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近几年导数与函数高考真题理科数学解析汇编



2012 年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分
一、选择题 错误!未指定书签。 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(浙江理) 设 a>0,b>0. )


b



A.若 2 a C.若 2 a

? 2 a ? 2 ? 3b
b

,则 a>b ,则 a>b

B.若 2 a D.若 2 a

? 2 a ? 2 ? 3b ? 2 a ? 2 ? 3b
b

,则 a<b ,则 a<b

? 2 a ? 2 ? 3b
b

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(重庆理) 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导 )

函数为 f ? ( x ) ,且函数 y ? (1 ? x ) f ? ( x ) 的图像如题(8)图所示,则下列结论 中一定成立的是 A.函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2 ) 和极小值 f ( ? 2 ) D.函数 f ( x ) 有极大值 f ( ? 2 ) 和极小值 f ( 2 )
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(陕西理) 设函数 f ( x ) ? xe ,则 )
x









A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ? 1 为 f ( x ) 的极大值点

B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ? 1 为 f ( x ) 的极小值点
x

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(山东理) 设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x ) ? a 在 R 上 )

是减函数 ”,是“函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 在 R 上是增函数”的
3





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖北理) 已知二次函数 y ? f ( x ) 的图象 如图所示,则 ) 它与 x 轴所围图形的面积为 A.
2π 5

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

( C.
3 2

) y
1

B.

4 3

D.

π 2

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(福建理) 如图所示,在边长为 1 的正方形 )

?1
?1

O 第 3 题图

1

x

OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( A.
1 4

?1 ?1



B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(大纲理) 已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有 )
3

两个公共点,则 c ? A. ? 2 或 2
二、填空题

( B. ? 9 或 3 C. ? 1 或 1 D. ? 3 或 1



错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海理) 已知函数 y ? f ( x ) 的图像是折线段 ABC,若 )

中 A(0,0),B( 1 ,5),C(1,0). 2 函数 y ? xf ( x ) ( 0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为_______ .
错误!未指定书签。(2012 年高考(山东理) 设 a ? 0 .若曲线 y ? . )
x 与直线 x ? a , y ? 0 所

围成封闭图形的面积为 a ,则 a ? ______.
2

错误!未指定书签。(2012 年高考(江西理) 计算定积分 ? ( x ? sin x ) d x ? ___________. . )
2 ?1

1

错误!未指定书签。 (2012 年高考(广东理) 曲线 y ? x 3 ? x ? 3 在点 ? 1, 3 ? 处的切线方程为 . )

___________________.
三、解答题 错误!未指定书签。(2012 年高考(天津理) 已知函数 f ( x )= x ? ln ( x + a ) 的最小值为 0 ,其 . )

中a>0 . (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0 ,+ ? ) ,有 f ( x ) ? k x 成立,求实数 k 的最小值;
2

(Ⅲ)证明 ?
i =1

n

2 2i ? 1

? ln (2 n +1)< 2 ( n ? N ) .
*

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2012 年 高 考 ( 新 课 标 理 ) 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 满 足 . )
x ?1 f ( x ) ? f ? (1) e ? f (0) x ?

1 2

x ;

2

(1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x ) ?
1 2 x ? a x ? b ,求 ( a ? 1) b 的最大值.
2

A
错误!未指定书签。 (2012 年高考(浙江理) 已知 a>0,b ? R,函数 . )
f

? x?

? 4 ax ? 2bx ? a ? b
3

.

G

E D

F

(Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a;

B
(ⅱ)
f

C

? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

错误!未指定书签。(2012 年高考(重庆理) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 . )

分.) 设 f ( x ) ? a ln x ? 于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的极值.
1 2x ? 3 2 x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直

错误!未指定书签。(2012 年高考(陕西理) 设函数 f n ( x ) ? x ? b x ? c . )
n

(n ? N ? , b, c ? R )

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ? 1 ,证明: f n ( x ) 在区间 ? ,1 ? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n ? 2 ,若对任意 x 1 , x 2 ? [ ? 1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x 2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 x n 是 f n ( x ) 在 ? 性.
ln x ? k e
x

?1

? ,1 ? 内的零点,判断数列 x 2 , x 3 , ? , x n ? 的增减 ?2 ?

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2012 年 高 考 ( 山 东 理 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? . )

( k 为常

数, e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ? ? 是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平

行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的 单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x ) ? ( x ? x ) f '( x ) , 其 中 f ' (x )为 f ( x ) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意
2

x ? 0 , g (x ) ?

1 e. ?

?2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012
f ( x ) ? ln ( x ? 1) ?

年 高 考 ( 辽 宁 理 ) ) 设

x ? 1 ? a x ? b ( a , b ? R , a , b 为 常 数 ) ,曲线 y ? f ( x ) 与

直线 y ?

3 2

x 在(0,0)点相切.

(Ⅰ)求 a , b 的值. (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ?
9x x?6

.

错误!未指定书签。(20 12 年高考(江苏) 若函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处取得极大值或极小 . )

值,则称 x 0 为函数 y ? f ( x ) 的极值点. 已知 a, b 是实数,1 和 ? 1 是函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x 的两个极值点.21 世纪教育网 (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x ) 的导函数 g ? ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,求 g ( x ) 的极值点; (3)设 h ( x ) ? f ( f ( x )) ? c ,其中 c ? [ ? 2 ,2 ] ,求函数 y ? h ( x ) 的零点个数.

错误!未指定书签。(2012 年高考(湖南理) 已知函数 f ( x ) = ? e . )

ax

? x ,其中 a≠0.

(1) 若对一切 x∈R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合.

(2)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A ( x1 , f ( x1 )) , B ( x 2 , f ( x 2 )) ( x1 ? x 2 ) ,记直线AB的 斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使 f ? ( x 0 ) ? k 成立?若存在,求 x 0 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

错误!未指定书签。(2012 年高考(湖北理) (Ⅰ)已知函数 f ( x ) ? rx ? x r ? (1 ? r ) ( x ? 0 ) ,其 . )

中 r 为有理数,且 0 最小值;

? r ?1.



f (x)



(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题: 设 a1
? 0, a 2 ? 0

, b1 ,

b2

为正有理数. 若 b1

? b 2 ? 1 ,则 a1 1 a 2
b

b2

? a1 b1 ? a 2 b 2

;

(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. ..... 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x ? ) ? ? ? x ? ? 1 .

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2012 年 高 考 ( 广 东 理 ) ( 不 等 式 、 导 数 ) 设 a ? 1 , 集 合 . )
A?

? x?

R x ?0 ?

, B ? ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6 a ? 0? , D ? A ? B .

(Ⅰ)求集合 D (用区间表示); (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2 x 3 ? 3 ? 1 ? a ? x 2 ? 6 a x 在 D 内的极值点.

错误!未指定书签。(2012 年高考(福建理) 已知函数 f ( x ) ? e ? a x ? ex ( a ? R ) . . )
x 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值 范围,使得曲线 y ? f ( x ) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切 线与曲线只有一个公共点 P .

错误!未指定书签。(2012 年高考(大纲理) (注意:在试题卷上作答无效) . ) .........

设函数 f ( x ) ? a x ? co s x , x ? [0, ? ] . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)设 f ( x ) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012
2 3

年 高 考 ( 北 京 理 )) 已 知 函 数

f ( x ) ? a x ? 1 ( a ? 0 ), g ( x ) ? x ? b x .

(1)若曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a , b 的 值; (2)当 a ? 4 b 时,求函数 f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间,并求其在区间 ( ? ? , ? 1] 上的最大值.
2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2012 年 高 考 ( 安 徽 理 )) ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 设
f ( x) ? ae ?
x

1 ae
x

? b(a ? 0)

(I)求 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 的切线方程为 y ?
3 2 x ;求 a , b 的值.

2012 年高考真题理科数学解析汇编:导数参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。

【答案】A
b

【解析】若

2 ? 2 a ? 2 ? 3b
a

,必有

2 ? 2a ?
a

2?
b

b 2

.构造函数:

f

? x?

? 2 ? 2x
x

,则

x f ? ? x ? ? 2 ? ln 2 ? 2 ? 0

恒成立,故有函数 f ? x ?

