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2014届高三数学(理)( 江苏专用)《大二轮专题复习与增分策略》专题五 第2讲]


第2讲

椭圆、双曲线、抛物线

【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式:1.以填空的形式考查,主 要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基 础知识、基本技能,属于基础题.2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及 标准方程的求解,常常在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形 式出现.该部分题目多数为综合性问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,综合运用知 识的能力等,属于中、高档题.

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 椭圆 PF1 + PF2 = 2a(2a> F1F2) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 |PF1 - PF2| = 2a(2a< F1F2) x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 抛物线 PF=PM 点 F 不在直 线 l 上,PM⊥l 于 M y2=2px(p>0)

图形 范围 顶点 对称性 焦点 几何 性质 离心率 轴 |x|≤a,|y|≤b (± a,0),(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a, 短轴长 2b c e= = a b2 1- 2 a
2

实轴长 2a, 虚轴长 2b c e= = a (e>1) a2 x=± c b y=± x a p x=- 2 b2 1+ 2 a e=1

(0<e<1) 准线 渐近线 a x=± c

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 x2 y2 y2 (1)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、 F2, P 为这两条曲线的 2 m 3 一个交点,则 PF1· PF2 的值等于________. (2)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 FA=2FB,则 k=________. 答案 解析 (1)3 2 2 (2) 3

(1)焦点坐标为(0,± 2),由此得 m-2=4,故 m=6.根据椭圆与双曲线的定义可

得 PF1+PF2=2 6,PF1-PF2=2 3,两式平方相减得 4PF1PF2=4×3,所以 PF1· PF2 =3. (2)方法一 抛物线 C:y2=8x 的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)(k>0)恒过定点 P(- 2,0). 如图,过 A、B 分别作 AM⊥l 于点 M, BN⊥l 于点 N.

由 FA=2FB,则 AM=2BN,点 B 为 AP 的中点. 1 连结 OB,则 OB= AF, 2 ∴OB=BF,点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为(1,2 2). 2 2-0 2 2 ∴k= = . 3 1-?-2? 方法二 如图,由图可知,BB′=BF,AA′=AF, 又 AF=2BF, ∴ BC BB′ 1 = = , AC AA′ 2

即 B 是 AC 的中点.

2 ? ? ?2xB=xA-2, ?yA=8xA, ∴? 与? 2 ?2yB=yA ? ? ?yB=8xB,

联立可得 A(4,4 2),B(1,2 2). ∴kAB= 4 2-2 2 2 2 = . 3 4-1 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定 义中要求 PF1+PF2>F1F2,双曲线的定义中要求 PF1-PF2<F1F2,抛物线上的点到焦 点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,提倡画出合理草图. x2 y2 3 (1)(2012· 山东改编)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2 a b 2 -y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则 椭圆 C 的方程为________. (2)如图, 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A, B, 交其准线 l 于点 C,若 BC=2BF,且 AF=3,则此抛物线的方程为 ________. 答案 解析 x2 y2 (1) + =1 20 5 (2)y2=3x a2-b2 3 c 3 ,∴ = = , 2 a a 2

(1)∵椭圆的离心率为

∴a=2b.∴椭圆方程为 x2+4y2=4b2. ∵双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x± y=0, ∴渐近线 x± y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 在第一象限的交点为? ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 ∴a2=4b2=20. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5 (2)如图,分别过 A,B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,由抛物线的定 义知,AF=AA1,BF=BB1, ∵BC=2BF,∴BC=2BB1, ∴∠BCB1=30° ,∴∠AFx=60° . 连结 A1F,则△AA1F 为等边三角形, 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 AA1 的中点, 1 1 3 设 l 交 x 轴于 N,则 NF=A1F1= AA1= AF,即 p= ,∴抛物线方程为 y2=3x. 2 2 2 2 5 2 5 ? , ? 5 b, 5 b?

