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2014年北京市高三二模分类汇编06数列



2014 年北京市各区高三二模试题分类汇编 06 数列(理 科)
1 (2014 东城二模理科) (5)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sn?2 ? Sn ? 36 ,则 n ? (A) 5 (C) 7 (B) 6 (D) 8

2 (2014 年 朝 阳 二 模 理 科 ) ( 13 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足

Sn ? 2an ? 4(n ? N? ) ,则 an ?
3 (2014 年丰台二模理科)



n( n ? 3) 2

(2) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a9 ? 4 ,那么数列 {an } 的前 11 项和等于 (A)22 (B)24 (C)44 (D)48

(14)数列 {an } 的首项为 1,其余各项为 1 或 2,且在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间 有 2 k ? 1 个 2,即数列 {an } 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…, 记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S20 ? __ ; S2014 ___ .36 3983

4 (2014 年海淀二模理科) 7.已知等差数列 {an } 单调递增且满足 a1 ? a10 ? 4 ,则 a8 的取值范 围是 A. (2, 4) B. ( ??, 2) C. (2, ??) D. (4, ?? )

5 (2014 年顺义二模理科) 10.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,若 a1 ? 1 , a3 ? 4 ,

则 a2 ? ________; 此数列的其前 n 项和 Sn ? __________. 2
6 (2014 东城二模理科) (20) (本小题共 14 分) 设 a 是一个自然数, f ( a ) 是 a 的各位数字的平方和,定义数列 {an } : a1 是自然数, . an ? f (an?1 ) ( n ? N * , n ? 2 ) (Ⅰ)求 f (99) , f (2014) ;

2n ? 1

(Ⅱ)若 a1 ? 100 ,求证: a1 ? a2 ; (Ⅲ)当 a1 ? 1000 时,求证:存在 m ? N * ,使得 a3m ? a2m .

7. (2014 西城二模理科) 20. (本小题满分 13 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N* , an ? an?1 . 设 m ? N ,
* *

记使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (Ⅰ)设数列 {an } 为 1,3,5,7, ,写出 b1 , b2 , b3 的值;

(Ⅱ)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } ; (Ⅲ)设 a p ? q , a1 ? a2 ?

? ap ? A ,求 b1 ? b2 ?

? bq 的值.(用 p, q, A 表示)

8. (2014 海淀二模理科) 20.(本小题满分 13 分) 对于自然数数组 ( a, b, c) ,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果 (a, b, c) 的极差 d ? 1 ,可实施如下操作 f :若 a , b, c 中最大的数唯一,则把最大数减 2,其 余两个数各增加 1;若 a , b, c 中最大的数有两个,则把最大数各减 1,第三个数加 2,此为一 次操作,操作结果记为 f1 (a, b, c) ,其级差为 d1 . 若 d1 ? 1 ,则继续对 f1 ( a, b, c) 实施操作

f ,…,实施 n 次操作后的结果记为 f n (a, b, c) ,其极差记为 dn .例如: f1 (1,3,3) ? (3,2,2) ,
f 2 (1,3,3) ? (1,3,3) .
(Ⅰ)若 ( a, b, c) ? (1,3,14) ,求 d1 , d 2 和 d 2014 的值; (Ⅱ)已知 ( a, b, c) 的极差为 d 且 a ? b ? c ,若 n ? 1,2,3, 能取值; (Ⅲ)若 a , b, c 是以 4 为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在 n 满足 dn ? 0 . 时,恒有 d n ? d ,求 d 的所有可

9. (2014 昌平二模理科) (20)(本小题满分 14 分)
已知数列 {an } 的各项均为正数,记 A(n) ? a1 ? a2 ? L ? an , B(n) ? a2 ? a3 ? L ? an?1 ,

C(n) ? a3 ? a4 ? L ? an?2 , n ? 1, 2,L .
(Ⅰ)若 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成等差数列,求数列
*

{an } 的通项公式.
(Ⅱ)证明:数列 {an } 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数
*

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.

