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等比数列求和



2.5 等比数列的前 n 项和
1.等比数列的前 n 项和公式 (1)q=1 时,Sn=na1______; a1?1-qn? a1-qan (2)q≠1 时,Sn= _______= __________. 1-q 1-q 破疑点:(1)等比数列前 n 项和公式及通项公式中共有五个量 a1、q、an、n、 Sn,这五个量可“知三求二”. (2)利用等比数列的前 n 项

和公式求和时,要特别注意公比 q 的取值,应当 按 q=1 和 q≠1 分别求解,如果其中含有参数不能确定时,必须进行分类讨论. 练习:在等比数列{an}中,若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n. [解析] 解法一:∵an=96,q=2,

∴a1· 2n=192.① a1?1-2n? 又∵Sn= =189, 1-2 即 a1-a1· 2n=-189, ∴a1=a12n-189=192-189=3. 代入①式得 n=6. a1-anq 解法二:由公式 Sn= 及已知, 1-q 得 189= a1-96×2 , 1-2

解得 a1=3.又由 an=a1· qn-1,得 96=3· 2n-1,解得 n=6. 2.等比数列前 n 项和的性质 等比数列{an}中,若 Sn 为其前 n 项和,则依次每 k 项的和构成等比数列,即 Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,?(当 Sk≠0 时)成等比数列,其公比为 qk____ (q≠- 1). 练习:在正项等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 S10=10,S30=130,则 S20 的值为________. [答案] 40

[解析]

由 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列,

得(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20), 解方程得 S20=40 或 S20=-30,∵S20>0,∴S20=40. 考点一:等比数列求和公式 例 1、已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6, 1 则数列{a }的前 5 项和为(
n

) 31 C.16 15 D. 8

15 A. 8 或 5 [答案] C [解析]

31 B.16或 5

S6-S3 由题知 q3= S =8,则 q=2,
3

?1? 1 ∴数列?a ?是公比为2,首项为 1 的等比数列, ? n?

1? ? 1×?1-25? ? ? 31 ∴其前 5 项和 T5= 1 =16,故选 C. 1-2 跟踪练习:在等比数列{an}中,公比 q=-2,S5=22,则 a1 的值等于( A.-2 B.-1 C .1 D.2 )

[解析]

∵S5=22,q=-2,∴

a1[1-?-2?5] =22,∴a1=2. [答案] 1-?-2?

D

考点二:等比数列前 n 项和的性质 例 2、设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别 为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是( A.X+Z=2Y C.Y2=XZ [答案] [解析] D 由题意知 Sn=X,S2n=Y,S3n=Z. ) B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

又∵{an}是等比数列,

∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 为等比数列,即 X,Y-X,Z-Y 为等比数列,∴(Y -X)2=X· (Z-Y),整理得 Y2-XY=ZX-X2,即 Y(Y-X)=X(Z-X).故选 D. 跟踪练习:已知一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项和为 85, 偶数项和为 170,则这个数列的公比为________,项数为________. [答案] [解析] 2 8

设该等比数列的公比为 q,项数为 2n,

170 则有 S 偶=qS 奇?q= 85 =2, a1?1-q2n? 又 S2n=S 偶+S 奇? =85+170, 1-q ∴22n-1=255, ∴2n=8. 故这个数列的公比为 2,项数为 8. 考点三:等比数列前 n 项和公式的实际应用 例 3、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并 以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减 1 少5, 本年度当地旅游业收入估计 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用, 1 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元, 写出表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? [解析] 1 (1)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800(1- )万元,第 n 年 5

1 的投入为 800(1-5)n-1 万元. 1 1 所以,n 年内的总投入为:an=800+800(1-5)+?+800(1-5)n-1=4 000- 4 4 000(5)n(万元); 第一年旅游业收入为 400 万元,

1 第二年旅游业收入为 400(1+4)万元, 1 第 n 年旅游业收入为 400(1+4)n-1 万元. 所以 n 年内的旅游业总收入为 1 1 5 bn=400+400(1+4)+?+400(1+4)n-1=1 600(4)n-1 600(万元). (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0, 5 4 即 1 600(4)n-1 600-4 000+4 000(5)n>0, 5 4 化简得 2(4)n+5(5)n-7>0, 4 设(5)n=x,代入上式得 5x2-7x+2>0. 2 解此不等式,得 x<5,或 x>1(舍去), 4 2 即(5)n<5,由此得 n≥5. 答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入. 跟踪练习:国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩, 2004 年底西部已退耕 还林的土地面积为 515 万亩,以后每年退耕还林的面积按 12%递增. (1) 试问从 2004 年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划? (1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年) (2)为支持退耕还林工作, 国家财政从 2005 年起补助农民当年退耕地每亩 300 斤粮食,每斤粮食按 0.7 元折算,并且补助当年退耕地每亩 20 元.试问:西部 完成退耕还林计划,国家财政共需支付多少亿元?(精确到亿元) [解析] 设从 2004 年底起以后每年的退耕还林的土地依次为 a1, a2, a3, ?,

an,?万亩.则 (1)a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,?,an=515(1+12%)n,? Sn=a1+a2+?+an = 515?1+0.12??1-1.12n? =6 370-515 1-1.12

?515×1.12×(1.12n-1)

=5 855×0.12 ∴1.12n=2.22, ∴n=7. 故到 2011 年底西部地区才能完成退耕还林计划. (2)设财政补助费为 W 亿元. 则 W=(300×0.7+20)×(6 370-515)×10-4 =134.6(亿元) 所以西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付 134.6 亿元. 考点四:错位相减法求数列的前 n 项和 2n-1 1 3 5 7 例 4、求数列2,4,8,16,?, 2n 的前 n 项和. [解析] 2n-1 1 3 5 设 Sn=2+22+23+?+ 2n ,①

2n-1 3 5 则 2Sn=1+2+22+?+ n-1 .② 2 ①-②,得 1 1 ?1- n-1? 2 2 2n-1 2n-1 1 1 1 1 -Sn=-1-2(2+22+23+?+ n-1)+ 2n =-1-2× + 2n 1 2 1-2 =-1-2+ 2
n-2+

1

2n-1 2n

2n+3 =-3+ 2n , 2n+3 ∴Sn=3- 2n . 跟踪练习:(2013· 湖南文,19)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an -a1=S1· Sn,n∈N*. (1)求 a1、a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和.

[解析]

2 (1)令 n=1,得 2a1-a1=a2 1,即 a1=a1,因为 a1≠0,所以 a1=1,

令 n=2,得 2a1-1=S2=1+a2,解得 a2=2. 当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1 两式相减得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1, 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,因此,an=2n-1. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2)由(1)知,nan=n· 2n-1. 记数列{n· 2n-1}的前 n 项和为 Bn,于是 Bn=1+2×2+3×22+?+n×2n-1,① 2Bn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n.② ①-②得 -Bn=1+2+22+?+2n-1-n· 2n =2n-1-n· 2n . 从而 Bn=1+(n-1)· 2n



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