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2.1.2指数函数及其性质(1)(1)


情景引入
引题1:某种细胞分裂时, 引题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2 1:某种细胞分裂时 个分裂成2 个分裂成4 个这样的细胞分裂x次后 次后, 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂 次后, 得到的细胞个数与x的关系式是什么 的关系式是什么? 得到的细胞个数与 的关系式是什么?

情景引入
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

…… ……

y = 2x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

情景引入
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半, 引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半, 2:一把长为 第二次截去剩余部分的一半, 第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第 二次剩余部分的一半,依次截下去, 二次剩余部分的一半,依次截下去,问截的 次数与剩下的尺子长度之间的关系. 次数与剩下的尺子长度之间的关系.

情景引入
截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次

1 x y=( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 x ( ) 尺 2

情景引入

y=2

x

1 x y=( ) 2

思考: 以上两个函数有何共同特征? 思考: 以上两个函数有何共同特征?

(1)均 幂 形 ; 为 的 式
(2)底 是 个 的 数 数 一 正 常 ; (3) 变 x在 数 置 自 量 指 位 .

y =a

x

指数函数的概念 函数y 函数 = ax(a>0,且a ≠1)叫做指数 > , ) 函数,其中x是自变量 函数,其中 是自变量 .

思考:为何规定a 思考:为何规定a>0且a≠1? 且 ?
当a≤0时,ax有些会没有意义; 如 ?2) ,0 ≤ 有些会没有意义; :(
1 ? 2 1 ? 2

=1时 函数值y恒等于 没有研究价值. 恒等于1 当a=1时,函数值 恒等于1,没有研究价值. =1

例题讲解 例1 下列函数是否是指数函数 t 1 5730 x (1) y = 1.073 ;(2) p = ( ) ; 2 ?x x (3) y = 3 ;(4) y = π + 1;
(5) y = 4? x ?3 ;(6) y = b x ; (7) y = (?4) ;(8) y = ?4 ;
x x

1 ? ? (9) y = (2a ? 1) ? a > 且a ≠ 1? 2 ? ?
x

课堂练习
函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值. 函数 是指数函数, 的值.
a2-3a+3=1 a>0且a≠1 且 ∴a=2 a=1或a=2 或 a>0且a≠1 且

指数函数的图像

用描点法画出指数函数
1 x 1 x y=2 ,y=3 和 y = ( ) , y = ( ) 2 3
x x

的图象。

用描点法作函数 y = 2 和y = 3 的图象.
x x

函 数 图 象 特 征

x y=2x y=3x

… …

-3 1/8

-2 1/4 1/9

-1 1/2 1/3

0 1 1

1 2 3
x

2 4 9

3 8 27

… … …

… 1/27

y y = 3x

y =2

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

函 数 图 象 特 征

1 x 1 x 用描点法作函数 y = ( ) 和y = ( ) 的图象. 2 3
x … -3 -2 4 9
1 x y=( ) 3

-1 2 3 y

0 1 1

1

2

3



y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 y = ( )x 2

1/2 1/4

1/8 …

1/3 1/9 1/27 … 若不用描点法,这 若不用描点法,

两个函数的图象又该如 何作出呢? 何作出呢?
1

y=1
X

O

y

? 1? y =? ? ? 2?

x

? 1? y =? ? ? 3?

x

y=3

x

y =2

x

底数互为倒 数的两个指 数函数图象: 数函数图象:
1

关于y 关于y轴对称
1

0

x

y

y

y

? 1? y =? ? ? 2?

x

y = ax
(a > 1)

? 1? y =? ? ? 3?

x

y = 3x

y = 2x

y = ax

(0 < a < 1)

1 1 0

1 1 0 x

x

0

x

图象共同特征: ● 图象共同特征:
◆图象可向左、右两方无限伸展 图象可向左、
y

◆图象都在x 轴上方 图象都在 都经过坐标为( , ) ◆都经过坐标为(0,1)的点
y = ax
(a > 1)

y

y = ax

(0 < a < 1)

1 ◆ 0

a>1时,图象 > 时 自左至右逐渐上升
x

◆ 0<a<1时,图象 < 时 自左至右逐渐下降

1 0
x

向上无限伸展,向下与 向上无限伸展,向下与x 轴无限接近

< < 当 x > 0 时,y > 1.0<a<1
当 x < 0 时,. 0< y < 1
y

a>1 >
y

图象 定义域 值域 定点 奇偶性 单调性 函数值 分布

(0,1)

y=1
x

y=1
O

(0,1) x

O

当 x < 0 时,y > 1; ; R 当 x ∞) 。 (0, +> 0 时, 0< y < 1。 (0,1) 非奇非偶函数

在R上是增函数 上是增函数
>1 (x>0)

在R上是减函数 上是减函数
<1 (x>0)

ax

=1 (x=0) <1 (x<0)

ax

=1 (x=0) >1 (x<0)

例题讲解 例2 已知指数函数 (x)的图象经过点(3,π), 已知指数函数 )的图象经过点(3 指数函数f( (3, )
(0)、 (1)、 的值. 求f(0)、f(1)、f(-3)的值. (0) (1) ( 3)的值 分析:指数函数的图象经过点 分析: 有 f ( 3) = π , 1 3 即 a = π ,解得 a = π 3 x 于是有 f ( x ) = π 3
所以: 所以:
0 1 3 3

( 3, π )


想一 想

思考: 思考:确定一个指数函数 需要什么条件? 需要什么条件?
?1

1 f (0) = π =1,f (1) = π = π,f (?3) = π = . π

例题讲解 例3 比较下列各题中两个值的大小: 比较下列各题中两个值的大小: (1) 1.72.5, 1.73 ;

(2) 0.8-0.1, 0.8-0.2 ; (3) 1.70.3, 0.93.1;

方法总结 比较指数大小的方法
①构造函数法:要点是利用函数的单调性,数 构造函数法:要点是利用函数的单调性, 的特征是同底不同指 包括可以化为同底的) 同底不同指( 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的), 若底数是参变量要注意分类讨论。 若底数是参变量要注意分类讨论。 搭桥比较法:用别的数如0 做桥。 ②搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指 不同底不同指。 征是不同底不同指。

课堂练习
?4? ? 2? 1.将 1.将 ? ? ,2 ,? ? ? ?3? ? 3?
1 3 2 3 3

?3? ,? ? 用“<”号连接起来。 ?4?

1 2

课堂练习
2.如图所示 2.如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和y=(a-1)x2 如图所示, 0<a<1时 函数y=a 的图象只可能是( 的图象只可能是( )
y y y y

x

x

x

x

A

B

C

D


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