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2.3.1双曲线及其标准方程



2.3.1 双曲线及其标准方程
●三维目标 1.知识与技能 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题;了解双曲线标准 方程的推导过程及化简无理方程的常用方法. 2.过程与方法 通过定义及标准方程的挖掘与探究, 使学生进一步体验类比、 数形结合等思想方法的运 用,提高学生的观察与探究能力. 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的交流探索活动, 激发学生的学习兴趣, 培养学生用联系的观点认 识问题. ●重点难点 重点:理解和掌握双曲线的定义及其标准方程. 难点:双曲线标准方程的推导. 由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似, 学生已经有了一些学习椭圆的经验, 所以 本节课用“启发探究”式的教学方式,重点突出以下两点:①以类比思维作为教学的主线; ②以自主探究作为学生的学习方式,并结合多媒体辅助教学,进而实现重点、难点的突破.

●教学建议 在教法上,宜采用探究性教学法和启发式教学法. 让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件, 自觉主动地创造性地去分析问题、 讨 论问题、解决问题. 以启发、引导为主,采用设疑的形式,逐步让学生进行探究性的学习.通过创设情境, 充分调动学生已有的学习经验, 让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程, 发 现新的知识,把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识.又通过实际操作,使 刚产生的数学知识得到完善,提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质. ●教学流程 复习椭圆定义,提出问题:与两定点距离的差为常数的轨迹是什么? ?

引导学生结合试验分析,得出满足条件的曲线形状,给出双曲线定义并探究特殊情形. ? 通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法,推导双曲线的标准方程. ?

对比椭圆与双曲线定义的异同,完成例1及其互动探究,从而掌握双曲线定义的应用问题. ? 通过例2及其变式训练,使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程. ?

通过例3及其变式训练,使学生理解双曲线的定义及标准方程,并学会其在实际问题中的应用. ? 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. ?

完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.

1.了解双曲线的定义及焦距的概念. 课标 2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法 解读 去求双曲线的标准方程.(重点)

双曲线的定义 【问题导思】 1.我们知道,与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭 圆,那么与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么? 【提示】 双曲线的一支. 2.若定义中的常数大于或等于|F1F2|时,轨迹是什么?【提示】 当常数等于|F1F2|时, 轨迹为以 F1,F2 为端点,在直线 F1F2 上反向的两条射线 F1A,F2B(包括端点),如图所示.

当常数大于|F1F2|时,轨迹不存在. 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线的标准方程 【问题导思】 类比椭圆标准方程的建立过程,你能说说怎样选择坐标系,建立双曲线的标准方程 吗? 【提示】 以经过两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建坐标 系.

焦点在 x 轴上 标准 方程 焦点 焦距 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(-c,0),F2(c,0)

焦点在 y 轴上 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|=2c,c2=a2+b2

双曲线定义的应用 x2 y2 已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠ 9 16 F1PF2=60° ,求△F1PF2 的面积. 【思路探究】 (1)在△PF1F2 中,由余弦定理能得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|三者满足怎样的 关系式?(2)结合双曲线的定义,能否求出|PF1|· |PF2|的值进而求出△F1PF2 的面积? x2 y2 【自主解答】 由 - =1, 9 16 得 a=3,b=4,c=5. 由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=± 6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° , 所以 102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 所以|PF1|· |PF2|=64, 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|· sin ∠F1PF2 2

1 3 = ×64× =16 3. 2 2

求双曲线中焦点三角形面积的方法: 法一:(1)根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;(2)利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、 |F1F2|之间满足的关系式; (3)通过配方, 整体的思想求出|PF1|· |PF2|的值; (4)利用公式 S△PF1F2 1 1 = ×|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2 求得面积.法二:利用公式 S△PF1F2= ×|F1F2|×|yP|求得面积. 2 2

本例中若∠F1PF2=90° ,其他条件不变,求△F1PF2 的面积. 【解】 由双曲线方程知 a=3,b=4,c=5 由双曲线的定义,||PF1|-|PF2||=2a=6, ∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=36① 在 Rt△F1PF2 中,由勾股定理|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=100② 将②代入①得:|PF1|· |PF2|=32, 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|=16. 2

求双曲线的标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 4 10 (1)a=4,且经过点 A(1, ); 3 3 4 (2)经过点 P1(-2, 5)和 P2( 7,4)两点. 2 3 【思路探究】 (1)所求曲线的焦点位置确定吗?(2)如何求出 a2、b2 的值? x2 y2 【自主解答】 (1)①若所求双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b x2 y2 则将 a=4 代入,得 - 2=1. 16 b 4 10 又∵点 A(1, )在双曲线上, 3 ∴ 1 160 - =1.由此得 b2<0, 16 9b2

∴不合题意,舍去.

y2 x2 y2 x2 ②若所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则将 a=4 代入得 - 2=1, a b 16 b 4 10 代入点 A(1, ),得 b2=9, 3 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 x2 y2 (2)法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ∵P1、P2 在双曲线上,

? ? ∴? 4 ? 7? ? =1 ? 3 a -4 b
2 2 2 2 2

3 ? 5?2 2 ?-2? - 2 =1 a2 b



?a =-16 解得? 1 1 ?b =-9
2 2

1

1

(不合题意舍去).

