9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

第六章第3讲等比数列及其前n项和



第 3 讲 等比数列及其前 n 项和

1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数, 那么这个数 列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q(q≠0)表示. an+1 an =q(n≥2,q 为非零常数),或 =q(n∈N*,q 为非零常数)?{an}是等比数列. an an-1 2.等比数列

的通项公式及前 n 项和公式 - (1)若等比数列{an}的首项为 a1,公比是 q,则其通项公式为 an=a1qn 1(q≠0); a1?1-qn? a1-anq (2)等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, Sn=na1; 当 q≠1 时, Sn= = . 1-q 1-q 3.等比数列及前 n 项和的性质 (1)如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,即:G 是 a 与 b 的等比 中项?a,G,b 成等比数列?G2=ab. (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak· al=am· an. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列, 公比为 qm. (4)当 q≠-1,或 q=-1 且 n 为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比 n 为q .

1.等比数列的三种判定方法 an+1 (1)定义: =q(q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. an - (2)通项公式:an=cqn 1(c、q 均是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. (3)等比中项法:a2 an+2(an· an+1· an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比数列. n+1=an· 2.求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前 n 项和的公式中联系着五个量:a1,q,n,an, Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是 a1 与 q,在解题 中根据已知条件建立关于 a1 与 q 的方程或者方程组,是解题的关键. (2)分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须分类求和,当 q=1 时,Sn= a1?1-qn? na1;当 q≠1 时,Sn= ;在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 分类讨论. 1-q

1.(必修 5 P51 例 3 改编)等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则 a6 等于( A.27 B.36 81 C. D.54 2 解析:选 C.法一:由 a3=12,a4=18,得 2 ? ?a1q =12, 16 3 ? 解得 a1= ,q= , 3 3 2 ?a1q =18, ?

)

16 3?5 81 ∴a6=a1q5= ×? = .故选 C. 3 ?2? 2 法二:由等比数列性质知,a2 3=a2a4, a2 122 3 ∴a2= = =8, a4 18 2 a2 81 4 18 2 又 a4=a2a6,∴a6= = = .故选 C. a2 8 2 2.(必修 5 P53 练习 T4 改编)在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则 a5 等于( ) A.5 B.± 5 C.4 D.± 4 2 解析:选 C.a5=a3a7=2×8=16,∴a5=± 4,又 a5≠-4,∴a5=4.故选 C. 3 9 3. (必修 5 P61A 组 T1(2)改编)在正项等比数列{an}中, a3= , S= , 则 a2 017 等于________. 2 3 2 解析:法一:当公比 q=1 时,S3=3a1=3a3, 9 3 即 =3× 成立, 2 2 ∴q=1, 3 9 当 q≠1 时,由 a3= ,S3= ,得 2 2

?a q =2, ?a ?1-q ? 9 ? 1-q =2,
1 2 1 3

3

1 解得 q=- ,a1=6. 2

3 ∵q>0,∴q=1.即 a2 017=a3= . 2 3 9 法二:由 a3= ,S3= ,得 2 2 3 9 q=1, a1+a1q+ = , ? 2 2 ? 解之得? 3 3 a1= , 2 ? 2 ? a1q = , 2

? ? ?

1 ? ?q=-2, 或? ? ?a1=6,

∵q>0,∴q=1. 3 ∴a2 017=a3= . 2 3 答案: 2 4. (必修 5 P68B 组 T1(1)改编)由正数组成的等比数列{an}满足 a3a8=32, 则 log2a1+log2a2 +…+log2a10=________. 解析:log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a10)· (a2a9)· …· (a5a6) 5 25 =log2(a3a8) =log22 =25. 答案:25 5.(必修 5 P62B 组 T2 改编)等比数列{an}的前 n 项之和为 Sn,S7=48,S14=60,则 S21 =________. 解析:∵S7,S14-S7,S21-S14 成等比数列, 即(S14-S7)2=S7(S21-S14) 即(60-48)2=48(S21-60), ∴S21=63. 答案:63

