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导数的几何意义


第三章 导数及其应用
y = f (x)

y

Q Q Q P T

o

x

y

y = f (x)

相交

o

P

x
再来一次

直线PQ的斜率为
k PQ ( y0 + ?y ) ? y0 ?y = = = xQ ? xP ( x0 + ?x) ? x0 ?x yQ ? y P

PQ无限靠近切线PT ?y k PT = lim k PQ = lim ?x →0 ?x →0 ?x

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为:
y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 )

例1、如图,它表示跳水运动中高度随时 间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。 根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2 附近的变化情况。 h
l0

l1

t
o
t4 t3 t0 t1 t2 l2

解:我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。 (1) 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行 于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有下降.

(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.

例2、如图,它表示人体血管中药物浓度 c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min) 变化的函数图象。根据图象,估计t= 0.5,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1)

c(mg/mL) 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2

t(min) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。

作t=0.5处的切线,它的斜率约为0 所以, f ′(0.5) ≈ 0 作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5 所以, f ′(0.8) ≈ ?1.5 因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时 变化率分别为0和-1.5.

求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是: (1)求函数的增量 ?y = f (x0 + ?x ) ? f (x0 ) (2)求平均变化率 (3)取极限,得导数
?y f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) = ?x ?x ?y f ′ ( x 0 ) = lim ?x→ 0 ? x

例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 (位移单位:m,时间单位:s) 求它在 t=2s 时的速度. 解: 因为 :

?s = 5(2 + ?t ) ? 5× 2 = 20?t + 5?t
2 2

2

从而 所以

?s s′(2) = lim = lim (20 + 5?t ) = 20 ?t →0 ?t ?t →0

?s = 20 + 5?t ?t

1 3 例4、已知曲线 y = x 上一点 3

8? ? P? 2, ? 3? ?

求:点P处的切线的斜率; 点P处的的切线方程. 解:
1 x 点P处的切线的斜率即 y = 3
3

在x=2处的导数.
1 1 3 3 因为 ?f = (2 + ?x) ? × 2 3 3
1 = 4?x + 2?x + × ?x 3 3
2

?f 1 = 4 + 2?x + × ?x 2 从而 ?x 3

所以

?f 1 f ′(2) = lim = lim (4 + 2?x + × ?x 2 ) = 4 ?x →0 ?x ?x →0 3

点P处的切线的斜率是4. 点P处的的切线方程
8 y ? = 4 × ( x ? 2) 3

即直线

16 y = 4x ? 3

9 练习1、求曲线 y = 在点M(3,3)处的 x

切线的斜率及倾斜角. 斜率为-1,倾斜角为135°

1 2 1 练习2、判断曲线 y = 2 x 在(1,-)处 2

是否有切线,如果有, 求出切线的方程.

1 有,切线的方程为 y = x ? 2

注: 学了导数的运算后, 此类题有更简单的解法.

f ′( x0 )是求函数y = f ( x)在x = x0处的导数

如果将x0改为x,则求得的是 y = f ′(x)
y = f ′(x) 被称为函数y=f(x)的导函数.

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都 f / ( x ),从而构成 对应着一个确定的导数 / f / ( x) 了一个新的函数 f ( x) 。称这个函数 为函数y=f(x)在开区间内的导函数 导函数,简 导函数 / 称导数 导数,也可记作 y ,即 导数 / / f (x) = y

f ( x + ?x ) ? f ( x ) ?y = lim = lim ?x →0 ?x ?x →0 ?x

小 结:
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为:
y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 )


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