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02第十章 第二节 排列与组合



第 十章 计数 原理 、概 率、 随机 变量 及分 布列

高考成功方案第一步

第 二 节 排 列 与 组 合

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组

合数公式.

3.能利用排列组合知识解决简单的实际问题.

1.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排 法种数为 A.A8A2 8 9 C.A8A2 8 7 B.A8C2 8 9 D.A8C2 8 7 ( )

解析:由于 2 位老师不相邻,故 2 位老师应插空,8 名学
8 生有 A8种站法,2 名老师插在 8 名学生的 9 个空中,有 2 8 A9种站法,共有 A8A2种排法. 9

答案: A

2.(2012· 衡水一中模拟)如图,M,N,P,

Q为海上四个小岛,现要建造三座桥,
将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法有 A.8种 C.16种 B.12种 D.20种 ( )

解析:把四个小岛看作四个点,可以两两之间连成6条 线段,任选三条,共有C3种情形,但有4种情形不满足 6
3 题意,∴不同的建桥方法有C6-4=16种.

答案:C

3.分配 4 名水暖工去 3 户不同的居民家里检查暖气管道.要 求 4 名水暖工都分配出去, 且每户居民家都要有人去检查, 那么分配的方案共有
3 A.A4种 2 C.C4A3种 3 1 B.A3A3种 3 1 3 D.C4C1A3种 3

(

)

解析:先将 4 名水暖工选出 2 人分成一组,然后将三组水 暖工分配到 3 户不同的居民家,故有 C2A3种. 4 3

答案: C

4.有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项
活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则 不同的安排方法有________种.(用数字作答)

解析:记这两项课外活动分别为A,B,依题意知,满足题 意的安排方法共有三类:第一类,实际参加A,B两项活动 的人数分别是4,2,则相应的安排方法有C4=15种;第二 6 类,实际参加A,B两项活动的人数分别是3,3,则相应的安 排方法有C
3 6

=20种;第三类,实际参加A,B两项活动的人
2 6

数分别是2,4,则相应的安排方法有C

=15种.因此,满足

题意的安排方法共有15+20+15=50种.

答案: 50

5.高三(1)(2)(3)(4)(5)班进行 4×100 米接力赛时没有出现两 个班同时到达终点的情况,则(2)班的名次在(3)(4)(5)班 名次之前的所有排列情况共有________. 解析: 当(2)班得第一名时, A4=24 种排列情况; 有 4 当(2)
班得第二名, (1)班得第一名时, A3=6 种排列情况. 有 3 故 共有 A4+A3=30 种排列情况. 4 3

答案: 30

1.排列与排列数 (1)排列: 从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序

排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 , Am 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合列数,记作 n

2.组合与组合数 (1)组合: 从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素 合成一组 , 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数: 从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素 的 所有不同组合的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个

Cm 表示. 元素的组合数,用符号 n

3.排列数、组合数的公式及性质
排列数公式 公 式 Am= n(n-1)(n-2) n 组合数公式 Am n m Cn = A m m

?(n-m+1)
n! = ?n-m?!

n?n-1???n-m+1? = m!

n! = m!?n-m?!

性 质 备注

(1)An= n! n (2)0!=1

(1)C0 =1 n (2)Cm= n

Cn n

-m

(3)Cm+Cm-1= Cm+1 n n n n、m∈N+且m≤n.

[做一题] [例1] 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不

同的排列方法总数:
(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻;

(5)全体排成一行,男生不能排在一起; (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序 不变; (7)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有3人.

[自主解答]

(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排),甲为特

殊元素,故先安排甲,左、右、中共三个位置可供甲选择,
6 有A1种,其余6人全排列,有A6种. 3 1 由乘法原理得A3A6=2 160(种). 6

(2)位置分析法(特殊位置优先安排),先排最左边,除去甲外,
6 有A 1 种,余下的6个位置全排有A 6 种,但应剔除乙在最右边的 6 5 排法数A1A5种. 5 1 5 则符合条件的排法共有A1A6-A5A5=3 720(种). 6 6

(3)捆绑法.将男生看成一个整体,进行全排列,再与其他元 素进行全排列,共有A3A5=720(种). 3 5

(4)插空法.先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位, 共有A3A4=144(种). 3 4 (5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有 A4A3=1 440(种). 4 5 (6)定序排列.第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排 列总数为N;第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则为七个 A7 7 人的全排列,因此A7=N×A3,∴N=A3=840(种). 7 3 3

3 (7)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A 5

种,甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A 2 A 3 2 3 种,最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可,共
3 有A3×A2×A3=720(种). 5 2

若排成二排,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法?

