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2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件(1)(新人教版A选修1-1)



抛物线的简单几何性质

一、抛物线的范围: y2=2px
Y

?X ? 0
X

?y取全体实数

二、抛物线的对称性 y2=2px
Y

关于X轴对称 没有对称中心
X

三、抛物线的顶点 y2=2px

>Y

X

定义 :抛物线 与对称轴的交点, 叫做抛物线的顶 点 只有一个顶点

四、抛物线的离心率 y2=2px
Y

X

所有的抛物 线的离心率 都是 1

五、抛物线开口方向的判断

y ? 2 px
2

X + ,x轴正半轴,向右 X - ,x轴负半轴,向左 y + ,y轴正半轴,向上 y - ,y轴负半轴,向下

y ? ? 2 px
2

x ? 2 py
2

x ? ? 2 py
2

六、抛物线开口大小 y y2=2px
l
A

o

· F
B

过焦点且垂直于对称轴的直线 x 被抛物线截得的线段AB叫做抛 物线的通径, 长为2p
A( p 2 , p )、B ( p 2 ,? p )

P越大,开口越阔

图形

标准方程
2

范围

对称性

顶点

离心率 e=1

y ? 2 px x ? 0 , 关于x 轴 ( 0 , 0 ) 对称,无 ( p ? 0) y ? R 对称中心
y ? ?2 px x ? 0 , 对称,无 y ? R 对称中心 ( 0 , 0 ) ( p ? 0)
2

关于x 轴

e=1

x ? 2 py y ? 0 , 关于y 轴 对称,无 ( p ? 0) x ? R 对称中心
2

( 0 , 0 ) e=1 ( 0 , 0 ) e=1

关于y 轴 x ? ?2 py y ? 0 , 对称,无 x ? R 对称中心 ( p ? 0)
2

例3

已知抛物线关于 ( 2 ,? 2

x 轴对称,它的顶点在坐

标原点,

并且经过点

2 ), 求它的标准方程。
x 轴对称,它的顶点在原 程为 y
2
2

解:因为抛物线关于 点 M ( 2 ,? 2

点,并且经过 ? 2 Px ( P ? 0 )

2 ), 所以,可设它的标准方

因为点

M 在抛物线上,所以

(?2

2 ) ? 2 P ? 2 ,即 p ? 2
2

因此,所求抛物线的标

准方程是

y

? 4x

例4

斜率为 1的直线 l 经过抛物线

y

2

? 4 x 的焦点 F , 且与

A , B 两点,求线段 p 解:由题意可知, p ? 2, ? 1, 2 准线 l : x ? ? 1 .

抛物线相交于

AB 的长。

y

A’

A O F B
x

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), A , B 到 准线 l 的距离分别为 d A,dB.

由抛物线的定义可知 AF BF ? d A ? x1 ? 1, ? d B ? x 2 ? 1,

B’

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x 2 ? 2

例4

斜率为 1的直线 l 经过抛物线 A , B 两点,求线段
为 F (1, 0 ), y ? x ?1
2

y

2

? 4 x 的焦点 F , 且与

抛物线相交于

AB 的长。

由已知得抛物线的焦点 所以直线 AB 的方程为

y

A’

A O F B
x

代入方程

y

2

? 4 x , 得 ( x ? 1) ? 4 x ,

化简得

x

2

? 6 x ? 1 ? 0.

?

x1 ? x 2 ? 6 AB ? x 1 ? x 2 ? 2 ? 8

B’

?

所以,线段

AB 的长是 8。

拓展: 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m, 交这抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切.
y

y ? 4x

2

C

B E O F A
x

分析:运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷.

H D

证明:如图.
设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线l引垂 线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,
则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB| y =|AF|+|BF| C B =|AD|+|BC| =2|EH| E H 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径,且EH⊥l,因 而圆E和准线l相切.
O D F A
x

抛物线的焦点弦的特征
1、已知AB是抛物线y2=2px的任意一条焦点弦,且A (x1,y1)、B(x2,y2) 1)求证:y1y2=-P2,x1x2=p2/4。 2)设θ为直线AB的倾斜角,求证:当θ=90o时,取得 ︱AB︱的最小值2p。 3)若弦AB过焦点,求证:以AB为直径的圆与准线相 切。
4) AB ? x1 ? x2 ? P

例 5、已知抛物线顶点在原点,以 x 轴为 2 2 对称轴且与圆 x +y =4 相交的公共弦长 为 2 3 ,求抛物线的方程。
y A O B x

抛物线的几何性质特点
(1)只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸, 但没有渐进线。
(2)只有一条对称轴,没有对称中心。 (3)只有一个顶点,一个焦点,一条准线。 (4)离心率e是确定的,即e =1 (5)一次项系数的绝对值越大,开口越大

课堂小结
(1)抛物线的简单几何性质
(2)抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 (3)应用性质求标准方程的方法和步骤

小 结 :
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程

3、注重数形结合的思想。

例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明:以抛物线的对称 建立直角坐标系。设抛
点 A 的坐标为 ( y0
2

轴为 x 轴,它的顶点为原点, 物线的方程为 y
2

? 2 px ,
y ? 2p y0 x,

2p

, y 0 ), 则直线 OA 的方程为

y

抛物线的准线是

x ? ?

p 2

A O D F B
x

联立可得点

D 的纵坐标为
( p 2 y0
2

y ? ?

p

2

.

