边分别
A. 3, 5
B. 4, 6

C. 6,8

D. 5, 7

4、在 ?ABC 中,如果 4sin A ? 2cos B ? 1,2sin B ? 4cos A ? 3 3 ,则 ?C 的大小为( )
A. 30 0
B. 1500

C. 30 0 或 1500

D. 60? 或 1200

5、 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,不解三角形,判断三角形解的个数 (1)a=5,b=4.A= 1200 (3)a=9,b=10,A= 60? (2)a=7,b=14,A= 30 0 (4)c=5,b=7,C= 135 ?



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