等比数列的基本运算

(1)[基本量的求解](2015· 高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+ a5=21,则 a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 (2)[待定量的求解]等比数列{an}的前 n 项之和为 Sn=3k+1-4· 5n,求 k 的值与数列{an} 的公比. [解] (1)∵a1=3,a1+a3+a5=21, ∴3+3q2+3q4=21. ∴ 1+q2+q4=7.解得 q2=2 或 q2=-3(舍去). ∴ a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.选 B. (2)法一:∵Sn=3k+1-4· 5n,∴a1=S1=3k-19. a2=S2-S1=(3k-99)-(3k-19)=-80. a3=S3-S2=(3k-499)-(3k-99)=-400. ∵{an}是等比数列,∴a2 2=a1a3. 2 即(-80) =-400(3k-19),解得 k=1. 当 k=1 时,Sn=4(1-5n). a1=S1=-16. - n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-16×5n 1, an+1 -16×5n 满足 n=1 情况,且 = =5. an -16×5n-1 ∴k=1,数列{an}是公比为 5 的等比数列. 法二:当 q=1 时,Sn=na1,不可能等于 3k+1-4· 5n a1?1-qn? a1 a1 n 当 q≠1 时,由 Sn= = - · q, 1-q 1-q 1-q 与 Sn=3k+1-4· 5n 对比得 a1 =3k+1, 1-q

? ? a ?-1-q=-4,
1

k=1, ? ? 解得?a1=-16, ? ?q=5. ∴k=1,数列{an}是首项为-16,公比为 5 的等比数列. 等比数列{an}的前 n 项之和为 Sn=A+B· Cn,则 A+B=0,且首项为 a1=A+BC,公比 为 q=C. 1.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=( 3?n ?2?n A.4×? B . 4 × ?2? ?3? 3 2?n-1 - n 1 ? C.4×? D.4×? ?2? ?3? )

3?n-1 3 解析:选 C.(a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5,a1=4,q= ,故 an=4×? ?2? . 2 2.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 等于( ) 1 1 A. B.- 3 3 1 1 C. D.- 9 9 解析:选 C.设等比数列{an}的公比为 q, 由 S3=a2+10a1,得 a1+a2+a3=a2+10a1,即 a3=9a1,q2=9,又 a5=a1q4=9,所以 1 a1= . 9 3.设等比数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,若 a1=1,a3=4,Sk=63,则 k =( ) A.4 B.5 C.6 D.7 a1?1-qk? 1-2k 解析:选 C.设公比为 q,依题意 a3=a1q2=4,所以 q=2,Sk= = =63, 1-q 1-2 因此 k=6.故选 C.

等比数列的性质 1 (1)[通项的性质](2015· 高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4 4 -1),则 a2=( ) A.2 B.1 1 1 C. D. 2 8 (2)[前 n 项和的性质]设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S6∶S3=1∶2, 则 S9∶S3 等于 ________. [解析] (1)法一:∵ a3a5=a24,a3a5=4(a4-1), ∴ a24=4(a4-1),∴ a24-4a4+4=0,∴ a4=2. a4 2 又∵ q3= = =8, a1 1 4 1 1 ∴ q=2,∴ a2=a1q= ×2= ,故选 C. 4 2 法二:∵ a3a5=4(a4-1), ∴ a1q2· a1q4=4(a1q3-1), 1 将 a1= 代入上式并整理,得 q6-16q3+64=0, 4 1 解得 q=2,∴ a2=a1q= ,故选 C. 2 (2)由等比数列的性质知 S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3· (S9-S6), 1 S9 3 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4 3 [答案] (1)C (2) 4 等比数列{an}的前 n 项之和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,成等比数列.特别地 (S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).

