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天津市红桥区2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版



2012-2013 学年天津市红桥区高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.每小题有且仅有一个是正确的,请 将正确结论的代号填在下表中. 1. 分) (3 A. =( B. ) C.i D.﹣i

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 化简复数的分母,再分子、分母同乘分母的共轭复数,化简即可

. 解答: 解: 故选 A. 点评: 本题考查的知识点复数的运算, (乘法和除法) ,比较简单.

2. 分) (3 (2005?天津)若复数 ( ) A.﹣2

(a∈R,i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为

B.4

C.﹣6

D.6

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 分析: 化简复数为 a+bi(a、b∈R)的形式,让其实部为 0,虚部不为 0,可得结论. 解答: 解:复数 = ,它是纯虚数,则 a= ﹣6. 故选 C. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的分类,是基础题. 3. 分)下列求导数运算正确的是( (3 A.(x+ )′=1+ B. (log2x)′= ) C.(3 )′=3 log3e
x x

D.(x cosx)′=﹣ 2xsinx

2

考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答. 解答: 解:A、 (x+ )′=1﹣ ,故错误; B、符合对数函数的求导公式,故正确; x x C、 )′=3 ln3,故错误; (3 2 2 D、 cosx)′=2xcosx﹣x sinx,故错误. (x
1

故选 B. 点评: 本题考查了常见函数的求导公式和导数的运算法则,要求熟练掌握. 4. 分) (3 (2005?安徽)函数 f(x)=x +ax +3x﹣9,已知 f(x)在 x=﹣3 时取得极值,则 a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: 因为 f(x)在 x=﹣3 是取极值,则求出 f′(x)得到 f′(﹣3)=0 解出求出 a 即可. 2 解答: 解:∵f′(x)=3x +2ax+3,又 f(x)在 x=﹣3 时取得极值 ∴f′(﹣3)=30﹣6a=0 则 a=5. 故选 D 点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力.
3 2

5. 分)函数 (3 A.a

的导数值为 0 时,x 等于( B.±a C.﹣a

) D.a
2

考点: 导数的乘法与除法法则. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先依据导数的求导法则求出该函数的导数,再令导数为 0,解出 x 即可. 解答: 解:∵ = ,∴

令 y′=0,即

,解得 x=±a.

故答案为 B. 点评: 本题考查的是导数的求导法则,属于基础题,要求考生熟练掌握导数的求导法则. 6. 分)如图,已知 AD∥BE∥CF,下列比例式成立的是( (3 )

A.

B.

C.

D.

考点: 平行截割定理. 专题: 空间位置关系与距离.
2

分析: 根据平行截割定理,可得 解答: 证明:∵AD∥BE∥CF, ∴根据平行截割定理,可得 ∴

,从而可得结论.

故选 D. 点评: 本题考查平行截割定理,考查学生对定理的理解与应用,属于基础题. 7. 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AC、BD 交于点 E,则此图形中一定相似的三 (3 角形有( )对.

A.0

B.3

C.2

D.1

考点: 相似三角形的判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据同弧所对的圆周角相等,可得相等的角,即可得出结论. 解答: 解:∵四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AC、BD 交于点 E, ∴根据同弧所对的圆周角相等,可得∠BCD=∠CAD,∠CBD=∠DAC,∠BAC=∠CDB, ∠ABD=∠ACD ∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC,共有两对 故选 C. 点评: 本题考查三角形的相似,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 8. 分)证明不等式 (3 A.综合法 B.分析法 考点: 分析法和综合法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 要证原不等式成立,只要证 9+2 ,故只要证 解答: 解:要证明不等式 < 的最适合的方法是( C.间接证法 ) D.合情推理法



,即证 9+2



,即证 14<18,此种证明方法是分析法. ,只要证 < ,即

证 9+2 <9+2 , 故只要证 < ,即证 14<18. 以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法. 故选 B.
3

