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2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析


2017 年上海市奉贤区高考数学一模试卷
一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1.已知集合 A={﹣2,﹣1},B={﹣1,2,3},则 A∩B= 2.已知复数 z 满足 z?(1﹣i)=2,其中 i 为虚数单位,则 z= 3.方程 lg(x﹣3)+lgx=1 的解 x= . . . . . .

4.已知 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f﹣1(﹣1)=2,则 f﹣1(x)= 5.若对任意正实数 a,不等式 x2≤1+a 恒成立,则实数 x 的最小值为 6.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则 p=

7.中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项 为 .

8.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边成为 1,那么这个几何体的表面积是 .

9.已知互异复数 mn≠0,集合{m,n}={m2,n2},则 m+n=



10.已知等比数列{an}的公比 q,前 n 项的和 Sn,对任意的 n∈N*,Sn>0 恒成 立,则公比 q 的取值范围是 11.参数方程 . ,θ∈[0,2π)表示的曲线的普通方程是 .

12.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0) ,x∈R,若函数 f(x)在区间(﹣ω, ω)内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为 .

二.选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ) )

14.若方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是(

A.

B.

C



D.

15. 已知函数 A.0 B. C.π D.

2π) (α∈[0, ) 是奇函数, 则 α= (



16.若正方体 A1A2A3A4﹣B1B2B3B4 的棱长为 1,则集合{x|x= {1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

?

,i∈

三.解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17.已知圆锥母线长为 5,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点,AB 是 底面圆的直径,点 C 是弧 AB 的中点; (1)求三棱锥 P﹣ACO 的体积; (2)求异面直线 MC 与 PO 所成的角.

18.已知函数 (1)求 a 和 f(x)的单调区间; (2)f(x+1)﹣f(x)>2.

(a>0) ,且 f(1)=2;

19.一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 观测到灯塔 A、B 在一直线上,并 与航线成角 α(0° <α<90° ) ,轮船沿航线前进 b 米到达 C 处,此时观测到灯塔 A 0° 在北偏西 45° 方向, 灯塔 B 在北偏东 β (0° <β<90° ) 方向, <α+β<90° , 求 CB; (结果用 α,β,b 表示) 20. 过双曲线 B 两点, 的右支上的一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A、

其中 P 是 AB 的中点; (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当 P 坐标为(x0,2)时,求直线 l 的方程; (3)求证:|OA|?|OB|是一个定值. 21.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 列”; (1)若 a1=1, ,a3=x,a4=4,求 x 的取值范围; (n∈N*) ,则称{an}是“紧密数

(2)若{an}为等差数列,首项 a1,公差 d,且 0<d≤a1,判断{an}是否为“紧密 数列”; (3)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求 q 的取值范围.

2017 年上海市奉贤区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1.已知集合 A={﹣2,﹣1},B={﹣1,2,3},则 A∩B= {﹣1} 【考点】交集及其运算. 【分析】利用交集的定义求解. 【解答】解:∵集合 A={﹣2,﹣1},B={﹣1,2,3}, ∴A∩B={﹣1}. 故答案为:{﹣1}. .

2.已知复数 z 满足 z?(1﹣i)=2,其中 i 为虚数单位,则 z= 1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】复数方程两边同乘 1﹣i 的共轭复数,然后化简即可. 【解答】解:由 z?(1﹣i)=2,可得 z?(1﹣i) (1+i)=2(1+i) , 所以 2z=2(1+i) , z=1+i. 故答案为:1+i.



3.方程 lg(x﹣3)+lgx=1 的解 x= 5 【考点】对数的运算性质.



【分析】 在保证对数式的真数大于 0 的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对 数符号,求解一元二次方程得答案. 【解答】解:由 lg(x﹣3)+lgx=1,得:

,即

,解得:x=5.

故答案为:5.

4.已知 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f﹣1(﹣1)=2,则 f﹣1(x)= 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【分析】由题意可得 f(2)=loga2=﹣1;从而得到 a= ;再写反函数即可. 【解答】解:由题意,∵f﹣1(﹣1)=2, ∴f(2)=loga2=﹣1; 故 a= ; 故 f﹣1(x)= 故答案为: ; .



5.若对任意正实数 a,不等式 x2≤1+a 恒成立,则实数 x 的最小值为 ﹣1 【考点】二次函数的性质.



【分析】由恒成立转化为最值问题,由此得到二次函数不等式,结合图象得到 x 的取值范围. 【解答】解:∵对任意正实数 a,不等式 x2≤1+a 恒成立, ∴等价于 a≥x2﹣1, ∴a≥(x2﹣1)max 0≥(x2﹣1)max ﹣1≤x≤1 ∴实数 x 的最小值为﹣1.