因为点 F 的坐标是 x? ? ?

p 2

y0
, 0 ), 所以直线 AF 的

方程为

y y0

. p 2

2p

联立可得点

B 的纵坐标为

y ? ?

p

2

.

所以 DB // x 轴。

y0

12.给出下列结论,其中正确的是 A.渐近线方程为 y ? ?
1 2 b a x ? a ? 0 , b ? 0 ? 的双曲线的标准方程一定是 1 2
x a
2 2


? y b
2 2


?1

B.抛物线 y ? ?

x 的准线方程是 x ?
2

C.等轴双曲线的离心率是 2
x m
2 2

D.椭圆

?

y n

2 2

? 1 ? m ? 0 , n ? 0 ? 的焦点坐标是 F 1 ?

?

m

2

? n ,0 , F 2
2

? ?

m

2

? n ,0
2

?

5. (上海)过抛物线 y

2

? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,

它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线( B ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条

D.不存在

5.方程 y2=ax+b 与 y=ax+b(a≠0)表示的图形可能是(



2. (浙江)函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( B (A)
1 8

)

(B)

1 4

(C)

1 2

(D)1

9.AB 是抛物线 x=y 的一条焦点弦,且|AB|=4,则 AB 的中点到 直线 x+1=0 的距离为( ) A.
5 2

2

B.2

C.3

D.

11 4

6.抛物线 y 2 ? 2 px ( p F 是它的焦点,若 AF

? 0)
, BF

上有 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 成等差数列,则 , CF

C (x3 , y3 )

(

三点, )

A. x 1 , x 2 , x 3 成等差数列 C. y 1 , y 2 , y 3 成等差数列

B. x 1 , x 3 , x 2 成等差数列 D. y 1 , y 3 , y 2 成等差数列

例1 已知抛物线的方程为y? =4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k 为何值时,直线l与抛物线y? =4x:只有一个公共点;有两个公共 点;没有公共点?
解:由题意,设直线 l的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2 ).

由方程组
可得 ky
2

? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? 2 y ? 4x ?
? 4 y ? 4 ( 2 k ? 1) ? 0
y ? 1.

Y

P

(1 )当 k ? 0 时,由方程得

·
O

把 y ? 1 代入 y
这时,直线

2

? 4 x,得 x ?

1 4

X

.
点( 1 4 ,1 )

l 与抛物线只有一个公共

例1 已知抛物线的方程为y? =4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k 为何值时,直线l与抛物线y? =4x:只有一个公共点;有两个公共 点;没有公共点?
解:由题意,设直线 l的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2 ).

由方程组
可得 ky
2

? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? 2 y ? 4x ?
? 4 y ? 4 ( 2 k ? 1) ? 0
? = ? 16 ( 2 k
2

( 2 )当 k ? 0 时,方程的判别式为

? k ? 1 ).

1 由 ? = 0,即 2 k
0

2

? k ?1 ? 0
1 2 .

解得 k ? ? 1, 或 k ?

即当 k ? ? 1,或 k ? 即直线与抛物线只有一

1 2

时,方程组只有一个解 个公共点。



2 由 ? ? 0,即 2 k
0

2

? k ?1 ? 0
.

解得 ? 1 ? k ?

1 2

即当 ? 1 ? k ?

1 2

, 且 k ? 0 时,方程组有两个解, 公共点。
2

即直线与抛物线有两个

3 由 ? ? 0,即 2 k
0

? k ?1 ? 0
1 2 .

解得 k ? ? 1,或 k ?

即当 k ? ? 1或 k ?

1 2

时,方程组没有实数解 共点。



即直线与抛物线没有公

综上所述,当

k ? ? 1,或 k ?

1 2

,或 k ? 0 时,

即直线与抛物线只有一 当 ?1? k ? 1 2 即直线与抛物线有两个 当 k ? ? 1或 k ? 1 2 即直线与抛物线没有公 时,

个公共点。

, 且 k ? 0 时, 公共点。

共点。

直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形: 一种是直线平行于抛物线的对称轴;

另一种是直线与抛物线相切.

