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复数知识点







1.复数的概念: (1)虚数单位 i; (2)复数的代数形式 z=a+bi,(a, b∈R); (3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2.复数集 ? ? ?整 数 ? ? 有 理 数? ? 实 数 (b ? 0) ? ?分 数 ? ? 复 数 a ? bi (a, b ? R ) ? 小数 ) ? 无理数 (无限不循环 ? ?

虚 数 (b ? 0) ? 纯 虚 数 ( a ? 0) ? ? ?非 纯 虚 数 (a ? 0) ? 3.复数 a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部,1 与 i 分别是实数单位和虚数单位,当 b=0 时,a+bi 就是实数,当 b≠0 时,a+bi 是虚数,其中 a=0 且 b≠0 时称为纯虚数。 应特别注意,a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件,若 a=b=0,则 a+bi=0 是实数。 4.复数的四则运算 若两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i, (1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; (2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; (3)乘法:z1〃z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i; z1 (a1a2 ? b1b2 ) ? (a2b1 ? a1b2 )i ? z a2 2 ? b2 2 2 (4)除法: ; (5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。 (6)特殊复数的运算: n ① i (n 为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i;
1 3 ③ 若ω=- 2 + 2 i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.

5.共轭复数与复数的模 (1)若 z=a+bi,则 z ? a ? bi , z ? z 为实数, z ? z 为纯虚数(b≠0).
2 2 2 (2)复数 z=a+bi 的模|Z|= a ? b , 且 z ? z ?| z | =a2+b2. 6. 根据两个复数相等的定义,设 a, b, c, d ∈ R ,两个复数 a+bi 和 c+di 相等规定为 ?a ? c ?a ? 0 ?? ? a+bi=c+di ?b ? d . 由这个定义得到 a+bi=0 ? ?b ? 0 . 两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。 4.复数 a+bi 的共轭复数是 a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。 若 b=0,则实数 a 与实数 a 共轭,表示点落在实轴上。

5.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将 i2= -1 结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a-bi)= a2+b2 6.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数 x+yi 叫做复 数 a+bi 除以复数 c+di 的商。 由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即 a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di )(c ? di ) c2 ? d 2 . 7.复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原点的距离。 (二)典型例题讲解 1.复数的概念 例 1.实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? (4)对应的点 Z 在第三象限? 解:复数 z=m+1+(m-1)i 中,因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,它们分别是 z 的实部和 虚部, ∴ (1)m=1 时,z 是实数; (2)m≠1 时,z 是虚数; ?m ? 1 ? 0 ? (3)当 ?m ? 1 ? 0 时,即 m=-1 时,z 是纯虚数;

?m ? 1 ? 0 ? (4)当 ?m ? 1 ? 0 时,即 m<-1 时,z 对应的点 Z 在第三象限。
例 2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x, y. ? 2x ?1 ? y 5 ? 解:根据复数相等的意义,得方程组 ?1 ? ?(3 ? y) ,得 x= 2 , y=4. 2m2 ? 3m ? 2 2 例 4.当 m 为何实数时,复数 z= m ? 25 +(m2+3m-10)i;(1)是实数;(2)是虚数; (3)是纯虚数. 解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法. ?m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ? 2 (1)z 为实数,则虚部 m2+3m-10=0,即 ? m ? 25 ? 0 , 解得 m=2,∴ m=2 时,z 为实数。

?m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ? 2 (2)z 为虚数,则虚部 m2+3m-10≠0,即 ? m ? 25 ? 0 ,
?2m2 ? 3m ? 2 ? 0 ? 2 ?m ? 3m ? 10 ? 0 ? m2 ? 25 ? 0 解得 m≠2 且 m≠±5. 当 m≠2 且 m≠±5 时,z 为虚数. ? , 1 1 解得 m=- 2 , ∴当 m=- 2 时,z 为纯虚数.

诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注 意分母不为零这一要求. 例 5.计算:i+i2+i3+……+i2005. 解:此题主要考查 in 的周期性. i+i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003+i2004)+i2005 =(i-1-i+1)+ (i-1-i+1)+……+(i-1-i+1)+i =0+0+……+0+i=i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解(略) 组.

诠释:本题应抓住 in 的周期及合理分

例 8.使不等式 m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10 成立的实数 m= 解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法. ∵ m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10, 且虚数不能比较大小, ? m2 ? 10 ? | m |? 10 ? 2 ? ?m ? 3m ? 0 ?m ? 0或 m ? 3 ? 2 ? m ? 4m ? 3 ? 0 ∴? ,解得 ?m ? 3或 m ? 1 ,∴ m=3. 当 m=3 时,原不等式成立. 诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。 例 9.已知 z=x+yi(x,y∈R),且 2 ? i log2 x ? 8 ? (1 ? log2 y)i ,求 z. 解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法. ? 2x? y ? 8 ? 0 ?x ? y ? 3 ? ? x? y 2 ? i log x ? 8 ? (1 ? log y ) i log x ? 1 ? log y 2 2 ? 2 2 ∵ ,∴ ,∴ ? xy ? 2 ,
x? y

.

?x ? 2 ? x ? 1 ? ? 解得 ? y ? 1 或 ? y ? 2 , ∴ z=2+i 或 z=1+2i. 诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)
例 10.已知 x 为纯虚数,y 是实数,且 2x-1+i=y-(3-y)i,求 x、y 的值. 解:本题主要考查复数的有关概念,实数与 i 的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法. 设 x=ti (t∈R,且 t≠0),则 2x-1+i=y-(3-y)i 可化为 2ti-1+i=y-(3-y)i,即(2t+1)i-1=y-(3-y)i, ?2t ? 1 ? ?(3 ? y) 5 5 ? ? 1 ? y ∴? , ∴y=-1, t=- 2 , ∴ x=- 2 i. 2.复数的四则运算 例 1.计算: (1 ? i ) 2 n 2( n ?1) (1) (1 ? i ) ,n∈N+;
1 3 3 ?i 6 ? 3 ?i 6 ( ) ?( ) 2 2 (2)若ω=- 2 + 2 i,ω3=1,计算 ;

(3) ; (4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99. (1 ? i ) 2 n (1 ? i)2 n 2i n [ ] ? (1 ? i)2 ? ( ) ? (?2i) ? (?1) n?1 ? 2i 2( n ?1) 2 ?2i 解:(1) (1 ? i ) = (1 ? i)

( 3 ? 2i)( 5 ? 2i)( 5 ? 3i) 2 ( 2 ? 3i)( 2 ? 5i)

? 2i n ? 2k ? 1, k ? N ? ? n ? 2k , k ? N ? . = ??2i
(2)
( 3 ?i 6 ? 3 ?i 6 ?1 ? 3i 6 ?1 ? 3i 6 6 ) ?( ) (?i ? ) ? (?i ? ) ? i ? [? 6 ? (? 2 )6 ] 2 2 2 2 =

=-2.

3 ? 2i ?i (3)由于 2 ? 3i ,

5 ? 2i ?i 2 ? 5i ,

2 2 2 = | i ? i ? ( 5 ? 3i) |?| ( 5 ? 3i) |? ( 5 ? 3) =8. (4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99 =(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+……+(97+98i-99-100i) =25(-2-2i)=-50-50i.



( 3 ? 2i)( 5 ? 2i)( 5 ? 3i) 2 ( 2 ? 3i)( 2 ? 5i)

4 例 2.已知复数 z 满足|z-2|=2,z+ z ∈R,求 z. 解:设 z=x+yi, x, y∈R,则 4z 4( x ? yi ) 4x 4y 4 ? x ? yi ? 2 ? x? 2 ? (y ? 2 )i 2 2 x ?y x ?y x ? y2 , z+ z =z+ zz

4y 4 y? 2 x ? y 2 =0, 又|z-2|=2, ∴ (x-2)2+y2=4, ∵ z+ z ∈R,∴ 联立解得,当 y=0 时, x=4 或 x=0 (舍去 x=0, 因此时 z=0), ? x ?1 ? ? ? y ? ? 3 , z=1± 3 , 当 y≠0 时, ? ∴ 综上所得 z1=4,z2=1+ 3 i,z3=1- 3 i.
1 例 3.设 z 为虚数,求证:z+ z 为实数的充要条件是|z|=1.

