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广东省顺德一中2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试题



顺德一中 2015—2016 第一学期高二理科数学期中考试试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)
1.已知直线 l 的方程为 y=—x+1,若直线的倾斜角为 A.30° B.45° C.60° D.135° 2.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分为 A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部

分 3.下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3 4.棱长为 2 的正四面体的表面积是 A.4 3 B.4 C. 3 D.16 5.若为一条直线,α ,β ,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:①若 α ⊥γ ,β ⊥γ 则α ⊥β ;②若α ⊥γ ,β ∥γ 则α ⊥β ;③若∥α ,⊥β 则α ⊥β .其中正确的命题有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6、直线 L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若 L1∥L2,则 a= A.-3 B.-3 或 2 C.2 D.3 或-2 7.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不 正 . 确的是

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 8.直线 l 过点 A(2,11),且与点 B(-1,2)的距离最远,则直线 l 的方程为 A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0 C.x+3y+13=0 D.x+3y-35=0 9.直线 y=x+b 与曲线 x=- 1-y2有且只有一个交点,则 b 的取值范围是 A.|b|= 2 B.-1≤b<1 或 b= 2 C.-1≤b≤1 D.非 A,B,C 结论 10.设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被 y=x 反射后,反射光线所在 的直线方程是 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.3x-2y+1=0 D.x+2y+3=0

11. 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到 水. 假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面,则需安装这种喷水龙 头的个数最少是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12.若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线: ax ? by ? 0 的距离 为 2 2 ,则直线的倾斜角的取值范围是 A.[

? ?
12 4 ,

]

B.[

? 5? , ] 12 12

C.[

? ?

, ] 6 3

? D. [0, ] 2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.已知点 M(a,b)在直线 3x+4y=15 上,则 a2+b2的最小值为________. 14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径 和他们的高都与某一个球的直径相等,这时 .. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
M T



15. 如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视 图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

主视图

侧视图

俯视图

16. 设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个结论: (1). 存在一条定直线与所有的圆均相切(2).存在一条定直线与所有的圆均相交 (3). 存在一条定直线与所有的圆均不 相交 (4).所有的圆均不 经过原点 . . 其中正确结论的代号是 . (写出所有正确结论的代号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(本小题满分 10 分)如下图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 与△A1B1C1 都为 正三角形且 AA1⊥面 ABC,F、F1 分别是 AC,A1C1 的中点. 求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF; (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.

18.(本小题满分 12 分)为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形 PQRC 的草坪,且 PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF 的内部有一文物保护区不能占用, 经测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m. D C A y QP F E B R x (1)求直线 EF 的方程. (2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大?

19.(本小题满分 12 分)如图所示,已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1,AB=2,点 E 是 AB 的中点. (1)求 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (2)求二面角 P ? EC ? D 的正切值.

P

D

C

A

E

B

20. (本小题 12 分)已知圆 C : x

2

? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0

(1) 求证:对 m ? R ,直线与圆 C 总有两个不同的交点 A、B; (2) 若定点 P(1,1)满足 PB ? 2 AP ,求直线的方程。

??? ?

??? ?

21.(本小题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB= 4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P -ABCD 的体积.

22.(本小题满分 12 分)已知圆 C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线 l1 被圆所截得的 弦的中点为 P(5,3). (1)求直线 l1 的方程. (2)若直线 l2:x+y+b=0 与圆 C 相交,求 b 的取值范围. (3)是否存在常数 b,使得直线 l2 被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1 上? 若存在,求出 b 的值;若不存在,说明理由.

顺德一中 2015—2016 第一学期高二理科数学期中考试
--------------------------------

第一卷(答案填涂在答题卡上)

--

第二卷
题号 得分 二、填空题 三、解答题 二卷总分

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13________________ 15________________ 14 ________________ 16 ________________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17 题满分 得分 10 分

18 题满分 得分

12 分

19 题满分 得分

12 分

P

D

C

A

E

B

20 题满分 得分

12 分

21 题满分 得分

12 分

22 题满分 得分

12 分

解:





参考答案:

一、选择题 题 号 选 项
二、填空题 13、3 17.[证明] 14、3:1:2 15、2 3 16、(2)、(4)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

C

A

C

A

D

D

B

A

B

B

(1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点, ,∴ AF1 ∥ 平面C1BF C F ? 平面 C BF ? 1 1 同理可证 B1F1 ∥ 平面C1BF ∴?
? AF1 ? 平面C1BF
3分 4分

又∵B1F1∩AF1=F1, AF1, B1F1 ? 平面AB1F1 ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. 5分 (2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∴B1F1⊥AA1. 7 分 又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, 9分 ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而 B1F1?平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 10 分
18. 解: (1)如图,由题意,直线 EF 的方 程为: x y + =1 30 20 5分 2 x), 3

