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高中数学排列组合与概率统计习题



高中数学必修 排列 组合和概率练习题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1) 已知集合 A={1,3,5,7,9,11}, B={1,7,17}.试以集合 A 和 B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐 标系中所确定的不同点的个数是 C (A) 32 解 (B) 33 (C) 34 (D) 36 分别以 ? , 5, 9,? 和 ? ,11 的元素为 x 和 y 坐标, 不同点的个数为 P1 ? 31 1 3, 7,11 1 7,? 6 P 分别以 ? , 5, 9,? 和 ? ,11 的元素为 y 和 x 坐标, 不同点的个数为 P1 ? 31 1 3, 7,11 1 7,? 6 P 不同点的个数总数是 P1 ? 31 ? P1 ? 31 ? 36 ,其中重复的数据有 (1, 7), (7,1) ,所以只有 34 个 6 P 6 P (2) 从 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真数,则可以得到不同的对 数值的个数为 (A) 64 (B) 56 (C) 53 (D) 51

解 ①从 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为 2P92 ; ②1 不能为底数,以 1 为底数的“对数式”个数有 8 个,而应减去; ③1 为真数时,对数为 0,以 1 为真数的“对数式”个数有 8 个 ,应减去 7 个; ④

log 2 4 ? log 3 9 ? 2 log 4 2 ? log 9 3 ? 1 , 2 ,应减去 4 个 log 2 3 ? log 4 9 log 2 3 ? log 4 9

2 所示求不同的对数值的个数为 2C9 ? 8 ? 7 ? 4 ? 53(个)

(3) 四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在一起,则不同 的排法数有 (A)3600 解 (B)3200 (C)3080 (D)2880

①三名女生中有两名站在一起的站法种数是 P32 ; ②将站在一起的二名女生看作 1 人与其他 5 人排列的排列种数是 P66 ,其中的三名女生排在一起的
5 站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作 1 人与 4 名男生作全排列,排列数为 P5 ,站在
1 5 一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列,故三名女生排在一起的种数是 P2 P5 。

符合题设的排列数为:

P2 P6 ? P1P5) 6 ? 6 ? 5? 4 ? 3? 2 ? 2 ? 5 ? 4 ? 3? 2) 24 ? 5 ? 4 ? 3? 2 ? 2880 种) (6 ( ? ( 3 2 5 ?
7 4 3 3 4 2 2 我的做法用插空法,先将 4 个男生全排再用插空 A7 ? A4 C5 A3 ? A4 C5 A2 ? 2880

(4) 由 ( 3x ? 3 2)100 展开所得 x 多项式中,系数为有理项的共有 (A)50 项 解
3 100 0 100 100

(B)17 项
1 100 100?1 3 1
100?r r ? 2 3

(C)16 项

(D)15 项
100?r 3

( 3x ? 2) =C ( 3x) +C ( 3x)
可见通项式为: C100 ( 3x)
r 100?r

( 2) +?+C ( 3x)
r x100?r ? C100 6

r 100

( 2)r +?+C100 ( 3 2)100 100
r x100?r ? C100 6 300 ?r 6

r ( 3 2)r ? C100 6

(100?r) 2 r 3 ? 6 6

x100?r

6 12 18 ? 96 且当 r=0,, , , , 时,相应项的系数为有理数,这些项共有 17 个, 故系数为有理项的共有 17 个.

(5) 设有甲、 乙两把不相同的锁,甲锁配有 2 把钥匙,乙锁配有 2 把钥匙,这 4 把钥匙与不能开这两 把锁的 2 把钥匙混在一起,从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是 (A) 4/15 解 (B) 2/5 (C) 1/3 (D) 2/3

从 6 把钥匙中任取 2 把的组合数为 P62 ,若从中任取的 2 把钥匙能打开 2 把锁,则取出的必是甲锁
1

的 2 把钥匙之一和乙锁的 2 把钥匙之一。假设分二次取钥匙,第一次取到甲锁的钥匙,第二次取到 乙锁的钥匙,取法的种数为 P1 ? 21 ;当然,第一次取到乙锁的钥匙,第二次取到甲锁的钥匙,取法 2 P 的种数也为 P1 ? 21 。这二种取法都能打开 2 把锁。故从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是: 2 P

2P21 ?P21 4 ? 15 P62
(6) 在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是 解 (A) 5/6 (B) 4/5 ①所有两位数的个数为 90 个; (C) 2/3 (D) 1/2

②能被 2 或 3 整除的二位数的个数 60个 :能被 2 整除的二位数的个数是有 90 ?

