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湖南省张家界一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析



湖南省张家界一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文 科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)“a>0”是“a >0”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. (5 分)双

曲线 A. B.

的渐近线方程为() C. D.

3. (5 分)下列表述正确的是() ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④

C.②④⑤

D.①③⑤

4. (5 分)下列说法错误的是() A.如果命题“≦p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 2 2 B. 命题 p:?x0∈R,x0 +2x0+2≤0,则?p:?x∈R,x +2x+2>0 C. 命题“若 a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数”的否命题是“若 a, b 都不是偶数, 则 a+b 不是偶数” D.特称命题“?x∈R,使﹣2x +x﹣4=0”是假命题 5. (5 分)若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是() A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
2 2 2

6. (5 分)函数 A. C.

在点 P(2,f(2) )处切线方程是() B. D.

7. (5 分) 若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为()

A.
2

B.
2

C.

D.

8. (5 分)在双曲线 x ﹣y =8 的右支上过右焦点 F2 的一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么 △ F1PQ 的周长为() A.28 B. 8 C.14﹣8 D.14+8 9. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、 QQ1 垂直于抛物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF,QF 的长度分别是 4,9,那么 |PQ1|=() A.12 B.13 C. D.15
2

10. (5 分)如图,椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,左焦点为 F,A,B,C 为其三

个顶点,直线 CF 与 AB 交于 D,则 tan∠BDC 的值等于()

A.

3

B . ﹣3

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)抛物线 y =﹣8x 的焦点坐标是. 12. (5 分)已知 1+ 不等式的规律,则关于正数 a,b 满足的不等式是. …通过观察上述
2

13. (5 分)双曲线

的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为.

14. (5 分)已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(2)=1,且 f(x)的导函数 f′(x)> ,则关于 x 的不等式 f(x)> ﹣ 的解集为.

15. (5 分) (1)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的 最大值等于. (2) 如图, 它满足①第 n 行首尾两数均为 n, ②表中的递推关系类似杨辉三角, 则第 n 行 (n≥2) 第 2 个数是.

3

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知命题 p:a∈{a|2a+1>5},命题 q:a∈{a|a ﹣2a﹣3≤0},若 p∨q 为真,p∧q 为 假,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)在调查男女乘客是否晕机的情况中,已知男乘客晕机为 28 人,不会晕机的也是 28 人,而女乘客晕机为 28 人,不会晕机的为 56 人. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)试判断是否晕机与性别有关? 2 2 (参考数据:K >2.706 时,有 90%的把握判定变量 A,B 有关联;K >3.841 时,有 95%的 2 把握判定变量 A,B 有关联;K >6.635 时,有 99%的把握判定变量 A,B 有关联.参考公式: K>
2



18. (12 分)已知双曲线 C:2x ﹣

2

=1

(1)求与双曲线 C 共渐近线且过 A(2,﹣3)点的双曲线方程;x ﹣

2

=1

(2)求与双曲线 C 有相同焦点且经过点(2,﹣

)的椭圆方程.

=1.

19. (13 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为: x+8(0<x≤120) .已知甲、乙

两地相距 100 千米. (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

20. (13 分)如图,设椭圆 C:

(a>b>0)的离心率 e=

,顶点 M、N 的距离为

,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点. (ⅰ)试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由;

(ⅱ)求|AB|的最小值.

21. (13 分)已知函数

在 x=1 处取得极大值 2.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的极值; 2 (3)设函数 g(x)=x ﹣2ax+a,若对于任意 x1∈R,总存在 x2∈,使得 g(x2)≤f(x1) ,求实 数 a 的取值范围.