10. (2014 顺义二模理科) 20. (本小题共 13 分)

已知集合 A ? ?a1, a2 , a3 , ???an ? , (0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an , n ? N ? , n ? 3) 具有性质 P :对任意的 i, j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai , a j ? ai 至少有一个属于 A . (Ⅰ)分别判断集合 M ? ?0,2,4? 与 N ? ?1, 2,3? 是否具有性质 P ; (Ⅱ)求证:① a1 ? 0 ; ② a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?
n an ; 2

(Ⅲ)当 n ? 3, 4 或 5 时集合 A 中的数列 ?an ? 是否一定成等差数列?说明理由.

2014 年北京市各区高三二模试题分类汇编数列(理科)答案
n( n ? 3) ;3.A 36 2

1.D;2. 6.

3983;4.C;5.36

3983.

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) f (99) ? 9 ? 9 ? 162 ;
2 2

f (2014) ? 22 ? 02 ? 12 ? 42 ? 21 .
(Ⅱ)假设 a1 是一个 n 位数( n ? 3 ) , 那么可以设 a1 ? bn ?10n?1 ? bn?1 ?10n?2 ?

………………5 分

? b3 ?102 ? b2 ?10 ? b1 ,

其中 0 ? bi ? 9 且 bi ? N ( 1 ? i ? n ) ,且 bn ? 0 . 由 a2 ? f (a1 ) 可得, a2 ? bn 2 ? bn?12 ?

? b32 ? b22 ? b12 .

a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (10n?2 ? bn?1 )bn?1 ?
所以 a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (b1 ?1)b1 . 因为 bn ? 0 ,所以 (10n?1 ? bn )bn ? 99 . 而 (b1 ?1)b1 ? 72 , 所以 a1 ? a2 ? 0 ,即 a1 ? a2 .

? (102 ? b3 )b3 ? (10 ? b2 )b1 ? (1 ? b1 )b1,

………………9 分

(Ⅲ)由 a1 ? 1000 ,即 a1 ? 999 ,可知 a2 ? 92 ? 92 ? 92 ? 243 . 同理 an ? 999 ,可知 an?1 ? 92 ? 92 ? 92 ? 243 .

由数学归纳法知,对任意 n ? N * ,有 an ? 999 . 即对任意 n ? N * ,有 an ?{1, 2,3,

,999} .

因此,存在 p, q ? N * ( p ? q ) ,有 a p ? aq . 则 a p?1 ? aq?1 , a p ? 2 ? aq ? 2 ,…, aq?1 ? aq?q? p?1 , 可得对任意 n ? N * , n ? p ,有 an?q ? p ? an . 设 q ? p ? T ,即对任意 n ? p ,有 an?T ? an . 若 T ? p ,取 m ? T , n ? 2 m ,则有 a3m ? a2m . 若 T ? p ,由 an?T ? an ,可得 an? pT ? an , 取 m ? pT , n ? 2 m ,则有 a3m ? a2m . 7. (Ⅰ)解: b1 ? 1 , b2 ? 1, b3 ? 2 . 3分 (Ⅱ)解:由题意,得 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 结合条件 an ? N* ,得 an≥n . 分 又因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm ,使得 an ≤m ? 1 成立的 n 的最大值为 ………………14 分 ………………

? an ?

, ……………… 4

bm?1 ,
所以 b1 ? 1 , bm≤bm?1 (m ? N* ) . 分 设 a2 ? k ,则 k≥2 . 假设 k ? 2 ,即 a2 ? k >2 , 则当 n≥2 时, an ? 2 ;当 n≥3 时, an≥k ? 1 . 所以 b2 ? 1, bk ? 2 . 因为 {bn } 为等差数列, 所以公差 d ? b2 ? b1 ? 0 , ……………… 5

所以 bn ? 1,其中 n ? N .
*

这与 bk ? 2(k ? 2) 矛盾, 所以 a2 ? 2 . 分 又因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b2 ? 2 , 由 {bn } 为等差数列,得 bn ? n ,其中 n ? N .
*

……………… 6

? an ?



