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2015-2016学年高中数学 1.1.4投影与直观图课件 新人教B版必修2



成才之路 ·数学
人教B版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
立体几何初步

第一章 1.1.4 投影与直观图

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

r />思想方法技巧

3

易错疑难辨析

5

课 时 作 业

课前自主预习

皮影戏,又称影子戏或灯影戏,是一种用灯光照射兽皮或 纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏曲.表演时,艺人们 在白色幕布后面,一边操纵戏曲人物,一边用当地流行的曲调 唱述故事,同时配以打击乐器和弦乐,有浓厚的乡土气息.在

河南、山西等地的农村,这种拙朴的民间艺术形式很受人们的
欢迎.皮影戏和太阳光照射成像都具备光线、不透明物体和投 影面这些相同的条件.皮影戏中的成像与太阳光成像原理一样 吗?

1.投影与直观图 (1)已知图形 F,直线 l 与平面 α 相交

F上任一点M作直线MM′ (如图所示),过 ________________________ 平行于 l,交平面α于点M′ ___________________________ , 则 点
M′叫做点 M 的在平面 α 内关于直线 l 的平行投影 (或象). 如果 .... 图形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形

平行投影.平面 α F′,则 F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的_________ 投射面 投射线 . 叫做__________ ,l 叫做__________

当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有 下述性质: ①直线或线段的平行投影是直线或线段 __________; 平行或重合的直线 ; ②平行直线的平行投影是_________________ 与这条线段平行且等长 ③平行于投射面的线段,它的投影 ____________________; ④与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等 ______________; ⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于 这两条线段的比 . ___________________

(2)一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形的 影子就是它在这个平面上的中心投影 ________.

(3) 用 来 表 示 空 间 图 形 的 平 面 图 形 叫 做 空 间 图 形 的
直观图 . ________

2.斜二测画法规则: (1)在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 90° , 且 ∠ yOz = Ox 、 Oy , 再 作 Oz 轴 , 使 ∠ xOz = ________

90° ________.
(2)画直观图时,把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O′x′、O′y′、

°________ (或135°) O′z′,使∠x′O′y′=________________,∠x′O45 ′z′ = ,其 90° 中x′O′y′所确定的平面表示水平平面.

(3) 已知图形中,平行于 x 轴、 y 轴、 z 轴的线段,在直观图 平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段 中,分别画成 _______________________________ ,并使它们 和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的 相同 . 位置关系________

(4)已知图形中,平行于x轴和z轴的线段,在直观图中长度
不变 ,平行于y轴的线段长度为__________ 原来的一半. 保持________ (5)画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴就得到了空间图 形的直观图.

1.有下列说法:
①用斜二测画法画的直观图是在中心投影下画出来的图 形.

②平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于
一点; ③空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可 能变成了相交的直线; ④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形

式.

其中正确命题有( A.1个 C.3个

) B.2个 D.4个

[答案] C
[ 解析 ] 理.故选C. 利用平行投影与中心投影的概念作判断.可知② ③④都正确,但①错.因为斜二测画法应用的是平行投影原

2.下列光线所形成的投影,不是中心投影的是( A.太阳光线 C.手电筒的光线 B.台灯的光线 D.路灯的光线

)

[答案] A
[解析] 太阳光线形成的投影是平行投影.

3 .如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可 能是下图中的( )

[答案] A [ 解析 ] 由直观图可知,原四边形一组对边平行且不相

等,为梯形,且梯形两腰不能与底垂直.

4.(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 )如图是△AOB
用斜二测画法画出的直观图,则△AOB的面积为________.

[答案] 32

[ 解析]

由△AOB 的直观图可知,△AOB 的底边长为 4,

1 高为 16,故 S△AOB=2×4×16=32.

5.下列说法正确的是________.
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段; ②与投射面平行的平面图形,它的平行投影与这个图形一 定全等; ③平行四边形的平行投影可能为矩形;

④两平行直线的平行投影一定平行;
⑤如果一条长为 10的线段的平行投影为 5 ,则长为 20 的线 段的平行投影为10.

[答案] ②③

[ 解析 ]

根据平行投影的性质可知,直线或线段与投影线

平行时,其平行投影为点,故①错误;②正确;当投影线和投 射面成适当的角度,或改变图形相对于投射面的位置时,平行 四边形的平行投影可能为矩形,故③正确;两平行直线的平行

投影除平行外,还可能为两点或重合,故④错误;当两直线平
行时,两线段与其投影对应成比例,而题中两线段不一定平 行,故⑤错误.

6.用斜二测画法画一个正三角形的直观图.

[解析]
45°.

(1)取BC中点O为原点,直线BC为x轴,直线OA为y

轴,任取 O′ 点,画对应的 x′ 轴, y′ 轴,使 ∠ x′O′y′ =

(2)在 x′轴上以 O′为中点, 取 B′C′=BC(或在 Ox′正 半轴上截取 O′C′=OC.负半轴上截取 O′B′=OB),再在 1 y′轴的正半轴上截取 O′A′=2OA.

(3)连接 A′B′,A′C′即得△ABC 的直观图(如上图).

课堂典例讲练

水平放置平面图形直观图画法
用斜二测画法画正五边形的直观图.

[解析]

(1)建立如图①所示的直角坐标系xOy,再建立如图

②所示的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°;

(2)在图①中作 BG⊥x 轴于 G,EH⊥x 轴于 H,在坐标系 1 x′O′y′中截取 O′H′=OH,O′G′=OG, O′A′=2 1 OA, O′F′=2OF, 过 F′作 C′D′∥x′轴且 C′F′=CF, F′D′=FD. (3)在平面 x′O′y′中,过 G′作 G′B′∥y′轴,且 1 1 G′B′=2BG,过 H′作 H′E′∥y′轴,且 H′E′=2HE, 连接 A′B′,B′C′、C′D′、D′E′、E′A′,得五边 形 A′B′C′D′E′为正五边形 ABCDE 的平面直观图.