5 =45 个) ( ,能被 3 10

6, , 1,1, 2, 2, 4, 4, 5, 7, 整除的二位数的个数为有 24 个(从 3, 9 中选 2 的排列 P32个 , 1 2、5、8、 4、 7、 5、 8、 7、 8 18 24 42 54 72 48 84 78 九组中各选 2 的排列有 9P2个 ),能被 3 整除的二位数中有 9 个(12、 、 、 、 、 、 、 、 ) 2
也能被 3 整除,故能被 2 或 3 整除的二位数的个数是 45 ? 9 ? P2 ? 9P2 ? 60个 ; 3 2 所有的两位数中,能被 2 或 3 整除二位数所占比例是 数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是

60 2 = .因此, 在所有的两位数中,任取一个 90 3

2 3
(C) 7/8 (D 5/8

(7) 先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 (A)1/8 (B)3/8

11 1 3? 3 解 恰好出现一次正面的概率为 P( ) ( )1 ? )1 = 1 =C1 ( 3 2 2 8 1 3? 3 2 1 2 恰好出现二次正面的概率为 P( ) ( )1 ? ) 2 = 1 =C3 ( 2 2 8 1 3 1 3?3 1 恰好出现三次正面的概率为 P( ) ( )1 ? ) = 1 =C3 ( 3 2 2 8 3 3 1 7 至少出现一次正面的概率是 P= + + = 8 8 8 8
(8) 在四次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是

( 0.6 [ 1) (B) 0, ] (C) 0, ) ( 0.4 (A) 0.4, 解 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 x ,由题设得

1) (D [0.6,
y

C x)1 ? x) ? C(x) 1 ? x) ( ( (
1 4 1 2 4 2

4 ?1

4?2

4 x ? 4 x 2 ? 6 x3 5x2 ? 2 x ? 0 2 对于 5x ? 2x=0 ,有 x1 ? 0, x2 ? 0.4
对于 5 x ? 2 x ? 0 ,有 x1 ? 0,x2 ? 0.4
2

x
2 2

[ 1] 根据概率的性质, x 的取值范围为 0.4,
(9) 若 (2x ? 3)100 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 100 x100 ,则(a0+a2+a4+?+a100) -(a1+a3+?+a99) 的值为 (A)1 解 (10) 从集合 A x 1 ? x ? 7,x ? N (A) 19/68 (B)-1 (C) 0 (D)2

?

+

? 中任取 3 个数,这 3 个数的和恰好能被 3 整除的概率是
(C) 4/13
2

(B) 13/35

(D) 9/34

解 从集合 A x 1 ? x ? 7,x ? N

?

+

? 中任取 3 个数的取法种数为 P ;
3 7

1 取到的数含 3 或 6 时,其余二数为 12、15、24、27、45、57,能被 3 整除的数的个数为 6P2 ? 3 ; 2P1
3 取到的数不含 3 或 6 和能被 3 整除的三个数是 1、4、7,取法种数有 P3 种;

因此,所求概率为:

6P21 ?2P31 ? P33 12 ? 2 ? 3 ? 6 13 ? 6 13 ? ? ? 3 7? 6?5 7 ? 6 ? 5 35 P7
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(11) 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元

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70 元的单片软件和盒装磁盘, 根

据需要至少买 3 片软件,至少买 2 盒磁盘,则不同的选购方式共有 (A)5 种 解 (B)6 种 (C)7 种 D)8 种

设选购 x 片软件, y 盒磁盘,则:

?500 - 60 x ? 2( x ? 3) ? 70 ?6 ? x ? 3 ,解得: ? , ?500 - 70 y ?2 ? y ? 4 ? ? 3( y ? 2) ? 60 软件和磁盘数量的选购方式分别为 (3,2)、(3, 3)(3, 4)(4, 2)(4, 3)(5, 2)(6, ,共 7 种。 2)
(12) 已知 xy ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,而 ( x ? y)9 按 x 的降幂排列的展开式中,T2≤T3,则 x 的取值范围是 1 4 4 (A) (??, ) (B) [ , ??) (C) (1 , ??) (D) (?? , ? ] 5 5 5 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13) 已知 A、B 是互相独立事件,C 与 A、B 分别是互斥事件,已知 P(A)=0.2 , P(B)=0.6 , P(C)=0.14 , 则 A、B、C 至少有一个发生的概率 P(A+B+C) ____________ 解 A、B 同时发生的概率 P(A?B)=P(A) ? P(B)=0.2 ? 0.6=0.12 A 发生而 B 没有发生的概率 P(A? B)=P(A) ? P(B)=0.2 ? 0.4=0.08 A 没有发生而 B 发生的概率 P(A? B)=P(A) ? P(B)=0.8 ? 0.6=0.48 C 发生的概率 P(C)=0.14
A、 B C 、 至少有一个发生的概率
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P(A+B+C) =P(A? B)+P(A? B)+P(A? B)+P(C)=0.12+0.08+0.48+0.14=0.82
(14) (| x | ?
1 ? 2) 3 展开式中的常数项是 ?20 |x|
3
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1 ? ? 解 ?| x | ? ? 2? | x| ? ?
3 3

1 ? ? 1 3 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? = | x | +? ? +? ?2? +3x 2 ? ? 2 ? +3? ? ? x ? 2? +12? x ? ? +6 ?| x | ?| x | ? ??2?? | x |? ? ?| x |? ?| x | ? ?| x |? ? ? 3 6 12 ? 1 ? =x 3 +? ? ? 8+3 x ? 6x 2 + ? 2 +12 x + ? 12 x x x ?| x |? 15 6 ? 1 ? =x +? ? +15 x ? 6x 2 + ? 2 ? 20 | x |? x x ? 1 1 1 2 1 3 1 10 0 (15) 求值: C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? ? ? C10 = ____________ 2 3 4 11
3 3 3

2

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3

0 1 2 3 解 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? ? ?

1 1 1 1 10 C 2 3 4 11 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 =C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 10 =C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 10 2 3 4 5 5 4 3 2 11 1 1 = C10 = 11 10 11
m Cn ?

m ? 1 m ?1 Cn n?m 5 6 重要: 5C10 ? 6C10 1 1 m m Cn ? Cn ?1 m ?1 n?m
(16) 5 人担任 5 种不同的工作,现需调整,调整后至少有 2 人与原来工作不同,则共有多少种不同的调 整方法?________________
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解法一 设该 5 人分别为 ABCDE ,调整前的工作分别是 abcde ,当他们的排列为 BACDE 时, 工作也 分别是 abcde ,即有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况, 他 们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去 1 即为不同的调整方法.故不同的调整 方法种数为:

P55 ? 1=119(种)
解法二 设该 5 人分别为 ABCDE ,调整前的工作分别是 abcde 。
2 ①求恰有 2 人调整工作的种数: C5 =10(种)

②求恰有 3 人调整工作的种数: 从 5 人中选 3 人的组合数为 C3 =10 ,这 10 组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下: 5

ABC:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,有2种调整方式 ? ABD:ABD,ADB,BAD,BDA,DAB,DBA,有2种调整方式 ? ? ABE:ABE,AEB,BAE,BEA,EAB,EBA,有2种调整方式 ? BCD:BCD,BDC,CBD,CDB,DBC,DCB,有2种调整方式 ? ? BCE:BCE,BEC,CEB,CBE,EBC,ECB,有2种调整方式 ? ? CDE:CDE,CED,DCE,DEC,ECD,EDC,有2种调整方式 ? CDA:CDA,CAD,ACD,ADC,DCA,DAC,有2种调整方式? DEA:DEA,DAE,EDA,EAD,ADE,AED,有2种调整方式 ? ? DEB:DEB,DBE,EDB,EBD,BDE,BED,有2种调整方式 ? DEC:DEC,DCE,CED,CDE,DCE,DEC,有2种调整方式 ? ?

