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2013-2014学年度高二数学导数测试题



2013-2014 学年度高二数学导数测试题
一、选择题(题型注释) 1.定义在 R 上的函数 f ?x ? 的图像如图所示,则关于 x 的不等式 xf ?( x) ? 0 的解集为( )

A.(-2,-1)∪(1,2)

B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1)

D.(-∞,-2)∪

(2,+∞) )

2.若函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??,? 3] ? [ 3,??) 3.函数 f ( x) ? A.( ? 1,1) 4.函数 f ( x) ? B. [ ? 3 , 3 ] C. (??,? 3) ? ( 3,??) ) D.( ? ∞,-1)∪(0,1]

D. (? 3, 3)

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
B.(0,1] C.[1,+∞) )

x ? sin x 的导数为(
x ? cos x

A. f ?( x) ? 2 x ? sin x ?

B. f ?( x) ?

sin x 2 x

? x ? cos x

C. f ?( x) ? 2

sin x ? x ? cos x x

D. f ?( x) ?

sin x ? x ? cos x 2 x

5.曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的 三角形的面积为 ( ). A.

-2x

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.1

6.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)等于( ) (A)-e (B)-1 (C)1 (D)e 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 7.已知函数 f(x)=e -ax 在区间(0,1)上有极值,则实数 a 的取值范围是
x



?x ? 2 y ? 2 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ?e x ? y ? 0 ,则 M ( x, y ) 所在平面区域的面积为___________. ?0 ? x ? 2 ?
试卷第 1 页,总 5 页

9.已知函数 f(x)=lnx- ________. 10.若直线 y= 评卷人

( a x-1) ,若函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,则 a 的取值范围是 x+1

1 x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 2
三、解答题(题型注释)

得分

11.已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ?1 . (1)求函数 f ( x ) 的最大值; (2)设 g ( x ) ?

f ( x) , x ? ?1 ,且 x ? 0 ,证明: g ( x) ? 1 . x

14. 已知某商品的进货单价为 1 元/件, 商户甲往年以单价 2 元/件销售该商品时, 年销量为 1 万件, 今年拟下调销售单价以提高销量, 增加收益. 据测算, 若今年的实际销售单价为 x 元/件(1≤x≤2), 2 今年新增的年销量 (单位:万件)与(2-x) 成正比,比例系数为 4. ...... (1)写出今年商户甲的收益 y(单位:万元)与今年的实际销售单价 x 间的函数关系式; (2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益 更多)?说明理由.

试卷第 2 页,总 5 页

12.已知函数 f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中 a≥0. (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

试卷第 3 页,总 5 页

13.已知 f(x)=x2-2x-ln(x+1)2. (1)求 f(x)的单调递增区间;
? 1 ? (2)若函数 F(x)=f(x)-x2+3x+a 在 ? ? , 2 ? 上只有一个零点,求实数 a 的取值范围. ? 2 ?

试卷第 4 页,总 5 页

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.C 【解析】
? ? 试 题 分 析 : 有 图 形 可 知 : 当 x ? ?1 或 x ? 1 时 , f ( x ) ? 0 .当 ?1 ? x ? 1 时 , f ( x ) ? 0 .由

? x?0 ? x?0 ? x?0 ? x?0 ?x ? 0 ? ? ? ? ? xf ?( x) ? 0 得 ? f ?( x) ? 0 或 ? f ?( x) ? 0 ,即 ??1 ? x ? 1 或 ? x ? ?1 或 ? x ? 1 ,因此 0 ? x ? 1 或
x ? ?1 .

考点:导函数的几何意义 2.B 【解析】
2 2 ? 试 题 分 析 : 因 为 f ( x) ? ?3x ? 2ax ? 1 , 所 以 ?3x ? 2a x ? 1 ? 0 在 R 上恒成立.因此

? ?4a2 ?1 2 ? 0 , a 的取值范围是 [? 3, 3] . 从而实数

考点:导数在函数上应用 3.B 【解析】
1 1 x? ?0 ? f ( x ) ? 0 x ,所以由 x 试题分析:因为 得 .又因为 x ? 0 ,所以 0 ? x ? 1 . 所求函数的单调递减区间为(0,1]. 考点:由导数求函数单调性 4.B 【解析】 f ?( x) ? x ?






1








sin x 2 x

(u ? v ? ) ? ? u ? v? ?,? ? u( ? ? v1 ) x ? ?
? x ? cos x .

, x (, s 所 i xn 以

)

xc

o

s

f ?( x) ? ( x 2 )? sin x ? x (sin x)? ?