证明:设 z=a+bi (a, b∈R,b≠0),于是 1 1 a ? bi a b ? a ? bi ? 2 ? (a ? 2 ) ? (b ? 2 )i 2 2 a ?b a ?b a ? b2 , z+ z =(a+bi)+ a ? bi 1 b 2 2 所以 b≠0, (z+ z )∈R ? b- a ? b =0 ? a2+b2=1 ? |z|=1.
z ?1 例 4.复数 z 满足(z+1)( z +1)=| z |2,且 z ? 1 为纯虚数,求 z. 解:设 z=x+yi (x, y∈R),则
1 (z+1)( z +1)=| z |2+z+ z +1=| z |2,∴ z+ z +1=0,z+ z =-1,x=- 2 . 2 2 2 z ? 1 ( z ? 1)( z ? 1) ? | z | ? z ? z ? 1 x ? y ? x ? yi ? x ? yi ? 1 | z ? 1|2 | z ? 1|2 z ? 1 = ( z ? 1)( z ? 1) = 为纯虚数,



1 1 3 3 3 x2+y2-1=0, y=± 2 , ∴ z=- 2 + 2 i 或 z=- 2 - 2 i.

例 5.复数 z 满足(1+2i)z+(3-10i) z =4-34i,求 z. 解:设 z=x+yi (x, y∈R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi) =4-34i,

整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i. ? 4 x ? 12 y ? 4 ?x ? 4 ? ? ∴ ?8 x ? 2 y ? 34 , 解得 ? y ? 1 , ∴ z=4+i.
1 例 6.设 z 是虚数,ω=z+ z 是实数,且-1<ω<2, 1? z (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;(2)设 u= 1 ? z ,求证 u 为 纯虚数; (3)求ω-u2 的最小值。 解:(1)设 z=a+bi (a, b∈R, b≠0),则

a b ) ? (b ? 2 )i 2 a ?b a ? b 2 ,由于ω是实数且 b≠0,∴ a2+b2=1, ω= 1 即|z|=1,由ω=2a, -1<ω<2, ∴ z 的实部 a 的的取值范围是(- 2 , 1). 2 2 1 ? z 1 ? a ? bi ? 1 ? a ? b ? 2bi ? ? 2bi 1 2 2 (1 ? a) ? b a ? 1 ,由于 a∈(- 2 , 1), b≠0, (2)u= 1 ? z = 1 ? a ? bi (a ?
2

∴ u 是纯虚数。

b2 1 ? a2 a ?1 2 ? 2 a ? ? 2a ? ? 2a ? 1 ? 2 2 (1 ? a) a ?1 a ?1 (3)ω-u2=2a+ (1 ? a) 1 2[(a ? 1) ? ]?3 a ?1 = , 1 由于 a∈(- 2 , 1),∴ a+1>0,则ω-u2≥2×2-3=1, 1 当 a+1= a ? 1 , 即 a=0 时,上式取等号,所以ω-u2 的最小值为 1.
i?z 例 7.证明: i ? z =1. 解:此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等. 设 z=a+bi,(a, b∈R),则
2 2 i ? z i ? a ? bi ? a ? (1 ? b)i ? a ? (1 ? b) ? 1 ?a ? (1 ? b)i a 2 ? (1 ? b)2 i ? z = i ? a ? bi . ?(i ? z ) i ? z ?i ? z ? ?1 i?z 解 2:∵ i ? z ? i ? z ? ?i ? z ,∴ i ? z = i ? z .



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