? 2 ? 2x
x

在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.

其余选项用同样方法排除.
错误!未找到引用源。

【答案】D

【解析】 x ? ? 2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增;
? 2 ? x ? 1,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为减; 1 ? x ? 2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为减; x ? 2 ,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x ) f ? ( x ) ? 0 ? f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增.

【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于 0,则函数为增, 当导函数小于 0 则函数递减.
错误!未找到引用源。
x 解 析 : f ? ( x ) ? ( x ? 1) e , 令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? ? 1 , x < - 1

x x 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) ? xe 为减函数; x > - 1 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) ? xe 为增函数,所

以 x ? ? 1 为 f ( x ) 的极小值点,选 D.
错误!未找到引用源。
3 x 【解 析】若函数 f ( x ) ? a 在 R 上为减函数,则有 0 ? a ? 1 .函数

g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 为增函数,则有 2 ? a ? 0 ,所以 a ? 2 ,所以“函数 f ( x ) ? a 在 R 上
x

为减函数”是“函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 为增函数”的充分不必要条件,选 A.
3

错误!未找到引用源。

考点分析:本题考察利用定积分求面积.
y ? f (x) ? ? x ? 1
2

解析:根据图像可得:
S ?

,再由定积分的几何意义,可求得面积为

?

1 ?1

( ? x ? 1)d x ? ( ?
2

1 3

x ? x ) ?1 ?
3 1

4 3

.

错误!未找到引用源。

【答案】C

【解析】? S 阴 影 ?

?

1

(
0

x ? x)dx ? (

2 3

3

x2 ?

1 2

1 x ) 0
2

?

1 6

S 正 ? 1 ,故 P ?

1 6

,答案 C

【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 错误!未找到引用源。 答案 A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与

x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可.

【解析】 因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或
2 者极小值为零即可满足要求.而 f ? ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? )( x ? 1) ,当 x ? ? 1 时取得极值

由 f (1) ? 0 或 f ( ? 1) ? 0 可得 c ? 2 ? 0 或 c ? 2 ? 0 ,即 c ? ? 2 .
二、填空题 错误!未找到引用源。
y y , ?10 x5 B 0 ? x ? 1 5 2 [解析]如图 1, f ( x ) ? ? , 1 M ? 10 ? 10 x , 2 ? x ? 1 P

所以 y ? xf ( x ) ? ?

? 10 x 2 ,
2

0 ? x ?
1 2

1 2

? ? 10 x ? 10 x ,

? x ?1

,

A

C 1 图1

x

N O D 1 图2

x

易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置 不同,如图 2,封闭图形 MNO 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= 1 ? 2
5 2

?

5 4

.

[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极 少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.
错误!未找到引用源。 【解析】由已知得 S ?
4 9

?

a

x ?

2 3

3

x

2

0

|0 ?
a

2 3

3

1

a

2

? a ,所以 a 2 ?
2

2 3

,所

以a ?

.
2 3

错误!未找到引用源。
1

【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.
3

? x ? 1 2 ?1 ? ? ?1 ? 1 1 2 ( x ? s in x ) d x ? ? ? c o s x ? |? 1 ? ? ? c o s 1 ? ? ? ? cos 1 ? ? ? ? . ?? 1 3 ?3 ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ?
x
3

【点评】 这里,许多学生容易把原函数写成

? c o s x ,主要是把三角函数的导数公式记

3

混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲 面面积等.
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 解 析 : 2 x ? y ? 1 ? 0 . y ? | x ?1 ? 3 ? 12 ? 1 ? 2 , 所 以 切 线 方 程 为
y ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0

.

三、解答题 错误!未找到引用源。 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调

性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能 力. (1) f ( x ) 的定义域为 ( ? a , ? ? )

f ( x ) ? x ? ln ( x ? a ) ? f ? ( x ) ? 1 ?

1 x?a

?

x ? a ?1 x?a

? 0 ? x ? 1? a ? ?a

f ?( x ) ? 0 ? x ? 1 ? a , f ?( x ) ? 0 ? ? a ? x ? 1 ? a

得: x ? 1 ? a 时, f ( x ) m in ? f (1 ? a ) ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 (2)设 g ( x ) ? kx ? f ( x ) ? kx ? x ? ln ( x ? 1)( x ? 0 )
2 2

则 g ( x ) ? 0 在 x ? [0 ,+ ? ) 上恒成立 ? g ( x ) m in ? 0 ? g (0 ) (*)
g (1) ? k ? 1 ? ln 2 ? 0 ? k ? 0

g ?( x ) ? 2 k x ? 1 ?

1 x ?1 1 2

?

x ( 2 k x ? 2 k ? 1) x ?1 1 ? 2k 2k ? x 0 ? g ( x 0 ) ? g (0 ) ? 0 与 (*)

①当 2 k ? 1 ? 0 ( k ? 矛盾 ②当 k ?
1 2

) 时,g ? ( x ) ? 0 ? 0 ? x ?

时, g ? ( x ) ? 0 ? g ( x ) m in ? g (0 ) ? 0 符合(*)
1 2

得:实数 k 的最小值为

(lfxlby)
1 2 x 对任意的 x ? 0 值恒成立
2

(3)由(2)得: x ? ln ( x ? 1) ?
2 2i ? 1

取x ?

( i ? 1, 2 , 3, ? , n ) :

2 2i ? 1
2

? [ln ( 2 i ? 1) ? ln ( 2 i ? 1)] ?

2 ( 2 i ? 1)
2

当 n ? 1 时, 2 ? ln 3 ? 2 得: ?
i =1

n

2i ? 1

? ln (2 n +1)< 2

(lb ylfx)

当 i ? 2 时,

2 ( 2 i ? 1)
2

?

1 2i ? 3

?

1 2i ? 1
1 2n ? 1

得: ? [
i ?1

n

2 2i ? 1

? ln ( 2 i ? 1) ? ln ( 2 i ? 1)] ? 2 ? ln 3 ? 1 ?

? 2



【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说 没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从 而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 【 解 析 】
x ?1 (1) f ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) x ?

1 2

2 x ?1 x ? f ? ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) ? x

令 x ? 1 得: f (0 ) ? 1

x ?1 f ( x ) ? f ? (1) e ? x?

1 2

2 ?1 x ? f (0 ) ? f ? (1) e ? 1 ? f ? (1) ? e [ 来 源 :21 世 纪 教 育

网] 得: f ( x ) ? e ? x ?
x
x

1 2

2 x x ? g ( x ) ? f ?( x ) ? e ? 1 ? x

g ? ( x ) ? e ? 1 ? 0 ? y ? g ( x ) 在 x ? R 上单调递增

f ? ( x ) ? 0 ? f ? (0 ) ? x ? 0, f ? ( x ) ? 0 ? f ? (0 ) ? x ? 0

得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2

x

2

且单调递增区间为 (0, ? ? ) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) (2) f ( x ) ?
1 2 x ? a x ? b ? h ( x ) ? e ? ( a ? 1) x ? b ? 0 得 h ? ( x ) ? e ? ( a ? 1)
2 x
x

①当 a ? 1 ? 0 时, h ? ( x ) ? 0 ? y ? h ( x ) 在 x ? R 上单调递增
x ? ? ? 时, h ( x ) ? ? ? 与 h ( x ) ? 0 矛盾

②当 a ? 1 ? 0 时, h ? ( x ) ? 0 ? x ? ln ( a ? 1), h ?( x ) ? 0 ? x ? ln ( a ? 1) [来源:21 世纪 教育网] 得:当 x ? ln ( a ? 1) 时, h ( x ) m in ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1) ? b ? 0
( a ? 1) b ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1)( a ? 1 ? 0 )
2 2

令 F ( x ) ? x ? x ln x ( x ? 0 ) ;则 F ? ( x ) ? x (1 ? 2 ln x )
2 2

F ?( x ) ? 0 ? 0 ? x ?

e , F ?( x ) ? 0 ? x ?
e 2

e

当x ? 当a ?

e 时, F ( x ) m a x ?

e ? 1, b ?

e 时, ( a ? 1) b 的最大值为

e 2

错误!未找到引用源。 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综

合运用能力. (Ⅰ) (ⅰ)
2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b

. >0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|﹢a;

当 b≤0 时,

2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b

此时 f ? x ? 的最大值为: f ? 1 ? 当 b>0 时,
2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b

? 4 a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

此时 f ? x ? 的最大值为:
f m ax

? x?

