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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理课件 理



第四章 三角函数、解三角形

§4.7 正弦定理、余弦定理

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 审题路线图系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.正弦定理

、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外 接圆半径,则
定理 正弦定理 余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA ;
2 2 b2= c +a -2accosB ;

内容

b c a sin B =sin C= sin A=
2R

2 2 c2= a +b -2abcosC

答案

(1)a=2Rsin A, b= c=
2RsinB

, ; ,

2RsinC

变形

b a (2)sin A= ,sin B= 2R 2R c sin C= 2R ;

b2+c2-a2 2bc cos A= ;
c2+a2-b2 2ac cos B= ;

(3)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ; (4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A

a2+b2-c2 cos C= 2ab

答案

1 1 1 abc 1 2.S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r (r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R、r.
3.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式
解的个数

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ ) (3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时, 三 角 形 为 直 角 三 角 形 ; 当 b2 + c2 - a2<0 时 , 三 角 形 为 钝 角 三 角 形.( × ) (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
答案

2

考点自测

c-b 1.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = c-a π sin A 3 ,则 B=________. sin C+sin B a b c 解析 由 sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R,
c-b a 代入整理得: = ?c2-b2=ac-a2, c-a c+b

1 π 所以 a +c -b =ac,即 cos B=2,所以 B=3.
2 2 2

1 2 3 4 5

解析答案

3 2.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为 3 ________ .
解析 1 因为 S=2×AB×ACsin A

1 3 3 = ×2× AC= ,所以 AC=1, 2 2 2

所以BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 60°=3,
所以 BC= 3.
1 2 3 4 5
解析答案

sin 2A 1 3.(2015· 北京)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 sin C =________.

解析

b2+c2-a2 25+36-16 3 由余弦定理:cos A= = = , 2bc 4 2×5×6

7 ∴sin A= 4 ,
a +b -c 16+25-36 1 cos C= 2ab = =8, 2×4×5
2 2 2

3 7 2×4× 4 3 7 sin 2A ∴sin C= 8 ,∴ sin C = =1. 3 7 8
1 2 3 4 5
解析答案

直角 4.在△ABC中,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为________

三角形. 解析 由已知得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,
∴sin(B+C)=sin2A, ∴sin A=sin2A,

π 又 sin A≠0,∴sin A=1,A=2,
∴△ABC为直角三角形.

1 2 3 4 5

解析答案

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ 3bsin C π -a-c=0,则角 B=________. 3

解析

由正弦定理知,sin Bcos C+ 3sin Bsin C-sin A-sin C=0.

∵sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,

代入上式得 3sin Bsin C-cos Bsin C-sin C=0.
∵sin C>0,∴ 3sin B-cos B-1=0,
? π? ? ∴2sin?B-6? ?=1,即 ? ? ? π? 1 ? ? sin?B-6?= . 2 ? ?

π ∵B∈(0,π),∴B= . 3
1 2 3 4 5
解析答案 返回

题型分类 深度剖析

题型一

利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1

(1)在△ABC 中,已知 a=2,b= 6,A=45° ,则满足条件的三角

2 形有________ 个.

解析

2 ∵bsin A= 6× = 3, 2

∴bsin A<a<b.
∴满足条件的三角形有2个.

解析答案

(2)在△ABC 中,已知 sin A∶sin B= 2∶1,c =b + 2bc,则三内
2 2

45°,30°,105° . 角 A,B,C 的度数依次是____________________
解析 由题意知 a= 2b,a2=b2+c2-2bccos A,

即 2b2=b2+c2-2bccos A,又 c2=b2+ 2bc,
2 1 ∴cos A= 2 ,A=45° ,sin B=2,

又A>B,∴B=30°,∴C=105°.
解析答案

(3)(2015· 广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a 1 π 1 = 3,sin B=2,C=6,则 b=________. 1 π 5π 解析 因为 sin B=2且 B∈(0,π),所以 B=6或 B= 6 . π π 2π 又 C=6,B+C<π,所以 B=6,A=π-B-C= 3 . a b 又 a= 3,由正弦定理得sin A=sin B,
3 b 即 = , 2π π sin 3 sin6 解得b=1.
思维升华 解析答案

跟踪训练1
(1)已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的

2<x<2 2 . 取值范围是___________
解析 若三角形有两解,则必有a>b,∴x>2,

a x 2 又由 sin A=bsin B=2× 2 <1,

可得 x<2 2,

∴x 的取值范围是 2<x<2 2.