湖南省张家界一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(文科)
参考 答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)“a>0”是“a >0”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 证明题;不等式的解法及应用. 分析: 根据不等式的性质,可得一个正数的平方一定是正数,而平方为正数的数不一定是 正数,由此即可得到本题答案. 2 解答: 解:当 a>0 时,必定有 a >0 成立,故充分性成立; 2 当 a >0 时,说明 a≠0,不一定有 a>0 成立,故必要性不成立. 故选:A 点评: 本题给出关于正数的不等式性质的条件,判断充分必要条件.着重考查了不等式的 基本性质和充要条件的判断等知识,属于基础题.

2. (5 分)双曲线

的渐近线方程为()

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先由解析式求出 a=4,b=3;再代入焦点在 x 轴上的渐近线方程的公式即可找到答案. 解答: 解:由题得,a=4,b=3, 且焦点在 x 轴上; 所以渐近线方程为 y= x= .

故选 C. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程.在求双曲线的渐近线方程时,一定要先判断焦点所 在位置,再代入公式,避免出错. 3. (5 分)下列表述正确的是() ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比 推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④

C.②④⑤

D.①③⑤

考点: 归纳推理;演绎推理的意义. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对 5 个命题 逐一判断即可得到答案. 解答: 解:归纳推理是由部分到整体的推理, 演绎推理是由一般到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故①③⑤是正确的 故选 D 点评: 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是 由特殊到一般的推理过程. 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的 定义, 即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程. 判断一个推理过程是否是演绎推 理关键是看他是否符合演绎推理的定义,即是否是由一般到特殊的推理过程. 4. (5 分)下列说法错误的是() A.如果命题“≦p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 2 2 B. 命题 p:?x0∈R,x0 +2x0+2≤0,则?p:?x∈R,x +2x+2>0 C. 命题“若 a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数”的否命题是“若 a, b 都不是偶数, 则 a+b 不是偶数” 2 D.特称命题“?x∈R,使﹣2x +x﹣4=0”是假命题 考点: 四种命题. 专题: 阅读型.

分析: 利用复合命题与简单命题真假的关系判断出 A 真;利用含量词的命题的否定形式判 断出 B 真,由于“都是”的否定是“不都是”,判断出 C 假;利用判别式的符号判断出根的个数, 判断出 D 真 解答: 解:“≦p”为真,则 p 为假;又“p 或 q”是真命题则 q 一定为假命题,故 A 真 含量词的命题的否定是将量词互换,结论否定,所以 B 为真 命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题是“若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数”故 C假 对于方程﹣2x +x﹣4=0 的判别式为﹣31,所以方程无解,故 D 真 故选 C 点评: 含量词的命题的否定是将量词“任意”与“存在”互换;同时结论否定. 5. (5 分)若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是() A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于 k 的不等式,求得 k 的范围. 解答: 解:∵方程 x +ky =2,即
2 2 2 2 2

表示焦点在 y 轴上的椭圆



故 0<k<1

故选 D. 点评: 本题主要考查了椭圆的定义,属基础题.

6. (5 分)函数 A. C.

在点 P(2,f(2) )处切线方程是() B. D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,得到 f′(2) ,再求出 f(2) ,然后利用直线方程的点斜式得答 案. 解答: 解:∵ ,









又 f(2)= ∴函数 即 .

. 在点 P(2,f(2) )处切线方程是 ,

故选:A. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜 率,就是函数在该点处的导数值,是中档题. 7. (5 分) 若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定 义、性质与方程. 分析: 依题意,作图分析,利用椭圆的性质即可求得答案. 解答: 解:不妨设椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴,左焦点为 F1,短轴的两个顶点分 别为 B 与 B′,

∵△BF1B′为等边三角形,|OF1|=c,|OB|=b,|BF1|= 又 b= a, ∴c= a, .