? b ? a, b ? 2 a ? m a x { f (0 ), (1) ? m a x { ( b ? a ), ( 3 a ? b )} ? ? f } b ? 3 a ? b, ? 2 a

=|2a-b|﹢a;

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x?
? ? 4 ax ? 2bx ? a ? b
3

,∴令 g ? ? x ?

? ? 12 ax ? 2b ? 0
2

?

x ?

b 6a

.

当 b≤0 时, g ? ? x ?

? ? 12 ax ? 2b
2

<0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|﹢a;

此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0 ? 当 b<0 时, g ? ? x ?
g m ax
2

? a ? b ? 3a ? b

? ? 12 ax ? 2b

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

? x?

? m ax{ g (

b 6a

), g 1) ( }

? m ax{

4 3

b

b 6a

? a ? b, b ? 2 a }

?4 b b ? a ? b, ? 6 a ? b ? ?3 6a b ? 6a ? ? b ? 2 a,

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ?
?b ? 2a ?b ? a ? 1

和?

?b ? 2a ? 3a ? b ? 1

,目标函数为 z=a+b.

作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 z m ax
3 ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ? 1, ? .

? 3

, z m in

? ?1 .

3 【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) ? ? 1, ? .

错误!未找到引用源。 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函

数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因 f ? x ? ? a ln x ?
1 2x ? 3 2 x ? 1 ,故 f ? ? x ? ? a x ? 1 2x
2

?

3 2

由 于 曲 线 y ? f ? x? 在 点 ? 1 , f ? 1 ? 处 的 切 线 垂 直 于 y 轴 , 故 该 切 线 斜 率 为 0, 即 ?
f ? ?1 ? ? 0 ,

从而 a ?

1 2

?

3 2

? 0 ,解得 a ? ? 1 1 2x
2

(2)由(1)知 f ? x ? ? ? ln x ?
f ?? x? ? ? 1 x 1 2x
2

?

3 2

x ? 1? x ? 0 ? ,

?

?

3 2

?

3x ? 2x ?1 2x
2

? f ?? x? ?

(3 x ? 1)( x ? 1) 2x
2

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? ?

1 3

(因 x 2 ? ?

1 3

不在定义域内,舍去),

当 x ? ? 0 ,1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 上为减函数; 当 x ? ? 1, ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上为增函数; 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ? 1 ? ? 3 .
错误!未找到引用源。解析:(1) b ? 1, c ? ? 1 , n ? 2 时, f n ( x ) ? x ? x ? 1
n

∵ f n ( ) f n (1) ? (
2

1

1 2
n

?

1

?1 ? ) ? 1 ? 0 ,∴ f n ( x ) 在 ? ,1 ? 内存在零点. 2 ?2 ?

又当 x ? ?

?1

? n ?1 ,1 ? 时, f n? ( x ) ? n x ?1 ? 0 ?2 ? ?1 ? ?1 ? ,1 ? 上是单调递增的,所以 f n ( x ) 在 ? ,1 ? 内存在唯一零点. ?2 ? ?2 ?
2

∴ fn ( x) 在?

(2)当 n ? 2 时, f 2 ( x ) ? x ? b x ? c 对任意 x1 , x 2 ? [ ? 1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x 2 ) |? 4 等价于 f 2 ( x ) 在 [ ? 1,1] 上最大值与最小 值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:(ⅰ)当 |
b 2 | ? 1 ,即 | b | ? 2 时,

M ? | f 2 (1) ? f 2 ( ? 1) | ? 2 | b | ? 4 ,与题设矛盾

(ⅱ)当 ? 1 ? ?

b 2

? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, b 2 )? ( b 2 ? 1) ? 4 恒成立
2

M ? f 2 ( ? 1) ? f 2 ( ?

(ⅲ)当 0 ?

b 2

? 1 ,即 ? 2 ? b ? 0 时, b 2 )? ( b 2 ? 1) ? 4 恒成立.
2

M ? f 2 ( ? 1) ? f 2 ( ?

综上可知, ? 2 ? b ? 2 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用 m ax { a , b } 表示 a , b 中的较大者.当 ? 1 ?
M ? m a x { f 2 (1), f 2 ( ? 1)} ? f 2 ( ? ? f 2 ( ? 1) ? f 2 (1) 2
? 1 ? c ? | b | ? (? b
2

b 2

? 1 ,即 ? 2 ? b ? 2 时,

b 2

) ? f2 (? b 2 )

?

| f 2 ( ? 1) ? f 2 (1) | 2
? c)

4

? (1 ?

|b | 2

) ? 4 恒成立
2

(3)证法一 设 x n 是 f n ( x ) 在 ?

?1

? ,1 ? 内的唯一零点 ( n ? 2 ) ?2 ?

?1 ? n n ?1 f n ( x n ) ? x n ? x n ? 1 , f n ? 1 ( x n ? 1 ) ? x n ? 1 ? x n ? 1 ? 1 ? 0 , x n ? 1 ? ? ,1 ? ?2 ?

于是有 f n ( x n ) ? 0 ? f n ? 1 ( x n ? 1 ) ? x n ? 1 ? x n ? 1 ? 1 ? x n ? 1 ? x n ? 1 ? 1 ? f n ( x n ? 1 )
n

n ?1

又由(1)知 f n ( x ) 在 ?

?1

? ,1 ? 上是递增的,故 x n ? x n ? 1 ( n ? 2 ) , ?2 ?

所以,数列 x 2 , x 3 , ? , x n ? 是递增数列. 证法二 设 x n 是 f n ( x ) 在 ?
f n ? 1 ( x n ) f n ? 1 (1) ? ( x n ? xn
n ?1 n n ?1

?1

? ,1 ? 内的唯一零点 ?2 ?
n ?1

? x n ? 1)(1

? 1 ? 1) 21 世纪教育网

? xn ? 1 ? xn ? xn ? 1 ? 0

则 f n ? 1 ( x ) 的零点 x n ? 1 在 ( x n ,1) 内,故 x n ? x n ? 1 ( n ? 2 ) , 所以,数列 x 2 , x 3 , ? , x n ? 是递增数列.
1
ln x ? k e
x

? k ? ln x e
x

错误!未找到引用源。解析:由 f(x) =
1? k e
1 ? 1 ? ln x e
x

x 可得 f ? ( x ) ?

,而 f ? (1) ? 0 ,即

? 0 ,解得 k ? 1 ;

(Ⅱ) f ? ( x ) ?

x

,令 f ? ( x ) ? 0 可得 x ? 1 ,
1 x ? 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ( x ) ? 1 x ? 1 ? ln x ? 0 .

当 0 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ?

于是 f ( x ) 在区间 ( 0 ,1) 内为增函数;在 (1, ?? ) 内为减函数.
1 ? 1 ? ln x e
2

(Ⅲ) g ( x ) ? ( x ? x )
2

x
x

?

1? x

2

? (x e

2 x

? x ) ln x

,
?2

(1)当 x ? 1 时, 1 ? x ? 0 , ln x ? 0 , x ? x ? 0 , e ? 0 , g ( x ) ? 0 ? 1 ? e
2 x

.

1

? 1 ? ln x e
x

(2)当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x ) ? ( x ? x )
2

x

?1? e

?2

.

只需证

x ?1 e
x

?

1? e

?2

1 ? x (1 ? ln x )
x ?1 e
e

即可

设函数 p ( x ) ?

, q ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ), x ? ( 0 ,1) .

则 p ?( x ) ?

? x e
x

? 0 , q ? ( x ) ? ? 2 ? ln x , x ? ( 0 ,1) ,
x ?1 e
e

则当 0 ? x ? 1 时 p ( x ) ?

