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双曲线的简单几何性质



双曲线的简单几何性质

1.双曲线的定义.
2.双曲线的两种标准方程. 3.双曲线的一般方程.

类比椭圆几何性质的得出,能否根据双曲 线的标准方程得出双曲线的范围、对称性、顶 点等几何性质?

由双曲线方程



?

x2 y2 ? 1? 2

? 1 2 a b

x2 ?1 即 x 2 a

? ?a 或 x ? a .

这表明双曲线在不等 式 x ? ?a 与 x ? a 所 表示的平面区域内.

双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.

坐标轴是双曲线的对称 轴,原点是双曲线的对 称中心.双曲线的对称 中心叫做双曲线的中心.

双曲线和它的对称轴的 交点,叫做双曲线的顶 点. A1 (-a,0) A2(a,0) B1(0,-b) B2(0,b) 线段A1A2:实轴,实轴长 为2a; 线段B1B2:虚轴,虚轴长 为2b; 实半轴长:a 虚半轴长: b

当焦点在y轴上:

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

范围
对称性

y ? ?a 或 y ? a
对称轴:x轴、y轴 对称中心:原点 (0,-a) (0,a) 实轴长:2a 虚轴长:2b

顶点

如何画椭圆的草图?
椭圆位于直线 x ? ? a 与 y ? ?b 围成的矩形内。 用平滑的曲线连接椭圆 的四个顶点,即可得到 椭圆的草图.

如何画双曲线的草图呢?

经过A1,A2,作y轴的平行线 x ? ? a ,经过点B1,B2, 作x轴的平行线 y ? ?b,四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程为: y ? ? b x

a

分别过实轴端点和 虚轴端点分别作虚 轴和实轴的平行线 所得矩形的对角线 所在直线叫做双曲 线的渐近线.

注意:双曲线与它的渐近线无线接近,但永不相交.

x y 在方程 a 2 ? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 中,如果

a 当焦点在y轴上时,渐近线方程为: y ? ? x b 2 2

b 当焦点在x轴上时,渐近线方程为:y ? ? x a

a ? b ,那

2 2 2 x ? y ? a 么双曲线的方程为: .实轴和虚轴等

长的双曲线叫做 等轴双曲线

y ? ?x . 渐近线为:

c 与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 a ,

叫做双曲线的离心率.

?c>a>0,?

c 双曲线的离心率 e ? ? 1 a

离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的 离心率刻画双曲线的什么几何特征?

?

2 2 b 2 c ? a c ? ? ? 1 2 a 2 a a

? e越大,b 越大,即渐近线 y ? ? b x的
a
a

? e ?1
2

斜率绝对值越大,这时双曲线开口越 大。 离心率越大,双曲线开口越大。

例3 求双曲线 9 y ?16x ? 144 的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
2 2

课本 P53 练习 第1题.

范围 对称性 双曲线的几何性质 顶点 渐近线

离心率

P54

习题2.2A组3,4题



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