6.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆

的右焦点重合,则 p= 4



【考点】椭圆的简单性质;抛物线的简单性质. 【分析】求出椭圆的右焦点,得到抛物线的焦点坐标,然后求解 p 即可. 【解答】解:椭圆 的右焦点重合, 可得: , 的右焦点( 2 , 0 ) ,抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆

解得 p=4. 故答案为:4.

7.中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为 5 . 【考点】等差数列. 【分析】由题意可得首项的方程,解方程可得. 【解答】解:设该等差数列的首项为 a, 由题意和等差数列的性质可得 2015+a=1010×2 解得 a=5 故答案为:5

8.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边成为 1,那么这个几何体的表面积是 .

【考点】由三视图求面积、体积;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥,正方体的一个角,根据三视 图的数据,求出三棱锥的表面积即可. 【解答】解:由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥,正方体的一个角, 所以几何体的表面积为:3 个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和, 即:3× 故答案为: . = .

9.已知互异复数 mn≠0,集合{m,n}={m2,n2},则 m+n= ﹣1 【考点】复数相等的充要条件.



【分析】互异复数 mn≠0,集合{m,n}={m2,n2},可得:m=m2,n=n2;n=m2, m=n2,mn≠0,m≠n.解出即可得出. 【解答】解:互异复数 mn≠0,集合{m,n}={m2,n2}, ∴m=m2,n=n2,或 n=m2,m=n2,mn≠0,m≠n. 由 m=m2,n=n2,mn≠0,m≠n,无解. 由 n=m2,m=n2,mn≠0,m≠n.可得 n﹣m=m2﹣n2,解得 m+n=﹣1. 故答案为:﹣1.

10.已知等比数列{an}的公比 q,前 n 项的和 Sn,对任意的 n∈N*,Sn>0 恒成 立,则公比 q 的取值范围是 (﹣1,0)∪(0,+∞) .

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】q≠1 时,由 Sn>0,知 a1>0,从而 论思想能求出公比 q 的取值范围. 【解答】解:q≠1 时,有 Sn= ∵Sn>0,∴a1>0, 则 >0 恒成立, , >0 恒成立,由此利用分类讨

①当 q>1 时,1﹣qn<0 恒成立,即 qn>1 恒成立,由 q>1,知 qn>1 成立; ②当 q=1 时,只要 a1>0,Sn>0 就一定成立; ③当 q<1 时,需 1﹣qn>0 恒成立, 当 0<q<1 时,1﹣qn>0 恒成立, 当﹣1<q<0 时,1﹣qn>0 也恒成立, 当 q<﹣1 时,当 n 为偶数时,1﹣qn>0 不成立, 当 q=﹣1 时,1﹣qn>0 也不可能恒成立,

所以 q 的取值范围为(﹣1,0)∪(0,+∞) . 故答案为: (﹣1,0)∪(0,+∞) .

11. 参数方程 (0≤x≤ ,0≤y≤2) .

θ∈[0, 2π) , 表示的曲线的普通方程是

x2=y

【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】把上面一个式子平方,得到 x2=1+sinθ,代入第二个参数方程得到 x2=y, 根据所给的角的范围,写出两个变量的取值范围,得到普通方程. 【解答】解:∵ ∵θ∈[0,2π) , ∴|cos +sin |=| +sin sin( + )|∈[0, ]

1+sinθ=(cos

)2∈[0,2] ,0≤y≤2)

故答案为:x2=y(0≤x≤

12.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0) ,x∈R,若函数 f(x)在区间(﹣ω, ω) 内单调递增, 且函数 y=f (x) 的图象关于直线 x=ω 对称, 则 ω 的值为 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得 f(x)= 2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ sin(ωx+ ) ,由 .

,k∈Z 可解得函数 f(x)的单调递增区间,结合已 ①, ω ≤ ②, k ∈ Z ,从而解得 k=0 ,又由

知可得:﹣ ω ≥

ωx+

=kπ+

,可解得函数 f(x)的对称轴为:x= ,从而可求 ω 的值. sin(ωx+ ) ,

,k∈Z,结合已知

可得:ω2=

【解答】解:∵f(x)=sinωx+cosωx=

∵函数 f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,ω>0 ∴2kπ﹣ [ ≤ωx+ , ≤2kπ+ ,k∈Z 可解得函数 f(x )的单调递增区间为:

],k∈Z,

∴可得:﹣ω≥ ∴解得:0<ω2≤ 解得:﹣ ∴可解得:k=0, 又∵由 ωx+ =kπ+

①,ω≤ 且 0<ω2≤2k ,k∈Z,

②,k∈Z, ,k∈Z,

,可解得函数 f(x)的对称轴为:x=

,k∈Z, ,可解得:ω= .