……………… 7

分 因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 an ≤n , 由 an≥n ,得 an ? n . 分 (Ⅲ)解:设 a2 ? k (k ? 1) , 因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b1 ? b2 ? ……………… 8

? an ?



? bk ?1 ? 1 ,且 bk ? 2 ,
……………… 9

所以数列 {bn } 中等于 1 的项有 k ? 1 个,即 a2 ? a1 个; 分 设 a3 ? l (l ? k ) , 则 bk ? bk ?1 ?

? bl ?1 ? 2 , 且 bl ? 3 ,
……………… 10

所以数列 {bn } 中等于 2 的项有 l ? k 个,即 a3 ? a2 个; 分 …… 以此类推,数列 {bn } 中等于 p ? 1 的项有 a p ? a p ?1 个. 分 所以 b1 ? b2 ?

……………… 11

? bq ? (a2 ? a1 ) ? 2(a3 ? a2 ) ?
? ?a1 ? a2 ?

? ( p ?1)(ap ? a p?1 ) ? p

? ap?1 ? ( p ?1)a p ? p

? pap ? p ? (a1 ? a2 ?
? p(q ? 1) ? A .
即 b1 ? b2 ? 8. 解: (Ⅰ) d1 ? 10 , d 2 ? 7 , d 2014 ? 2 (Ⅱ)法一: ① 当 d ? 2 时,则 (a, b, c) ? (a, a ? 1, a ? 2)

? ap?1 ? ap )

? bq ? p(q ?1) ? A .

……………… 13 分

---------------------------3 分

所以 f1 (a, a ? 1, a ? 2) ? (a ? 1, a ? 2, a) , d1 ? a ? 2 ? a ? 2 , 由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数 a ? 2 变为最小数 a ,最小数 a 和次 小数 a ? 1 分别变为次小数 a ? 1 和最大数 a ? 2 ,所以数组的极差不会改变. 所以,当 d ? 2 时, dn ? d (n ? 1,2,3, ) 恒成立. ②当 d ? 3 时,则 f1 (a, b, c) ? (a ? 1, b ? 1, c ? 2) 所以 d1 ? b ? 1 ? (a ? 1) ? b ? a ? c ? a ? d 或 d1 ? c ? 2 ? (a ? 1) ? d ? 3 所以总有 d1 ? d . 综上讨论,满足 dn ? d (n ? 1,2,3, ) 的 d 的取值仅能是 2. ---------------------8 分 法二: 因为 a ? b ? c ,所以数组 ( a, b, c) 的极差 d ? c ? a ? 2 所以 f1 (a, b, c) ? (a ? 1, b ? 1, c ? 2) , 若 c ? 2 为最大数,则 d1 ? c ? 2 ? (a ? 1) ? c ? a ? 3 ? d 若 b ? 1 ? c ? 2 ? a ? 1 ,则 d1 ? (b ? 1) ? (a ? 1) ? b ? a ? c ? a ? d 若 b ? 1 ? a ? 1 ? c ? 2 ,则 d1 ? (b ? 1) ? (c ? 2) ? b ? c ? 3 , 当 b ? c ? 3 ? d 时,可得 b ? c ? 3 ? 2 ,即 b ? 1 ? c 由 b ? c 可得 b ? 1 ? c 所以 b ? 1 ? c 将 c ? b ? 1 代入 b ? c ? 3 ? c ? a 得 b ? a ? 1 所以当 (a, b, c) ? (a, a ? 1, a ? 2) 时, dn ? 2 ( n ? 1, 2,3, )

由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数 a ? 2 变为最小数 a ,最小数 a 和次小 数 a ? 1 分别变为次小数 a ? 1 和最大数 a ? 2 ,所以数组的极差不会改变.