? p (0 ) ? 1 ,
?2

令 q ? ( x ) ? ? 2 ? ln x ? 0 解得 x ? e 当 x ? (0, e
?2

? ( 0 ,1) ,
?2

) 时 q ? ( x ) ? 0 ;当 x ? ( e

,1 ) 时 q ? ( x ) ? 0 ,
?2

则当 0 ? x ? 1 时 q ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ) ? q ( e
1? e
?2

) ?1? e

?2

,且 q ( x ) ? 0 ,
x ?1 e
x



1 ? x (1 ? ln x )

?

1? e 1? e

?2 ?2

? 1 ,于是可知当 0 ? x ? 1 时

?

1? e

?2

1 ? x (1 ? ln x )

成立

综合(1)(2)可知对任意 x>0, g ( x ) ? 1 ? e 另证 1:设函数 p ( x ) ?
x ?1 e
e

?2

恒成立.
? x e
x

, x ? ( 0 ,1 ) ,则 p ? ( x ) ? ? p (0 ) ? 1 ,
1

? 0,

则当 0 ? x ? 1 时 p ( x ) ?

x ?1 e
x

? 1 ? ln x e
x

2 于是当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x ) ? ( x ? x ) x

? x(

1 x

? 1 ? ln x ) ? 1 ? e

?2

,

只需证 x (

1 x

? 1 ? ln x ) ? 1 ? e

?2

即可,

设 q ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ), x ? ( 0 ,1) , q ? ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ) , 令 q ? ( x ) ? ? 2 ? ln x ? 0 解得 x ? e 当 x ? (0, e
?2 ?2

? ( 0 ,1) ,
?2

) 时 q ? ( x ) ? 0 ;当 x ? ( e

,1 ) 时 q ? ( x ) ? 0 ,
?2

则当 0 ? x ? 1 时 q ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ) ? q ( e
1 ? 1 ? ln x e
x

) ?1? e

?2

,

于是可知当 0 ? x ? 1 时 ( x ? x )
2

x

?1? e
?2

?2

成立

综合(1)(2)可知对任意 x>0, g ( x ) ? 1 ? e

恒成立.
x

另证 2:根据重要不等式当 0 ? x ? 1 时 ln( x ? 1) ? x ,即 x ? 1 ? e ,
1
2 x 于是不等式 g ( x ) ? ( x ? x )

? 1 ? ln x e
x

? x(

1 x

? 1 ? ln x ) ? 1 ? e

?2

,

设 q ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ), x ? ( 0 ,1) , q ? ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ) ,

令 q ? ( x ) ? ? 2 ? ln x ? 0 解得 x ? e 当 x ? (0, e
?2

?2

? ( 0 ,1) ,
?2

) 时 q ? ( x ) ? 0 ;当 x ? ( e

,1 ) 时 q ? ( x ) ? 0 ,
?2

则当 0 ? x ? 1 时 q ( x ) ? 1 ? x (1 ? ln x ) ? q ( e
1
2 于是可知当 0 ? x ? 1 时 ( x ? x ) x

) ?1? e

?2

,

? 1 ? ln x e
x

?1? e

?2

成立.

错误!未找到引用源。 【答案】解:(1)由 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x ,得 f' ( x ) ? 3 x 2 ? 2 a x ? b .

∵1 和 ? 1 是函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2 a ? b = 0 , f' ( ? 1) ? 3 ? 2 a ? b = 0 ,解得 a = 0 , b = ? 3 . (2)∵ 由(1)得, f ( x ) ? x 3 ? 3 x , ∴ g ? ( x ) ? f ( x ) ? 2 = x 3 ? 3 x ? 2 = ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? ,解得 x1 = x 2 =1, x 3 = ? 2 .
2

∵当 x < ? 2 时, g ? ( x ) < 0 ;当 ? 2 < x < 1 时, g ? ( x ) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x ) 的极值点. ∵当 ? 2 < x < 1 或 x > 1 时, g ? ( x ) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x ) 的极值点. ∴ g ( x ) 的极值点是-2. (3)令 f ( x ) = t ,则 h ( x ) ? f ( t ) ? c . 先讨论关于 x 的方程 f ( x ) = d 根的情况: d ? ? ? 2 , 2 ? 当 d = 2 时,由(2 )可知, f ( x ) = ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x ) 是奇函 数,∴ f ( x ) = 2 的两个不同的根为一和 2. 当 d < 2 时,∵ f ( ? 1) ? d = f (2) ? d = 2 ? d > 0 , f (1) ? d = f ( ? 2 ) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x ) = d 的根. 由(1)知 f' ( x ) = 3 ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? .
? ① 当 x ? ? 2, ? ? 时, f' ( x ) > 0 ,于是 f ( x ) 是单调增函数,从而 f ( x ) > f ( 2 ) = 2 . ? 此时 f ( x ) = d 在 ? 2, ? ? 无实根.

② 当 x ? ? 1,2 ? 时. f' ( x ) > 0 ,于是 f ( x ) 是单调增函数. 又∵ f (1) ? d < 0 , f ( 2 ) ? d > 0 , y = f ( x ) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x ) = d 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理, f ( x ) = d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根.

③ 当 x ? ? ? 1,1 ? 时, f' ( x ) < 0 ,于是 f ( x ) 是单调减两数. 又∵ f ( ? 1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y = f ( x ) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x ) = d 在(一 1,1 )内有唯一实根. 因此,当 d = 2 时, f ( x ) = d 有两个不同的根 x1, x 2 满足 x1 = 1 , x 2 = 2 ;当 d < 2 时
f ( x)=d

有三个不同的根 x 3, x1, x 5 ,满足 x i < 2 , i = 3, 4, 5 .

现考虑函数 y ? h ( x ) 的零点: ( i )当 c = 2 时, f ( t ) = c 有两个根 t1, t 2 ,满足 t1 = 1 ,t 2 = 2 . 而 f ( x ) = t1 有三个不同的根, f ( x ) = t 2 有两个不同的根,故 y ? h ( x ) 有 5 个零点. ( 11 )当 c < 2 时, f ( t ) = c 有三个不同的根 t 3, t 4, t 5 ,满足 t i < 2 , i = 3, 4, 5 . 而 f ( x ) = t i ? i = 3, 4 , 5 ? 有三个不同的根,故 y ? h ( x ) 有 9 个零点. 综上所述,当 c = 2 时,函数 y ? h ( x ) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h ( x ) 有 9 个零 点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出 y ? f ( x ) 的导数,根据 1 和 ? 1 是函数 y ? f ( x ) 的两个极值点代入列 方程组求解即可. (2)由(1)得, f ( x ) ? x 3 ? 3 x ,求出 g ? ( x ) ,令 g ? ( x ) = 0 ,求解讨论即可. (3)比较复杂,先分 d = 2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x ) = d 根的情况;再考虑函数
y ? h(x)

的零点.
ax

错误!未找到引用源。 【解析】(Ⅰ)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x ) ? e

? x ? 1 ,这与题

设矛盾,又 a ? 0 , 故a ? 0 .
ax 而 f ? ( x ) ? a e ? 1, 令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ?

1 a

ln

1 a

. 1 a ln 1 a 1 a ln 1 a .

当x ?

1 a

ln 1 a

1 a ln

时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减;当 x ?
1 a

时, f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 单调递增,

故当 x ?

时, f ( x ) 取最小值 f (

1 a

ln

1 a

)?

1 a

?

于是对一切 x ? R , f ( x ) ? 1 恒成立,当且仅当
1 a ? 1 a ln 1 a ? 1.



令 g ( t ) ? t ? t ln t , 则 g ? ( t ) ? ? ln t .

当 0 ? t ? 1 时, g ? ( t ) ? 0, g ( t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ? ( t ) ? 0, g ( t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g ( t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 e
a x2

1 a

? 1 即 a ? 1 时,①式成立.

?

e

ax2

?e

a x1

x 2 ? x1
a x1

? 1.

ax 令 ? ( x ) ? f ?( x ) ? k ? a e ?

?e

x 2 ? x1

,则

? ( x1 ) ? ?

?e x 2 ? x1 ? e
ax2

e

a x1

a ( x 2 ? x1 )

? a ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? , ?

? ( x2 ) ?

?e x 2 ? x1 ?
t

a ( x1 ? x 2 )

? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? . ?