点评: 本题考查的是分析法和综合法,解答此题的关键是熟知比较大小的方法.从求证的不 等式出发,“由果索因”,逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件,分析法 ──通过对事物原因或结果的周密分析,从而证明论点的正确性、合理性的论证方 法.也称为因果分析,属于中档题. 9. 分)“所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P) (3 ,某奇数(S)是 9 的倍数(M) ,故此奇 数(S)是 3 的倍数(P)”,上述推理是( ) A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错 考点: 演绎推理的基本方法. 分析: 演绎推理出现错误,有三种可能,一种是大前提错误,第二种是小前提错误,第三种 是逻辑结构错误.在大前提、小前提及逻辑结构均正确的情况下,演绎推理的结论一 定是正确的. 解答: 解:在推理过程: “所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P) ,某奇数(S)是 9 的倍数(M) ,故此奇数(S) 是 3 的倍数(P)”,中 “所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P) ,为大前提,正确, 某奇数(S)是 9 的倍数(M) ,为小前提 正确, 故此奇数(S)是 3 的倍数(P) ,为结论 整个推理过程的逻辑结构正确, 故命题正确. 故选 C 点评: 归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的, 但演绎推理出现 错误,有三种可能,一种是大前提错误,第二种是小前提错误,第三种是逻辑结构错 误.在大前提、小前提及逻辑结构均正确的情况下,演绎推理的结论一定是正确的. 10. 分)函数 y=f(x)的图象经过原点,且它的导函数 y=f′(x)的图象是如图所示的 (3 一条直线,则 y=f(x)的图象不经过( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 数形结合. 2 分析: 根据导函数的图象和函数 f(x)过原点,设出 f(x)的解析式 f(x)=ax +bx,得到 函数 f(x)为开口向下的抛物线,求出导函数 f'(x)=2ax+b,根据一次函数的图象 的特点得到 a 与 b 的正负,即可判断出二次函数顶点所在的象限,即可得到函数图象 不经过第二象限. 2 解答: 解:由导函数的图象可知 f(x)=ax +bx,故 f'(x)=2ax+b,所以 a<0,b>0. 函数 f(x)=ax +bx 图象的顶点
2

在第一象限,

4

故函数的图象不经过第二象限. 故选 B.

点评: 此题考查学生利用数形结合的数学思想解决实际问题, 掌握一次函数和二次函数的图 象与性质,是一道综合题.

11. 分) (3 (2008?海南)由直线 A. B.

,x=2,曲线 C.

及 x 轴所围图形的面积为( D.2ln2



考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 分析: 由题意画出图形,再利用定积分即可求得. 解答: 解:如图,面积 故选 D.



点评: 本题主要考查定积分求面积. 12. 分)设 f0(x)=sin(x) 1(x)=f0'(x) 2(x)=f1'(x) (3 ,f ,f ,?,fn+1(x)=fn'(x) , n∈N,则 f2013(x)=( ) A.sinx B.﹣sinx C.cosx D.﹣cosx 考点: 导数的运算;函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题中已知条件先找出函数 fn(x)的规律,便可发现 fn(x)的循环周期为 4,从 而求出 f2013(x)的值. 解答: 解:f0(x)=sinx f1(x)=f0'(x)=cosx f2(x)=f1'(x)=﹣sinx f3(x)=f2'(x)=﹣cosx f4(x)=f3'(x)=sinx
5

? 由上面可以看出,以 4 为周期进行循环 ∴f2013(x)=f1(x)=cosx. 故选 C. 点评: 本题考查三角函数求导、函数周期性的应用,考查观察、归纳方法的应用. 二、填空题本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.请将答案直接填在题中的横线上. 13. 分)复数 (3 等于 i .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,运算求得结果. 解答: 解:复数 = = =i, 故答案为 i. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 14. 分)曲线 y=2x﹣x 在点(1,1)处的切线方程为 x+y﹣2=0 . (3 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点斜式 方程写出切线方程即可. 2 解答: 解:y′=2﹣3x y′|x=1=﹣1 而切点的坐标为(1,1) 3 ∴曲线 y=2x﹣x 在 x=1 的处的切线方程为 x+y﹣2=0 故答案为:x+y﹣2=0 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 考查运算求解能力, 属于基础题.
3 3

15. 分)函数 y=2x﹣x 单调递增区间是 (3



考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的导数,然后利用 f'(x)>0,解函数的单调增区间. 解答: 2 2 解:函数的导数为 f'(x)=2﹣3x ,由 f'(x)=2﹣3x >0,得 , 即函数的单调递增区间为 .