所以满足 dn ? d (n ? 1,2,3, ) 的 d 的取值仅能是 2. (Ⅲ)因为 a , b, c 是以 4 为公比的正整数等比数列的三项, 所以 a , b, c 是形如 m ? 4k (其中 m ? N* )的数,
1 k ?1 又因为 4k ? (3 ? 1)k ? 3k ? Ck 3 ? k ?1 ? Ck 3 ?1

---------------------8 分

所以 a , b, c 中每两个数的差都是 3 的倍数. 所以 ( a, b, c) 的极差 d0 是 3 的倍数. ------------------------------------------------9 分 法 1:设 fi (a, b, c) ? (ai , bi , ci ) ,不妨设 a ? b ? c , 依据操作 f 的规则,当在三元数组 fi (a, b, c) ( i ? 1, 2,3,

, x , x ? N )中,总满足 ci

是唯一最大数, ai 是最小数时,一定有 a ? x ? b ? x ? c ? 2 x ,解得 x ? 所以,当 i ? 2,3,

c ?b . 3

,

c ?b ? 1 时, di ? ci ? ai ? (ci ?1 ? 2) ? (ai ?1 ? 1) ? di ?1 ? 3 . 3

f c ?b (a, b, c) ? (
3

3a ? c ? b c ? 2b c ? 2b , , ) , d c ?b ? b ? a 3 3 3 3

c ?b c ?b c ?b , ? 1, , ? y ,y ? N ) 3 3 3 3a ? c ? b c ? 2b 中,总满足 ci ? bi 是最大数, ai 是最小数时,一定有 ? 2y ? ? y ,解得 3 3 b?a . y? 3 c ?b c ?b c?a 所以, 当i ? , ? 1, , ? 1 时,di ? ci ? ai ? (ci ?1 ? 1) ? (ai ?1 ? 2) ? di ?1 ? 3 . 3 3 3
依据操作 f 的规则, 当在三元数组 fi (a, b, c) (i ?

f c ?a (a, b, c) ? (
3

a?b?c a?b?c a?b?c , , ) , d c ?a ? 0 3 3 3 3

所以存在 n ?

c?a ,满足 f n (a, b, c) 的极差 dn ? 0 .--------------------------------13 分 3

法 2:设 fi (a, b, c) ? (ai , bi , ci ) ,则 ①当 (ai , bi , ci ) 中有唯一最大数时,不妨设 ai ? bi ? ci ,则

ai ?1 ? ai ? 1, bi ?1 ? bi ? 1, ci ?1 ? ci ? 2 ,
所以 bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai , ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3, ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi ? 3 所以, 若 bi ? ai , ci ? ai , ci ? bi 是 3 的倍数, 则 bi ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? bi ?1 是 3 的倍数.

所以 bi ? 3 ? ci ,则 d i ? 3 , ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi ? 3 ? 0 , 所以 ai ?1 ? bi ?1 ? ci ?1 所以 di ?1 ? ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3 ? di ? 3 -------------------------------------------11 分 ②当 (ai , bi , ci ) 中的最大数有两个时,不妨设 ai ? bi ? ci ,则

ai ?1 ? ai ? 2, bi ?1 ? bi ? 1, ci ?1 ? ci ? 1,
所以 bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3, ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3, ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi , 所以, 若 bi ? ai , ci ? ai , ci ? bi 是 3 的倍数, 则 bi ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? bi ?1 是 3 的倍数. 所以 ai ? 3 ? bi ,则 d i ? 3 , bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3 ? 0 所以 di ?1 ? bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3 ? di ? 3 . 所以当 d i ? 3 时,数列 {d i } 是公差为 3 的等差数列.------------------------------12 分 当 d i ? 3 时,由上述分析可得 di ?1 ? 0 ,此时 ai ?1 ? bi ?1 ? ci ?1 ? 所以存在 n ?

a?b?c 3

d ,满足 f n (a, b, c) 的极差 dn ? 0 .----------------------------------13 分 3
?