令 F ( t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ? ( t ) ? e ? 1 .
t

当 t ? 0 时, F ? ( t ) ? 0 , F ( t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ? ( t ) ? 0 , F ( t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F ( t ) ? F (0 ) ? 0 , 即 e ? t ? 1 ? 0 .
t


e
a x1



e

a ( x 2 ? x1 )

? a ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? 0

,

e

a ( x1 ? x 2 )

? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 ,



x 2 ? x1

? 0,

e

ax2

x 2 ? x1

? 0,

所以 ? ( x1 ) ? 0 , ? ( x 2 ) ? 0 . 因 为 函 数 y ? ? ( x ) 在 区 间 ? x1 , x 2 ? 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 所 以 存 在
x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使 ? ( x 0 ) ? 0, ? ? ( x ) ? a e
2 ax

? 0, ? ( x ) 单调递增,故这样的 c 是唯一的,且
e
ax2

c ?

1 a

ln

e

ax2

?e

a x1

a ( x 2 ? x1 )

.故当且仅当 x ? (

1 a

ln

?e

a x1

a ( x 2 ? x1 )

, x 2 ) 时, f ? ( x 0 ) ? k .

综上所述,存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使 f ? ( x 0 ) ? k 成立.且 x 0 的取值范围为
1 a e
ax2

(

ln

?e

a x1

a ( x 2 ? x1 )

, x2 ) .

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算

能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利 用导函数法求出 f ( x ) 取最 小值 f (
1 a ln 1 a )? 1 a ? 1 a ln 1 a . 对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立

转化为 f ( x ) m in ? 1 ,从而得出 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过 构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.
错误!未找到引用源。 考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数

学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求. 解析:(Ⅰ)
r ?1 r ?1 f ? ( x ) ? r ? rx ? r (1 ? x ) ,令 f ? ( x ) ? 0

,解得 x

? 1.

当 0 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0 , 1) 内是减函数; 当 x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (1, ? ? ) 内是增函数. 故函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 0 . 源:21 世纪教育网] (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? (0 , ? ? ) 时,有 若 a 1 , a 2 中有一个为 0,则 a1 b a 2 b
1 2

[来

f ( x ) ? f (1) ? 0

,即 x r

? rx ? (1 ? r )



? a 1 b1 ? a 2 b 2 成立;

若 a 1 , a 2 均不为 0,又 b1 在①中令 x 即 a1 b a 2 1 ? b
1 1

? b 2 ? 1 ,可得 b 2 ? 1 ? b1

,于是 21 世纪教育网

?

a1 a2

,

r ? b1

,可得 (

a1 a2

)

b1

? b1 ?

a1 a2

? (1 ? b1 ) ,

? a 1 b1 ? a 2 (1 ? b1 )
? 0, a 2 ? 0

,亦即 a1 b a 2 b
1

2

? a 1 b1 ? a 2 b 2 .
? b 2 ? 1 ,总有 a 1 1 a 2
b b2

综上,对 a1

, b1 , b 2 为正有理数且 b1

? a 1 b1 ? a 2 b 2 .



(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 21 世纪教育网 设 a1 , 若 b1
a2 , ? , an

为非负实数, b1 , ,则 a1b a 2b
1 2

b 2 , ? , b n 为正有理数.
b

? b2 ? ? ? bn ? 1

? a n n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n

.



用数学归纳法证明如下: (1)当 n
? 1 时, b1 ? 1 ,有 a 1 ? a 1 ,③成立.
? k

(2)假设当 n 且 b1 当n 且 b1

时,③成立,即若 a1 , a 2 , ? , a k 为非负实数, b1 , b 2 , ? , b k 为正有理数,
b b b

? b 2 ? ? ? b k ? 1 ,则 a1 1 a 2 2 ? a k k ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k

. 为正有理数,

? k ? 1 时,已知 a 1 , a 2 , ? , a k , a k ? 1 为非负实数, b1 , b 2 , ? , b k , b k ? 1
? b 2 ? ? ? b k ? b k ? 1 ? 1 ,此时 0 ? b k ? 1 ? 1 ,即 1 ? b k ? 1 ? 0

,于是

b1

b2

bk

a1 1 a 2 2 ? a k k a k k??11 ? ( a 1 1 a 2 2 ? a k k ) a k k??11
b b b b b b b b

= ( a11 ? b

k ?1

a2

1 ? bk ?1

? ak

1 ? bk ?1

)

1 ? bk ?1

a k k??11

b

.



b1 1 ? bk ?1
b1 b2

?

b2 1 ? bk ?1
bk 1 ? b k ?1

?? ?

bk 1 ? bk ?1
b1 1 ? bk ?1

? 1 ,由归纳假设可得

a1

1 ? b k ?1

a2

1 ? b k ?1

? ak

? a1 ?

? a2 ?

b2 1 ? bk ?1

? ? ? ak ?

bk 1 ? bk ?1

?

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k 1 ? bk ?1

,

从而 a1

b1

a 2 ? a k a k ?1

b2

bk

bk ?1

? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ? ? ? ? 1 ? bk ?1 ? ?
? 1 ,由②得
1 ? bk ?1

1 ? bk ?1

a k k??11

b

.

又因 (1 ? b k ? 1 ) ? b k ? 1

? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ? ? ? 1 ? bk ?1 ? ?

a k k??11 ?
b

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k 1 ? bk ?1

? (1 ? b k ? 1 ) ? a k ? 1 b k ? 1

? a1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ? a k ? 1 b k ? 1 ,

从而 a1b a 2b
1

2

? a k k a k k??11 ? a1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ? a k ? 1 b k ? 1
b b

.

故当 n ? k ? 1 时,③成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立. 说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 n ? 2 成立,则后续证明中不需讨论 n 况.
2 错误!未找到引用源。解析:(Ⅰ)考虑不等式 2 x ? 3 ?1 ? a ? x ? 6 a ? 0 的解.

? 1 的情

因为 ? ? ? ? 3 ? 1 ? a ? ? ? 4 ? 2 ? 6 a ? 3 ? a ? 3 ? ? 3 a ? 1 ? ,且 a ? 1 ,所以可分以下三种情况: ? ? ①当 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R , D ? A ? ? 0, ? ? ? .
3 1

2

②当 a ? ③当 a ?

1 3 1 3

时, ? ? 0 ,此时 B ? ? x x ? 1? , D ? ? 0 ,1 ? ? ? 1, ? ? ? . 时, ? ? 0 ,此时 2 x 2 ? 3 ? 1 ? a ? x ? 6 a ? 0 有两根,设为 x1 、 x 2 ,且 x1 ? x 2 ,则
3 ? a ? 3 ? ? 3a ? 1? 4 3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3 ? ? 3a ? 1? 4

x1 ?

3 ?1 ? a ? ?

, x2 ?

,于是

B ? ? x x ? x1 或 x ? x 2 ?

.
3 2

当 0?a?

1 3

时 , x1 ? x 2 ?

?1 ? a ? ?

0

, x1 x 2 ? 3 a ? 0 , 所 以 x 2 ? x 1 ? 0 , 此 时

D ? ? 0 , x1 ? ? ? x 2 , ? ? ? ;当 a ? 0

时, x1 x 2 ? 3 a ? 0 ,所以 x1 ? 0 , x 2 ? 0 ,此时 D ? ? x 2 , ? ? ? .
1 3

综上所述,当

1 3

? a ?1

时, D ? A ? ? 0, ? ? ? ;当 a ?

时, D ? ? 0 ,1 ? ? ? 1, ? ? ? ;当 0 ? a ?

1 3



,

D ? ? 0 , x1 ? ? ? x 2 , ? ? ?
?

;
3a ?



a?0



,

D ? ? x2 , ? ? ?

.





x1 ?

3 ? ?1 ? a

?
4

a ?? ? 3

, x2 ?

3 3 ?1 ? 1 ? ? ? a

3 ? a ? 3 ? ? 3a ? 1? 4

.

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ? 1 ? a ? x ? 6 a ,令 f ? ? x ? ? 0 可得 ? x ? a ? ? x ? 1 ? ? 0 .因为 a ? 1 , 所以
f ? ? x ? ? 0 有两根 m 1 ? a

和 m 2 ? 1 ,且 m 1 ? m 2 .

