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3.1.1数系的扩充和复数的概念


3.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、【教学目标】
重点: 对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念. 难点:了解实数系扩充到复数系的过程;以及对复数概念的理解. 知识点:复数的基本概念. 能力点:探寻复数的形成过程,等价转化思想、方程思想、分类讨论的数学思想的运用. 教育点:经历由实数系扩充到复数系的研究过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何运用实数与虚数单位 i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题. 易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握. 拓展点:如何利用复数代数形式,理解复数的几何意义.

教具准备 课堂模式

多媒体课件和直尺. 学案导学 人们在狩猎采集果实的过程中,由于计数的需要,就产生了 1,2,3, 4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体就变成的自然数集 N。 为了表示具有相反意义的量以及满足计数的需要, 人们又引 进了复数,将整个数系扩充至整数集 Z。 为了解决测量分配中遇到的将某些量进行等分问题人们引进 了分数,将数系扩充至有理数集 Q. 用正方形的边长去度量他的对角线所得的结果,无法用有理数表示, 为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数。有理数集与无理数集合 并在一起,构成了实数集 R.

二、【引入新课】

随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展,数集逐步扩充.数集的每一次扩充,解决了在原有数 集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数 集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.我们看到了数集的发展过程:自然数集→整数集→ 有理数集→无理数集→实数集 那么,如何求解下面这个方程呢?

x 2 = -1
这个方程在实数集范围内是无解的. 数集扩到实数集 R 以后,像 x = -1 这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解 方程的需要,人们引入了一个新数,叫做虚数单位 i .并由此产生的了复数. 复数的发展史 在 19 世纪可没那么简单.第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹, 他是 1545 年开始讨论这种数的,当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年,笛卡尔才给这种“虚幻 之数”取了一个名字——虚数.但是又过了 140 年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中” ,并用 i (imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义,但他们仍感到 这种数有点虚无缥缈,尽管他们也感到它的作用.1830 年,高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点 表示复数 a+bi,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数. 【设计意图】(1)介绍一下数集的发展史,激起学生的学习兴趣.
1
2

(2)使学生了解①数集的发展历程;②扩充数系要从引入新数开始,引出本课题.

三、【探究新知】
为了解决方程 x ? 1 ? 0 没有实根的矛盾,我们引入虚数单位 i ,并且 i ? ?1 ;因而方程 x ? 1 ? 0
2 2 2

的根为 ?i .并规定: (1)

i 2 ? ?1
实数a与i相加记作:a ? i; 实数b与i相乘记作:bi; 实数a与bi相加记作:a ? bi.(a, b ? R)

(2) 实数可以和 i 进行加法和乘法的运算:

(3)实数与 i 进行加法和乘法时,原有的加法、乘法运算律仍然成立。 复数的相关概念及代数形式;

定义:对实数 a 和 b ,形如 a ? bi 的数叫做复数.其中 a 叫做复数的实部, b 叫做复数的虚部, i 叫做
虚数单位.复数通常用小写英文字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,这一表示形式叫做复数的代数形式. 强调:复数的实部与虚部都是实数; 【设计意图】由浅入深地提出问题,并解决问题,从一个在实数集中不可解的方程,变为可解的方程的探 讨过程中发现问题,从而引出概念.

四、【理解新知】
1.复数所构成的集合叫做复数集,常用 C 表示,复数集即 C ? z z ? a ? bi, a, b ? R . 2.复数: z ? a ? bi, (a, b ? R) 当 b ? 0 时,复数就成为实数; 当 b ? 0 时, a ? bi 叫做虚数; 当 a ? 0且b ? 0 时, bi 叫做纯虚数. 复数分类: 复数 ?

?

?

? ? 实数(b=0) ? ? 虚数(b?0)

? ? 纯虚数(a=0,b?0) ? ? ? 非纯虚数(a?0,b?0)

注意分清复数分类中的界限: 设 z ? a ? bi(a, b ? R) , (1) z ? R ? b ? 0 ; (2) z 是虚数 ? b ? 0 ; (3) z ? 0 ? a ? 0且b ? 0 . 3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可 以用右图表示. 4.复数相等的定义:

2

在复数集C ? ?a ? bi a, b ? R? 中任取两个数, a ? bi, c ? di?a, b, c, d ? R ?, 我们规定:a ? bi与c ? di相等的充要条件是 a ? c且b ? d .
即 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这 两个复数相等. 5. i 的幂的周期性:

i1 ? i i 2 ? ?1 i 3 ? ?i i4 ? 1 i5 ? i ?
可见, i 的幂呈周期性变化,最小正周期为 4. 【设计意图】通过一系列概念介绍,使学生逐步认识复数,分清复数、实数、虚数、纯虚数之间的关系.

五、【运用新知】
题型一 复数的代数形式 例 1 请说出复数的实部和虚部,有没有纯虚数?

1 ?2 ? i, 2 ? i, ? 3i, 2 ? 7, i(1 ? 3), i 2 , 0,5i ? 8 3 1 1 【解答】 ?2 ? i :实部是 ?2 ,虚部是 . 3 3
其它的学生回答,教师点评.