9. 解: (Ⅰ) 因为对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列, 所以 B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n) . 所以 an?1 ? a1 ? an?2 ? a2 , 即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4 . 所以数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列. 所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3 .
?

………1 分 ………2 分 ………3 分 ………4 分 ………5 分

(Ⅱ) (1)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等 比数列,则

B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) .
所以 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即 an?2 ? qan?1 ? a2 ? qa1 .

………6 分

………7 分

因为当 n ? 1 时,由 B(1) ? qA(1), 可得 a2 ? qa1 , 所以 an?2 ? qan?1 ? 0 . 因为 an ? 0 , 所以

………8 分

an ? 2 a2 ? ?q. an ?1 a1
………9 分
?

即数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列,

(2)必要性:若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则对任意 n ? N ,有

an?1 ? an q .
因为 an ? 0 , 所以 A(n), B(n), C (n) 均大于 0 .于是

………10 分

B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


………11 分

………12 分

B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
………13 分

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡, 三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. ………14 分

10.

解: (Ⅰ)

2 ? 0 ? 2, 4 ? 2 ? 2, 4 ? 0 ? 4, ? 集合 M 具有性质 P , 0 ? 0 ? 0, 2 ? 2 ? 0, 4 ? 4 ? 0,

3 ? 3 ? 6 ? A , 3 ? 3 ? 0 ? A ,? 集合 N

不具有性质 P .———3 分

(Ⅱ)由已知 0 ? a1 ? a2 ? ??? ? an ,? an ? an ? 2an ? A , 则 an ? an ? 0 ? A ,仍由 0 ? a1 ? a2 ? ??? ? an 知 a1 ? 0 ;———5 分
? 0 ? an ? an ? an ? an?1 ? an ? an?2 ? ??? ? an ? a1

an ? an?i ? an , (i ? 1, 2,3 ??? n ? 2) ,? an ? an?i ? A ,

? a1 ? an ? an , a2 ? an ? an?1 , ???an ? an ? a1 ———6 分

将上述各式两边相加得 a1 ? a2 ? a3 ????an ? nan ? (a1 ? a2 ???? ? an )
? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ???an ) ? nan ,即 a1 ? a2 ? a3 ? ???an ?
n an ;———8 分 2

(Ⅲ)当 n ? 3 时,集合 A 中的数列 a1 , a2 , a3 一定是等差数列. 由(Ⅱ)知 a1 ? 0 ,且 0 ? a1 ? a2 ? a3 ,? a3 ? a2 ? a3 ? A 故 a3 ? a2 ? A ,而这里 a3 ? a2 ? a3 ,反之若不然 a2 ? 0 ? a1 这与集合 A 中元素互异矛盾, 即 2a2 ? 3 a ? ?a ? 只能 a3 ? a2 ? a2 , 3 a ? 03 1 ?a
? a1 , a2 , a3 成等差数列. ———9 分

当 n ? 4 时,集合 A 中的元素 a1, a2 , a3 , a4 不一定是等差数列. 如 A ? ?0,1,2,3? , A 中元素成等差数列, 又如 A ? ?0, 2,3,5? , A 中元素不成等差数列;———11 分 当 5 时,集合 A 中的元素 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 一定成等差数列 证明: 0 ? a1 ? a5 ? a5 ? a5 ? a4 ? a5 ? a3 ? a5 ? a2 ? a5 ? a1 令 a1 ? 0, a2 ? a5 ? a4 ① a3 ? a5 ? a3 ② ② ? ①有 a4 ? a3 ? a3 ? a2 ,且由① a2 ? a4 ? a5
a4 ? a3 ? a4 ? a2 ? a5 ,? a4 ? a3 ? A

? a4 ? a3 ? A

? 0 ? a1 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a3 ,? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a2 ? a2 ? a1

又 a2 ? a5 ? a4 ,? a5 ? a4 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a2 ? 0 ? a2 ? a1
? a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等差数列. ———13 分



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