=

=a,

∴该椭圆离心率 e= =

故选:D. 点评: 本题考查椭圆的性质, 着重考查椭圆中 a、 b、 c 之间的关系与其离心率, 属于中档题. 8. (5 分)在双曲线 x ﹣y =8 的右支上过右焦点 F2 的一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么 △ F1PQ 的周长为() A.28 B. 8 C.14﹣8 D.14+8
2 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由双曲线的定义可得|QF1|﹣|QF2|=|PF1|﹣|PF2|=2a=4 ,可得|QF1|+|PF1|=7+8 ,故 可求得△ F1PQ 的周长为|QF1|+|PF1|+|PQ|的值. 2 2 解答: 解:双曲线 x ﹣y =8 的方程可得 a=b=2 ,c=4,右焦点 F2 (4,0) ,F1 (﹣4, 0) , 由双曲线的定义可得|QF1|﹣|QF2|=|PF1|﹣|PF2|=2a=4 , ∴|QF1|﹣|QF2|+|PF1|﹣|PF2|=|QF1|+|PF1|﹣PQ=|QF1|+|PF1|﹣7=8 , ∴|QF1|+|PF1|=7+8 ,故△ F1PQ 的周长为|QF1|+|PF1|+|PQ|=7+8 +7 =14+8 , 故选:D. 点评: 本题考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 |QF1|+|PF1|=8+8 ,是解题的关键,属于中档题. 9. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、 QQ1 垂直于抛物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF,QF 的长度分别是 4,9,那么 |PQ1|=() A.12 B.13 C. D.15 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示, 过点 P 作 PM⊥QQ1, 垂足为 M. 可得四边形 PMQ1P1 为矩形, PM=P1Q1. 利 用抛物线的定义可得|PF|=|PP1|=4,|FQ|=|QQ1|=9,得到|QM|=9﹣4.在 Rt△ PQM 中,利用勾股 定理先求出|PM|= ,即可求出|PQ1|的值.
2

解答: 解:如图所示,过点 P 作 PM⊥QQ1,垂足为 M. 则四边形 PMQ1P1 为矩形,∴PM=P1Q1. ∵|PF|=|PP1|=4,|FQ|=|QQ1|=9,∴|QM|=9﹣4=5. 在 Rt△ PQM 中,|PM|= ∴|P1Q1|=12,∴|PQ1|= 故选:C. = =4 , =12.

点评: 本题考查了抛物线的定义、矩形的性质、勾股定理,属于基础题.

10. (5 分)如图,椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,左焦点为 F,A,B,C 为其三

个顶点,直线 CF 与 AB 交于 D,则 tan∠BDC 的值等于()

A.3

B . ﹣3

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意可得离心率为 ,然后得到 a,b,c 之间的关系,进而利用这些关系表示出 ∠DBF、∠DFB 的正切值,再根据角之间的关系表示出∠BDC=π﹣(∠DBF+∠DFB) ,利用 正切公式即可得到答案. 解答: 解:∵离心率 e= ,∴ = , = . = = , tan∠OFC= = = ,

由图可知, tan∠BDC=tan (∠BAO+∠OFC) , ∴tan∠BAO=

∵∠BDC=π﹣(∠DBF+∠DFB) , ∴tan∠BDC=tan(∠BAO+∠OFC)=﹣3 , 故选:B. 点评: 解决此类问题的关键是熟悉椭圆中 a,b,c 之间的关系,以及图象中角与角之间的互 补关系,进而得到答案. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)抛物线 y =﹣8x 的焦点坐标是(﹣2,0) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线的标准方程,可判断出焦点所在的坐标轴和 p,进而求得焦点坐标. 解答: 解:∵抛物线方程 y =﹣8x, ∴焦点在 x 轴,p=4,∴焦点坐标为(﹣2,0) 故答案为(﹣2,0) . 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.求抛物线的焦点时,注意抛物线焦点所在的位 置,以及抛物线的开口方向. 12. (5 分)已知 1+ 不等式的规律,则关于正数 a,b 满足的不等式是 . …通过观察上述
2 2

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 第 1 个不等式为:1+ ≤ = ≤ = ;第 2 个不等式为: + ≤ = . ; ; ; ;通

;第 3 个不等式为:

过观察上述不等式的规律,则关于正数 a,b 满足的不等式是 解答: 解:第 1 个不等式为:1+ 第 2 个不等式为: 第 3 个不等式为: … 则关于正数 a,b 满足的不等式是 故答案为: . , + ≤ ≤ = = ≤ =

点评: 本题考查运算 求解能力,推理论证能力,考查化归与转化思想,解题时要认真审题, 注意总结规律,属于基础题.

