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同济夜大力学复习


2017-12-30

考试时间:2018年1月13日(六) 14:15 - 15:45 地点:一 228 222 126 (网上查询)

平面问题 所考知识点 知识点1:平面问题 1.静力学的基本概念、约束反力和物体的受力图。 2.力的投影计算、力矩的计算。 3.力系的简化、物体重心的确定。 4.力系的平衡、物体系统的平衡。 5.平面静定桁架的杆件内力计算。 6.考虑摩擦后的物体平衡问题。

考试题型: 计算题(六题) 满分(100分)( 计算器) 应将受力分析、运动分析以及坐标画出 运动分析以及坐标画出, 解题要求: 应将受力分析 计算过程中出现的量,分析图上都要出现 计算过程中出现的量 分析图上都要出现。

所考知识点 知识点2: 1.点的速度和加速度。 2.平行移动和 平行移动和定轴 定轴转动刚体 转动刚体及其各点的速度和加速度。 3.平面运动刚体 平面运动刚体:求速度的三种方法,速度瞬心位置确定, 求加速度的基点法。画出速度、加速度矢量图。 4.质点与刚体 刚体的动量、动量矩、动能及功的计算等。 5.动力学普遍定理(刚体 刚体的运动方程)的综合运用, 求解刚体 刚体系的速度、加速度以及系统的约束力。

静力学
静力学基本概念
力的投影。 基本概念: 1.力的投影。 2.力对轴的矩 力对轴的矩。 。 3.力对点的矩 力对点的矩。 。 4.力对点的矩与力对轴的矩之间的关系 力对点的矩与力对轴的矩之间的关系。 。 5.力偶、力偶矩、力偶的性质 力偶、力偶矩、力偶的性质。 。 6.约束与约束反力 约束与约束反力。 。

(平面问题 平面问题) )

典型约束:
柔索约束、光滑接触面约束、铰链约束、固定铰支座、 可动铰支座、链杆约束、平面固定端。 可动铰支座、链杆约束、平面固定端 。

静力学公理: 1.二力平衡原理 2.力的平行四边形原理 3.加减平衡力系公理 推论1:力的可传性原理 推论2:三力平衡汇交定理 4.作用与反作用定律 5.刚化原理
受力分析 受力分析步骤: 1.取研究对象 取研究对象;

力系的等效简化
1.汇交力系的简化(几何法和解析法) r r 简化结果: FR = SFi , 作用在汇交点 2.力偶系的简化 r r SM i 简化结果: M = ? 3.任意力系的简化 (1)空间任意力系的简化 O:简化中心
主矢:

r r r r r r FR = SFi , 主矩: M 0 = SM i = SM 0 ( Fi ),

(受力图)

2.加主动力 加主动力; 3.按约束性质加反力 按约束性质加反力。 应用公理与定理 力系的平衡特性

FRy = ? Fiy (2)平面任意力系的简化 FRx = ? Fix r r F F RX 主矢: F R = S Fi cos a = , sin a = RY FR FR 主矩: MO = ?Mi = ?MO(Fi)

1

2017-12-30

平行力系实例:分布载荷 矩形均布载荷: 矩形均布载荷

平行力系实例:重心
z

重心坐标公式

Fq = ql

Wi (xi, yi, zi) W (xc, yc, zc) r r ri r C
zi zC y yi x yC xi xC

xC = ?Wi xi /W yC = ?Wi yi /W zC = ?Wi zi /W

矢量式: rC =

r

?W r

r W

i i

三角形分布载荷: 三角形分布载荷

Fq =

1 ql 2

对称判别法:均质物体的重心必在其对称面、对称轴、 对称中心上。 积分法和查表法:适用于简单形状的均质物体。 分割法和负面(体)积法:适用于组合形状的均质物体。 xC = ?Ai xi /A

力系的平衡 (平面问题)
力系平衡的充要条件: 力系的主矢和主矩均等于零。 一、汇交力系的平衡: 三、空间任意力系的平衡:
ix

四、平面任意力系平衡:

?F ?F

? Fix = 0
iy

=0
=0

?F
?F

=0
=0

iy

iz

?F ?F ?F

ix iy iz

=0 =0 =0 =0
=0 =0

?F = 0 ?F = 0 v ? M O (Fi ) = 0
ix

三个独立平衡方程 可求解三个未知量
?MAi = 0 三力矩式: ?MBi = 0 三力矩式 ?MCi = 0 A、B、C 三点不能共线。

iy

?Fix = 0 二力矩式: ?MAi = 0 二力矩式 ?MBi = 0 A、B 连线不垂直 x 轴 。

二、力偶系的平衡:
ì? M ix = 0 ? í? M iy = 0 ? M =0 ? ? iz

?M

i

=0

?M ?M ?M

ix

iy

iz

物体系统的平衡:平面 静定
物体系统平衡,系统中的每一部分都处于平衡。

静力学应用问题:桁架

理想桁架 基本假设 (平面桁架 平面桁架)
( 1)都是直杆,轴线位于同一平面。 )都是直杆, ( 2)两端用光滑铰链连接 。 ( 3)载荷集中作用在节点, )载荷集中作用在节点,且与桁架共面。 ( 4)自重不计。 桁架的特点:桁架中的每根杆件均为二力杆 桁架中的每个节点均受到汇交力系作用

(平面问题) 物体:n 独立平衡方程:3n 可以求3n个未知量 刚体系统
几个原则:
1)可以选取整体 整体为研究对象。 2)也可以从受力较简单的某一刚体或部分系统入手。 尽可能满足一个平衡方程求解一个未知力 一个平衡方程求解一个未知力。 3)分清内力 内力和外力 外力、施力体 施力体与受力体 受力体、作用力 作用力与反作用力 反作用力。 4)注意二力平衡条件 二力平衡条件和三力平衡汇交原理 三力平衡汇交原理。

结构 机构

有主次之分 无主次之分

解题思路: 组成顺序相反

求解桁架内力的方法: 节点法 截面法 零杆的判别

2

2017-12-30

静力学应用问题:摩擦 滑动摩擦(干摩檫); 滚动摩擦。
滑动摩擦力分为三个阶段: ( 1)FS :静滑动摩擦力, 静滑动摩擦力,方向与运动趋势相反。 大小:平衡 平衡 大小: Fmax 大小: 范围: 0 ? F ? Fmax 范围 ( 2)静滑动摩擦 静滑动摩擦定律, 定律,静摩擦系数。

摩擦角和自锁条件
( 1)摩擦角 摩擦角: :

FR
F

j FN

FR
Fmax

j max FN

= f s FN

f s :静滑动摩擦系数

\ tan j max = f s

j max 称为摩擦角 摩擦角 j max

( 3)动滑动摩擦力 动滑动摩擦力。 。

摩擦角的正切值等于静摩擦因数

Fd = f d FN

f d :动滑动摩擦系数

( 2)自锁 自锁: :

几何法: 利用摩擦角的概念和自锁条件 解析法: 平衡方程 + 补充方程
考虑摩擦以后的翻到问题

j ? j max
自锁条件

( 不滑动的条件)

主动力的合力位于摩擦锥之内 主动力的合力位于摩擦锥之内,则无 论这个力有多大,物体总处于平衡。

P6 习题:1 y
A1

P8 习题:2 对称性
yC = x1 = 0 x2 = R/2 M1 A A1 = pR2 B C M2 M1 A B C FC FC l

力偶系平衡特性 C M2 FD j D

R O

·

A2 r

x

A2 = - pr2 xC = A1x1 + A2x2 A1 + A2

j

j

D

j
FA

2l

S mi = 0 FC×2l - M1 = 0

S mi = 0

R/2

M2 - FC×l = 0

∴ M1/M2 =

P13 习题:2

机构
A M

P11 习题:2 有主次之分的结构(解题思路)
B P1 F E G FG H FH FH C H FC P1 A FA B FB C P2

O

j

?MG = 0

FH×2 - P1×1 - P2×5 = 0 FH

j

FAB

B FB A

F

?Fx = 0

2 F –F=0 AB √5 FAB =

?MC = 0
D FD

FD×6 - FH×1 = 0 FD

M FAB O FOx FOy

j

?MO = 0

M =(

1 2 FAB + FAB)×l √5 √5

?MB = 0 FA FB

P2 FD×9 - FA×3 - P1×3 - P2×7 = 0 D FD ?Fy = 0

FA + FB + FD - F1 - F2 = 0

3

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P14 习题:4 有主次之分与无主次之分的结构
FBx FBy C B