∴由函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,可得:ω2= 故答案为: .

二.选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

【考点】双曲线的简单性质;充要条件. 【分析】先证明充分性,把方程化为 + =1,由“mn<0”,可得 、 异号,

可得方程表示双曲线,由此可得“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充分 条件;再证必要性,先把方程化为 + =1,由双曲线方程的形式可得 、 异

号,进而可得 mn<0,由此可得“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的必要 条件;综合可得答案. 【解答】解:若“mn<0”,则 m、n 均不为 0,方程 mx2+ny2=1,可化为 + =1,

若“mn<0”, 、 异号,方程

+

=1 中,两个分母异号,则其表示双曲线,

故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充分条件; 反之,若 mx2+ny2=1 表示双曲线,则其方程可化为 此时有 、 异号,则必有 mn<0, 故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的必要条件; 综合可得:“mn<0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充要条件; 故选 C. + =1,

14.若方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是(



A.

B.

C



D.

【考点】函数的图象与图象变化. 【分析】根据方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,转化为函数 f(x)的图 象和直线 y=2 在(﹣∞,0)上有交点. 【解答】解:A:与直线 y=2 的交点是(0,2) ,不符合题意,故不正确; B:与直线 y=2 的无交点,不符合题意,故不正确; C:与直线 y=2 的在区间(0,+∞)上有交点,不符合题意,故不正确; D:与直线 y=2 在(﹣∞,0)上有交点,故正确. 故选 D.

15. 已知函数 A.0 B. C.π D.

2π) (α∈[0, ) 是奇函数, 则 α= (



【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解. 【解答】解:由题意可知,函数 f(x)是奇函数,即 f(﹣x)+f(x)=0, 不妨设 x<0,则﹣x>0. 则有:f(x)=﹣x2+cos(x+α) , f(﹣x)=x2﹣sinx 那么:﹣x2+cos(x+α)+x2﹣sinx=0 解得: ∵α∈[0,2π) ∴α= 故选:D. (k∈Z)

16.若正方体 A1A2A3A4﹣B1B2B3B4 的棱长为 1,则集合{x|x= {1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

?

,i∈

【考点】子集与真子集. 【分析】 {x|x= ? ⊥ , ⊥ , i , j ∈{1 , 2 ,3 , 4},由此能求出集合

,i∈{1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数.

【解答】解:∵正方体 A1A2A3A4﹣B1B2B3B4 的棱长为 1, ⊥ ∴ = ? ? , = + ? ⊥ ?( + ,i,j∈{1,2,3,4}, + + =1. ,i∈{1,2,3,4},j∈1,2,3,4}}中元素的个数为 1. )

∴集合{x|x=

故选:A.

三.解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17.已知圆锥母线长为 5,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点,AB 是 底面圆的直径,点 C 是弧 AB 的中点; (1)求三棱锥 P﹣ACO 的体积; (2)求异面直线 MC 与 PO 所成的角.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角. 【分析】 (1)由已知得 AB=8,OC=4,OC⊥AB,PO=3,由此能出三棱锥 P﹣ ACO 的体积. (2)以 O 为原点,OC 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出异面直线 MC 与 PO 所成的角. 【解答】解: (1)∵圆锥母线长为 5,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中 点, AB 是底面圆的直径,点 C 是弧 AB 的中点, ∴AB=8,OC=4,OC⊥AB, ∴PO= = =3,

∴三棱锥 P﹣ACO 的体积 VP﹣ACO= = =8.

(2)以 O 为原点,OC 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, A(0,﹣4,0) ,P(0,0,3) ,M(0,﹣2, ) ,C(4,0,0) ,O(0,0,0) , =(4,2,﹣ ) , =(0,0,﹣3) ,

设异面直线 MC 与 PO 所成的角为 θ,

cosθ=

=

=



故异面直线 MC 与 PO 所成的角为 arccos



18.已知函数 (1)求 a 和 f(x)的单调区间; (2)f(x+1)﹣f(x)>2. 【考点】指数式与对数式的互化.

