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高二下学期期中考试数学(理)试卷



临川一中 2014—2015 学年度下学期期中考试 高二理科数学试卷
卷面满分:150 分 考试时间: 120 分钟 命题人:曾秀雷 审题人:陈景发 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? Z (整数集)和 N ? {i, i , ,
2

>1 (1 ? i ) 2 (1 ? i ) 2 , } ,其中 i 是虚数单位,则集合 i i i
D. 5 个

M ? N 所含元素的个数有(
A.2 个 B. 3 个

) C. 4 个

2.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3 x ? y ? 0 上,则

3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 ?( ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 A. ?1 B.2 sin(

)

C.0

D. 1

3. 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 内随机取一点 P ,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为(
A.

)

?
6
2

B. 1 ?

?
6

C.

?
12

D. 1 ?

?
12

4.若曲线 C : x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值
2 2

范围为( A. (?? , ? 2)

) B. (?? , ? 1) C. (1 , ? ?) D. ( 2 , ? ? )

5.在 ?ABC 中, “ sin A (2sin C ? sin A) ? cos A (2 cos C ? cos A) ” 是“角 A, B, C 成等差数列”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 ) C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的 S 的值等于 126, 则判断框中的①可以是( ) A. i ? 6 B. i ? 7 C. i ? 8 D. i ? 5 7. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A. 6 ? 2 2 ? 6 B. 10 ?

2

C. 10 ? 5

D. 6 ?

2? 6

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2 1 2
正视图 侧视图

2

俯视图

(第 7 题图)

8.学校将 5 个参加知识竞赛的名额全部分配给高二年级的 4 个班级,其中甲班级至少分 配 2 个名额,其它班级可以不分配名额或分配多个名额,则不同的分配方案共有( A.20 种 B.24 种 C.26 种 D.30 种

)

?y ? x ? 2 2 2 9.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ,若存在 x 、 y 满足 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0) ,则 r ? y ? ?2 ?
的最小值为( A.1 10. 由直线 x ? ? ( A. ) B. 4 ? 3 C. 2 ? 3 D. 4 ? 3 ) B. 2 C.

?
6

,x ?

7? , y ? 0 2 ? 3 与曲线 y ? sin x 所围成的封闭图形的面积为 6

4 2 3

D.

5 2 3

11.若等比数列的各项均为正数,前 n 项的和为 S ,前 n 项的积为 P ,前 n 项倒数的和为 M , 则有( A. P ? )

S M

B. P ?

S M

C. P 2 ? (

S n ) M
2

D. P 2 ? (

S n ) M

12.已知函数 f ( x) ? ? ( A.3 )

?| lg x | ?1 ? x
2

x?0 x?0

,则方程 f (3 x ? x) ? a (a ? 0) 的根的个数不可能为

B.4

C.5

D.6

第Ⅱ卷 (非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知

? 2 ? ? ? 0, ? ? ,且 sin(? ? ) ? ,则 cos 2? ? ________.
4 10
a 3 3 3 ,则 ? x 2 dx 的值为________. ) 的展开式的第二项的系数为 ? ?2 6 2

14.二项式 (| a | x ?

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15.在数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 , 记 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 则 S 2015 ? an ? 1



16.已知函数 f ( x) 满足 ln x ?

1 ? f ( x) ,且 x1 , x2 均大于 e ,其中 e 为自然对数的底数, 1 ? f ( x)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , 则 f (ex1 x2 ) 的最小值为________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1)3 ? (1)求 a0 及 S n ? a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? na n ; (2)试比较 S n 与 n 3 的大小,并说明理由. (其中 n ? N ? ) . ? an ( x ? 1) n ,

18 . (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 2 sin x cos 2 (1)求 ? 的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? 0 处取最大值.

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C. 2

19.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,

?ABC ? 600 , PA ? b .
(1)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (2)设 AC 与 BD 交于点 O ,M 为 OC 中点,若二面角 O ? PM ? D 的余弦值为 的值.

1 a ,求 5 b

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20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 ? a2 ? 2(

1 1 1 1 1 ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a1 a2 a3 a4 a5 .

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn

? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

21.(本小题满分 13 分) 如图,直角坐标系错误!未找到引用源。中,一直角三角形错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,B, C 在错误!未找到引用源。轴上且关于原点错误!未找到引用源。对称, 错误!未找到引用源。在边错误!未找到引用源。上, CD ?