Ay F D

QP E

B C R

x

(2)设 Q(x,20则长方形的面积 S=(100-x)[80-(209分 化简,得 S= -

6分

2 x)] 3

(0≤x≤30)

2 2 20 x+ x+6000 3 3

(0≤x≤30)

10 分

配方,易得 x=5,y=

50 时,S 最大,其最大值为 6017m2 3

12 分

评注:此处讲评时强调文字应用题要作答.但不作答此次考试也不扣分. 19.(1) 解:如答图,连接 AC. ∵PA⊥平面 ABCD, ∴∠PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角. 在 Rt△PAC 中, tan∠PCA=
5 1 PA = = , AC 5 5 5 . 5

即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值为

6分

(2) 解:如答图,作 AM⊥CE,交 CE 的延长线于 M. 连接 PM,易得 ME⊥平面 PAM,∴PM⊥CE, ∴∠PMA 是二面角 P-EC-D 的平面角. 由△AME∽△CBE 可得 AM= ∴tan∠PMA=
PA = 2. AM

2 , 2

∴二面角 P-EC-D 的正切值为 2 . 评注:答案的图形与题中条件略有出入.

12 分

20.证: (1)直线 l : m( x ? 1) ? y ? 1 ? 0 恒过(1,1)又点在圆内,所以直线和圆恒 有两个公共点; 5分

另解:判别式法,联立直线与圆的方程,证明 ? ? 0 .

? 3 ? m2 x ? ? x2 ? 2 x1 ? 3 ? ? 1 1 ? m2 ?? (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ? 由直线与圆方程联立 2 ? y2 ? 2 y1 ? 3 ? x ? m ? 3 2 ? 1 ? m2 ?
得 x1 x2 ? 21.解:
m2 ? 5 解得 m ? ?1 ,所求直线方程为 x ? y ? 0, x ? y ? 2 ? 0 . 1 ? m2

12 分

(1)如图所示,连接 AC,由 AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得 AC=5. 又 AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD. 而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. 5分 (2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于 F,G,连接 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知, BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成 的角,且 BG⊥AE. 由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF,

PA BF ,sin∠BPF= ,所以 PA=BF. PB PB 由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又 BG∥CD,所以四边形 BCDG 是平行四 边形,故 GD=BC=3.于是 AG=2. 在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以 AB2 16 8 5 8 5 BG= AB2+AG2=2 5,BF= = = .于是 PA=BF= . 8分 BG 2 5 5 5
因为 sin∠PBA= 1 又梯形 ABCD 的面积为 S= ×(5+3)×4=16, 2 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 V= ×S×PA 3 1 8 5 128 5 = ×16× = . 3 5 15 10 分

11 分 12 分

22 解:(1)圆 C 的方程化为标准方程:(x-3)2+(y-2)2=9, 则其圆心 C(3,2),半径 r=3. 1 1 若设直线 l1 的斜率为 k,则 k=- =- =-2. kPC 1 2 ∴直线 l1 的方程为 y-3=-2(x-5),即 2x+y-13=0.

4分

(2)∵圆的半径 r=3, ∴要使直线 l2 与圆 C 相交,则须有 |3+2+b| ≤3. 2

∴|b+5|≤3 2. 于是 b 的取值范围是-3 2-5<b<3 2-5. 8分 (3)设直线 l2 被圆 C 截得的弦的中点为 M(x0,y0),则直线 l2 与 CM 垂直,于 y0-2 是有 =1, x0-3 整理可得 x0-y0-1=0. 又∵点 M(x0,y0)在直线 l2 上,∴x0+y0+b=0. ?x0-y0-1=0, ∴由? ?x0+y0+b=0, 1-b ? ?x = 2 , 解得? 1+b y =- , ? 2 ?
0 0

代入直线 l1 的方程,得 1

1+b 25 -13=0,于是 b=- ∈(-3 2 3 的常数 b. 12 分 -b-

2-5,3

2-5),故存在满足条件

附录:小题的详解

1.已知直线 l 的方程为 y=—x+1,若直线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.135°

)

【解析】 由题意可知,直线 l 的斜率为-1,故由 tan 135°=-1,可知直线 l 的倾 斜角为 135°. 【答案】 D

2. 若三个平面两两相交, 且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分为( A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 解析 垂直于交线的截面如图,把空间分为 7 部分.