2 5 2 5 b× b=4,∴b2=5, 5 5

考点二 圆锥曲线的几何性质 例2 x2 y2 (1)(2013· 辽宁改编)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直 a b

4 线相交于 A,B 两点,连结 AF,BF.若 AB=10,BF=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 5 为________. x2 y2 (2)(2013· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),右焦 a b 点为 F,右准线为 l,短轴的一个端点为 B,设原点到直线 BF 的距离为 d1,F 到 l 的距 离为 d2.若 d2= 6d1,则椭圆 C 的离心率为________. 答案 解析 5 3 (1) (2) 7 3 (1)在△ABF 中,由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2AB· BFcos∠ABF, ∴AF2=100+64-128=36,∴AF=6, 从而 AB2=AF2+BF2,则 AF⊥BF. 1 ∴c=OF= AB=5, 2 利用椭圆的对称性,设 F′为右焦点, 则 BF′=AF=6, ∴2a=BF+BF′=14,a=7. c 5 因此椭圆的离心率 e= = . a 7 x y (2)如图,F(c,0),B(0,b),则直线 BF 的方程为 + =1,即 bx+cy c b -bc=0,d1= a2 b2 d2= -c= , c c 由已知条件 d2= 6d1 b2 6bc 即 = ,整理得: 6b2+ab- 6a2=0 c a b 2 解得 = ,∴e= a 6 c2 = a2 b2 3 1- 2= . a 3 bc bc 2 2= a b +c

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式.建立关于 a,b, c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. (1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线

交 C 于点 D,且 B F =2 F D ,则 C 的离心率为________. x2 y2 a2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 a b 4 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________. 答案 解析 (1) 3 10 (2) 3 2





(1)设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图,B(0,b),

F(c,0),D(xD,yD), 则 B F =(c,-b), F D =(xD-c,yD), ∵B F =2F D ,
?c=2?xD-c?, ? ∴? ?-b=2yD, ?









?x = 2 , ∴? b ?y =-2.
D D

3c

又∵点 D 在椭圆 C 上,



?3c?2 ?-b?2 ? 2 ? ? 2?
a
2



b

2

1 3 =1,即 e2= .∴e= . 3 3

(2)设 c= a2+b2,双曲线的右焦点为 F′. 则 PF-PF′=2a,FF′=2c. ∵E 为 PF 的中点,O 为 FF′的中点, ∴OE∥PF′,且 PF′=2OE. a ∵OE⊥PF,OE= , 2 ∴PF⊥PF′,PF′=a, ∴PF=PF′+2a=3a. ∵PF2+PF′2=FF′2, c 10 即 9a2+a2=4c2,∴ = . a 2 ∴双曲线的离心率为 10 . 2

考点三 圆锥曲线的综合问题

例3

x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,点 F 为椭 a b 2 圆的右焦点,点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点,点 M 为椭 → → 圆的上顶点,且满足MF· FB= 2-1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l,当直线 l 交椭圆于 P、Q 两点时,使点 F 恰为△PQM 的垂心?若存 在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)根据题意得,F(c,0)(c>0),A(-a,0),B(a,0),M(0,b),

→ → ∴MF=(c,-b),FB=(a-c,0), → → ∴MF· FB=ac-c2= 2-1. c 2 又 e= = ,∴a= 2c,∴ 2c2-c2= 2-1, a 2 ∴c2=1,a2=2,b2=1, x2 ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)假设存在满足条件的直线 l. ∵kMF=-1,且 MF⊥l,∴kl=1. 设直线 l 的方程为 y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2), y=x+m, ? ?2 由?x 2 ? ? 2 +y = 1 消去 y 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 则有 Δ=16m2-12(2m2-2)>0,即 m2<3, 2m2-2 4m 又 x1+x2=- ,x1x2= , 3 3 ∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2 = 2m2-2 4m2 m2-2 - +m2= . 3 3 3

又 F 为△MPQ 的垂心,连结 PF,则 PF⊥MQ, → → ∴PF· MQ=0, → → 又PF=(1-x1,-y1),MQ=(x2,y2-1), → → ∴PF· MQ=x2+y1-x1x2-y1y2 =x2+x1+m-x1x2-y1y2 2m2-2 m2-2 4 =- m+m- - 3 3 3

m 4 1 =-m2- + =- (3m2+m-4) 3 3 3 1 =- (3m+4)(m-1)=0, 3 4 ∴m=- 或 m=1(舍去), 3 4 经检验 m=- 符合条件, 3 ∴存在满足条件的直线 l,其方程为 3x-3y-4=0. (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与 系数的关系时,要注意使用条件 Δ≥0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是 否相交. (2)涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直 关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考 虑用圆锥曲线的定义求解. x2 (2013· 北京)已知 A, B, C 是椭圆 W: +y2=1 上的三个点, O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解 x2 (1)由椭圆 W: +y2=1,知 B(2,0) 4