13. (5 分)双曲线

的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 可得渐近线方程为 .由于两条渐近线互相垂直,可得

,解得 a=b.即可得到该双曲线的离心率 e=



解答: 解:由双曲线 ∵两条渐近线互相垂直, ∴ ,解得 a=b.

可得渐近线方程为



该双曲线的离心率 e=

=



故答案为: . 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题. 14. (5 分)已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(2)=1,且 f(x)的导函数 f′(x)> ,则关于 x 的不等式 f(x)> ﹣ 的解集为(2,+∞) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 构造函数(x)=f(x)﹣( 关系即可得到结论. 解答: 解:构造函数 g(x)=f(x)﹣( 则函数的导数为 g′(x)=f′(x)﹣ , ∵f′(x)> ,∴g′(x)>0, 即函数 g(x)是增函数, ∵f(2)=1, ∴g(2)=f(2)﹣( ﹣ )=1﹣1=0, 即当 x>2 时,g(x)>g(0)=0, 即不等式 f(x)> ﹣ 的解集为(2,+∞) , ﹣ ) , ﹣ ) ,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的

故答案为: (2,+∞) 点评: 本题主要考查不等式的求解,构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系是解 决本题的关键. 15. (5 分) (1)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的 最大值等于 9. (2) 如图, 它满足①第 n 行首尾两数均为 n, ②表中的递推关系类似杨辉三角, 则第 n 行 (n≥2) 第 2 个数是 .
3 2

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 综合题.

分析: (1)求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a,b 满足的条件,利用基 本不等式求出 ab 的最值; (2)依据“中间的数从第三行起,每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第 一个数与第二个数的和,即有 an+1=an+n(n≥2) ,再由累加法求解即可. 2 解答: 解: (1)由题意,求导函数 f′(x)=12x ﹣2ax﹣2b, ∵在 x=1 处有极值, ∴a+b=6, ∵a>0,b>0, ∴ab≤( ) =9,当且仅当 a=b=3 时取等号,
2

所以 ab 的最大值等于 9. (2)依题意 an+1=an+n(n≥2) ,a2=2, 所以 a3﹣a2=2,a4﹣a3=3,…,an﹣an﹣1=n, 累加得 an﹣a2=2+3+…+(n﹣1)= ,

∴an=



故 答案为:9,



点评: 本题考查函数在极值点处的导数值为 0、 考查利用基本不等式求最值, 需注意: 一正、 二定、三相等;考查学生的读图能力,通过三角数表构造了一系列数列,考查了数列的通项及 求和的方法. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知命题 p:a∈{a|2a+1>5},命题 q:a∈{a|a ﹣2a﹣3≤0},若 p∨q 为真,p∧q 为 假,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先通过解一元一次不等式及一元二次不等式求出 p,q 为真时的 a 的取值范围,再根 据 p∨q 为真,p∧q 为假得到 p 真 q 假,和 p 假 q 真两种情况,求出每种情况下的 a 的取值范 围再求并集即可. 解答: 解:若 p 为真,则 2a+1>5,∴a>2; 若 q 为真,则 a ﹣2a﹣3≤0,∴﹣1≤a≤3 若 p∨q 为真,p∧q 为假,则 p,q 一真一假; (1)当 p 真 q 假时: ,∴a>3;
2

(2)当 p 假 q 真时:

,∴﹣1≤a≤2;

综上,a 的取值范围为:∪(3,+∞) .