?MB = 0
q
O P ?F = 0 x

FDcosq ×6L - P×6L = 0 FD = FBx + FDcosq = 0 FBx = FBy + FDsinq - P = 0 FBy =

P15 习题:1 l
C E

[C] F
FCE FCB

FCE

FCE = FCB = 0

零杆判定

l
F B D O
FED F FDO

[E]
F FED FEB

?Fx = 0 F + FEBsin45? = 0 FEB = ?Fy = 0 FED + FEBsin45? = 0 FED = ?Fx = 0 FBD + FEBsin45? = 0 FBD = ?Fy = 0 FBA – FEBsin45? = 0 FBA = FDA =

3 sinq = D 5 FD 4 cosq = A 5 FAx
FAy B C FC D O

FEB

?Fy = 0

l
A
FBD

[B]
FBA

FBD

?MA = 0
P

FC×6L - P×6L = 0 FC =

FDA

[ D]

?Fx = 0 FBD + FDAsin45? + F = 0

?Fy = 0 FED – FDAsin45? – FDO = 0 FDO =

P17 习题:1
F

b
FS

?Fx = 0

Fcosb = FScosq + FNsinq

运动学
点的运动学
形式 矢量 运动方程 速度方程 v v dr v & v= =r dt
vx = dx & =x dt

?Fy = 0 FNcosq + Fsinb = P + FSsinq FN + Fsin(b -q ) = Pcosq FS + Psinq = Fcos(b -q )
而 FS = fSFN = FNtanjm

q P

FN

v v r = r (t)
x = x(t )

加速度方程 v 2v v dv v v &=d r =& a= =v r& dt dt 2 dv d 2x &x = 2 = & & ax = x = v x dt dt
d2y &y = 2 = & & =v y dt dt 2 dv d z &z = 2 = & & az = z = v z dt dt ay = dv y

∴ F cos( b -q -jm ) = P sin(jm+q )
当: b = 时

直角 坐标

y = y (t )

vy =

dy & =y dt

z = z(t )

vz =

Fmin =

v v v v &i + y &j + z &k v=x

dz & =z dt

v v v v &i + & &j + & &k a=& x y z

2.定轴转动 定轴转动:

自然法 (弧坐标)

s = s (t )

ds & v= =s dt

v v v = vt

dv &=& & =v s dt v2 an = r at =

v v v a = att + an n

—— 瞬时 瞬时角速度 角速度 dt dw & —— 瞬时 =w 瞬时角加速度 角加速度 dt 刚体作定轴转动,刚体上任意一点以该点到转轴 的距离为转动半径 R作圆周运动。

w=

j = j( t ) dj

—— 转动方程

& =j

a=

任意点速度、加速度:

刚体基本运动
1.平行移动 平行移动: 运动的判定 l 刚体上的各点 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹 形状相同的运动轨迹; l 刚体上的各点 刚体上的各点在同一瞬时具有相同的速度和加速度 相同的速度和加速度。

v v v = vt v = Rw v v v an = Rw2 a = at t + an n at = Ra v v v 2 2 = R a 2 + ω4 + an a = a τ + a n a = aτ
tan b = aτ α = = α2 w2 an w

4

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刚体平面运动
1.基本概念 基本概念: ★ 平面图形 S 的运动可以分解 可以分解为随基点的平动和绕基点 的转动。 ★ 平动与基点的选择有关 选择有关,转动与基点的选择无关 选择无关。