解:与无任何限制条件的排列相同,有 A7=5 040(种)不同的 7 排法.

[悟一法] 求解排列应用题的主要方法 直接法 优先法 捆绑法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列, 同时注意捆绑元素的内部排列 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,

插空法

再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中

先整体 后局部

“小集团”排列问题中先整体后局部

定序问题 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,

除法处理 再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反,等价转化的方法

[通一类]
1.排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.

(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?

解:(1)先排歌唱节目有A 5 种,歌唱节目之间以及两端共有6 5 个空位,从中选4个放入舞蹈节目,共有A 4 种方法,所以任 6
5 两个舞蹈节目不相邻的排法有A5· 6=43 200(种)方法. A4

(2)先排舞蹈节目有A

4 4

种方法,在舞蹈节目之间以及两端共

有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞
5 蹈节目间隔排列的排法有A4· 5=2 880(种)方法. 4A

[做一题] [例2] 男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,

选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

[自主解答]

(1)第一步:选3名男运动员,有C3种选法. 6

第二步:选2名女运动员,有C2种选法. 4 共有C3· 2=120(种)选法. 6 C4 (2)法一:至少有1名女运动员包括以下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为
1 4 C4C4+C2C3+C3C2+C4C1=246(种). 6 4 6 4 6 6

法二:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员” 可用间接法求解. 从10人中任选5人有C 有C5种. 6
5 所以“至少有1名女运动员”的选法为C5 -C6=246(种). 10 5 10

种选法,其中全是男运动员的选法

(3)法一:可分类求解: “只有男队长”的选法为 C4; 8 “只有女队长”的选法为 C4; 8 “男、女队长都入选”的选法为 C3; 8 所以共有 2C4+C3=196(种)选法. 8 8 法二:间接法: 5 从 10 人中任选 5 人有 C10种选法.
5 其中不选队长的方法有 C8种.

所以“至少有 1 名队长”的选法为 C5 -C5=196(种). 10 8

4 (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 C9种选法.不

选女队长时,必选男队长,共有 C4种选法.其中不含女 8 运动员的选法有 C4种,所以不选女队长时的选法共有 5
4 C8-C4种选法.? 5

所以既有队长又有女运动员的选法共有?
4 C9+C4-C4=191(种). 8 5

[悟一法] 组合问题常有以下两类题型及解决策略: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则

先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先
将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必 须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防 重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直

接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

[通一类] 2.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一 测试,直至找出所有4件次品为止.

(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次才
找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少? (2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样 的不同测试方法数是多少?

解:(1)先排前4次测试,只能取正品,有A 4 种不同测试方法, 6
2 再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有C4· 2= A2

A2种测法,再排余下4件的测试位置,有A4种测法. 4 4 所以共有不同排法A4· 2· 4=103 680(种). 6 A4 A4 (2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而
1 前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法A4· 1· 3)A4= (C6 C3 4

576(种).

[做一题] [例3] 有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同

学科的科代表,求分别符合下列的选法数:
(1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文科代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表; (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代

表,但不担任数学科代表.

[自主解答]

(1)先选后排,先选可以是2女3男,也可以是1

3 3 女4男,先取有C 5 C 2 +C 4 C 1 种,后排有A 5 种,其共(C 5 C 2 + 3 5 3 5 3 5 C4C1)· 5=5 400(种). 5 3 A 4 (2)除去该女生后,先取后排,有C7· 4=840(种). A4 4 (3)先选后排,但先安排该男生,有C7· 4· 4=3 360(种). C1 A4

(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C 男生有C
1 3

3 6

种,再安排该
3 6

种,选出的3人全排有A

3 3

种,共C

· C

1 3

· A

3 3



360(种).

[悟一法]
排列、组合的综合问题,一般是将符合要求的元素 取出(组合)或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行 排列.其中分组时,要注意“平均分组”与“不平均分组” 的差异及分类的标准.

[通一类] 3.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法? (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?

解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取 出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放 入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后 再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子
1 内,由分步乘法计数原理,共有C4C2C1×A2=144(种). 4 3 2

(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个 盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因 此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同 一件事,所以共有144种放法.

2 (3)确定2个空盒有C4种方法.