考点:积的导数 5.A -2x 【解析】y′=-2e ,y′|x=0=-2. ∴切线方程为 y-2=-2(x-0),即 2x+y-2=0. 它与 y=x 的交点为 P ? 6.B 【解析】f′(x)=2f′(1)+

1 2 1 ?2 2? , ? ,所以面积 S= ×1× = 2 3 3 ?3 3? 1 , x

令 x=1 得 f′(1)=2f′(1)+1, ∴f′(1)=-1,故选 B. 7.(1,e)
答案第 1 页,总 6 页

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【解析】 试题分析:函数 f(x)=e -ax 在区间(0,1)上有极值,就是导函数 f ?( x) ? e x ? a ? 0 在区间
x

(0,1)上有解,即 a ? e x ? (1, e) 考点:函数极值 8. e2 ? 2 【解析】

?x ? 2 y ? 2 ? 试题分析:画出 ?e x ? y ? 0 对应的平面区域,如图所示. ?0 ? x ? 2 ?

2 1 2 ? ? 2 ?1 ? e2 ? e0 ? 1 ? e 2 ? 2 . M ( x, y) 所在平面区域的面积为 ? e x dx ? S ?AOB ? e x |0 0 2

考点:不等式组表示的平面区域,定积分的应用. 9.a≤2 【解析】f′(x)= 10.ln2-1 【解析】设切点(x0,lnx0),则切线斜率 k=

x 2+(2-2a)x+1 ≥0 在(0,+∞)上恒成立,易得 a≤2. 2 ( x x+1 )

1 1 = ,所以 x0=2.又切点(2,ln2)在切线 y x0 2



1 x+b 上,所以 b=ln2-1. 2

11. (1)0; (2)证明过程详见解析.
答案第 2 页,总 6 页

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【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,同时 考 查 分 析 问 题 解 决 问 题 的 综 合 解 题 能 力 和 计 算 能 力 . 第 一 问 , 对 f ( x) 求 导 , 由 于

f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 单调递增, f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 单调递减,判断出函数 f ( x) 的单调性,
求出函数的最大值; 第二问, 根据第一问的结论将定义域分成 2 部分, 当 x ? 0 时, 函数 f ( x ) 为单调递减,所以 f ( x)max ? 0 ,所以 g ( x ) ? 0 一定小于 1 ,当 ?1 ? x ? 0 时,只需证明

f ( x) ? x 即可,构造新函数 h( x) ,对 h( x) 求导,判断 h( x) 的单调性,求出 h( x) 的最小值
为 0,所以 h( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? x ? 0 ,即 g ( x) ? 1 . 试题解析: (Ⅰ) f ' ( x) ? ? xex . 当 x ? (??,0) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 所以 f ( x ) 的最大值为 f (0) ? 0 . 5分 7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? 0 ? 1 . 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 1 等价于设 f ( x) ? x . 设 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h' ( x) ? ? xe x ? 1 .
x x 当 x ? (?1, 0) 时, 0 ? ? x ? 1 , 0 ? e ? 1 ,则 0 ? ? xe ? 1 ,

从而当 x ? (?1, 0) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 在 (?1, 0] 单调递减. 当 ?1 ? x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 g ( x) ? 1 . 综上,总有 g ( x) ? 1 . 12 分

考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求函数的最值. 12. (1)2x-y-4=0, (2)当 a=0 时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+ ∞);

1 1 1 1 时,f(x)的单调增区间是(0,2)和( ,+∞),减区间为(2, );当 a= 时, 2 a a 2 1 1 f(x)的单调增区间是(0,+∞);当 a> 时,f(x)的单调增区间是(0, )和(2,+∞), 2 a
当 0<a<

答案第 3 页,总 6 页

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减区间为(

1 ,2) a

【解析】 试题分析: ( 1 )利用导数集合意义,在 x ? 1 处导数值等于该点处切线的斜率,因为

f ?( x ) ? ? 2?

4 ,所以 x

k ? f ′(1)=2, 又切点为(1,-2),所以所求切线方程为 y+2=2(x-1), (2)函数 f(x)

的单调性之所以要讨论,就是由于导函数为零时根的不确定性.因为

f ?( x) ?

2( ax ? 1 x )? ( x

, 所以当 a=0 时, 方程 f ?( x) ? 0 在定义域内只有一根; 当 a ? 0 时,

2)

1 1 1 1 需讨论两根 , 2 的大小,三种情况 0<a< ,a= ,及 a> 需一一讨论.解题过程中, a 2 2 2 最易忽视的是两根相等的情况; 答题时最易出错的是将两个单调性相同的不连续区间用 “并 集” “或”合并写. 试题解析:解(1)当 a=0 时,f(x)=-2x+4lnx,
从而 f ?( x) ? ?2 ?

4 ,其中 x>0. x

2分

所以 f′(1)=2. 又切点为(1,-2), 所以所求切线方程为 y+2=2(x-1),即 2x-y-4=0. 2 (2)因为 f(x)=ax -(4a+2)x+4lnx, 所以 f ?( x) ? 2ax ? (4a ? 2) x ? ①当 a=0 时, f ?( x) ? ?