当双曲线的焦点在 y 轴上时, y2 x2 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ∵P1、P2 在双曲线上,

? ? ∴? 4 ? 7? 3 4 ? ? a - b =1
2 2 2 2

3 ? 5?2 2 4 - 2=1 a2 b



?a =9 解得? 1 1 ?b =16
2 2

1

1

,即 a2=9,b2=16.

y2 x2 故所求双曲线方程为 - =1. 9 16 法二 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0),因为

P1、P2 在双曲线上,

?4m+ 4 n=1 所以有? 16 ? 9 ×7m+16n=1

45



?m=-16 解得? 1 ?n=9

1

.

x2 y2 y2 x2 所求双曲线方程为- + =1,即 - =1. 16 9 9 16

1.求双曲线标准方程的两个关注点: (1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐 标轴上,以确定方程的形式. (2)定量:是指确定 a2、b2 的数值,常由条件列方程求解. 2.若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为 mx2+ny2=1 的形 式,为简单起见,常标明条件 mn<0.

求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点是(0,-6),经过点 A(-5,6); (2)a=5,c=7. 【解】 (1)由已知 c=6,且焦点在 y 轴上,另一焦点为(0,6). 由双曲线定义 2a=| ?-5-0?2+?6+6?2- ?-5-0?2+?6-6?2|=8. ∴a=4,∴b2=c2-a2=20. ∴所求双曲线的标准方程为 y2 x2 - =1. 16 20

(2)由已知 a=5,c=7,∴b2=c2-a2=24,焦点不确定 ∴所求双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 - =1 或 - =1. 25 24 25 24

双曲线的定义与标准方程

的实际应用 “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面

指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记为 A,B,C),A 在 B 的正东方向, 相距 6 千米,C 在 B 的北偏西 30° 方向,相距 4 千米,P 为航天员着陆点.某一时刻,A 接 收到 P 的求救信号,由于 B,C 两地比 A 距 P 远,在此 4 秒后,B,C 两个救援中心才同时 接收到这一信号.已知该信号的传播速度为 1 千米/秒.求在 A 处发现 P 的方位角. 【思路探究】 由“A 接收到 P 的求救信号的时间比其他两个救援中心早 4 s”能否得 到|PB|与|PA|的差为定值?是否说明点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的一支上? 【自主解答】 因为|PC|=|PB|,所以 P 在线段 BC 的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA| =4, 所以 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上. 以线段 AB 的中点为坐标原点,AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴,正东方向为 x 轴正 方向建立直角坐标系,如图所示.

则 A(3,0),B(-3,0), C(-5,2 3). x2 y2 所以双曲线方程为 - =1(x>0), 4 5 BC 的垂直平分线方程为 x- 3y+7=0. 联立两方程解得 x=8,y=5 3, 所以 P(8,5 3), kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60° . 所以 P 点在 A 点的北偏东 30° 方向.

解答此类题首先应建立平面直角坐标系,取两定点所在的直线为 x 轴, 以两定点为端点 的线段的中点为坐标原点;然后根据双曲线的定义求出标准方程,再由标准方程解有关问 题.本题的解法主要运用了数形结合思想和函数与方程思想.

某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路 AP,BP 运到 P 处(如 图 2-3-1 所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60° ,试说明怎样运土才能最省工.

图 2-3-1 【解】 设 M 是分界线上的任意一点,则有: |MA|+|PA|=|MB|+|PB|,

于是|MA|-|MB| =|PB|-|PA|=150-100=50. 在△PAB 中,由余弦定理得, |AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|· |PB|·cos 60° 1 =1002+1502-2×100×150× =17 500. 2 ∴以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点为原点建立平面直角坐标系,则分界线是双曲线, x2 y2 即 - =1(x≥25). 625 3 750 故运土时,将此双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工.