1.在公比大于 1 的等比数列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27,则 a12=( ) A.96 B.64 C.72 D.48 解析:选 A.由题意及等比数列的性质知 a3a7=a2a8=72,又 a2+a8=27,∴a2,a8 是方 ? ? ? ?a2=24 ?a2=3, ?a2=3, 程 x2-27x+72=0 的两个根,∴? 或? 又公比大于 1,∴? ∴q6 ?a8=3 ?a8=24, ?a8=24, ? ? ? =8,即 q2=2, ∴a12=a2q10=3×25=96. 2. 设各项都是正数的等比数列{an}, Sn 为前 n 项和, 且 S10=10, S30=70, 那么 S40=( ) A.150 B.-200 C.150 或-200 D.400 或-50 解析:选 A.依题意,数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成等比数列,因此有(S20- S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故 S20=-20 或 S20=30.又 S20>0,因此 S20 =30,S20-S10=20,S40=10+20+40+80=150. S4 S8 3.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 =5,则 =________. S2 S4 a3+a4 S4 S8 解析:设数列{an}的公比为 q,由已知得 =1+ =5,1+q2=5,所以 q2=4, =1 S2 S4 a1+a2 a5+a6+a7+a8 + =1+q4=1+16=17. a1+a2+a3+a4 答案:17

等比数列的判定与证明 (2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ? 1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2 1 [证明](1)由 an+1=3an+1,得 an+1+ = 2 1 ? 3? ?an+2?. 1? 1 3 ? 3 又 a1+ = ,所以?an+2?是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2 2 ? ? 3n-1 1 3n an+ = ,因此{an}的通项公式为 an= . 2 2 2 1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 -1 - 因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1, 1 1 所以 n ≤ - . 3 -1 2×3n 1 1 1 1 1 1 于是 + +…+ ≤1+ +…+ n-1 a1 a2 an 3 3 1? 3 3? = ?1-3n?< . 2 2 1 1 1 3 所以 + +…+ < . a1 a2 an 2 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空 题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

(2)注意验证 n=1 的情况. (3)根据要求利用整体思想构造等比数列,再求相关的元素问题. 1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N*). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N*),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式. 解:(1)证明:依题意 Sn=4an-3(n∈N*), 当 n=1 时,a1=4a1-3,解得 a1=1. 因为 Sn=4an-3,则 Sn-1=4an-1-3(n≥2),所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 4 整理得 an= an-1. 3 又 a1=1≠0,所以{an}是首项为 1, 4 公比为 的等比数列. 3 4?n-1 (2)因为 an=? ?3? , 由 bn+1=an+bn(n∈N*), 4?n-1 得 bn+1-bn=? ?3? . 可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) 4?n-1 1-? ? 3? ?4?n-1-1(n≥2), =2+ =3· ?3? 4 1- 3 ?4?n-1-1. 当 n=1 时也满足,所以数列{bn}的通项公式为 bn=3· ?3? 2.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+λ(λ 为常数)且{an+1}是等比数列. (1)求 λ 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项之和为 Sn,且 bn=Sn+n, 1 1 1 3 求证: + +…+ < . b1 b2 bn 4 解:(1)∵a1=1,an+1=3an+λ, λ+1 ∴an+1+1=3(an+ ), 3 λ+1 又∵{an+1}为等比数列,∴ =1, 3 ∴λ=2, an+1+1 当 λ=2 时, =3,则{an+1}是首项为 a1+1=2,公比为 3 的等比数列,∴an+1 an+1 - - =2· 3n 1,∴an=2· 3n 1-1. - (2)证明:∵Sn=a1+a2+…+an=2(30+31+32+…+3n 1)-n n n n-1 =3 -n-1,∴bn=Sn+n=3 -1≥2×3 , 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 ∴ + +…+ ≤ (1+ + 2+…+ n-1)= (1- n)< ,∴ + +…+ < . b1 b2 bn 2 3 3 4 3 4 b1 b2 bn 4 3