1 1 ( 恰有 3 人调整工作的种数: 2 ? 10=20 种) P53 [ ( ? =20) ] 2! 3!
③求恰有 4 人调换工作的种数:
4 从 5 人中选 4 人的组合数为 C5 =5 ,这 10 组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

4

? ? ?ABCD:ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB? ? ? ?BCDA:BCDA,BCAD,BACD,BADC,BDCA,BDAC ? ? ?ABCD ? ? ?有9种调整方式? ? ? ?CDAB:CDAB,CDBA,CADB,CABD,CBDA,CBAD ? ? ? DABC:DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA ? ? ? ? ? ? ?BCDE:BCDE,BCED,BDEC,BDCE,BECD,BEDC ? ? ? ?CDEB:CDEB,CDBE,CBDE,CBED,CEDB,CEBD ? ? ? ? ? ?BCDE ? ?有9种调整方式 ? ? ? ?DEBC:DEBC,DECB,DBCE,DBEC,DCBE,DCEB ? ? ? ?EBCD:EBCD,EBDC,ECBD,ECDB,EDBC,EDCB ? ? ? ? ? ?CDEA:CDEA,CDAE,CADE,CAED,CEAD,CEDA? ? ? ?DEAC:DEAC,DECA,DACE,DAEC,DCAE,DCEA ? ? ? ? ? ? ? ?CDEA ? ?有9种调整方式 ? ? ?EACD:EACD,EADC,ECAD,ECDA,EDAC,EDCA ? ? ? ?ACDE:ACDE,ACED,ADCE,ADEC,AECD,AEDC ? ? ? ? ? ? ?DEAB:DEAB,DEBA,DABE,DAEB,DBAE,DBEA? ? ? ?EABD:EABD,EADB,EBAD,EBDA,EDAB,EDBA ? ? ? ? ? ?DEAB ?ABDE:ABDE,ABED,ADBE,ADEB,AEBD,AEDB ?有9种调整方式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?BDEA:BDEA,BDAE,BADE,BAED,BEAD,BEDA ? ? ? ?EABC:EABC,EACB,EBAC,EBCA,ECAB,ECBA? ? ? ? ? ?EABC ?ABCE:ABCE,ABEC,ACBE,ACEB,AEBC,AECB ?有9种调整方式 ? ? ? ? ? ?BCEA:BCEA,BCAE,BAEC,BACE,BEAC,BECA ? ? ? ?CEAB:CEAB,CEBA,CABE,CAEB,CBAE,CBEA ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ( 恰有 4 人调换工作的种数: 9 ? 5=45 种) P( ? + =45) [ 54 ] 2! 3! 4!
④求恰有 5 人调换工作的种数:

B 换任 A 的工作的排列: ?BCDEA:BCDEA,BCDAE,BCADE,BCAED,BCEAD,BCEDA ? ?BDEAC:BDEAC,BDECA,BDACE,BDAEC,BDCAE,BDCEA ? ? ? B ????? ? 11 种调整方式 ?BEACD:BEACD,BEADC,BECAD,BECDA,BEDAC,BEDCA? ? ? ?BACDE:BACDE,BACED,BADCE,BADEC,BAECD,BAEDC?
C 换任 A 的工作的排列:

?CDEAB:CDEAB,CDEBA,CDABE,CDAEB,CDBAE,CDBEA ? ?CEABD:CEABD,CEADB,CEBAD,CEBDA,CEDAB,CEDBA ? ? ? C ????? ? 11 种调整方式 CABDE:CABDE,CABED,CADBE,CADEB,CAEBD,CAEDB ? ? ?CBDEA:CBDEA,CBDAE,CBADE,CBAED,CBEAD,CBEDA? ? ?