混淆 a、b、c 的关系致误 双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点坐标为(0,3),求 k 的值. 【错解】 将双曲线的方程化成标准形式为 x2 y2 - =1. 1 8 k k 8 1 因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以 a2= ,b2= . k k 所以 c= a2-b2= 8 1 7 7 - =3,即 =9,所以 k= . k k k 9

8 【错因分析】 上述解法有两处错误:一是 a2,b2 值确定错误,应该是 a2=- ,b2= k 1 - ;二是基本量 a、b、c 的关系错误,在双曲线中基本量 a、b、c 的关系应该是 c2=a2+ k

b2. 【防范措施】 在椭圆中,a、b、c 的关系是 c2=a2-b2;而在双曲线中,a、b、c 的 关系是 c2=a2+b2,二者极易混淆,要注意区分,以防错误. k 【正解】 将双曲线的方程化成 kx2- y2=1. 8 因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3),所以焦点在 y 轴上,且 c=3. 8 1 8 1 所以 a2=- ,b2=- .所以- - =9,解得 k=-1. k k k k

1.理解双曲线定义应注意以下三点:①定义中的动点与定点在同一平面内;②距离的 差要加绝对值,否则只表示双曲线的一支;③距离差的绝对值必须小于焦距,否则不是双曲 线,而是两条射线或无轨迹. 2. 利用待定系数法可以求双曲线的标准方程, 求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步.

1.动点 P 到点 M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为 2,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 C.两条射线 B.双曲线的一支 D.一条射线

)

【解析】 ∵||PM|-|PN||=2=|MN|,∴点 P 的轨迹是两条射线. 【答案】 C 2.(2013· 徐州高二检测)双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( A.( 2 ,0) 2 B.( 5 ,0) 2 )

C.(

6 ,0) 2

D.( 3,0)
2

y2 【解析】 将双曲线方程化为标准形式 x - =1, 1 2 1 6 所以 a2=1,b2= ,∴c= a2+b2= , 2 2 ∴右焦点坐标为( 【答案】 C 3.满足条件 a=2,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( x2 y2 A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 4 16 x2 y2 B. - =1 12 4 x2 y2 D. - =1 16 4 ) 6 ,0). 2

【解析】 由 a=2,c=4,得 b2=c2-a2=12,又一焦点(4,0)在 x 轴上, x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 【答案】 A x2 y2 4.已知双曲线 - =1 的左支上一点 M 到其左焦点 F1 的距离为 10,求点 M 到该曲 16 9 线左焦点 F2 的距离. x2 y2 【解】 由 - =1 得 a=4,∵点 M 在双曲线的左支上 16 9 ∴|MF2|>|MF1|,∴|MF2|-|MF1|=2a=8, 又∵|MF1|=10,∴|MF2|=18.

一、选择题 1.(2013· 东营高二检测)方程 A.-2<m<2 C.m≥0 D.|m|≥2 x2 y2 - =1 表示双曲线,则 m 的取值范围( 2+m 2-m B.m>0 )

【解析】 ∵已知方程表示双曲线,∴(2+m)(2-m)>0. ∴-2<m<2. 【答案】 A 2. 设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6, 则 P 点的轨迹方程是( x y A. - =1 9 16
2 2

)

y x B. - =1 9 16

2

2

x2 y2 x2 y2 C. - =1(x≤-3) D. - =1(x≥3) 9 16 9 16 【解析】 由题意,应为以 A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支. 由 c=5,a=3,知 b2=16, x2 y2 ∴P 点的轨迹方程为 - =1(x≥3). 9 16 【答案】 D 3.(2013· 泉州高二检测)已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的 最小值是( 1 A. 2 ) 3 B. 2 7 C. 2 D.5

【解析】 由题意知,动点 P 的轨迹是以定点 A、B 为焦点的双曲线的一支(如图)从图 7 上不难发现,|PA|的最小值是图中 AP′的长度,即 a+c= . 2 【答案】 C x2 y2 x2 y2 4.若椭圆 + =1(m>n>0)和双曲线 - =1(a>0,b>0)有相同的焦点 F1、F2,P m n a b 是两曲线的一个交点,则|PF1|· |PF2|的值是( )

A.m-a C.m2-a2

1 B. (m-a) 2 D. m- a

【解析】 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2 m.① 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2 a.② ①2-②2 得 4|PF1|· |PF2|=4(m-a), ∴|PF1|· |PF2|=m-a. 【答案】 A 5.已知双曲线的两个焦点分别为 F1(- 5,0),F2( 5,0),P 是双曲线上的一点,且 PF1⊥PF2,|PF1|· |PF2|=2,则双曲线的标准方程是( x2 y2 A. - =1 2 3 y2 C.x2- =1 4 x2 y2 B. - =1 3 2 x2 D. -y2=1 4 )