,解得

6

故答案为:



点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间, 基本步骤: ①先求定义域. ②求导数 f' (x) ③ . 解导数不等式 f'(x)>0 或 f'(x)<0,求对应单调区间.
x

16. 分)已知函数 y=x?2 ,当 f'(x)=0 时,x= ﹣ (3



考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求得函数的导数,然后根据 f'(x)=0,求出 x 的值. x 解答: 解:∵函数 y=x?2 f'(x)=0 x x x x x ∴y'=2 +x(2 )'=2 +x2 ln2=2 (1+xln2)=0 x ∵2 恒大于 0 ∴1+xln2=0 ∴xln2=﹣1 ∴x=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了导数的运算,熟练掌握导数运算法则是解题的关键,属于基础题.

17. 分) (3

=



考点: 微积分基本定理. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 3 4 由定积分的定义,令 F'(x)=x ,则 F(x)= x ,由公式求出积分值. 解答: 4 3 解:由导数的运算法则知当 F(x)= x ,时,F'(x)=x 由定积分的定义,得 ∫0 x dx=F(1)﹣F(0)= . 故答案为: . 点评: 本题考点是定积分,此类题高中要求较低,能根据公式求值即可. 18. 分) (3 (2009?广东)选做题:如图,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=30°, 则圆 O 的面积等于 16π .
1 3

7

考点: 圆內接多边形的性质与判定. 专题: 计算题;压轴题;选作题. 分析: 连接辅助线,根据圆周角是 30°,得到对应的圆心角是 60°,根据圆的半径相等, 得到三角形是一个等边三角形,求出半径的长度,根据圆的面积公式,得到结果. 解答: 解:连接 OA,OB, ∵∠ACB=30°, ∴∠AoB=60°, ∴△AOB 是一个等边三角形, ∴OA=AB=4, ∴⊙O 的面积是 16π 故答案为 16π 点评: 本题考查圆周角的性质,考查等边三角形,考查圆的面积,是一个等边三角形,在解 题时主要做法是构造等边三角形. 19. 分)如图,AB=BC=CD,∠E=40°,则∠ACD= 15° . (3

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先求出∠B=∠BCE=70°,再求出∠BCA=55°,即可得出结论. 解答: 解:∵AB=CD,∴ ∴ ∴∠B=∠BCE ∵∠E=40°, ∴∠B=∠BCE=70° ∵AB=BC ∴∠BCA=55° ∴∠ACD=70°﹣55°=15° 故答案为:15°. 点评: 本题考查演绎推理,考查学生的计算能力,属于基础题.

8

20. 分) (3 己知结论“a1, 2∈R , a1+a2=1, a 且 则 则
+

+

≥4: a1, 2, 3∈R , a1+a2+a3=1, 若 a a 且 ≥ n
2

+

≥9”, 请猜想若 a1, 2?an∈R , a1+a2+?an=1, a 且 则



考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 根据归纳推理的内容.进行归纳推理 2 解答: 解:因为 a1+a2=1,则 ≥4=2 ,a1+a2+a3=1,则
+

≥9=3 ,

2

所以根据归纳推理的定义可知,当若 a1,a2?an∈R ,且 a1+a2+?an=1,则 ≥n . 故答案为:n . 点评: 本题主要考查归纳推理的应用,要求根据几个一般的式子,寻找规律,然后进行归纳 猜想. 三、解答题本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出必要的过程. 2 21. (10 分)设 y=alnx+bx +x 在 x=1 在 x=2 时都取得极值. (1)求 a 与 b 的值; (2)f(x)在 x=1 处取得的是极大值还是极小值?并说明理由. 考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)函数的极值点处的导数值为 0,列出方程,求出 a,b 的值. (2)由(1)作出表示 x,f′(x) ,f(x)的关系的表格;据极值的定义,求出极值. 解答: 解: (1)f′(x)= +2bx+1,
2 2

由已知得:

?