①当 可得

1 3

? a ?1

时, D ? A ? ? 0, ? ? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m 1 ? a 和 m 2 ? 1 ,列表

x

? 0, a ?
+ 递增

a

? a ,1 ?
递减

1 0 极大值

? 1, ? ? ?
+ 递增

f ?? x ?

0 极小值

f

?x?

所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a . ②当 a ?
1 3

时, D ? ? 0 ,1 ? ? ? 1, ? ? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m 1 ? a ?

1 3

,列表可得

[21 世纪教育网
x

? 1? ? 0, ? ? 3?

1 3

?1 ? ? ,1 ? ?3 ?

? 1, ? ? ?
+ 递增

f ?? x ?

+ 递增

0 极小值

递减

f

?x?

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?
1 3
f ?? x ? ? 0 在 D
x

时, D ? ? 0 , x1 ? ? ? x 2 , ? ? ? ,此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x 2 (可用分析法证明),于是 内只有一根 m 1 ? a ,列表可得

? 0, a ?
+ 递增

a

? a , x1 ?
递减

? x2 , ? ? ?
+ 递增

f ?? x ?

0 极小值

f

?x?

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.

④当 a ? 0 时, D ? ? x 2 , ? ? ? ,此时 x 2 ? 1 ,于是 f ? ? x ? 在 D 内恒大于 0, f ? x ? 在 D 内没有 极值点. 综上所述,当 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a ;当 0 ? a ?
3 1 1 3

时, f ? x ?

在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.当 a ? 0 时, f ? x ? 在 D 内没有极值点.

错误!未找到引用源。 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性

质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能 力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.
x x 解:(1)? f ? ( x ) ? e ? 2 a x ? e , k ? f ? (1) ? 2 a ? 0 ? a ? 0 ,故 f ? ( x ) ? e ? e

? x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 , x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的增区间为 (1, ? ? ) ,减区间

为 ( ? ? ,1) (2)设切点 P ( x 0 , y 0 ) ,则切线 y ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) ? f ( x 0 ) 令 g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) ? f ( x 0 ) ,因为只有一个切点,所以函数 g ( x ) 就只有一 个零点,因为 g ( x 0 ) ? 0
x g ?( x ) ? f ?( x ) ? f ?( x 0 ) ? e ? e x0

? 2 a ( x ? x 0 ) ,若 a ? 0,? g ? ( x ) ? 0

g ( x ) ? g ( x 0 ) ? 0 ,因此有唯一零点,由 P 的任意性知 a ? 0 不合题意

若 a ? 0 ,令 h ( x ) ? e ? e
x
x

x0

? 2 a ( x ? x 0 ) ,则 h ( x 0 ) ? 0

h ? ( x ) ? e ? 2 a ,存在一个零点 P (ln ( ? 2 a ), f (ln ? 2 a )) ,使曲线在该点处的切线与曲线

只有一个公共点.故 a 的取值范围为 a ? 0 . 错误!未找到引用源。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数 中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式 问题的构造函数思想的运用.
? 解: f ( x ) ? a ? sin x .

(Ⅰ)因为 x ? [0, ? ] ,所以 0 ? sin x ? 1 . 当 a ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 x ? [0 , ? ] 上为单调递增函数; 当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 x ? [0 , ? ] 上为单调递减函数;
? 当 0 ? a ? 1 时,由 f ( x ) ? 0 得 sin x ? a ,

? 由 f ( x ) ? 0 得 0 ? x ? arcsin a 或 ? ? arcsin a ? x ? ? ; ? 由 f ( x ) ? 0 得 arcsin a ? x ? ? ? arcsin a .

所以当 0 ? a ? 1 时 f ( x ) 在 [0, arcsin a ] 和 [? ? arcsin a , ? ] 上为为单调递增函数;在
[arcsin a , ? ? arcsin a ]

上为单调递减函数.

(Ⅱ)因为 f ( x ) ? 1 ? sin x ? ax ? cos x ? 1 ? sin x ? ax ? 1 ? sin x ? cos x 当 x ? 0 时, 0 ? 1 ? sin 0 ? co s 0 ? 0 恒成立 当 时, a x ? 1 ? s in x ? c o s x ? a ? 令 g (x) ?
g ?( x ) ? 1 ? s in x ? c o s x x (c o s x ? s in x ) x ? 1 ? s in x ? c o s x x
2

0? x??

1 ? s in x ? c o s x x

? a ?[

1 ? s in x ? c o s x x

] m in

( 0 ? x ? ? ) ,则 ? (1 ? x ) c o s x ? ( x ? 1) s in x ? 1 x
2

又令 c ( x ) ? (1 ? x ) co s x ? ( x ? 1) sin x ? 1 ,则
c ? ( x ) ? co s x ? (1 ? x ) sin x ? sin x ? ( x ? 1) co s x ? ? x (sin x ? co s x )

则当 x ? ( 0 , 当x? (
3? 4

3? 4

) 时, sin x ? co s x ? 0 ,故 c ? ( x ) ? 0 , c ( x ) 单调递减

, ? ] 时, sin x ? co s x ? 0 ,故 c ? ( x ) ? 0 , c ( x ) 单调递增
3? 4 )? ? 2 ? 1 ,而

所以 c ( x ) 在 x ? (0, ? ] 时有最小值 c (

x? 0

lim? c ( x ) ? (1 ? 0 ) c o s 0 ? (0 ? 1) sin 0 ? 1 ? 0 , lim? c ( x ) ? c ( ? ) ? ? (1 ? ? ) ? 1 ? 0
x??

综上可知 x ? (0, ? ] 时, c ( x ) ? 0 ? g ? ( x ) ? 0 ,故 g ( x ) 在区间 (0 , ? ] 单调递 所以 [ g ( x )] m in ? g ( ? ) ?
2

?
2

故所求 a 的取值范围为 a ?

?

.
f (? ) ? 1 ? a ? ? 1 ? 1 ? a ? 2

另解:由 f ( x ) ? 1 ? sin x 恒成立可得
g ( x ) ? s in x ? 2 x (0 ? x ?

?

?

令 当 x ? (0 , a rc s in

?
2

)

g ?( x ) ? c o s x ?

2

2 ,则

?

[来源:21 世纪教育网]

?

) 时, g ? ( x ) ? 0 ,当 x ? (a rc s in

2 ? , ) 时, g ? ( x ) ? 0 ? 2

又 g (0) ? g ( 故当 a ?
2

?
2

) ? 0 ,所以 g ( x ) ? 0 ,即 2 x ? cos x

2

?

x ? s in x ( 0 ? x ?

?
2

)

?

时,有 f ( x ) ?
?
2

?

①当 0 ? x ? ②当
?
2

时,

2

?

x ? s in x , co s x ? 1 ,所以 f ( x ) ? 1 ? sin x

? x ? ? 时, f ( x ) ?

2

?

x ? cos x ? 1 ? 2

2

?

(x ?

?
2

) ? s in ( x ?

?
2

) ? 1 ? s in x

综上可知故所求 a 的取值范围为 a ?

?

.

【点评】 试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数, 这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决 的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等 式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于 或者小于零的问题得到解决. 错误!未找到引用源。 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的 切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好 的知识点. 解:(1)由 ? 1 ,c ? 为公共切点可得:
g ( x) ? x ? bx
3
2 f ( x ) ? a x ? 1( a ? 0 ) ,则 f ? ( x ) ? 2 a x , k 1 ? 2 a

,

,则 g ? ( x ) = 3 x 2

?b

, k2

? 3 ? b ,? 2 a ? 3 ? b


?a ? 3 ?b ? 3



f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b

,?

a ?1?1? b

,即 a

? b

,代入①式可得: ?
1 4

.

2 (2)? a ? 4 b ,? 设 h ( x ) ?

f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ?
3 2

a x ?1
2

则 h ?( x )

? 3x ? 2ax ?
2

1 4

a

2

,令 h ? ( x ) ? 0 ,解得: x1

? ?

a 2

, x2

? ?

a 6

;

? a ? 0 ,? ?
? ?

a 2

? ?

a 6

,
a? ? 2?