点评: 考查描述法表示集合,元素与集合的关系,解不等式,以及 p∨q,p∧q 的真假和 p, q 真假的关系. 17. (12 分)在调查男女乘客是否晕机的情况中,已知男乘客晕机为 28 人,不会晕机的也是 28 人,而女乘客晕机为 28 人,不会晕机的为 56 人. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)试判断是否晕机与性别有关? (参考数据:K >2.706 时,有 90%的把握判定变量 A,B 有关联;K >3.841 时,有 95%的 2 把握判定变量 A,B 有关联;K >6.635 时,有 99%的把握判定变量 A,B 有关联.参考公式: K>
2 2 2



考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)根据条件中所给的数据,写出列联表,注意各个部分的数据不要写错位置,做 出合计要填在表中. (2)根据列联表和求观测值的公式,把数据代入公式,求出观测值,把观测值同临界值进行 比较,得到在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下我们认为是“晕机与性别”有关. 解答: 解: (1)2×2 列联表如下: 晕机 不晕机 合计 男乘客 28 28 56 女乘客 28 56 84 合计 56 84 140 (2)假设是否晕机与性别无关, 则K =
2 2

=

≈3.888>3.841,

因为 P(k ≥3.841)≈0.05, 所以有 95%的把握认为是否晕机与性别有关. 点评: 本题考查独立性检验的应用,解题的关键是利用列联表正确的计算出观测值,属于 中档题.
2

18. (12 分)已知双曲线 C:2x ﹣

=1

(1)求与双曲线 C 共渐近线且过 A(2,﹣3)点的双曲线方程;x ﹣

2

=1

(2)求与双曲线 C 有相同焦点且经过点(2,﹣

)的椭圆方程.

=1.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)与 2x ﹣ 标代入即可; (2)确定双曲线 C:2x ﹣ >0) ,代入点(2,﹣
2

2

=1 有相同的渐近线的方程可设为 2x ﹣

2

=λ≠0,再把点 A 的坐

=1 的焦点坐标为(

,0) ,设椭圆方程为

=1(m

) ,可得椭圆方程.
2

解答: 解: (1)与双曲线 C 共渐近线的方程可设为 2x ﹣ 可得 λ=2, ∴所求双曲线方程; (2)双曲线 C:2x ﹣
2

=λ≠0,代入 A(2,﹣3) ,

. =1 的焦点坐标为( ,0) ,

设椭圆方程为 代入点(2,﹣ )得

=1(m>0) , ,由 m>0 可得 m=8,

∴椭圆方程为



点评: 本题考查双曲线、椭圆的方程,考查学生的计算能力,正确设方程是关键. 19. (13 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为: x+8(0<x≤120) .已知甲、乙

两地相距 100 千米. (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 考点: 利用导数研究函数的极值;函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (I)把用的时间求出,在乘以每小时的耗油量 y 即可. (II)求出耗油量为 h(x)与速度为 x 的关系式,再利用导 函数求出 h(x)的极小值判断出 就是最小值即可. 解答: 解: (I)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油 (升) . 小时,

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升. (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 h(x)升,

依题意得



. 令 h'(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值, 所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 点评: 本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实 际问题的能力.

20. (13 分)如图,设椭圆 C:

(a>b>0)的离心率 e=

,顶点 M、N 的距离为

,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点. (ⅰ)试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由; (ⅱ)求|AB|的最小值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的 定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用 e= 得 = ,由顶点 M、N 的距离为 ,得 a +b =5,由 a =b +c ,
2 2 2 2 2

即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) (ⅰ)分类讨论,直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程, 2 2 消去 y,利用 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0,整理得 5m =4(1+k ) ,即可得出结论; (ⅱ)在 Rt△ AOB 中,d|AB|=|OA||OB|,利用基本不等式,即可求|AB|的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由 e= 得 =
2 2