变式训练: 说出下列复数的实部和虚部.
?2 ? i, 2 2 , ?i,3i ? 4, i, ?5 2 7

【设计意图】通过本组题目练习让学生认识复数的代数形式,弄清实部和虚部,这是一个易错点. 题型二 复数的概念和分类 例 2 实数 m 取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
是(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 【分析】因为 m ? R ,所以 m ? 1, m ? 1都是实数.由复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 是实数、虚数、纯虚数的条 件可以确定 m 的取值. 【解答】 : (1)当 m ? 1 ? 0, 即m ? 1 时,复数 z 是实数; (2)当 m ? 1 ? 0, 即m ? 1 时,复数 z 是虚数; (3)当 m ? 1 ? 0, 且m ?1 ? 0, 即m ? ?1 时,复数 z 是纯虚数. 【点评】 z ? a ? bi(a, b ? R) 是复数的基本定义,由 a , b 的取值来确定 z 是实数、虚数、纯虚数.在解题时, 关键是确定复数的实部和虚部.
3

变式训练: 实数 m 取什么值时,复数

m2 ? m ? 6 z? ? (m2 ? 5m ? 6)i ,是 m?3

(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 答案: (1) m ? ?2 (2) m ? ?2且m ? ?3 (3) m ? 3 . 【点评】本题要注意分母有意义的问题。 【设计意图】通过本例题及变式训练,使学生对复数的分类更加有深刻的认识. 题型三 复数相等的充要条件 例 3 已知 x , y 均是实数,且满足 (2 x ?1) ? i ? ? y ? (3 ? y)i ,求 x与y .

3 ? ?2 x ? 1 ? ? y ?x ? ? 【解答】 :由复数相等的充要条件得 ? 解得 ? 2 ?1 ? y ? 3 ? ?y ? 4
3 ?x ? ? , y ? 4 . 2
【点评】 (1)据复数相等的充要条件,可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组,从而可确定两个 独立参数,本题就是利用这一重要思想,化复数问题为实数问题得以解决; (2)利用复数相等 a ? bi ? c ? di 时,注意 a, b, c, d ? R 的前提条件.

变式训练: 适合 x ? 3i ? (8x ? y)i 的实数 x 、 y 的值为

.(答案: x ? 0且y ? 3 .)

六、【课堂小结】
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:复数基本概念:虚数单位,代数形式,复数相等,分类. 2.思想:数形结合的思想、等价转化思想、方程思想、分类讨论思想特殊与一般的思想. 教师总结:本节主要讲解了复数的概念,如:复数的代数形式,复数的实部、虚部,复数相等,内容涉及 的概念较多,要一一分清,避免产生混淆. 【设计意图】加强对学生学习方法的指导,做到“精讲精练” .

七、【布置作业】
1.阅读教材 P102—104; 2.书面作业 必做题:P104 练习 1,2,3.

习题 3.1 A 组
2 2

1,2,3.

选做题:1. 已知集合 M ? 1, 2, (m ? 3m ? 1) ? (m ? 5m ? 6)i ,集合 P ? ?1,3? . M ? P ? 3? ,则实 数 m 的值为 .

?

?

?

?

2.实数 a 分别取什么值时,复数 z ? (1)实数;
2

a2 ? a ? 6 a2 ? a ? 6 ? (a 2 ? 2a ? 15)i z ? ? (a 2 ? 2a ? 15)i 是 a?3 a?3

(2)虚数;
2

(3)纯虚数.

3.设 z ? lg(m ? 2m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i,(m ? R) ,求 m 取何值时,
4

(1) z 是纯虚数;(2) z 是实数. 3.课外思考 复数有实部和虚部,构成有序数对,能否用几何形式表示出来. 【设计意图】现在的教材,可读性很强,培养学生良好的阅读教材的习惯.书面作业的布置,是为了让学生 能够运用复数基本知识,解决简单的数学问题;选做题的安排有一定的难度,主要采用的是近年来的高考题和 模拟题,是让学有余力的学生进一步加强和巩固已有知识.

八、【教后反思】
1.本教案的亮点是: 首先是引入新课远古社会这一环节,我主要是以人类社会发展中的计数需求为主线,由“远古社会人们的 狩猎采集果实的计数需求” 到 “为了解决测量分配中遇到的将某些量进行等分问题人们引进了分数” , 再到 “用 正方形的边长去度量他的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数” 。 这样可以激发学生的学习兴趣,又可以回顾数集的发展。让整个课堂活跃起来。 其次是例题典型性较强,变式训练较有针对性.数系的扩充和复数的概念在高考中必考,但考得一般不会 很难,主要就是从几何意义和运算上考查,所以学好概念可为下一课时做好铺垫。 再次就是作业布置有梯度,可以让不同层次的学生得到较大层度的发展。 2.本教案的不足:本节课知识点不难但是很多很碎,每一个知识点没有得到充分的练习,例如 i 的幂的周 期性没得到练习。课下应让学生完成练习册,来巩固知识点。

九、【板书设计】
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 例 3 已知 x , y 均是实数,且满足

x 2 = -1

定义:对实数 a 和 b ,形如 a ? bi 的数叫做复数.其中 a 叫做复数的实部, b 叫做复数的虚部, i 叫做虚数单位. 复数通常用小写英文字母 z 表示,即
z ? a ? bi(a, b ? R) , 这一表示形式叫做复数的代数形式
例 1 请说出复数的实部和虚部,有没有纯虚数? 例 2 实数 m 取什么值时,复数

(2 x ?1) ? i ? ? y ? (3 ? y)i ,求 x与y .
课堂小结

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i

是(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.

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