1 BC , ?ABC 的周长为 12.若一 4

双曲线错误!未找到引用源。以 B, C 为焦点,且经过 A, D 两点. (1)求双曲线错误!未找到引用源。的方程; (2)若一过点错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。为非零常 数)的直线错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找到引用源。相交 于不同于双曲线顶点的两点错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用 源。 ,且 MP ? ? PN ,问在错误!未找到引用源。轴上是否存在定点错 误!未找到引用源。 ,使 BC ? (GM ? ? GN ) 错误!未找到引用源。?若 存在,求出所有这样定点错误!未找到引用源。的坐标;若不存在,请 说明理由.
? ? ?
? ?

y A

B

O

D

C

x

22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 2, a ? R.
3 2 2

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(1)当 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,且曲线 y ? f ( x) 在点 A, B ( A, B 不重合)处切线的交点位于直线 x ? 2 上, 求证: A, B 两点的横坐标之和小于 4; (3) 当 a ? 0 时, 如果对于任意 x1 、x2 、x3 ? [0,1] ,( x1 , x2 , x3可以相等) , 总存在以 f ( x1 ) 、

f ( x2 ) 、 f ( x3 ) 为三边长的三角形,试求实数 a 的取值范围.

临川一中 2014-2015 学年度下学期期中考试

高二数学试卷答题卷(理科)
题 号 一 二 17 得 分 18 19 三 20 21 22 总 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;把正确答案填在横线上.) 13._________________________; 14._________________________;

15._________________________ ; 16._________________________; 三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分; 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
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17.(10 分) 18.(10 分)

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19.(12 分)

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20.(12 分)

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21.(13 分)

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22.(13 分)

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临川一中 2014—2015 学年度下学期期中考试 高二理科数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 D 5 A 6 B 7 A 8 A 9 B 10 B 11 C 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

?

7 25

14.

3或

7 3

15.

?1006

16.

3 4
????1 分 ????4 分

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:⑴取 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ; 取 x ? 2 ,则 S n ? a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? na n ? n ? 3 n ?1 . ⑵要比较 S n 与 n 的大小,即比较: 3 当 n ? 1,2 时, 3 n ?1 ? n 2 ; 当 n ? 3 时, 3 n ?1 ? n 2 ; 当 n ? 4,5 时, 3 n ?1 ? n 2 ; 猜想:当 n ? 4 时, 3 ? n ,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知, n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k , (k ? 4) 时结论成立,即 3 k ?1 ? k 2 ,
n ?1 2 3 n ?1

对等式两边求导,得 n( x ? 1) n ?1 ? a1 ? 2a 2 ( x ? 1) ? 3a3 ( x ? 1) 2 ? ? ? na n ( x ? 1) n ?1 , 与 n 的大小,
2

????6 分

当 n ? k ? 1 时, 3
2

( k ?1) ?1

? 3 ? 3 k ?1 ? 3k 2
2

而 3k ? (k ? 1) ? 2k ? 2k ? 1 ? 2k (k ? 1) ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 23 ? 0
2

? 3 ? 3 k ?1 ? 3k 2 ? (k ? 1) 2 即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3 n ?1 ? n 2 成立. 综上得,当 n ? 1,2 时, S ? n 2 ; n
∴3 当 n ? 3 时, S n ? n 2 ; 当 n ? 4, n ? N 时, S n ? n 2 .
*

( k ?1) ?1

????9 分

????10 分

18.解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f ( x) 在 x ? 0 处取最大值,所以 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

.所以

f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x .?????????5 分 2
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?

(2)因为 f ( A) ?

3 3 ? ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 2 2 6 b sin A 1 2 a b ,也就是 sin B ? , ? 2? ? ? a 2 2 sin A sin B

a ? 1, b ? 2 , 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12 ? 7? 所以角 .?????????10 分

?

或B ?

或 12 12 19.解: (1) 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD

C?

又 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC 从而平面 PBD⊥平面 PAC. ?????4 分

(2) 过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD 因为 DO⊥平面 PAC,可以推出 DH⊥PM,所以∠OHD 为 O-PM-D 的平面角??????7 分 又 OD ?