2.速度和加速度 速度和加速度:

v ua

v v v 1. 基点法 基点法: u B = u A + u BA
v v 2. 投影法 投影法: [u A ]AB = [u B ]AB
3. 瞬心法 瞬心法:以速度瞬心P为基点 v v u B = u BP , u B = w × PB 瞬时平动

v aa

1. 基点法 基点法:

v v vt vn aB = a A + aBA + aBA
n 2 a BA = AB w AB

at BA = AB a AB

P23 习题:1
w a
O1 A M B O2

P26 习题:4
B

B

PAB

vB
j

wAB j

j

aA
A

aM vA
M

vM

B

vA
AB平行移动 vM = vA = rw
A O

O1定轴转动

j = 15p t

w
O

A D

w

w=

dj dt dw a= dt

aMt = aAt = ra aMn = aAn = rw 2

瞬心 D : vA = Rw

瞬心 PAB :

w AB =

vA Lcos30?

vB = Lsin30?wAB

P27 习题:2

C A L1=13cm O L=15cm L3=10cm L2=6cm O1 B

w=

np 4 = p rad/s 3 30
C

wAB

np 4 = p rad/s 3 30 vB 瞬心 C : w AB =

w=

vB = L2w vA = CA·wAB

CB

wAB

n
A L1=13cm

L3=10cm L2=6cm

vA

B O1

vB
n

∴ wO = L 1
aA = aB + aAB 在水平方向投影: 12 a – 5 a = a n At An AB 13 13
其中: aAB = L3wAB
n
2 2 aAn = L1wO aA t 则 aO = L1

vA

vB = L2w
A

vA
w

B O1

vB
n

瞬心 C : w AB =

vB
CB

O

wO

w

vA = CAwAB vA ∴ wO = L 1

at

L=15cm

AB

O

wO

aAnA
O

n aAB

aA t

B

aB
O1

∴ aA t

5

2017-12-30

P28 习题:4
w
O A

vA
w
B D O

wAB PAB
A

n = 2rw2 aA = aA

n = 2rw 2 aBA AB

j

j

vD vB BwB
E D

n+ a t + a n aB = aA BA BA

BA 方向投影:

vA
w
O

wAB PAB
A

j

vD vB BwB
E D

vA = Lw v w AB = A
L

an A
A

vB = LwAB vD = 2rwB

O

j

n aBA

v wB = B r

aB E

aB B a n aD

at DB at BA x
D
DB

y

n t aD = aB + aDB + aDB

√3 a = a n + 1 a n B BA 2 A 2 a aB = aB = B r
n = Rw 2 aDB B

at DB = RaB aDy

n aDx = aB + aDB

aDx

aDy = at DB

动力学
一.动力学普遍定理: 1.物理量及其计算: r v 动量: p = mv 动量
转动惯量: J l = ? mi r i2 转动惯量

功: dW = F × dr

v

v

v v W = ò s F × dr
k dj (d 12 - d 22 ) W = M 2

r r rr p = mvC p = ? mi vCi
Jz C = Jz C =

W = mg ( zC1 - zC 2 ) W =

刚体内力不作功,理想约束反力不作功,静滑动摩擦力 不作功,动滑动摩擦力作功可按主动力计算。
2

1 1 mr 2 JzC = ml 2 2 12 mr 2

mrl2 Jl = ?
动量矩: 动量矩

J zO = J zC + md

动能: T = 动能

1 2 mv 2

T=

r r r r r LO = M O (mv ) = r ? mv

v v v v ? + rC ? p LO = LC

刚体的动能: T = 刚体的动能

1 2 mv 2

1 2 1 1 n 2 2 + Smi vri ? mi vi T = 2 mvC 2 i =1 2 1 1 1 2 2 T = J zw 2 T = muC + J Cw 2 2 2
T= 1 J Pw 2 2

v v v m rc c v LCz = J Czw LO = mr ?m vr

刚体的动量矩: 刚体的动量矩

v LOz = J Czw + M z (mvC )