(2)x 变化时.f′(x) ,f(x)的变化情况如表:

故在 x=1 处,函数 f(x)取极小值



9

点评: 本题考查函数的极值点的导数的值为 0、利用 导数求函数的单调性、极值. 22. (10 分) (2004?天津)已知函数 f(x)=ax +cx+d(a≠0)是 R 上的奇函数,当 x=1 时 f (x)取得极值﹣2. (1)求 f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1,x2∈(﹣1,1) ,不等式|f(x1)﹣f(x2)|<4 恒成立. 考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)由奇函数的定义利用待定系数法求得 d,再由 x=1 时 f(x)取得极值﹣2.解得 a,c 从而确定函数,再利用导数求单调区间和极大值. 3 (2)由(1)知,f(x)=x ﹣3x(x∈[﹣1,1])是减函数,从而确定|f(x1)﹣f(x2) |最小值,证明即可. 解答: (1)由奇函数的定义,应有 f(﹣x)=﹣f(x) 解: ,x∈R 3 3 即﹣ax ﹣cx+d=﹣ax ﹣cx﹣d∴d=0 3 2 因此,f(x)=ax +cxf'(x)=3ax +c 由条件 f(1)=﹣2 为 f(x)的极值,必有 f'(1)=0,故 解得 a=1,c=﹣3 3 2 因此,f(x)=x ﹣3x,f'(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1)f'(﹣1)=f'(1)=0 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)>0,故 f(x)在单调区间(﹣∞,﹣1)上是增函 数 当 x∈(﹣1,1)时,f'(x)<0,故 f(x)在单调区间(﹣1,1)上是减函数 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在单调区间(1,+∞)上是增函数 所以,f(x)在 x=﹣1 处取得极大值,极大值为 f(﹣1)=2 3 (2)由(1)知,f(x)=x ﹣3x(x∈[﹣1,1])是减函数, 且 f(x)在[﹣1,1]上的最大值 M=f(﹣1)=2,f(x)在[﹣1,1]上的最小值 m=f (1)=﹣2 所以,对任意的 x1,x2∈(﹣1,1) ,恒有|f(x1)﹣f(x2)|<M﹣m=2﹣(﹣2)=4 点评: 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性, 考查运用导数研究函数单调性及极值等基础 知识,考查综合分析和解决问题的能力. 23. (10 分)三次函数 f(x)=x ﹣3bx+3b 在[1,2]内恒为正值,求 b 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 3 分析: f(x)>0 在[1,2]内恒成立,即 3b(x﹣1)<x .对 x 分类讨论:①当 x=1 时, 由 上式对于 b∈R 都成立;②当 1<x≤2 时,f(x)>0 在[1,2]内恒成立?
3 3

恒成立?

,x∈(1,2],利用导数求出其最小值即可.
3

解答: 解:由 f(x)>0 在[1,2]内恒成立,即 3b(x﹣1)<x .
10

①当 x=1 时,上式对于 b∈R 都成立; ②当 1<x≤2 时,f(x)>0 在[1,2]内恒成立? 恒成立,x∈(1,

2]?

,x∈(1,2].

令 g(x)= 得 .

,x∈(1,2],则

,由 g (x)=0,解



列表如下:

由表格可知:当 x= 时,g(x)取得极小值,也即最小值,

=



∴3b

,解得

. .

综上①②可知:b 的取值范围是

点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法、恒成立问 题的等价转化是解题的关键. 24. (10 分)观察下列算式: 2 1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=25=5 ? 对任意正整数 n,你能得出怎样的结论?用数学归纳法证明你的结论. 考点: 数学归纳法. 专题: 计算题;证明题. 2 分析: 利用归纳推理以及所给式子的结构特征,得出结论 1+3+5+7+9+?+(2n﹣1)=n . 先证明 n=1 时,等式成立,假设 n=k 时,等式成立,在此基础上利用假设证明 n=k+1

11

时,等式也成立,从而得到等式对任意的 n∈N 均成立. 解答: (1)观察算式: 解: 2 1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=25=5 ? 2 可得 1+3+5+?+(2n﹣1)=n . 证明:①n=1 时,左式=右式=1,等式成立. 2 ②假设 n=k 时,等式成立,即 1+3+5+?+(2k﹣1)=k , 则当 n=k+1 时, 2 2 1+3+5+?+(2k﹣1)+(2k+1)=k +2k+1=(k+1) 这就是说 n=k+1 时,等式成立. * 根据①,②,等式对任意的 n∈N 均成立. 点评: 本题主要考查归纳推理, 用数学归纳法证明不等式, 注意式子的结构特征, 以及从 n=k 到 n=k+1 项的变化,式子的变形是解题的关键.

*

12



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