3 a 3a OH AP ,且 a, OM ? , AM ? ? 2 4 4 OM PM

P

从而 OH ?

a ab ·? 4 9 16b 2 ? 9a 2 b2 ? a 2 16
B

b

A

H O M

D

3(16b 2 ? 9a 2 ) OD tan ?OHD ? ? ?2 6 OH 2b
所以 9a 2 ? 16b 2 ,即

C

a 4 ? . b 3

?????????12 分

(说明:向量法解对同样给分) 20.解: (1)设公比为 q ,则错误!未找到引用源。.由已知有 错误!未找到引用源。化简得错误!未找到引用源。????????3 分 解得: a1 ? ?1, q ? 2 ?????????5 分 所以 an ? ?2n ?1 错误!未找到引用源。?????????6 分 (2)由(1)可知错误!未找到引用源。??????8 分 因此 Tn ? (40 ? 41 ? 到引用源。?12 分
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? 4n ?1 ) ? (1 ?

1 ? 4

?

1 1 ) ? 2n ? (4 n ? 41? n ) ? 2n ? 1 错误!未找 n ?1 4 3

21.解:(1) 设双曲线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 . 1 由 CD ? BC ,得错误!未找到引用源。 . 4 ∴错误!未找到引用源。 ???????3 分 解之得错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 . y ∴双曲线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用 源。 .???????5 分 (2) 设在错误!未找到引用源。轴上存在定点错误!未找到引用源。 ,
使 BC ? (GM ? ? GN ) . 设直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 . 由 MP ? ? PN ,得错误!未找到引用源。 . 即错误!未找到引用源。 ① ????6 分
?
? ?
? ?

?

?

?

B O

G

C

P N

x

M

∵ BC ? (4, 0) 错误!未找到引用源。 , GM ? ? GN ? ( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) , ∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 . 即错误!未找到引用源。 . ② ???????8 分 把①代入②,得错误!未找到引用源。 ③ ???????9 分 把错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。并整理得错误!未找到引用源。 其中错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。且错误!未 找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 . ???????10 分 代入③,得错误!未找到引用源。 ,化简得 错误!未找到引用源。 .当错误!未找到引用源。 时,上式恒成立. 因此,在错误!未找到引用源。轴上存在定点错误!未找到引用源。 ,使
BC ? (GM ? ? GN ) .???????13 分
? ? ?

22.解: (1) 又a ? 0 所以当 x ? 当

f ' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? a 2 ? (3x ? a )( x ? a )

a ' 或 x ? ? a 时, f ( x) ? 0 ; 3

a ? x ? ? a 时, f ' ( x) ? 0 ; 3 a 3

所以 y ? f ( x) 的单调递增区间 (??, ) 和 (? a, ??) , 单调递减区间为 ( , ? a ) . ??????4 分
3 ? 2) (2) a ? 0 时 f ( x) ? x ? 2 ,设 A( x1 , x13 ? 2), B ( x2 , x2

a 3

3

点 A 处切线方程为 y ? ( x13 ? 2) ? 3 x12 ( x ? x1 )
3 2 ? 2) ? 3x2 ( x ? x2 ) 点 B 处切线方程为 y ? ( x2

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两切线交点的横坐标为

2 2( x12 ? x2 ? x1 x2 ) 2 ,? x12 ? x2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 3( x1 ? x2 )

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 ) 得 0 ? x1 ? x2 ? 4 , 2
???????8 分

所以 A, B 两点的横坐标之和小于 4.

(3)即对于一切 x1 、 x2 、 x3 ? [0,1] , f ( x1 ) + f ( x2 ) ? f ( x3 ) 且 f ( x1 ) 、 f ( x2 ) 、 f ( x3 ) 均 正 即 2 f ( x) min ? f ( x) max 令 x3 ? 0, x1 ? x2 ? 1 则得 0 ? a ? 2

a a ( ,1)单调递增 f '( x) ? (3 x ? a )( x ? a ) ,? f ( x)在(0, )单调递减, 3 3 ? a ? 5 3 (1) ? f (3) ? 0 ?? 27 a ? 2 ? 0 ? ? a 5 3 ? ? , (2)得 0 ? a ? 3 ????11 分 ? ?2 f ( ) ? f (0) 即 ?2(? a 3 ? 2) ? f (0) (2) 由(1) 3 27 5 ? ? a 5 3 ? ? ?2 f ( 3 ) ? f (1) ?2(? 27 a ? 2) ? f (1) (3) ? ? 10 3 a ? a2 ? a ? 1 ? 0 , 27 10 3 10 a ? a 2 ? a ? 1, g '(a ) ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 令 g (a) ? 27 9 3 所以 g (a )在(0,2)递增, g (2) ? 0 , 0 ? a ? 3 时(3)成立, 5
不等式(3)即

?0 ? a ?

3

3 5. 3 . 5

所以实数 a 的取值范围为 0 ? a ?

3

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