∴线段 OB 的垂直平分线 x=1. 在菱形 OABC 中,AC⊥OB, x2 3 将 x=1 代入 +y2=1,得 y=± . 4 2 ∴AC=|y2-y1|= 3. 1 1 因此菱形的面积 S= OB· AC= ×2× 3= 3. 2 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0, m≠0).
?x2+4y2=4, ? 由? ? ?y=kx+m

消 y 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- =k· +m= . 2, 2 2 2 1+4k 1+4k2

4km m ∴线段 AC 中点 M?-1+4k2,1+4k2?,

?

?

1 ∵M 为 AC 和 OB 交点,∴kOB=- . 4k

?- 1 ?=-1≠-1, 又 k· ? 4k? 4
∴AC 与 OB 不垂直. 故 OABC 不是菱形,这与假设矛盾. 综上,四边形 OABC 不是菱形.

1. 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义 中的定值是标准方程的基础. 2. 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中 A、B 是不等的常数,A>B>0 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆;B>A>0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;AB<0 时表示双 曲线. c 3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a,c,计算 e= ;方法二:根据 a c 已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换,求 . a 4. 通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通 2b2 径长为 ,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通 a 径最短. 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c. 5. 抛物线焦点弦性质: 已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1)、B(x2,y2). p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 2p (2)AB=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 的倾斜角); sin α (3)S△AOB= p2 ; 2sin α

1 1 2 (4) + 为定值 ; FA FB p (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

x2 y2 1. 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F a b 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围是________. 答案 (1,2)

解析 由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB b2 为锐角,即∠AEF<45° ,于是 AF<EF, <a+c,于是 c2-a2<a2+ac,即 e2-e-2<0, a 解得-1<e<2.又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2. x2 y2 1 2. 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个 a b 2 实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)必在圆 x2+y2=2________.(填“内”“外”“上”) 答案 内 b c 解析 ∵x1+x2=- ,x1x2=- . a a
2 b2 2c b +2ac 2 2 ∴x1 +x2 = ( x + x ) - 2 x x = + = . 2 2 1 2 1 2 a a a2

c 1 1 ∵e= = ,∴c= a, a 2 2 1 ?2 3 2 ∴b2=a2-c2=a2-? ?2a? =4a . 3 2 1 a +2a× a 4 2 7 2 ∴x1 +x2 = <2. 2= a2 4 ∴P(x1,x2)在圆 x2+y2=2 内. 3. 过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上一点 A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于 M、N 两点, 自 M、N 向直线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1、N1. p (1)当 a= 时,求证:AM1⊥AN1; 2 (2)记△AMM1、△AM1N1、△ANN1 的面积分别为 S1、S2、S3.是否存在 λ,使得对任意的 a>0,都有 S2 2=λS1S3 成立?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. p p (1)证明 当 a= 时,A( ,0)为该抛物线的焦点,而 l:x=-a 为准线, 2 2 由抛物线的定义知 MA=MM1,NA=NN1, 则∠NN1A=∠NAN1,∠MM1A=∠MAM1.

又∠NN1A=∠BAN1,∠MM1A=∠BAM1, 则∠BAN1+∠BAM1=∠NAN1+∠MAM1, 而∠BAN1+∠BAM1+∠NAN1+∠MAM1=180° , 则∠N1AM1=∠BAN1+∠BAM1=90° , 所以 AM1⊥AN1. (2)解 可设直线 MN 的方程为 x=my+a,

? ?x=my+a, 由? 2 得 y2-2pmy-2pa=0. ? ?y =2px

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=2pm,y1y2=-2pa. 1 1 S1= (x1+a)|y1|,S2= (2a)|y1-y2|, 2 2 1 S3= (x2+a)|y2|, 2 由已知 S2 2=λS1S3 恒成立,则 4a2(y1-y2)2=λ(x1+a)(x2+a)|y1y2|. (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p2m2+8pa, (x1+a)(x2+a)=(my1+2a)(my2+2a) =m2y1y2+2ma(y1+y2)+4a2 =m2(-2pa)+2ma×2pm+4a2=4a2+2pam2. 则得 4a2(4p2m2+8pa)=2paλ(4a2+2pam2),解得 λ=4, 即当 λ=4 时,对任意的 a>0,都有 S2 2=λS1S3 成立.

