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2.2.3向量减法运算及其几何意义-修改版2



1.向量加法的三角形法则: 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相连 共起点

C

? ? a?b
A

? b

B

? a
? ? ?a ?b b

C

? b
A

? a



B

O

? a

3 .向量加法的交换律
4 .向量加法的结合律

? ? ? ? ? ? : (a ? b ) ? c = a ? (b ? c )

? ? ? ? : a ? b = b ? a.

2.2 平面向量线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义

探 究

向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数,如:5-1=5+(-1)

向量的减法是否也有类似的法则:

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量?

一、相反向量 定义:与 a 长度相等,方向相反的向量, 叫做 a 的相反向量,记作: ?a

a ?a

? AB = BA, 在计算中常用

结论: (1) ? (?a) =

a 0

(2)零向量的相反向量仍是零向量,

?0 = 0

(3)a ? (?a) = (?a) ? a =

(4)如果是a,b互为相反的向量,那么

a = ? b , b = ? a, a ? b = 0

二、向量减法: 定义: a ? b = a ? ( ?b) 即:减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a ? b 也叫做 也是一个向量。

a 与 b 的差。a 与 b

的差

三、向量减法的作图方法:
b a

已知a, b,根据减法的定义, 如何作出 a ? b呢?

已知a, b,根据减法的定义 , 如何作出 a ? b呢?

? ? ? ? a ? b = a ? (?b )
b a

B

b
O

a ? ( ?b )

a
C

?b

a ? ( ?b )
D

A

四、向量减法的几何意义:

a ? b的作图方法:“共起点,连终点,指向被减向
量”

b a
? ?

B

b
O

a ?b

a

A

已知 a, b , 在平面内任取一点O,作OA = a, OB = b, 则BA = a ? b

a ? b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点 的向量,这就是向量减法的几何意义.

思 考

(1)如图,如果从a的终点到b的终点作向量,那么
所得向量是什么?

a
? b

? ? ? b ?a
a
b
( 2) B

思考 b共线,则应怎样作出 a ? b 呢? (2) :若向量a、
a
b
O ( 1) A

同向
B

反向

a ?b

a ?b

O

A

a
b
( 1) O A B B

a
b
( 2) A

思考(3)

a ?b

a ?b

O

?1? 若向量a与向量b共线且方向相同, | a ? b | 与 | a | 和 |b | 有何关系 ? 2 ? 若向量a与向量b共线且方向相反, | a ? b | 与 | a | 和 | b | 有何关系?
若a,方向相反, b | a ? b |=| a | ? | b | 若a,方向相同, b | a ? b |=| a | ? | b (或 | | b | ? | a |)

若a, b不共线,则|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

任意向量a, b, 有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

例1.已知向量 a, b, c, d , 求作向量 a ? b, c ? d .

b a
作法 :

d

A

B

D

C

c a

b
O?

d

c

1.在平面上任取点O , 作OA = a , OB = b, OC = c , OD = d . 2.作 BA, DC , 则BA = a ? b, DC = c ? d为所求.

练习 如图,已知a, b, 求作a ? b.
? BA = OA ? OB = a ? b
(2) (1)

a

a
b b

o a
A
(3)

o
B A

b

a ?b

a ?b
(4)

B

a

B

o
a ?b

b
A

a
b
B

o

a ?bA

例2.已知平行四边形ABCD , AB = a , AD = b, 用 a , b 表示向量AC , DB
解:有向量加法的平行四边形法则, A 得
D

C

b a
B

AC = a ? b;

由向量的减法可得,

DB = AB ? AD = a ? b.

D

b
A

a ?b

C

a?b
B

变式训练一:当a ,b满足什么条件时,

a

| a |=| b | a +b与a ?b垂直?_____________
变式训练二:当a ,b满足什么条件时,

a和b互相垂直 |a +b|=|a ?b|?_____________________
变式训练三:a +b与a ?b可能是相等向量吗? 不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同. ___________________________________________

变式训练 四 如图,
你能用

ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O

a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A

解:AB=a + b; AD=a - b.

b
B

练习1
填空:

重要提示

AB = ? BA

AB ? AD = _____; DB

CA BA ? BC = ______;
AC BC ? BA = ______;
AD OD ? OA = ______;
BA . OA ? OB = ______

你能将减法运 算转化为加法 运算吗?

练习:2
(1)化简AB ? AC ? BD ? CD 解 : 原式 = CB ? BD ? CD = CD ? CD = 0
(2)化简OA ? OC ? BO ? CO
解 : 原式 = (OA ? BO) ? (OC ? CO) = (OA ? OB) ? 0 = BA

3、判断下列命题是否正确,若不正确,说明理由

1、 AB ? BA = 0

( (

) ) )

2、 AB = OA ? OB
4、 0?a = a

3、相反向量就是方向相反的量 (
( )

5、两个向量是互为相反向量,则两个向量共线 ( )



小结
1、概念: 相反向量的定义: 向量减法的定义: 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 2、向量减法的几何意义: “共起点,连终点,指向被减向量”
3.任意向量a, b, 有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (共线时取等号,不共线时取小于号)

4、类比思想,转化思想和数形结合思想的应用.



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