由顶点 M、N 的距离为 ,得 a +b =5, 2 2 2 又由 a =b +c ,解得 a=2,b=1,

∴椭圆 C 的方程为



(Ⅱ) (ⅰ)点 O 到直线 AB 的距离为定值 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ①当直线 AB 的斜率不存在时,则△ AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA:y=x 将 y=x 代入 ,解得 x=± ; ,

∴点 O 到直线 AB 的距离为 d=

②当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 2 2 2 代入椭圆方程,消去 y 得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0. ∴x1+x2=﹣ ,x1x2=

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. ∴x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=0, 2 2 即(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m =0 ∴(1+k )
2 2

+km?(﹣
2

)+m =0,

2

整理得 5m =4(1+k ) , ∴点 O 到直线 AB 的距离 d= = ,

综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值 (ⅱ)在 Rt△ AOB 中,d|AB|=|OA||OB|. ∵2|OA||OB|≤|OA| +|OB| =|AB| , 2 ∴|AB| ≥2d|AB|, ∴|AB≥2d=
2 2 2



,当|OA|=|OB|时取等号,即|AB|的最小值是



点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查学生分析解决问题的 能力,弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识,要熟练掌握. 21. (13 分)已知函数 在 x=1 处取得极大值 2.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的极值; 2 (3)设函数 g(x)=x ﹣2ax+a,若对于任意 x1∈R,总存在 x2∈,使得 g(x2)≤f(x1) ,求实 数 a 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研 究函数的极值. 专题: 导数的综合应用.

分析: (1)先由已知函数求其导数,再根据函数 f(x)在 x=1 处取得极值 2,列出关于 a, b 的方程即可求得函数 f(x)的解析式; (2)求 f′(x) ,令 f′(x)>0,令 f′(x)<0,求出函数的单调区间,进而能够求出函数 f(x) 的极值; (3)求得函数 f(x)的极小值,且当 x>1 时,f(x)>0 恒成立,得函数 f(x)的最小值, 利用二次函数的图象,对 a 进行分类讨论,得出 g(x)在上的最大值,由 g(x)在上的最大 值小于等于﹣2 得 a 的范围,结合分类时 a 的范围,得到 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 在 x=1 处取得极大值 2.





又由 f′(x)=

=



由题意得

,解得



经检验,当 m=4,n=1 时,函数 f(x)在 x=1 处取得极小值 2 ∴ 函数 f(x)的解析式为 f(x)= ;

(2)∵函数 f(x)的定义域为 R 且由(1)有 f′(x)= 令 f′(x)=0,解得:x=±1 ∴当 x 变化时,f(x) ,f′(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣1) ﹣1 (﹣1,1) 1 (1,+∞) f′(x) ﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) 减 极小值﹣2 增 极大值 2 减 ∴当 x=﹣1 时,函数 f(x)有极小值﹣2;当 x=1 时,函数 f(x)有极大值 2; (3)由(2)知函数 f(x)的大致图象如图所示: 则 f(x)在 x=﹣1 处取得极小值 f(﹣1)=﹣2, 在 x=1 处取得极大值 f(1)=2 又∵x>0 时,f(x)>0, ∴f(x)的最小值为﹣2, ∵对于任意的 x1∈R,总存在 x2∈,使得 g(x2)≤f(x1) ∴当 x∈时,g(x)最小值不大于﹣2, 2 2 2 又 g(x)=x ﹣2ax+a=(x﹣a) +a﹣a ①当 a≤﹣1 时,g(x)的最小值为 g(﹣1)=1+3a, 由 1+3a≤﹣2,得 a≤﹣1, ②当 a≥1 时,g(x)最小值为 g(1)=1﹣a,由 1﹣a≤﹣2,得 a≥3 2 ③当﹣1<a<1 时,g(x)的最小值为 g(a)=a﹣a

由 a﹣a ≤﹣2,得 a≤﹣1 或 a≥2,又﹣1<a<1, 所以此时 a 不存在. 综上,a 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) .

2

点评: 本题考查函数的解析式的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要 认真审题,注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用.



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