一、选择题

5 1.(必修 5 P61A 组 T1(2)改编)在单调递减的等比数列{an}中,若 a3=1,a2+a4= ,则 2 a1=( ) A.2 B.4 C. 2 D.2 2 5 解析:选 B.在等比数列{an}中,a2a4=a2 3=1,又 a2+a4= ,数列{an}为递减数列,设 2 1 a4 1 2 其公比为 q,∴a2=2,a4= ,∴q = = , 2 a2 4 a2 ∴a1= =4.故选 B. q 2. (必修 5 P68B 组 T1(1)改编)已知{an}是等比数列, an>0, 且 a2 5+a3a7=8.则 log2a1+log2a2 +…+log2a9=( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:选 B.∵ a2 + a a = 8. a >0. 5 3 7 n ∴2a25=8.∴a5=2. ∴log2a1+log2a2+…+log2a9= log2[(a1a9)(a2a8)(a3a7)· (a4a6)· a5]=log2(a5)9=9 log22=9. 3.(必修 5 P61A 组 T6 改编)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 S3,S9,S6 成等差数 列,下列结论正确的是( ) A.a1,a7,a4 成等差数列 B.a1,a7,a4 成等比数列 C.a1,2a7,a4 成等差数列 D.a1,2a7,a4 成等比数列 解析:选 A.显然 q=1 时不合题意, a1 a1 2a1 依题意得 S3+S6=2S9,即 (1-q3)+ (1-q6)= (1-q9) 1-q 1-q 1-q ?1+q3=2q6?a1+a1q3=2a1q6?a1+a4=2a7,∴a1,a7,a4 成等差数列.故选 A. 二、填空题 4.(必修 5 P53A 组 T1(4)改编)在等比数列{an}中,an>0,a5-a1=15,a4-a2=6,则 a3 =________. 解析:∵a5-a1=15,a4-a2=6. ∴a1q4-a1=15,① a1q3-a1q=6,②且 q≠1. ① ?q2+1??q2-1? 15 1 得 = ,即 2q2-5q+2=0,∴q=2 或 q= , 2 6 2 ② q· ?q -1? 当 q=2 时,a1=1; 1 当 q= 时,a1=-16(舍去). 2 ∴a3=1×22=4. 答案:4 1 1 1 5.(必修 5 P68B 组 T2 改编)在等比数列{an}中,an>0, , , +1 成等差数列,且 a1 a1 a2 a2 +2a2=2.则数列{an}的通项公式为________. 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由 an>0 知 q>0, 1 1 2 依题意 +( +1)= ,即 a1-a2=a1a2?a1q=1-q. a1 a2 a2 又 a1+2a2=2?a1+2a1q=2, a =1 ? ? ? ? 1 ?a1q=1-q ?a1=-2 1? 由? ,解得? 1 ,或? (舍),∴数列{an}的通项公式为 an=? 2? ? ?a1+2a1q=2 ?q=-1 ? ? ? ?q=2
n-1

.

1?n-1 答案:an=? ?2? 三、解答题 6.(必修 5 P69B 组 T6 改编)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=2an+1+3an. (1)求证:{an+1-3an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:∵a1=1,a2=2,an+2=2an+1+3an,∴an+2-3an+1=-an+1+3an=-(an+ - 3 a 1 n). a2-3a1=-1. ∴数列{an+1-3an}是首项为-1,公比为-1 的等比数列. (2)由(1)得 an+1-3an=(-1)n, + 两边同除以 3n 1 an+1 an 1 1 (- )n, + - n= · 3 3n 1 3 3 a2 a1 1 1 则有 2- 1= · (- )1,① 3 3 3 3 a3 a2 1 1 2 - = (- ) ,② 33 32 3 3 …… an an-1 1 1 - - = · (- )n 1.(n-1) 3n 3n-1 3 3 ①+②+…+(n-1)得 an 1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 n 1 - = [(- )+(- )2+…+(- )n 1]=- - (- )n,∴an= · 3- · (-1)n,∴{an} 3n 3 3 3 3 3 12 4 3 4 4 1 1 的通项公式为 an= ×3n- (-1)n 4 4 1 n = [3 -(-1)n]. 4