? 原函数在 ? ? ? , ?

单调递增,在 ? ?
?

?

a 2

,?

a ? ? a ? ? 单调递减,在 ? ? , ? ? ? 6? ? 6 ?

上单调递增

①若 ? 1≤ ②若 ?
a 2

?

a 2

,即 a≤ 2 时,最大值为 h (1) ?
a 6

a ?

a

2

;
a? ? ?1 2?

4

? ?1 ? ? a 6

,即 2 ?

a ?6

时,最大值为 h ? ?
? ? ?

?

③若 ? 1≥

?

时,即 a≥ 6 时,最大值为 h ? ?
a ? ? 0 ,2 ?

a? ? ?1. 2?

综上所述:当
? a? h?? ? ?1. ? 2?

时 , 最 大 值 为 h (1) ? a ?

a

2

;当

4

a ? ?2 , ? ? ?

时,最大值为

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。
1 at 1 at
2 2 2

【 解 析 】 (I) 设 t ? e ( t ? 1)
x

; 则

y ? at ?

? b ? y? ? a ?

?

a t ?1 at
2

①当 a ? 1 时, y ? ? 0 ? y ? a t ?

1 at

? b 在 t ? 1 上是增函数
1 a ?b

得:当 t ? 1( x ? 0 ) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ②当 0 ? a ? 1 时, y ? a t ? 当且仅当 a t ? 1( t ? e ?
x

1 at

?b ? 2?b

1 a

, x ? ? ln a ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 1 ae
x

(II) f ( x ) ? a e ?
x

1 ae
x

x ? b ? f ?( x ) ? a e ?

1 ? 2 ? ae ? ?b ?3 a ? ? f (2) ? 3 2 ? ? ? ? ? ae 由题意得: ? ? ? 3 ? ? ? f ?( 2 ) ? ? ae2 ? 1 ? 3 ?b ? ? 2 2 ? ? ae 2 ? ?

2 e
2

1 2

2011 年高考理科数学函数、导函数试题汇编
一、选择题:
2 1.【2011 安徽理】3) f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x ) ? 2 x ? x ,则 f (1 ) ? ( 设 当

(A)-3

(B)-1
m n

(C) 1

(D)3

2.【2011 安徽理】 (10)函数 f ( x ) ? ax (1 ? x ) 在区间[0,1]上的图像如图所示,则 m,n 的值 可能是

(A) m=1,n=1

(B) m=1,n=2

(C) m=2,n=1

(D) m=3,n=1

3. 【2011 北京理】6.根据统计,一名工作组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

? c , x ? A, ? ? x (A,C 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A f (x) ? ? ? c ,x ? A ? A ?

件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是 A.75,25 B.75,16

C.60,25

D.60,16

4.【2011 广东理】4. 设函数 f ? x ? 和 g ? x ? 分别是R上的偶函数和奇函数,则下列

结论恒成立的是 A. f ? x ? ? C.
f g ?x?

是偶函数

B. f ? x ? ? D.
f

g ?x?

是奇函数 是奇函数

?x?

? g ? x ? 是偶函数

?x?

? g ?x?

5. 【 2011 湖 北 理 】 6 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 和 偶 函 数 g ? x ? 满 足
f

?x? ? g ?x? ?
A.2

a ?a
2

?2

? 2 ( a >0,且 a ? 0 ) .若 g ? 2 ? ? a ,则 f

?2? =
D. a
2

B.

15 4

C.

17 4

6.【2011 湖南理】8.设直线 x ? t 与函数 f ( x ) ? x , g ( x ) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,
2

则当 | M N | 达到最小时 t 的值为(
1 2


2 2

A.1

B.

C.

5 2

D.

7.【2011 江西理】3.若 f ( x ) ?

? lo g ? ( ? x ? ? )
?

,则 f ( x ) 的定义域为

A. ( ?

? ?

, ?)

B. ( ?

? ?

, ?]

C. ( ?

? ?

, ?? )

D. ( ? , ? ? )

8.【2011 江西理】4.若 f ( x ) ? x ? ? x ? ? ln x ,则 f '( x ) ? ? 的解集为 A. ( ? , ? ? )
( ? + B. -?,)?(?, ? ) C. ( ? , ? ? )

?

D. ( - ?, ? )

9.【2011 辽宁理】9.设函数 f ( x ) ? ?

?2

1? x

,x ?1
2

?1 ? log

x, x ? 1

,则满足 f ( x ) ? 2 的 x 的取值范围是

A. [ ? 1 ,2]

B.[0,2]

C.[1,+ ? ]

D.[0,+ ? ]
f ?( x ) ? 2

10.【2011 辽宁理】11.函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ( ? 1) ? 2 ,对任意 x ? R , 则 f ( x ) ? 2 x ? 4 的解集为 A. ? 1 ,1) ( B. ? 1 ,+ ? ) ( C. ? (
?



,?1)

D. ? (

?

,+ ? )

11.【2011 全国理】2.函数 y ? 2 x ( x≥ 0 ) 的反函数为
x
2

A. y ?

(x ? R)

B. y ?

x

2

( x≥ 0 )

4

4
2

C. y ? 4 x ( x ? R )

D. y ? 4 x ( x≥ 0 )
2

12. 【2011 全国理】9.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ,则
f (? 5 2 1 2 )=

A.-

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

13.【2011 山东理】9.函数 y ?

x 2

? 2 sin x 的图象大致是

14.【2011 山东理】10.已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ? x ? x ,则函数 y ? f ( x ) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
3

A.6

B.7

C.8

D.9

15. 【2011 陕西理】 设函数 f ( x )( x ? R ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ), f ( x ? 2 ) ? f ( x ), ,则 y ? f ( x ) 3. 的图像可能是

16.【2011 陕西理】6.函数 f(x)= x —cosx 在[0,+∞)内 A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 17.【2011 上海理】16、下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ? ? ) 上单调递减的函数为 ( A )
y ? ln 1 |x|

B

y ? x

3

C

y ? 2

|x|

D

y ? co s x

18.【2011 四川理】5、函数 f ( x ) 在点 x ? x 0 处有定义是 f ( x ) 在点 x ? x 0 处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 19. 2011 四川理】 已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 【 7. 且当 x ? 0 时, f ( x ) ? ( ) ? 1 , f ( x ) 则
x

1

2

的反函数的图像大致是

20. 【 2011 四川 理 】11.已 知 定 义在 ? 0 , ? ? ? 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) ? 3 f ( x? 2 ), 当
x ? ? 0 , 2? 时, f ( x ) ? ? x ? 2 x .设 f ( x ) 在 ? 2 n ? 2 , 2 n ? 上的最大值为 a n ( n ? N * ) , ? a n ? 且
2

的前 n 项和为 S n ,则 lim S n ?
n? ?

(A)3

(B )

5 2

(C)2

(D)

3 2

21.【2011 天津理】7.已知 a ? 5 A. a ? b ? c

lo g 2 3 .4

,b ? 5

lo g 4 3 .6

?1? ,c ? ? ? ?5?

lo g 3 0 .3

,则

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. c ? a ? b

22.【2011 全国新课标】2.下列函数中,既是偶函数哦、又在(0, )单调递增的函数是 A. y ? x
2

B. y ? x ? 1
2

C. y ? ? x ? 1

D. y ? 2

? x

23.【2011 全国新课标】12.函数 y ? 有交点的横坐标之和等于 A.2 B.4

1 x ?1

的图像与函数 y ? 2 sin ? x ( ? 2 ? x ? 4 ) 的图像所

C.6
? ? x, x ? 0, ? x , x ? 0.
2

D.8

24.【2011 浙江理】1.设函数 f ( x ) ? ? A.-4 或-2 B.-4 或 2

若 f (? ) ? 4 ,则实数 ? =

C.-2 或 4

D.-2 或 2

= 25.【2011 重庆理】5.下列区间中,函数 f ( x ) In ( 2 ? x ) 在其上为增函数的是
? ? 4? 3? ? ? ? 3 2

A. ? ,1 ] (二、填空题:

B. ? ? 1,

C. ? 0 ,

?

