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高考状元——【人教版】高考数学总复习:第5章《数列》【4】



? 第四节 数列求和 ? ? [主干知识梳理] 一、公式法 ? 1.如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接 利用等差、等比数列的前n项和公式,注意等比数列公比 q的取值情况要分q=1或q≠1. 2.一些常见数列的前 n 项和公式: n(n+1) (1)1+2+3+4+…+n= ; 2 (2)1+3+5+7+…+2n-1= n2 (3)2+4+6+8+…+2n= n2+n ; . ? ? ? 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1.倒序相加法 如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法,等差数列的前n项和即是用此法推导的. 2.分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别 求和而后相加减. ? ? ? ? 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此 法来求,等比数列的前n项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可 以相互抵消,从而求得其和. ? ? [基础自测自评] 1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn= ( n[(-1)n-1] A. 2 (-1)n+1 C. 2 (-1)n-1+1 B. 2 (-1)n-1 D. 2 ) D [因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1 的等比数列,所 -1-(-1)n×(-1) (-1)n-1 以 Sn= = .] 2 1-(-1) 2.(教材习题改编)等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的和为 ? ?Sn? ? ?的前 Sn,则数列? ?n? ? ? 10 项的和为 ( ) A.120 C.75 B.70 D.100 n(a1+an) C [∵Sn= =n(n+2), 2 Sn S1 S2 S10 ∴ =n+2.故 + +…+ =75.] n 1 2 10 3. 数列 a1+2, …, ak+2k, …, a10+20 共有十项, 且其和为 240, 则 a1+…+ak+…+a10 的值为 ( A.31 C.130 B.120 D.185 ) C [a1+…+ak+…+a10=240-(2+…+2k+…+20)= (2+20)×10 240- =240-110=130.] 2 4.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为________. 2(1-2n) n(1+2n-1) n+1 解析 Sn= + =2 -2+n2. 2 1-2 答案 2n+1+n2-2 1 1 1 1 5.数列 , , ,…, ,…的前 n 项和为 2×4 4×6 6×8 2n(2n+2) ________. 1 ? 1 1? ?1 ? 解析 因 an= = ?n- n+1? 2n(2n+2) 4? ? 1 1 1 1 1 1 则 Sn= 1- + - +…+ - 4 2 2 3 n n+1 1 ? 1? n ? ? 1 - = ? = . 4? n+1? 4 ( n + 1 ) ? n 答案 4(n+1) ? ? ? [关键要点点拨] 数列求和的方法 (1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通 项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求


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