一、选择题

1.等比数列{an}中 a1=3,a4=24,则 a3+a4+a5=( A.33 B.72 C.84 D.189

)

a4 [导学号 03350455] 解析:选 C.在等比数列{an}中,q3= =8,所以 q=2,直接计算 a1 得 a3=12,a5=48,故 a3+a4+a5=84,故选 C. 2.在等比数列{an}中,若 a4,a8 是方程 x2-4x+3=0 的两个根,则 a6 的值是( ) A.± 3 B.- 3 C. 3 D.± 3 2 [导学号 03350456] 解析:选 C.由题意知 a4a8=3,所以 a6 =a4a8=3,解得 a6=± 3, 2 又 a4+a8=4,所以 a4>0,a8>0,当 a6=- 3时,a5=a4a6<0,所以舍去负值,得 a6= 3. 故选 C. 3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=18,则公比 q 的值为( ) 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或- 2 2

[导学号 03350457]

2 ? ?a1q =6 1 解析:选 C.由 a3=6,S3=18,得? ,解得 q=- 2 ?a1+a1q+6=18 ?

或 q=1,经检验知都满足题意.故选 C. 4.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.若 a2a4=16,S3=7,则 S4= ( ) A.15 B.31 13 C.63 D. 27 [导学号 03350458] 解析:选 A.因为数列{an}中各项均为正数,所以 a3= a2a4=4,设 4 数列的公比为 q,由 S3=7,得 S2=3,即 a1(1+q)=3,又 a3=a1q2=4,所以 2(1+q)=3, q 2 解得 q=- (舍去)或 q=2,所以 a4=a3q=8,所以 S4=S3+a4=15.故选 A. 3 5.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),a1a2a3=27, 则数列{an}的通项公式是( ) + - A.an=3n 1 B.an=2· 3n 1 n-1 n C.an=3 D.an=3 [导学号 03350459] 解析:选 C.由 a1a2a3=27,得 a3 2=27,所以 a2=3,因为 S2n=4(a1 +a3+a5+…+a2n-1),所以 n=1 时,有 S2=a1+a2=4a1,得 a1=1,从而公比 q=3,所以 - - an=a1qn 1=3n 1.故选 C. 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是 ( ) a5 S5 A. B. a3 S3 an+1 Sn+1 C. D. an Sn a5 [导学号 03350460] 解析:选 D.由 8a2+a5=0,得 =-8,设数列{an}的公比为 q,则 a2 + 5 a Sn+1 1-?-2?n 1 a + S 11 n 1 5 5 1-?-2? q3=-8, 所以 q=-2, 所以 =q2=4, =q=-2, = 而 = 3= , a3 an S3 1-?-2? 3 Sn 1-?-2?n 的数值不能确定.故选 D. 二、填空题 7.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a9 成等比数列,Sn 为数列{an}的前 n S11-S9 项和,则 =________. S7-S6 [导学号 03350461] 解析:设公差为 d,则(a1+2d)2=a1(a1+8d),∴a1d=d2. 又∵d≠0,∴a1=d, S11-S9 66a1-45a1 则 = =3. S7-S6 28a1-21a1 答案:3 8.在数列{an}中,已知 a2=4,a3=15,且数列{an+n}是等比数列,则 an=________. a3+3 15+3 [导学号 03350462] 解析:设数列{an+n}的公比为 q,则 q= = =3,所以 a2+2 4+2 - - - - an+n=(a2+2)· 3n 2=6· 3n 2=2· 3n 1,所以 an=2· 3n 1-n. n-1 答案:2· 3 -n 9.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+…+ln a20 =________. [导学号 03350463] 解析:因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e5.所以 a10a11=e5. 所以 ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20) =ln[(a1a20)· (a2a19)…(a10a11)] =ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50.