4分

4 2ax 2 ? (4a ? 2) x ? 4 2(ax ? 1)( x ? 2) ? ? ,其中 x>0. x x x

2( x ? 2) ,x>0. x

由 f′(x)>0 得, 0<x<2, 所以函数 f(x)的单调增区间是(0, 2); 单调减区间是(2, +∞); 6分

1 1 1 时,因为 >2,由 f ′(x)>0,得 x<2 或 x> . 2 a a 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,2)和( ,+∞);单调减区间为(2, ); a a
②当 0<a< ③当 a=

8分

( x ? 2)2 1 ? 0 ,且仅在 x=2 时,f ′(x)=0, 时, f ?( x) ? 2 x

所以函数 f(x)的单调增区间是(0,+∞);

1 1 1 时,因 0< <2,由 f ′(x)>0,得 0<x< 或 x>2, 2 a a 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0, )和(2,+∞);单调减区间为( ,2). a a
④当 a> 综上, 当 a=0 时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞); 当 0<a<

1 1 1 时,f(x)的单调增区间是(0,2)和( ,+∞),减区间为(2, ); 2 a a
答案第 4 页,总 6 页

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1 时,f(x)的单调增区间是(0,+∞); 2 1 1 1 当 a> 时,f(x)的单调增区间是(0, )和(2,+∞),减区间为( ,2). 2 a a
当 a= 考点:利用导数求函数切线方程,利用导数求函数单调区间 13. (1)(- 2 ,-1)和( 2 ,+∞)(2) 【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠-1}.

10 分

1 -2ln 2≤a<2ln 3-2 或 a=2ln 2-1. 2

2( x 2 ? 2) 2 ∵f(x)=x -2x-ln(x+1) ,∴f′(x)=2x-2- = , x ?1 x ?1
2 2

解?

? x ? -1, 得- 2 <x<-1 或 x> 2 , ? f ?( x)>0

∴f(x)的单调递增区间是(- 2 ,-1)和( 2 ,+∞). (2)由已知得 F(x)=x-ln(x+1) +a,且 x≠-1,∴F′(x)=1-
2

2 x ?1 = . x ?1 x ?1

∴当 x<-1 或 x>1 时,F′(x)>0;当-1<x<1 时,F′(x)<0. ∴当-

1 <x<1 时,F′(x)<0,此时,F(x)单调递减; 2

当 1<x<2 时,F′(x)>0,此时,F(x)单调递增. ∵F ? ?

1 ? 1? ? 1? ? =- 2 +2ln 2+a>a,F(2)=2-2ln 3+a<a,∴F ? ? ? >F(2). ? 2? ? 2?

? ? 1? ? F ? ? ? ? 0, ? 1 ? ∴F(x)在 ? ? , 2 ? 上只有一个零点? ? ? 2 ? 或 F(1)=0. ? 2 ? ? F (2)<0 ? ? ? 1? ? F ? ? ? ? 0, 1 由? ? 2? 得 -2ln 2≤a<2ln 3-2; 2 ? F (2)<0 ?
由 F(1)=0 得 a=2ln 2-1. ∴实数 a 的取值范围为
3 2

1 -2ln 2≤a<2ln 3-2 或 a=2ln 2-1. 2

14. (1)y=4x -20x +33x-17,(1≤x≤2)(2)不能 【解析】 试题分析: (1)根据收益等于单件利润与销售量的乘积,列等量关系.注意今年销售量等于 2 原销售量与新增的年销量之和,另外还要注意交代函数定义域;y=[1+4(x-2) ](x-1)= 3 2 3 2 4x -20x +33x-17, (1≤x≤2). (2) 本题实际需求本年收益范围, 即需求函数 y=4x -20x +33x-17,1≤x≤2 的值域,这可借助于导数研究. 求导后可知函数图像先增后减再增, 因此其最大值在极大值及 x ? 2 处取到, 比较大小知 f(x) 在区间[1,2]上的最大值为 f(2)=1,即为往年的收益,所以商户甲采取降低单价,提高销
答案第 5 页,总 6 页

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量的营销策略不能获得比往年更大的收益. 2 试题解析:解 (1)由题意知,今年的年销售量为 1+4(x-2) (万件). 2 因为每销售一件, 商户甲可获利(x-1)元, 所以今年商户甲的收益 y=[1+4(x-2) ](x-1) 3 2 =4x -20x +33x-17,(1≤x≤2). 4 分 3 2 2 (2) 由 (1) 知 y=4x -20x +33x-17, 1≤x≤2, 从而 y′=12x -40x+33=(2x-3)(6x -11). 令 y′=0,解得 x= x

3 11 ,或 x= .列表如下: 2 6 3 3 3 11 (1, ) ( , 2 2 2 6 11 ) 6
+ 递增 0 极大值 - 递减 0 极小值

(

11 ,2) 6

f ′ (x) f(x) 7分 又 f(

+ 递增

3 )=1,f(2)=1,所以 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 1(万元). 2

而往年的收益为(2-1)×1=1(万元), 所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益. 10 分 考点:函数解析式,利用导数求函数最值

答案第 6 页,总 6 页



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