4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不
2 2 C4C2 2 3 1 2 均匀分组有C4C1A2种方法;第二类有序均匀分组有 A2 · 2 A 2 2 2 C4C2 2 2 种方法.故共有C2(C3C1A2+ A2 · 2)=84(种). A 4 4 1 2

[热点分析]

排列、组合的应用问题是命题的热点内容,独立成题
时多为选择、填空题,也常与概率、分布列等有关知识融

合,交汇命题,题型多为解答题,难度中等.

[考题印证] (2011· 浙江高考)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2 本,物理书1本.若将其随机地并排摆放到书架的同一层 上,则同一科目的书都不相邻的概率是 1 A.5 3 C.5 2 B.5 4 D.5 ( )

[一题多解]—————————————(条条大道通罗马) [法一] 第一步先排语文书有A2=2种排法. 2 第二步排物理书,分两类:一类是物理书放在语文书之 间,有1种排法,这时数学书可从4个空中选两个进行排 列,有A2=12(种)排法;一类是物理书不放在语文书之 4 间有2种排法,再选一本数学书放在语文书之间有2种排 法,另一本有3种排法.因此同一科目的书都不相邻共有 2×(12+2×2×3)=48种排法,而5本书的全排列共有A5= 5 48 2 120(种),所以同一科目的书都不相邻的概率是120=5.

[法二]

2 语文、数学只有一科的两本书相邻,有2A 2 A 2 A 3 = 2 2

48种摆放方法. 语文、数学两科的两本书都相邻,有A 2 A 2 A 3 =24种摆放方 2 2 3 法.而五本不同的书排成一排总共有A5=120种摆放方法. 5 48+24 2 故所求概率为1- 120 =5.

[答案] B

1.从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中任选四名同学,参

加4×100接力赛,其中,乙、丙不跑相邻两棒,则
不同的选排种数为 A.48 C.60 B.56 D.84 ( )

解析:当乙、丙只有1人参加接力赛时,有C 1 A 4 =48种 2 4 排法;当乙、丙两人都参加接力赛时,有A 2 A 2 =36种排 3 3 法,故共有48+36=84种不同的选排方法.

答案:D

2.6 名同学安排到 3 个社区 A,B,C 参加志愿者服务,每个 社区安排两名同学,其中甲同学必须到 A 社区,乙和丙同 学均不能到 C 社区,则不同的安排方法种数为 ( A.12 B.9 )

C.6 D.5 1 解析:当乙、丙中有一人在 A 社区时有 C1C3C2=6 种安排 2 2
1 方法; 当乙、 丙两人都在 B 社区时有 C3C2=3 种安排方法, 2

所以共有 9 种不同的安排方法.

答案:B

3.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要 求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一 位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺 序的编排方案共有 A.36种 B.42种 ( )

C.48种

D.54种

解析:由题可知,可以考虑分成两类计算,若甲排在第一 位则有A 4 种方案,若甲排在第二位则有C 1 A 3 种方案,所以 4 3 3
4 按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A 4 +C 1 A 3 3 3

=42(种).

答案:B

4.某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件

展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既
不在两端又不相邻,则不同的展出方法有________种; 如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超 过2个展台,则不同的展出方法有________种.

解析:依题意得,某展室有9个展台,现有3件展品需要展 出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用
3 的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有A 5 =60

种(注:从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将 3件展品进行排列即可);其中3件展品所选用的展台之间间
3 隔超过两个展位的展出方法有2A 3 =12种,因此要求3件展

品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方 法有60-12=48种.

答案:60

48

5. 一个五位的自然数 abcde, 当且仅当它满足 a<b<c, c>d>e(如 12 430,13 531 等)时称为“凸”数,则在所有的五位数中 “凸”数的个数是________.

解析:∵当 c=3 时,a=1,b=2,a,b 的取法只有 C2 2 种;d,e∈{2,1,0},有 C2种取法,∴满足条件的取法有 3
2 C2C2种;同理:当 c=4 时,满足条件的取法有 C3C2=18 2 3 4

种;当 c=5 时,满足条件的取法有 C2C2=60 种;??; 4 5
2 2 2 ∴所有的五位数中“凸”数的个数是 C2C2+C2C4+C4C2 3 3 5 2 2 2 +C5C2+C2C7 +C7C2+C2C2=3+18+60+150+315+ 6 6 8 8 9

588+1 008=2 142.

答案:2 142

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