(a>0) ,且 f(1)=2;

【分析】 (1)代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间,注意函数的定义 域, (2)根据函数的单调性得到关于 x 的不等式,解得即可. 【解答】解: (1)函数 ∴log2(a2+a﹣2)=2=log24, ∴ 解得 a=2, ∴f(x)=log2(22x+2x﹣2) , 设 t=22x+2x﹣2>0,解得 x>0, ∴f(x)的递增区间(0,+∞) ; , (a>0) ,且 f(1)=2,

(2)f(x+1)﹣f(x)>2, ∴log2(22x+2+2x+1﹣2)﹣log2(22x+2x﹣2)>2=log24, ∴22x+2+2x+1﹣2>4(22x+2x﹣2) , ∴2x<3, ∴x<log23, ∵x>0 ∴0<x<log23 ∴不等式的解集为(0,<log23)

19.一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 观测到灯塔 A、B 在一直线上,并 与航线成角 α(0° <α<90° ) ,轮船沿航线前进 b 米到达 C 处,此时观测到灯塔 A 0° 在北偏西 45° 方向, 灯塔 B 在北偏东 β (0° <β<90° ) 方向, <α+β<90° , 求 CB; (结果用 α,β,b 表示) 【考点】解三角形的实际应用. 【分析】由题意,∠B=90° ﹣(α+β) ,△PBC 中,运用正弦定理可得结论. 【解答】解:由题意,∠B=90° ﹣(α+β) , △PBC 中,PC=b,由正弦定理可得 .

20. 过双曲线

B 两点, 的右支上的一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A、

其中 P 是 AB 的中点; (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当 P 坐标为(x0,2)时,求直线 l 的方程; (3)求证:|OA|?|OB|是一个定值. 【考点】直线与双曲线的位置关系;双曲线的简单性质.

【分析】 (1)求出双曲线的 a,b,由双曲线的渐近线方程为 y=± x,即可得到 所求; (2)令 y=2 代入双曲线的方程可得 P 的坐标,再由中点坐标公式,设 A(m, 2m) ,B(n,﹣2n) ,可得 A,B 的坐标,运用点斜式方程,即可得到所求直线 方程; (3)设 P(x0,y0) ,A(m,2m) ,B(n,﹣2n) ,代入双曲线的方程,运用中 点坐标公式,求得 m,n,运用两点的距离公式,即可得到定值. 【解答】解: (1)双曲线 的 a=1,b=2,

可得双曲线的渐近线方程为 y=± x, 即为 y=±2x; (2)令 y=2 可得 x02=1+ =2, 解得 x0= , (负的舍去) ,

设 A(m,2m) ,B(n,﹣2n) , 由 P 为 AB 的中点,可得 m+n=2 解得 m= 即有 A( +1,n= +1,2 ﹣1, +2) , =2 (x﹣ , ) , ,2m﹣2n=4,

可得 PA 的斜率为 k= 则直线 l 的方程为 y﹣2=2 即为 y=2 x﹣2;

(3)证明:设 P(x0,y0) ,即有 x02﹣ 设 A(m,2m) ,B(n,﹣2n) ,

=1,

由 P 为 AB 的中点,可得 m+n=2x0,2m﹣2n=2y0, 解得 m=x0+ y0,n=x0﹣ y0, 则|OA|?|OB|= =5|x02﹣ |m|? |n|=5|mn|=5|(x0+ y0) (x0﹣ y0)|

|=5 为定值.

21.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 列”; (1)若 a1=1,

(n∈N*) ,则称{an}是“紧密数

,a3=x,a4=4,求 x 的取值范围;

(2)若{an}为等差数列,首项 a1,公差 d,且 0<d≤a1,判断{an}是否为“紧密 数列”; (3)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求 q 的取值范围. 【考点】数列的应用. 【分析】 (1)由题意, 且 ,即可求出 x 的取值范围;

an=a1+ d, (2) 由题意, (n﹣1) 密数列”的定义即可证明结论;

=

=1+

, 根据“紧

(3)先设公比是 q 并判断出 q≠1,由等比数列的通项公式、前 n 项和公式化简 , ,根据“紧密数列”的定义列出不等式组,再求出公比 q 的取值范围.

【解答】解: (1)由题意, ∴x 的取值范围是[2,3]; (2)由题意,an=a1+(n﹣1)d,∴



,∴2≤x≤3,

=

=1+



随着 n 的增大而减小,所以当 n=1 时, ∴{an}是“紧密数列”; (3)由题意得,等比数列{an}的公比 q 当 q≠1 时,所以 an=a1qn﹣1,Sn= ,

取得最大值,∴

≤2,

=



因为数列 {an} 与{Sn} 都是“ 紧密数列 ”,所以 , 当 q=1 时,an=a1,Sn=na1,则 ∴q 的取值范围是 . =1,



≤ 2,解得

=1+ ∈(1, ],符合题意,

2017 年 4 月 3 日


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