【解析】 设|PF1|=m,|PF2|=n,在 Rt△PF1F2 中, m2+n2=(2c)2=20,m· n=2, 由双曲线定义,知|m-n|2=m2+n2-2mn=16. ∴4a2=16.∴a2=4,b2=c2-a2=1. x2 ∴双曲线的标准方程为 -y2=1. 4 【答案】 D 二、填空题 x2 y2 6.双曲线 2 - =1 的焦距为________. m +12 4-m2 【解析】 c2=m2+12+4-m2=16,∴c=4,2c=8. 【答案】 8 x2 y2 7.(2013· 郑州高二检测)设点 P 是双曲线 - =1 上任意一点,F1,F2 分别是其左、 9 16 右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=________. 【解析】 由双曲线的标准方程得,a=3,b=4. 于是 c= a2+b2=5. (1)若点 P 在双曲线的左支上, 则|PF2|-|PF1|=2a=6,∴|PF2|=6+|PF1|=16; (2)若点 P 在双曲线的右支上,

则|PF1|-|PF2|=6, ∴|PF2|=|PF1|-6=10-6=4. 综上,|PF2|=16 或 4. 【答案】 16 或 4 8.(2013· 泰安高二检测)方程 ①曲线 C 不可能是圆; ②若 1<k<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号) 5 【解析】 当 4-k=k-1>0 时,即 k= 时,曲线 C 是圆,∴命题①是假命题.对于 2 5 ②,当 1<k<4 且 k≠ 时,曲线 C 是椭圆,则②是假命题. 2 根据双曲线定义与标准方程,③④是真命题. 【答案】 ③④ 三、解答题 x2 y2 9.求与双曲线 - =1 有相同焦点且过点 P(2,1)的双曲线的方程. 4 2 x2 y2 【解】 ∵双曲线 - =1 的焦点在 x 轴上. 4 2 x2 y2 依题意,设所求双曲线为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 又两曲线有相同的焦点, ∴a2+b2=c2=4+2=6.① x2 y2 又点 P(2,1)在双曲线 2- 2=1 上, a b 4 1 ∴ 2- 2=1.② a b 由①、②联立,得 a2=b2=3, x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1. 3 3 10.已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数,对于不同范围的 k 值分别指出方程所表示的 曲线类型. x2 y2 + =1 表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4-k k-1

【解】 (1)当 k=0 时,y=± 2,表示两条与 x 轴平行的直线; (2)当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为 2 的圆; y2 x2 (3)当 k<0 时,方程为 - =1,表示焦点在 y 轴上的双曲线; 4 4 - k x2 y2 (4)当 0<k<1 时,方程为 + =1,表示焦点在 x 轴上的椭圆; 4 4 k x2 y2 (5)当 k>1 时,方程为 + =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆. 4 4 k 11.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点 A, B,C 的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的 时间比其他两观测点晚 4 s,已知各观测点到该中心的距离都是 1 020 m,试确定该枚炮弹的 袭击位置.(声音的传播速度为 340 m/s,相关各点均在同一平面内).

【解】 如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴 的正方向建立平面直角坐标系,则 A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020). 设 P(x,y)为袭击位置, 则|PB|-|PA|=340×4<|AB|. 由双曲线定义,知点 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的左支上,且 a=680,c=1 020, 所以 b2=1 0202-6802=5×3402. x2 y2 所以双曲线方程为 2- =1(x≤-680).① 680 5×3402 又|PA|=|PC|,因此 P 在直线 y=-x 上, 把 y=-x 代入①式,得 x=-680 5. 所以 P(-680 5,680 5),|OP|=680 10(m). 故该枚炮弹的袭击位置在北偏西 45° ,距指挥中心 680 10 m 处.

(教师用书独具)

如图所示,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

【自主解答】 圆 F1:(x+5)2+y2=1, ∴圆心 F1(-5,0),半径 r1=1. 圆 F2:(x-5)2+y2=42, ∴圆心 F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, ∴|MF2|-|MF1|=3<|F1F2|. ∴点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线(左支), 3 91 且 a= ,c=5,b2=c2-a2= . 2 4 4 4 3 ∴双曲线方程为 x2- y2=1(x≤- ). 9 91 2

已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆 心 M 的轨迹方程.

【解】 设动圆 M 的半径为 r,则由已知|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2(如图所示). ∴|MC1|-|MC2|=2 2. 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8,∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线的定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14.

x2 y2 故点 M 的轨迹方程为 - =1(x> 2). 2 14



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