用斜二测画法画出下图中的四边形 OABC水平放置的直观 图.

[ 解析]

如图所示,(1)画 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′

=45° , (2)在 O′x′轴上取 D′、 B′, 使 O′D′=OD, O′B′ 1 =OB,在 O′y′轴上取点 C′,使 O′C′=2OC,在 O′x′ 1 轴下方过 D′作 D′A′∥O′y′, 使 D′A′=2DA, (3)连接: 连接 O′A′、A′B′、B′C′,所得四边形 O′A′B′C′ 就是四边形 OABC 的直观图.

与直观图有关的计算问题 (2015·山东莱州市高一期末测试)如图,正方形

OABC的边长为2,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则
原图形的面积是( )

A.8 2 C.2 2

B.4 D.4(1+ 2)

[ 解析]

根据原图形中平行于 x 轴

或 x 轴上的线段长度不变,原图形中平 行于 y 轴或 y 轴上的线段长度减半,由 直观图可知,原图形为如图所示的平行 四边形 O′A′B′C′, 且 O′A′=2,O′B′=4 2, 1 1 1 ∴ SO′A′B′C′ = 2 O′A′· O′B′ + 2 B′C′· O′B′ = 2 1 ×2×4 2+2×2×4 2=8 2,故选 A. [答案] A

(2015· 辽宁大连市高一期末测试)一个水平放置的平面图形 的斜二测直观图是一个底角为 45° ,腰和上底长均为 1 的等腰 梯形,则这个平面图形的面积是( 1 2 A.2+ 2 C.5
[答案] D

)

B.1+ 2 D.2+ 2

[ 解析]

解法一:根据平面图形的直观图的斜二测画法,

所求平面图形为四边形.由“横不变”知,四边形为梯形,且 上底边长为 1,容易求得下底边长为 1+ 2,由直观图的底角 为 45° 知,这个梯形为直角梯形;再由“竖取半”知,直腰长 1 为 2,故这个平面图形的面积为 S=2×[1+(1+ 2)]×2=2+ 2,故选 D.

2 [1+?1+ 2?]× 2 2+1 解法二:S 直观图= = 2 , 2 2+1 S直观图 2 2 又∵ = ,∴S 平面图= =2+ 2. S平面图 4 2 4

空间几何体的直观图画法 用斜二测画法画长、宽、高分别是4、3、2的长 方体ABCD-A′B′C′D′的直观图. [ 解析] (1)画 x 轴、y 轴、z 轴,三
轴相交于点 O,使∠xOy=45° ,∠xOz =90° . (2)以点 O 为中点, 在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4;在 y 轴上取线段 PQ, 3 使 PQ=2.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平 行线,过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A、 B、C、D,四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.

(3)过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线,并在这些平 行线上分别截取长度为 2 的线段 AA′、BB′、CC′、DD′. (4)顺次连接 A′、B′、C′、D′各点, 并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改 为虚线),就得到长方体的直观图.

用斜二测画法画出六棱锥 P - ABCDEF 的直观图,其中底 面 ABCDEF 是正六边形,点 P 在底面的投影是正六边形的中心 O(尺寸自定). [解析] 画法:(1)画六棱锥P-ABCDEF的底面的直观图.

①在正六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴,对称 轴 MN 所在直线为 y 轴,两轴相交于 O(如图 1 所示),画相应的 x′轴和 y′轴、z′轴,三轴交于 O′,使∠x′O′y′=45° , ∠x′O′z′=90° (如图 2 所示).

②在图 2 中,在 x′轴上,取 O′A′ =OA, O′D′=OD, 在 y′轴上取 O′N′ 1 1 =2ON, O′M′=2OM, 分别过 M′、 N′ 作 x′轴的平行线 B′C′、F′E′,并截取 N′C′=B′N′ =M′E′=M′F′=ME. ③连接 A′B′、C′D′、D′E′、F′A′得到水平放置 的正六边形 ABCDEF 直观图 A′B′C′D′E′F′.

(2) 画 六 棱 锥 P - ABCDEF 的 顶 点 , 在 O′z′ 轴 上 取 点 P′,使P′O′等于PO的长度. (3) 成 图 . 连 接 PA′ 、 PB′ 、 PC′ 、 PD′ 、 PE′ 、

PF′ , 并 擦 去 x′ 轴 、 y′ 轴 、 z′ 轴 , 便 得 到 六 棱 锥 P -
ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′(图3).

易错疑难辨析

如图,△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么 △ABC 中最长的边为________.

[ 错解]

AB

[辨析] [ 正解 ]

忽视了图形中的平行关系,从而得不到原图中边 AC 由图知 B′C′∥y′ 轴, A′B′∥x′ 轴,则原图中

与坐标轴的平行关系,判断不出直角三角形而导致错误.

BC∥y 轴,则∠ ABC = 90°, AC 为 Rt△ABC 的斜边,故 AC 是
△ABC中最长的边.

思想方法技巧

数形结合思想
如图, △A′B′C′是△ABC 的直观图, B′O′ =O′C′=C′A′,则原△ABC 是( A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

[ 解析]

建立平面直角坐标系, 在 x 轴上截

取 BO=CO=B′O′,过 C 作 y 轴平行线并在 上 面 截 取 AC = 2OC , 连 接 AB , 则 得 △ A′B′C′的原△ABC,如图所示,由于 AC⊥ BC,且 AC=BC,所以△ABC 是等腰直角三角形.

[答案] D



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