D 换任 A 的工作的排列: ?DEABC:DEABC,DEACB,DEBAC,DEBCA,DECAB,DECBA ? ?DABCE:DABCE,DABEC,DACBE,DACEB,DAEBC,DAECB? ? ? D ????? ? 11 种调整方式 ?DBCEA:DBCEA,DBCAE,DBAEC,DBACE,DBEAC,DBECA ? ? ? ?DCEAB:DCEAB,DCEBA,DCABE,DCAEB,DCBAE,DCBEA ? E 换任 A 的工作的排列: ?EABCD:EABCD,EABDC,EACBD,EACDB,EADBC,EADCB ? ?EBCDA:EBCDA,EBCAD,EBACD,EBADC,EBDCA,EBDAC? ? ? E ????? ? 11 种调整方式 ECDAB:ECDAB,ECDBA,ECADB,ECABD,ECBDA,ECBAD ? ? ?EDABC:EDABC,EDACB,EDBAC,EDBCA,EDCAB,EDCBA ? ? ?
恰有 5 人调换工作的种数共有 11 ? 4=44(种) 5!( [

1 1 1 1 ? ? ? ) ? 44 ] 2! 3! 4! 5!

故后至少有 2 人与原来工作不同工作的调整方法的种数是:10+20+45+44=119(种) 三、解答题
5

(17)在二项式 ( 3 x ?

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(Ⅰ)求展开式的第四项; (Ⅱ)求展开式的常数项; (Ⅲ)求展开式中各项的系数和 解 二项式 ( 3 x ?
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1 2 x
3

) n 展开式的通项为
n?r 3

r n?2r ?? 1 1 r (? )r ( x) 3 ? (? )r Cn x 3 , r ? 0,1,2,3,?, n 2 2 1 1 1 1 0 2 由已知得: (? )0 Cn , ( )Cn , ( )2 Cn 成等差数列 2 2 2 ?n1 ? 8 n(n ? 1) ? 1 1 1 ∴ 2 ? Cn ? 1 ? Cn2 , n ? 1 ? , n2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 ? 2 4 8 1 ?n2 ?(舍去) ? r r Tr ?1 ? Cn an?r br ? Cn ( x) 2 1 8? 7 ? 6 2 =? ? x 3 = ? 7x 3 8 3? 2 n ? 2r 8 ? 2r 1 r r n?32r (Ⅱ)由 Tr ?1 ? (? ) Cn x 知:当 ? ? 0 ,即 r ? 4 时, T5 为常数项 3 3 2 1 1 8 ? 7 ? 6 ? 5 35 T5 ? (? )4 C84 = ? = 2 16 4! 8 x ? 1 ,则展开式的各项(也即各项系数)为: (Ⅲ)令 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 6 7 8 (? )0 C8 , )1 C8, )2 C8 , )3 C8, ) 8 , ) 8, )6 C8 , )7 C8 , )8 C8 (? (? (? ( ? 4 C 4 ( ? 5C 5 ( ? (? (? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 (Ⅰ) T4 ? (? )3 C8 x

1 2

8?2?3 3

各项系数和为: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 (? )0 C80 +( ? )1C8 +( ? ) 2C82 +( ? )3C83 +( ? ) 4C84 +( ? )5C85 +( ? ) 6C86 +( ? ) 7 C87 +( ? )8C8 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 =C80 ? C8 + C82 ? C83 + C84 ? C83 + C82 ? C + C 2 4 8 16 32 64 128 8 256 8 35 7 7 1 1 1 =1 ? 4+7 ? 7+ ? + ? + = 8 4 16 16 256 256
(18) 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个球放入 5 个盒子内 (Ⅰ)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (Ⅱ)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (Ⅲ)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法? 解 (Ⅰ)从 5 个盒子中任选 4 个来放球(其中的任 1 个盒放 2 个球) ,有 P54 种选法;从 5 个球中任选 2
2 2 个球(不分先后)的选法有 C5 ,故盒子的 P54 种选法中的每一种都有 C5 种放球的方法。因此投 放方法种数为: 5? 4 2 C5 P4 ? ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1200 种) ( 5 2

(Ⅱ)5 个球的全排列中减去球号与盒号相同的一种排列即为所求:

P55 ? 1=119 (种)
2 3 4 5 2345 (Ⅲ) 1,,,,五个球分别放在 1,,,,五个盒子中,则球的球的编号与盒子编号全部相同;

1,,,,五个球分别放在 2, 3 4 5 五个盒子中,则有 2 个球的编号与盒子编号不相同。所以 2345 1,,,
球号与盒号相同度情况分类如下: ①没有相同的(也即 5 个全部不同) P5 ( , 5

1 1 1 1 ; ? ? ? ) ? 44 种[参考第(16)题分析] 2! 3! 4! 5!

6

1 1 1 ? ? ) ? 45 种; 2! 3! 4! 1 ③有 2 个相同(也即有 3 个不同) ,有 P2 ? ? 10 种 ; 5 2 ! 1 3 1 ④有 3 个相同(也即有 2 个不同) ,有 P ( ? ) ? 20 种; 5 2! 3! 1 ⑤有 5 个相同(也即没有不相同的) ,有 P0 ? ? 1 种; 5 0!
②有 1 个相同(也即有 4 个不同) ,有 P4 ( 5 本小题求的是③、④、⑤这三类的相同数这种之和,或者说是①~⑤各类的总数减去①~② 二类之和。因此,如每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投 放方法的种数是:

10 ? 20 ? 1=31 种) (
(19)掷三颗骰子,试求:



P5 ? 44 ? 45 ? 31 种) ( 5

(Ⅰ)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率; (Ⅱ)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率。 解
23 设 Ai 表示第 i 颗骰子出现 1 点或 6 点, i=1 ,,,则 Ai 互相独立, P( Ai ) ? , Ai 与 Ai 之间也互相

1 3

独立。 (Ⅰ) P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? [1 ? P( A1 )][(1 ? P( A2 )][(1 ? P( A3 )] ? (Ⅱ)掷一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率为 P ?

2 2 2 8 ? ? ? 3 3 3 27

1 ,将掷三颗骰子看作掷一颗骰子三次,根据公式⑸ 3

k Pn (k ) ? Cn P1 (1 ? P)n?k ,可知恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率是: 1 1 4 1 P (1) ? C3 P1 (1 ? P)3?1 ? 3 ? ? (1 ? )2 ? 3 3 3 9 也可以这样解:

设 Ai 表示“第 i 颗骰子出现 1 点或 6 点” 表示“恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点” ,D ,则

D=A1 A2 A3 +A1A2 A3 +A1 A2A3 ,因 A1 A2 A3 , A1A2 A3 , A1 A2 A3 互斥,故
P( D) ? P(A1 A 2 A 3 +A1A 2 A 3 +A1 A 2 A 3 ) =P (A1 A 2 A 3 ) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 )+P(A1 )P(A 2 )P(A 3 )+P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) 1 2 =3 ? ? ( ) 2 3 3 4 = 9

(20)已知 A ? x 1 ? log 2 x ? 3,x ? N | A ? x x ? 6 ? 3,x ? N

?

?

?

?

(Ⅰ)从集 A 及 B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标,共可得到多少个不同的点? (Ⅱ)从 A ? B 中取出三个不同元素组成三位数,从左到右的数字要逐渐增大,这样的三位数共有 多少个? (Ⅲ) 从集 A 中取一个元素, B 中取三个元素, 从 可以组成多少个无重复数字且比 4000 大的自然数. 解

A= ?3,4,5,6,7? ,

B= ?4,5,6,7,8? ,

A ? B=?3, 5,7, , A ? B=?4,6, , 4,6,8? 5,7?

