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2016高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第四讲 化归与转化思想 文



第四讲

化归与转化思想

化归与转化的思想在 2016 年高考中必然考到, 较大的可能是出现在立体几何的大题中, 可将空间立体几何的问题转化为平面几何问题, 若出现在解析几何大题中, 应将解析几何大 题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题, 总之将复杂问题转化为简单问题是高考中 解决问题的重要思想方法.

化归与转

化的思想方法 解决数学问题时,常遇到一些直接求解较为困难的问题,通过观察、分析、类比、联想 等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换, 将原问题转化为一个新问题(相对来说, 是自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称 之为“化归与转化的思想方法” . 化归与转化的思想方法应用的主要方向 化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题 的解决都是通过转化为已知的问题实现的. 从这个意义上讲, 解决数学问题就是从未知向已 知转化的过程. 化归与转化思想是解决数学问题的根本思想, 解题的过程实际上就是一步步 转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知的转化、复杂问题向简单问题的转化、 新知识向旧知识的转化、命题之间的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、高维向低维 的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化、超越式向代数式的转化、函数与方程的转 化等,都是转化思想的体现. 等价转化和非等价转化 转化有等价转化和非等价转化之分. 等价转化前后是充要条件, 所以尽可能使转化具有 等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得 结论进行必要的验证.

1

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2.(×)

x

(2)ab≤?

?a+b? 成立的条件是 ab>0.(×) ? ? 2 ?

2

4 ? π? (3)函数 f(x)=cos x+ ,x∈?0, ?的最小值等于 4.(×) 2? cos x ? (4)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截 距.(×)

1.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M,N 两点,则 |MN|的最大值为(B) A.1 B. 2 C. 3 D.2

? ? π ?? 解析: |MN|=|sin x-cos x|= 2?sin?x- ??,最大值为 2. 4 ?? ? ?
2.下图所示的韦恩图中,A,B 是非空集合,定义集合 A#B 为阴影部分表示的集合.若

x,y∈R,A={x|y= 2x-x2},B={y|y=3x(x>0)},则 A#B 为(D)

A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2} C.{x|0≤x≤1 或 x≥2} D.{x|0≤x≤1 或 x>2} 解析: A ={x|y= 2x-x2} = {x|2x - x ≥ 0} = {x|0 ≤ x ≤ 2} , B ={y|y = 3 (x > 0)}=
2

x

{y|y>1},则 A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2}.根据新运算,得 A#B=?A∪B(A∩B)= {x|0≤x≤1 或 x>2}.

3.定义一种运算 a?b=?

?a,a≤b, ?

5 ? π? 2 令 f(x)=(cos x+sin x)? ,且 x∈?0, ?,则函 2? 4 ? ? ?b,a>b,

2

? π? 数 f?x- ?的最大值是(A) 2? ?
A. 5 5 B.1 C.-1 D.- 4 4

1?2 5 ? 2 2 解析:设 y=cos x+sin x=-sin x+sin x+1=-?sin x- ? + , 2? 4 ?

? π? ∵x∈?0, ?,∴0≤sin x≤1, 2? ?
5 5 2 ∴1≤y≤ ,即 1≤cos x+sin x≤ . 4 4

? π? ? π? 2 根 据 新 定 义 的 运 算 可 知 f(x) = cos x + sin x , x ∈ ?0, ? , ∴ f ?x- ? = - 2? 2? ? ? ?sin?x-π ?-1? +5=-?cos x+1? +5,x∈?π ,π ?. ? ? ?2 ? ? ? 2? 2? 4 ? 2? ? ? ? ? ? ? 4
5 ? π? ∴函数 f?x- ?的最大值是 . 2? 4 ? 1 2 4.若 f(x)=- x +bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是(C) 2 A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1) 1 2 b 解析:∵f(x)=- x +bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,∴f′(x)=-x+ < 2 x+2 0 在(-1,+∞)上恒成立,即 b<x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立. 设 g(x)=x(x+2)=(x+1) -1 在(-1,+∞)上单调递增,∴g(x)>-1, 1 2 ∴当 b≤-1 时, b<x(x+2)在(-1, +∞)上恒成立, 即 f(x)=- x +bln(x+2)在(- 2 1,+∞)上是减函数.
2

2

2

3



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