D. ?1, 2 ?

?2 x ? 2 ? , 26.【2011 北京理】13.已知函数 f ( x ) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同 ? ( x ? 1) 3 , x ? 2 ?

的实根,则数 k 的取值范围是_______ 27.【2011 广东理】12. 函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 在 x=____________处取得极小值。
2

28.【2011 山东理】16.已知函数 f ( x ) lo g a x ? x ? b ( a> 0, 且 a ? 1). 当 2<a<3<b<4 =
* 时,函数 f ( x ) 的零点 x 0 ? ( n , n ? 1), n ? N , 则 n =

.

29.【2011 陕西理】11.设若 f ( x ) ? ?

? lg x , x ? 0 , ? ?x ? ?

?

a 0

3t d t , x ? 0 ,
2

f ( f (1)) ? 1 ,则 a =

30. 【2011 上海理】 设 g ( x ) 是定义在 R 上、 1 为周期的函数, f ( x ) ? x ? g ( x ) 在 [3, 4 ] 13、 以 若 上的值域为 [ ? 2 , 5 ] ,则 f ( x ) 在区间 [ ? 1 0,1 0 ] 上的值域为 。

31.【2011 四川理】13.计算 (lg

1 4

? lg 2 5) ? 1 0 0

?

1 2

=

.

= 32.【2011 四川理】16.函数 f ( x ) 的定义域为 A,若 x 1, x 2 ? A 且 f ( x 1) f ( x 2) 时总有 x 1 = x 2, 则 称 f ( x )为单函数.例如,函数 f ( x ) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题:

① 函数 f ( x ) x (x ? R)是单函数; =
2

② 若 f( x ) 为单函数, x 1, x 2 ? A 且 x 1 ? x 2, 则 f ( x 1)? f ( x 2) ; ③ 若 f:A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象; ④ 函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号) 33.【2011 浙江理】11.若函数 f ( x ) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?
2

=



三、解答题: 34.【2011 安徽理】 (16) (本小题满分 12 分) 设 f (x) ?
e
x 2

1 ? ax
4 3

,其中 a 为正实数.

(Ⅰ)当 a ?

时,求 f ( x ) 的极值点;

(Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围

35.【2011 北京理】18.(本小题共 13 分)
x

已知函数 f ( x ) ? ( x ? k ) e k 。
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ? ? ) ,都有 f ( x ) ≤

1 e

,求 k 的取值范围。

36.【2011 福建理】18.(本小题满分 13 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单 位:元/千克)满足关系式 y ?
a x?3 ? 1 0 ( x ? 6 ) ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为
2

5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (I)求 a 的值 (II)若该商品的成品为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大。

37.【2011 湖北理】17. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。 在一般情况下, 大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 2 0 ? x ? 2 0 0 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 2 0 0 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位: 辆/每小时) f ? x ? ? x .v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

38.【2011 湖南理】20. 如图 6,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方

向作匀速移动,速度为 v ( v ? 0 ) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 c ( c ? R ) 。E 移动 时单位时间内的淋雨量包括两部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的 ....

淋雨量,假设其值与
1

v?c

× 成正比,比例系数为 S

1 10

; (2)其它面的淋雨量之
3 2

和,其值为 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d=100,面积 S=
2

时。 (Ⅰ)写出 y 的表达式 (Ⅱ)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总 淋雨量 y 最少。

39.【2011 湖南理】22.(本小题满分 13 分)

已知函数

f

( x ) = x 3 ,g ( x )= x +
f

x



(Ⅰ)求函数 h ( x )=

( x )-g ( x )的零点个数,并说明理由;
N ) 满足 a 1 ? a ( a ? 0 ) , f ( a n ? 1 ) ? g ( a n ) ,证明:存在常数
*
*

(Ⅱ)设数列 { a n } ( n ? M,使得对于任意的 n ?

N

,都有 a n ≤

M

.

40.【2011 江西理】19. (本小题满分 12 分) 设 f (x) ? ?
? ? x ?
?

? ?

x ? ?ax

?

(1)若 f ( x ) 在 ( , ? ? )上存在单调递增区间,求 a 的取值范围;
?

?

(2)当 ? ? a ? ? 时, f ( x ) 在 [?, ? ] 上的最小值为 ?

?? ?

,求 f ( x ) 在该区间上的最大值.

41.【2011 辽宁理】21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax 2 ? ( 2 ? a ) x . (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)设 a
?0

,证明:当 0 ? x ?

1 a

时, f (

1 a

? x) ? f (

1 a

? x)



(III) 若函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴交于 A, 两点, B 线段 AB 中点的横坐标为 x0, 证明:
f ? (x0)<0.

42.【2011 全国理】22. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... (Ⅰ)设函数 f ( x ) ? ln (1 ? x ) ?
2x x?2

,证明:当 x> 0 时, f ( x )> 0 ;

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续 抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p ? (
9 10 )
19

?

1 e
2

43.【2011 山东理】21. (本小题满分 12 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆 柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为
8 0? 3

立方米,且 l≥ 2 r .假

设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c ( c> 3) 千元,设该容器的建造费用为 y 千元.

(Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

44.【2011 陕西理】21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) 定义在 (0, ? ? ) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ? ( x ) ? (Ⅰ)求 g ( x ) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g ( x ) 与 g ( ) 的大小关系;
x 1 1 x , g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ).

(Ⅲ)是否存在 x 0 ? 0 ,使得 g ( x ) ? g ( x 0 ) ? 取值范围;若不存在,请说明理由.

1 x

对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x 0 的

x x 45.【2011 上海理】20、 (12 分)已知函数 f ( x ) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a b ? 0 。

⑴ 若 a b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; ⑵ 若 a b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x ) 时 x 的取值范围。

46.【2011 四川理】22.(本小题共 l4 分) 已知 函数 f ( x ) ?
2 3 x? 1 2 , h(x) ? x

(I)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? h ( x ) ,求 F ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 lo g 4 [
3 2 f ( x ? 1) ? 3 4 ] ? lo g 2 h ( a ? x ) ? lo g 2 ( 4 ? x )

(Ⅲ)试比较 f (1 0 0 ) h (1 0 0 ) ?

?

100

h(k ) 与

1 6

的大小.

k ?1

47.【2011 天津理】19. (本小题满分 14 分)
2 已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ln x ? a x , x ? 0 . ( f ( x ) 的图像连续不断) (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)当 a ?

1 8

时,证明:存在 x 0 ? ( 2 , ? ? ) ,使 f ( x 0 ) ? f ( ) ;
2

3

(Ⅲ)若存在均属于区间 ?1, 3 ? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1 ,使 f (? ) ? f ( ? ) ,证明
ln 3 ? ln 2 5 ? a ? ln 2 3



48.【2011 全国新课标】21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f (x) ?
x? 2y ?3 ? 0.

a ln x x ?1

?

b x

, 曲 线 y ? f ( x ) 在 点 ( 1 ,f

( 1处 的 切 线 方 程 为 ))

(I)求 a,b 的值; (II)如果当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
ln x x ?1 ? k x

,求 k 的取值范围.

49.【2011 浙江理】22. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? ( x ? a ) ln x , a ? R
2

(I)若 x ? e 为 y ? f ( x ) 的极值点,求实数 a ; (II)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ? ( 0 , 3 e ] ,恒有 f ( x ? 4 e ) 成立,注: e 为
2

自然对数的底数。

50.【2011 重庆理】18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 设 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? ? 的 导 数 f ' (x ) 满 足 f ' ( ) ? ?a , f ' ( )? ? , 其 中 常 数 ? ? b
a,b ? R .
? ?

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x ) ? f '( x ) e
?x

,求函数 g ( x ) 的极值.

52. 【2011 江苏】 已知 a, 是实数, 19、 b 函数 f ( x ) ? x ? ax , g ( x ) ? x ? bx ,
3 2

f ?( x ) 和 g ?( x )

是 f ( x ), g ( x ) 的导函数,若 f ? ( x ) g ? ( x ) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 I 上单调性一致 (1)设 a ? 0 ,若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 [ ? 1, ?? ) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2)设 a ? 0 , 且 a ? b ,若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求 |a-b|的最大值



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