(推荐时间:70 分钟) 一、填空题 1. (2013· 课标全国Ⅱ改编)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5, 若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为________________. 答案 y2=4x 或 y2=16x p ? p 解析 由题意知:F? ?2,0?,抛物线的准线方程为 x=-2,则由抛物线的定义知,xM= 5 yM? p ? 5?2 ? yM?2 25 5- ,设以 MF 为直径的圆的圆心为? ?2, 2 ?,所以圆的方程为?x-2? +?y- 2 ? = 4 , 2 p? 又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.

x2 y2 2. 与椭圆 + =1 共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是____________. 12 16 x2 答案 y2- =1 3 16-12 1 x2 y2 解析 椭圆 + =1 的离心率为 = ,且焦点为(0,± 2),所以所求双曲线的 12 16 2 16 2 焦点为(0,± 2)且离心率为 2,所以 c=2, =2 得 a=1,b2=c2-a2=3,故所求双曲线 a x2 方程是 y2- =1. 3 3. (2013· 江西改编)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相 交于点 M,与其准线相交于点 N,则 FM∶MN=________. 答案 1∶ 5 解析 由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距离 MH. 即 FM∶MN=MH∶MN =FO∶AF=1∶ 5. x2 y2 4. 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作圆 x2+y2=a2 的切线 FM 交 y 轴于点 P, a b → → → 切圆于点 M,2OM=OF+OP,则双曲线的离心率是________. 答案 2

解析 由已知条件知,点 M 为直三角形 OFP 斜边 PF 的中点,故 OF= 2OM,即 c= 2a,所以双曲线的离心率为 2. 1 x2 5. (2013· 山东改编)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连 2p 3 线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于 ________. 答案 4 3 3

p? 解析 抛物线 C1 的标准方程为 x2=2py,其焦点 F 为? ?0,2?,双曲线 C2 的右焦点 F′ 3 为(2,0),渐近线方程为 y=± x. 3 1 3 3 3 p 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3 4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3 x2 y2 6. (2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的 m m +4

值为________. 答案 2 解析 建立关于 m 的方程求解. ∵c2=m+m2+4,
2 c2 m+m +4 ∴e2= 2= =5, a m

∴m2-4m+4=0,∴m=2. x2 y2 → → 7. 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, P 为椭圆 M 上任一点, 且PF1· PF a b
2, 2 2 的最大值的取值范围是[c 3c ],其中

c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是

________. 答案 1 2 [ , ] 2 2

解析 设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), → → 则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y), → → PF1· PF2=x2+y2-c2. 又 x2+y2 可看作 P(x,y)到原点的距离的平方, → → 所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1· PF2)max=b2, 1 1 所以 c2≤b2=a2-c2≤3c2,即 ≤e2≤ , 4 2 1 2 所以 ≤e≤ . 2 2 x2 y2 8. (2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y a b = 3(x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________. 答案 3-1

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° , 又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° , MF1⊥MF2, 所以 MF1=c,MF2= 3c, 所以 MF1+MF2=c+ 3c=2a. c 即 e= = 3-1. a

x2 y2 9. (2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长 9 16 等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44 解析 由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且 PQ=QA+PA=4b=16, 由双曲线定义,PF-PA=6,QF-QA=6. ∴PF+QF=12+PA+QA=28, 因此△PQF 的周长为 PF+QF+PQ=28+16=44. x2 y2 10.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 25 16 上的点,则 PM+PN 的最小值为________. 答案 7 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1, F2 分别是两圆的圆心, 且 PF1+PF2=10, 从而 PM +PN 的最小值为 PF1+PF2-1-2=7. 二、解答题 x2 y2 11.(2013· 课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 a b 1 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的 最大值. 解 a (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 b ① ②

x2 y2 1 1 + 2 2=1

x2 y2 2 2 + =1 a2 b2 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②,得 + =0. a2 b2 y1-y2 因为 =-1,设 P(x0,y0), x1-x2 1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 1 1 所以 y0= x0,即 y1+y2= (x1+x2). 2 2