N 例题1.如图所示,直线 l 与 l 相交于M点 l ? l , ? l 以A,B为端点的曲 ? AMN 为锐角 线段C上的任一点到 l 的距离与到点N的距离相等, 三角形, ? 17 , AN ? 3 , BN ? 6 建立适当坐标系,求曲线C的方程。 AM
1 2 1 2

2

1

l1

B A N
分析:1.如何选择适当的坐标系。 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 3.如何用方程表示曲线的一部分。

l2 M

1

2

3

N 例题1.如图所示,直线 l 与 l 相交于M点 l ? l , ? l 以A,B为端点的曲 ? AMN 为锐角 线段C上的任一点到 l 的距离与到点N的距离相等, 三角形, ? 17 , AN ? 3 , BN ? 6 建立适当坐标系,求曲线C的方程。 AM
1 2 1 2

2

1

l1 D
l2 M

y A C N

B

解法一:
Rt ? ACM , MC ? AD ? AN ? 3

且 AM

?

17 ,则 AC ? 2

2

x

Rt ? ACN 中,NC ? 1
MN
p 2

? 4 , 则 N 为 ( 2 ,0 )

? 2得 2 p ? 8
2

即抛物线方程: y 由图得,A 为(
1, 2 2)
2

? 8x
2)

B 为( 4 , 4

曲线段C的方程为: y

? 8 x (1 ? x ? 4 , y ? 0 )

N 例题1.如图所示,直线 l 与 l 相交于M点 l ? l , ? l 以A,B为端点的曲 ? 线段C上的任一点到 l 的距离与到点N的距离相等,AMN 为锐角 三角形, ? 17 , AN ? 3 , BN ? 6 建立适当坐标系,求曲线C的方程。 AM
1 2 1 2

2

1

l1 D
l2 M

y A C N

B

解法二:
设抛物线方程: p A (3 ? ,2 2 ) 2 y ? 2 px ( p ? 0 ) p 8 ? 2 p (3 ? ) 2
2

x

得 , p ? 2或 4
p 2 ? p 2
2

? AMN 为锐角三角形,
所以 3 ?

xA ? xN

得 p ? 3;即 p ? 4

曲线段C的方程为: y ? 8 x (1 ? x ? 4 , y ? 0 )

例题2.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值。

解: 设 A ( x
y
M A D F

1

, y 1 ), B ( x 2 y 2 ), AB 中点 M ( x , y )
? BC ,
MN ? p 2 ? y ? 1 4 ? y,

2 MN
B

? AD

AD

? BC

? 2(

1 4

? y)

o
N C

x

AD
AF

?

AF
? BF

, BC
? 2(

? BF
1 4 ? y)

? ABF 中 , AF ? BF ? AB ? 2
2( y ? 1 4 ) ? 2,即 y ? 3 4

1.已知M为抛物线 y ? 4 x 上一动点,F为抛物线的焦点, 定点P(3,1),则 MP ? MF 的最小值为(B) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2

N M

M

.
P

.

2.过点(0,2)与抛物线 y ? 8 x 只有一个公共点的直线有(C ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条
2

. .
F (1 , 0 )

.
P
x ? 3

3.过抛物线 y ? ax ( a ? 0 ) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,
2

若PF与FQ的长分别是 p, q则
y

1 p

?

1 q

等于 ( C )(A)2a
y

A

(B) 2 a (C)4a (D)

1

2 a

P

F

Q

4.已知A、B是抛物线 y
OA ? OB , 且 ? AOB

程是:( D )
(A) x ? p (B) x ? 3 p (C) x ?
3 2 p (D) x ?

.

F

x

O

x

2

? 2 px ( p ? 0 )上两点,O为坐标原点,若

的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方
5 2

.

B

p

(全国卷 III) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 上,
2

l 是 AB 的垂直平分线,

(Ⅰ)当且仅当 x 1 ? x 2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F? 证明你的结论; (Ⅱ)当 x 1 ? 1, x 2 ? ? 3 时,求直线 l 的方程.

若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>2p),则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距离是 ( ) A. 1 a
2

B. 1 p
2

C. 1 a+ 1 p
2
2

D. 1 a- 1 p
2

2

坐标系中,方程a
y o x

2

x ? b y ? 1 与 ? by ax
2 2 2

2

? 0(a ? b ? 0)

的曲线是( ) D
y

y o x

y o x

o

x

(A)

(B)

(C)

(D)

AB 是抛物线 x=y 的一条焦点弦,且|AB|=4,则 AB 的中点到 直线 x+1=0 的距离为( ) A.
5 2

2

B.2

C.3

D.

11 4

抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 上有 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ) 三点, F 是它的焦点,若 AF , BF , CF 成等差数列,则 ( ) A. x 1 , x 2 , x 3 成等差数列 C. y 1 , y 2 , y 3 成等差数列 B. x 1 , x 3 , x 2 成等差数列 D. y 1 , y 3 , y 2 成等差数列



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