解析答案

1 (2)在△ABC 中,A=60° ,AC=2,BC= 3,则 AB=________.
解析 ∵A=60° ,AC=2,BC= 3,

设AB=x,由余弦定理,得
BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A,

化简得x2-2x+1=0,
∴x=1,即AB=1.

解析答案

题型二

和三角形面积有关的问题
(2015· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,

例2

π 2 1 2 2 已知 A= ,b -a = c . 4 2 (1)求tan C的值; 1 2 1 1 2 2 2 2 解 由 b -a = c 及正弦定理得 sin B- = sin C. 2 2 2 所以-cos 2B=sin2C.
π 3 又由 A=4,即 B+C=4π, ? ?3 ?? ?3 ? ? ? ?? ? 得-cos 2B=-cos?2?4π-C??=-cos?2π-2C? ? ? ? ?? ? ? =sin 2C=2sin Ccos C,




解析答案

由①②解得tan C=2.

(2)若△ABC的面积为3,求b的值.

2 5 5 解 由 tan C=2,C∈(0,π)得 sin C= ,cos C= , 5 5 ?π ? ? + C 因为 sin B=sin(A+C)=sin? ? ?, 4 ? ? 3 10 所以 sin B= , 10 2 2 由正弦定理得 c= b, 3 π 1 又因为 A=4,2bcsin A=3,
所以 bc=6 2,故 b=3.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; 解 由题设A与C互补及余弦定理得 ① ② BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C=13-12cos C, BD2=AB2+DA2-2AB· DAcos A=5+4cos C.
1 由①②得 cos C= ,BD= 7, 2

因为C是三角形内角,故C=60°.
解析答案

(2)求四边形ABCD的面积.
解 1 1 四边形 ABCD 的面积 S= AB· DAsin A+ BC· CDsin C 2 2

?1 ? 1 ? =?2×1×2+2×3×2? ?sin ? ?

60°

=2 3.

解析答案

题型三

正弦、余弦定理的简单应用
判断三角形的形状

命题点 1
例3

c (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若b<cos A,

则△ABC 的形状为________三角形.

解析答案

a+c (2)在△ABC 中,cos = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则 2 2c 直角 三角形. △ABC 的形状为________
2B

解析

1+cos B a+c 2B ∵cos 2 = , cos = , 2 2 2c
2B

∴(1+cos B)· c=a+c,
a2+c2-b2 ∴a=cos B· c= , 2a

∴2a2=a2+c2-b2,∴a2+b2=c2, ∴△ABC为直角三角形.
解析答案

命题点2 求解几何计算问题
例4 (2015 · 课标全国Ⅱ)如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD平分 ∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.

sin B (1)求 ; sin C
1 解 S△ABD=2AB· ADsin∠BAD, 1 S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2

因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
sin B AC 1 由正弦定理可得sin C=AB=2.
解析答案

2 (2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2
解 因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,

所以 BD= 2.

在△ABD和△ADC中,由余弦定理,知
AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB,

AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,

由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
思维升华 解析答案

跟踪训练3
(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状为 _____________ 等腰或直角 三角形. 解析 ∵c-acos B=(2a-b)cos A,C=π-(A+B), ∴由正弦定理得sin C-sin Acos B

=2sin Acos A-sin Bcos A,
∴sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B

=2sin Acos A-sin Bcos A
∴cos A(sin B-sin A)=0, ∴cos A=0或sin B=sin A, π ∴A= 或 B=A 或 B=π-A(舍去), 2 ∴△ABC为等腰或直角三角形.
解析答案

2 2 (2)如图, 在△ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, AD⊥AC, sin∠BAC= , 3 3 . AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为______
π 解析 sin∠BAC=sin(2+∠BAD)=cos∠BAD, 2 2 ∴cos∠BAD= 3 .
BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD

2 2 =(3 2) +3 -2×3 2×3× 3 ,
2 2

即 BD2=3,BD= 3.
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审题路线图系列

审题路线图系列

二审结论会转换

典例 (14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, 6 c,已知 a-c= 6 b,sin B= 6sin C. (1)求 cos A 的值; (2)求
? π? ? ? cos?2A-6?的值. ? ?