所以可以解得 a2=2b2,即 a2=2(a2-c2),即 a2=2c2, 又因为 c= 3,所以 a2=6, x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x+y- 3=0, 所以设直线 CD 方程为 y=x+m, x2 y2 将 x+y- 3=0 代入 + =1 得: 6 3 3x2-4 3x=0,即 A(0, 3),B? 4 6 所以可得 AB= ; 3 x2 y2 将 y=x+m 代入 + =1 得: 6 3 3x2+4mx+2m2-6=0, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 则 CD= 2 ?x3+x4?2-4x3x4= 2 2 18-2m2, 3 4 3 3? , ? 3 ,- 3 ?

又因为 Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3, 1 8 6 所以当 m=0 时,CD 取得最大值 4,所以四边形 ACBD 面积的最大值为 AB· CD= . 2 3 3? x2 y2 1 12.(2013· 江西)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ?1,2?,离心率 e=2,直线 l 的方 a b 程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA、 PB、PM 的斜率分别为 k1、k2、k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由. 解 3 x2 y2 1, ?在椭圆 2+ 2=1 上,得 (1)由 P? ? 2? a b ① ②

1 9 + =1, a2 4b2 c 1 又 e= = ,得 a2=4c2,b2=3c2, a 2

②代入①得,c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). y=k?x-1? ? ?2 2 由?x y 得, ? 4 + 3 =1 ? (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +3 4k +3 3 3 y1- y2- 2 2 k1+k2= + x1-1 x2-1 3 3 k?x1-1?- k?x2-1?- 2 2 = + x1-1 x2-1 1 3 1 =2k- ?x -1+x -1? 2? 1 ? 2 x1+x2-2 3 =2k- · 2 x1x2-?x1+x2?+1 8k2 -2 4k2+3 3 =2k- · 2 2 4k -12 8k2 - 2 +1 2 4k +3 4k +3 =2k-1. 又将 x=4 代入 y=k(x-1)得 M(4,3k), 3 3k- 2 1 ∴k3= =k- , 3 2 ∴k1+k2=2k3. 故存在常数 λ=2 符合题意. 1 13. 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 , 其一个顶点的抛物线 x2=-4 3 2 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M,求直线 l 的方程和点 M 的 坐标; → → → (3)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,且满足PA· PB=PM
2

?若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.



x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b

c 1 由题意得 b= 3, = ,解得 a=2,c=1. a 2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切,所以直线 l 的斜率存在, 故可设直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1 (k≠0). x y ? ? 4 + 3 =1 由? ?y=k?x-2?+1 ? 得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0. 因为直线 l 与椭圆 C 相切, 所以 Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0. 1 整理,得 32(6k+3)=0,解得 k=- . 2 1 1 所以直线 l 的方程为 y=- (x-2)+1=- x+2. 2 2 3? 1 将 k=- 代入①式,可以解得 M 点的横坐标为 1,故切点 M 的坐标为? ?1,2?. 2 (3)若存在直线 l1 满足条件,则直线 l1 的斜率存在,设其方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭 圆 C 的方程得
2 2 (3+4k2 1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0. 2 2



设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,
2 所以 Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k2 1)(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0.

1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 x1+x2= . 2 ,x1x2= 3+4k1 3+4k2 1 → → →2 因为PA· PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2 1)= , 4 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2 1)= . 4 所以? 8k1?2k1-1? ? ?16k1-16k1-8-2· +4?(1+k2 2 1) 3+4k2 ? 3+4k1 ? 1
2

2 4+4k1 5 = 2= , 3+4k1 4

1 解得 k1=± . 2 1 因为 A,B 为不同的两点,所以 k1= . 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y=2x.


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