)

答案 C 3.下列命题正确的个数为( ). ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2 解析 ①④错误,②③正确. 答案 C

D.3

4.棱长为 2 的正四面体的表面积是( ). A.4 3 B.4 C. 3 D.16 1 3 解析 每个面的面积为: ×2×2× = 3.∴正四面体的表面积为:4 3. 2 2 答案 A 5.若为一条直线,α ,β ,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:①若 α ⊥γ ,β ⊥γ 则α ⊥β ;②若α ⊥γ ,β ∥γ 则α ⊥β ;③若∥α ,⊥β 则α ⊥β .其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:①中两平面都与第三个平面垂直,这两个平面还可能是平行,也可能是 一般的相交,①错;②中两平行平面中的一个与第三个平面垂直,则另一个也与 第三个平面垂直,②正确;③中∥α ,可在α 内找到与平行的直线,由⊥β ,得 此直线必与β 垂直,从而α ⊥β ,③正确,即正确命题的个数为 2. 答案: C 6、直线 L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若 L1∥L2,则 a=( ) A.-3 B.-3 或 2 C.2 D.3 或-2 答案:C 7.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正 确的是( ).

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解析 选项 A 正确,因为 SD 垂直于平面 ABCD,而 AC 在平面 ABCD 中,所以 AC 垂直于 SD;再由 ABCD 为正方形,所以 AC 垂直于 BD;而 BD 与 SD 相交, 所以,AC 垂直于平面 SBD,进而垂直于 SB.选项 B 正确,因为 AB 平行于 CD, 而 CD 在平面 SCD 内,AB 不在平面 SCD 内,所以 AB 平行于平面 SCD.选项 C 正确, 设 AC 与 BD 的交点为 O, 连接 SO, 则 SA 与平面 SBD 所成的角就是∠ASO, SC 与平面 SBD 所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.选项 D 错误,AB 与 SC 所成的角等于∠SCD,而 DC 与 SA 所成的角是∠SAB,这两个角不相等. 答案 D 8. 直线 l 过点 A(2,11), 且与点 B(-1,2)的距离最远, 则直线 l 的方程为( ) A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0 C.x+3y+13=0 D.x+3y-35=0
【解析】 当 l⊥AB 时符合要求, 11-2 1 ∵kAB= =3,∴l 的斜率为- , 2-?-1? 3 1 所以直线 l 的方程为 y-11=- (x-2), 3 即 x+3y-35=0.故选 D.

9. 直线 y=x+b 与曲线 x=- 1-y2有且只有一个交点, 则 b 的取值范围是( ) A.|b|= 2 B.-1≤b<1,或 b= 2 C.-1≤b≤1 D.非 A,B,C 结论 答案:B 10、设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被 y=x 反射后,反射光线所在 的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.3x-2y+1=0 D.x+2y+3=0 答案:A 11. 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到 水. 假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面,则需安装这种喷水龙 头的个数最少是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解: 因为龙头的喷洒面积为 36π ? 113 , 正方形面积为 256,故至少三个龙头。 由于 2 R ? 16 ,
故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水。 当用四个龙头时, 可将正方形均分四个小正 方形,同时将四个龙头分别放在它们的中心,由于 2R ? 12 ? 8 2 ,故可以保证整个草坪能 喷洒到水。答案:B.

12. 若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 : ax ? by ? 0 的距离

为 (

2 2

,





线





















) ? ? A.[ , ] 12 4

B.[

? 5? , ] 12 12

C.[

? ?

, ] 6 3

? D. [0, ] 2

答案:B. 二、填空题

13.已知点 M(a,b)在直线 3x+4y=15 上,则 a2+b2的最小值为________.
【解析】 【答案】 3

a2+b2的最小值为原点到直线 3x+4y=15 的距离:d=

|0+0-15| =3. 2 2 3 +4

14、 一个圆柱和一个圆锥的底面直径 和他们的高都与某一个球的直径相等,这时 .. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
M T



答案: 3:1:2

15.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视 图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

解析 (构造法)由主视图和俯视图可知几何体是 正方体切割后的一部分(四棱锥 C1- ABCD),还原 在正方体中,如图所示.多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线,如图即 AC1.由正方体棱长 AB=2 知最长棱 AC1 的长为 2 3. 答案 2 3 16.设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个结论: (1). 存在一条定直线与所有的圆均相切(2).存在一条定直线与所有的圆均相交 (3). 存在一条定直线与所有的圆均不 相交 (4).所有的圆均不 经过原点 . . 其中正确结论的代号是 . (写出所有正确结论的代号)

解:圆心为(k-1,3k)半径为 2k ,圆心在直线 y=3(x+1)上,所以直线 y=3(x+1)必 与所有的圆相交,B 正确;由 C1、C2、C3 的图像可知 A、C 不正确;若存在圆过原点(0,0) , 则有

2

(?k ? 1) 2 ? 9k 2 ? 2k 4 ? 10k 2 ? 2k ? 1 ? 2k 4 ( k ? N *) 因为左边为奇数,右边为偶数,
故不存在 k 使上式成立,即所有圆不过原点。填(2)、(4).



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