审题路线图

温馨提醒

解析答案

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

A B C π 1.应熟练掌握和运用内角和定理: A+B+C=π, + + = 中 2 2 2 2 互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数.
2. 解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化,一般
要只含角或只含边.

失误与防范

1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边
的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出现一解、两解,

所以要进行分类讨论.
2.在解三角形或判断三角形形状时,要注意三角函数值的符号和角

的范围,防止出现增解、漏解.

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练出高分

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1.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S, 15 - 若 S+a2=(b+c)2,则 cos A=________. 17
解析 由S+a2=(b+c)2得S=b2+c2-a2+2bc.

1 结合三角形面积公式及余弦定理可得 bcsin A=2bccos A+2bc, 2

即 sin A=4cos A+4.又 sin A= 1-cos2A,

15 所以 1-cos A=4cos A+4,解得 cos A=-17或 cos A=-1(舍去).
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2.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c= 2π 2a,3sin A=5sin B,则角C等于________. 3

解析

因为3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得3a=5b.

3 7 因为 b+c=2a,所以 c=2a-5a=5a.
令a=5,b=3,c=7,则由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C, 得49=25+9-2×3×5cos C,
1 2π 解得 cos C=-2,所以 C= 3 .
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3. 若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C = 5∶11∶13 ,则

钝角 三角形. △ABC为________

解析

a b c 由正弦定理 = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

及已知条件sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,可设a=5x,b=11x,c

=13x(x>0).

?5x?2+?11x?2-?13x?2 -23x2 则 cos C= = 2 <0, 2· 5x· 11x 110x
∴C为钝角.∴△ABC为钝角三角形.
解析答案

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4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2 π +6,C=3,则△ABC 的面积是________.

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2 2 5.在锐角△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 sin A= , 3 a=2,S△ABC= 2,则 b 的值为________.

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6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=
π 2π 或3 3 3ac,则角 B 的值为________.

解析

a2+c2-b2 由余弦定理,得 2ac =cos B,

3 结合已知等式得 cos B· tan B= 2 ,
3 π 2π ∴sin B= ,∴B= 或 . 2 3 3
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7.(2015· 天津)在△ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, 1 已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-4,则 a 的值为 ________.

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8.已知 a , b , c分别为△ABC三个内角 A, B, C的对边, a = 2 ,且 (2 +b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为________.

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9.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c = 3,cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B.
(1)求角C的大小;

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4 (2)若 sin A=5,求△ABC 的面积. 4 a c 8 解 由 c= 3,sin A=5,sin A=sin C,得 a=5,

3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A=5, 故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C

8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S=2acsin B= 25 .
解析答案

4+3 3 = , 10

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π 10.如图,在△ABC 中,B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 3 1 cos∠ADC=7.

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(1)求sin∠BAD;

1 解 在△ADC 中,因为 cos∠ADC=7, 4 3 所以 sin∠ADC= . 7
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-B)
=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B

4 3 1 1 3 = × - × 7 2 7 2 3 3 = . 14
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(2)求BD,AC的长.

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3 3 2 11.在△ABC 中, AC= 7, BC=2, B=60° , 则 BC 边上的高等于________.

解析

设AB=c,则由AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B

知7=c2+4-2c,即c2-2c-3=0,
∴c=3(负值舍去).

3 3 3 ∴BC 边上的高为 AB· sin B=3× 2 = 2 .

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π 2 10 12.在△ABC 中,若 b=5,B=4,tan A=2,则 a=______.
解析
2

由tan A=2得sin A=2cos A.
2

2 5 又 sin A+cos A=1 得 sin A= . 5 π ∵b=5,B= , 4 a b 根据正弦定理,有sin A=sin B, bsin A 2 5 ∴a= sin B = =2 10. 2 2

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13.(2015· 重庆)在△ABC 中,B=120° ,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3, 则 AC=________.

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14.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________.

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15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2-(b-c)2= (2- 3)bc,sin Asin B=cos 2 ,BC 边上的中线 AM 的长为 7.
(1)求角A和角B的大小;
2C

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(2)求△ABC的面积. 解 由(1)知,a=b,由余弦定理得
2 2 a a b b AM2=b2+( )2-2b· · cos C=b2+ + =( 7)2,解得 b=2, 2 2 4 2

1 1 3 故 S△ABC=2absin C=2×2×2× 2 = 3.

解析答案

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