动量、 动量 、转动惯量 转动惯量、 、动量矩 动量矩、 、动能、功的计算

P34 习题:1 2.动力学 动力学普遍定理和刚体运动微分方程 普遍定理和刚体运动微分方程: r r r r r dp m aC = ? m i ai = ? Fi e = ? Fi e dt r v r e 质心运动方程 ve dLC dLO = ? M Ci = S M Oi dt dt 刚体运动方程 && ma Ccx Ccx= mx C = SFxi
e J za = SM zi

O

vO

w O e

C

vC

p = mvO

p = mew p= mv vC
O

w

&C = SFyi ma Cy = m& y
&& = SM Ci J Ca = J Cj

w

O1

O2

C

vC

dT = SdWi

T2 - T1 = SWi

动能定理

p= 0

p= m l w 2

6

2017-12-30

P36 习题:2
m m

P41 习题:3
C B

r

A

l

l

m

r
JC杆 = 1 m(2l )2 = 1 ml 2 JC 盘

JO = JO杆+ JO盘
O C

JC = JC 杆 + JC 盘 + JC 环 组合法

12 3 1 2 = mr + m( l + r )2 2

w

=
T=

1 1 ml 2 + mR 2 + ml 2 2 3

1 J w2 2 O

JC环 = mr 2 + m( l + r )2

vC

w=
C A

R-r

v0

vC =

r
R-r

v0

w

T=

v0

1 1 mvC2 + JCw 2 2 2

P41 习题:1
A D k O B

P37 习题:1

d1 = √2 r - l0
W=

d2 = 2r - l0
A

M O m

动量矩定理:
w

1 k(d12 - d22) 2 a

LO = JOw +( m1v)r +(m2v)r

v

v
m1 m 1g

m2 m 2g

1 mr2 v = rw 2 SMO (Fi )= M - m1gr + m2gr
其中: JO =

dLO = SMO (Fi ) dt ∴
M

P38 习题:3
FOx
O

P39 习题:1
B A

a w Cy a aCx
FOy

刚体定轴转动微分方程: JOa = SMO (Fi )
A

刚体平面运动微分方程:

mg

C

mg

S Fx = 0 FT aC S Fy = maC SMC (Fi ) = JCa

FN – mgcosq = 0 F = fFN

1 1 m ( 2l ) 2 + [ m ( 2l ) 2 + m ( 2l ) 2] D JO = 3 12 ∴ a
已知:w

SMO(Fi )= mgl + mg2l
质心运动定理:

a

F FN
q

C

mgsinq - FT - F = maC (FT - F )r = JCa 1 2 mr 2 aC = ra

aCx =



S Fx = 2maCx S Fy = 2maCy

3l 2 3l w aCy = a 2 2 FOx = - 2maCx 2mg - FOy = 2maCy

q

mg

其中: JC =

7

2017-12-30

P44 习题:4
A

P46 习题:4
wC
C

vA aA
P2

SW = P3 x (摩擦力不作功)
T1 = 0

wA P1

A

wA m1

m2

aB
T1 = 0 T2 =

动能定理:T2 – T1 = SW

vB

B

vB = vA = RwA = rwC
B

vA
q

vB x

动能定理:
代入: T2 - T1 = SW 求绳子的拉力?

1 1 m R 2 JC = m 2r 2 2 2 1 1 T2 = 1 m1vA2 + JAwA2 2 2 1 1 2 + JCwC + mv 2= vA2 2 3 B 2 d x ∴ vA2 = : aA = dt
P3

JA =

1 1 1 m v 2 + JAwA2 + m2vB2 2 2 2 1 A SW =(m1 + m2)g · ssinq – f m2gcosq · s 1 其中: vB = vA = rwA JA = m 1r 2 2

则:10 vB2 = 41.068 s ( s = 10 m ) ∴ vB =

d : aB = dt FAB

B

aB FN

物块B:

Fd

m2aB = FAB + m2gsinq – Fd m2aB = FAB + m2g(sinq – cosq f ) ∴ FAB =

m 2g

8


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