答案:50 三、解答题 10.已知数列{an}满足递推关系式 an=2an-1+1(n≥2),其中 a4=15. (1)求 a1,a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. [导学号 03350464] 解:(1)由 an=2an-1+1 及 a4=15 知 a4=2a3+1,解得 a3=7. 同理得 a2=3,a1=1. (2)由 an=2an-1+1 知 an+1=2an-1+2, an+1=2(an-1+1). ∴{an+1}构成以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1. (3)∵an=2n-1,∴Sn=a1+a2+a3+…+an =(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1) =(21+22+23+…+2n)-n 2?1-2n? + = -n=2n 1-2-n. 1-2 11.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. [导学号 03350465] 解:(1)∵an+1=2Sn, Sn+1 ∴Sn+1-Sn=2Sn,∴ =3,又∵S1=a1=1, Sn - ∴数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,即 Sn=3n 1(n∈N*). n-2 当 n≥2 时,an=2Sn-1=2· 3 (n≥2), ? 1 , n = 1 , ? ∴an=? n-2 ?2· 3 , n≥2. ? (2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 当 n=1 时,T1=1; - 当 n≥2 时,Tn=1+4· 30+6· 31+…+2n· 3n 2,① - 3Tn=3+4· 31+6· 32+…+2n· 3n 1,② - - ①-②得:-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n 2)-2n· 3n 1 n-2 2· 3?1-3 ? - =2+ -2n· 3n 1 1-3 - =-1+(1-2n)· 3n 1. 1 1 n- ?3n-1(n≥2). ∴Tn= +? 2 ? 2? 又∵T1=a1=1 也满足上式, 1 1 n- ?3n-1(n∈N*). ∴Tn= +? 2 ? 2? 3 12.已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6 [导学号 03350466] 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, a4 1 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4.可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2 1 3 3 3 - ?n-1=(-1)n-1· n. 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= ×? 2 2 ? 2? 2 1?n 1 (2)证明:Sn=1-? ?-2? ,Sn+Sn

1?n 1 =1-? ?-2? + ? 1?n 1-?-2?

?2+2 ?2 +1?,n为奇数, =? 1 ?2+2 ?2 -1?,n为偶数.
n n n n

1

1 1 1 13 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn Sn S1 6 1 1 1 25 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N*,有 Sn+ ≤ . Sn 6



更多相关文章:
第六章第3讲等比数列及其前n项和
第六章第3讲等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 等比数列及其前 n 项和 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前...
2013高考数学理(人教A)总复习教案:第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和
2013高考数学理(人教A)总复习教案:第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。等比数列及其前 n 项和时间段 一二三四 授课内容 等比...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和_高考_高中教育_教育专区。第3讲 [最新考纲] 等比数列及其前 n...
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第五章 第3讲 等比数列及其前n项和
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第五章 第3讲 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第五章 第3讲 等比数列...
第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 等比数列及其前 n 项和考纲要求 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及前 n 项和...
2012年高三数学一轮复习资料第六章 数列第3讲 等比数列
2012年高三数学一轮复习资料第六章 数列第3讲 等比数列 2012年高考数学专题复习...a q ; ⑸若等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,则 S k 、 S 2 ...
【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和习题
【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和习题_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 3...
【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 理 新人教版
【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 理 新人教版_高考_高中教育_教育专区。2013高考数学一轮复习第...
2015级高考数学一轮复习讲义5-3 等比数列及其前n项和
2015级高考数学一轮复习讲义5-3 等比数列及其前n项和_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第3讲 [最新考纲] 等比数列及其前 n 项和 1.理解等比数列的概念,...
更多相关标签:
等比数列前n项和公式    等比数列通项公式    等比数列前n项和    等比数列的前n项和    等比数列前n项和ppt    等比数列前n项和性质    等比数列前n项和教案    等比数列中项公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图