(Ⅰ)从集 A 及 B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标组成不同的点,就是从集合 A ? B 中任 选 2 个元素排列分别作点的坐标组成点与从集合 A ? B 中任选 1 个元素既作 x 坐标又作 y 坐 标组成点,所求不同的点的点数为:
7

P62 ? 4=34 个) (
(Ⅱ)三个不同元素组成三位数有 6 个, 其中从左到右的数字要逐渐增大的三位数只有 1 个,故所求 三位数的个数是:

346 347 348 356 357 358 367 368 378 P63 ? 345, , , , , , , , , ? 3 ? C6 ? 20 个)? ( 6 457 458 467 468 478 567 568 578 678 ? ? 456, , , , , , , , , ?
(Ⅲ) A 中取 3,而 3 不能排头,只能排在第二、 ① 三、 四位, 即有 3 种 P1) ( 3 站位;B 中 5 选 3,有 P53 种选法.故 A 中取元素 3, B 中取三个元素的取法有 P1 ?P3 种; 3 5 ② A 中分别取 4,5,5,6,7,则 B 中不能取 4,5,5,6,7, A 中可取的元素与 B 中可取的

5, 7, 5, 7, 元素总是 4, 6, 8 。从 4, 6, 8 中任取 4 个元素的排列是 P54
所求四倍位数的个数是:

P1 ?P3 ? P4 ? 180 种) ( 3 5 5
(21) 一个布袋里有 3 个红球,2 个白球,抽取 3 次,每次任意抽取 2 个,并待放回后再抽下一次,求: (Ⅰ)每次取出的 2 个球都是 1 个白球和 1 个红球的概率; (Ⅱ)有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球,还有 1 次取出的 2 个球同色的概率; (Ⅲ)有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球,还有 1 次取出的 2 个球是红球的概率 解(Ⅰ)∵ P( A) ?
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CC ? 0.6 C52

1 3

1 2

3 ∴ P (3) ? C3 ? 0.63 ? (1 ? 0.6)0 ? 0.216 3

(Ⅱ)∵ B ? C ? A ∴ 可以使用 n 次独立重复试验 ∴ 所求概率为 P3 (2) ? C3 2 ? 0.6 2 ? (1 ? 0.6) 3?2 ? 0.432 ??8 分 (Ⅲ)本题事件可以表示为 A·A·C+A·C·A+C·A·A ∴ P(A·A·C+A·C·A+C·A·A)=C3 P(A)P(A)P(C)=0.324 ??14 分 [网上参考解答] 一、选择题 (1)D (10)B 二、填空题 (13)0.82 三、解答题
r (17) 展开式的通项为 Tr ?1 ? (? )r Cn x n?2r 1 3 ,r=0,1,2,?,n 2 1 1 1 1 0 2 由已知: (? )0 Cn , ( )Cn , ( )2 Cn 成等差数列 2 2 2 1 1 1 ∴ 2 ? Cn ? 1 ? Cn2 2 4
1

(2)C

(3)D

(4)B

(5)A

(6)C

(7)C

(8)A

(9)A

(11)C (12)C

(14)-20

(15)1/11

(16)119

∴ n=8 (Ⅰ) T4 ? (Ⅱ) T5 ?
2 ?7x 3

??2 分 ??4 分 ??8 分

35 8
8

(Ⅲ)令 x=1,各项系数和为 (18) (Ⅰ)C5 A5 =1200(种) (Ⅱ)A5 -1=119(种)
5 2 4

1 256

??12 分 ??4 分 ??8 分

(Ⅲ)不满足的情形:第一类,恰有一球相同的放法: C5 ×9=45 第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法: 1 1 1 1 5!( ? ? ? ) ? 44 2! 3! 4! 5! ∴ 满足条件的放法数为: A5 -45-44=31(种)
5 1

??12 分

(19) 设 Ai 表示第 i 颗骰子出现 1 点或 6 点, i=1,2,3,则 Ai 互相独立,Ai 与 A i 之间也互相独立, 1 P(A1 ) ? P(A 2 ) ? P(A 3 ) ? 3 (1) P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) ? (1 ? P(A1 ))(1 ? P(A 2 ))(1 ? P(A 3 )) 2 2 2 8 ??6 分 ? ? ? ? 3 3 3 27 (2)设 D 表示“恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率” 则 D ? A1A 2 A 3 ? A1 A 2 A 3 ? A1A 2 A 3 因 A1A 2 A 3 , A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3 互斥 ∴ P(D) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) ??8 分

?

4 9
??2 分 ??4 分 ??8 分
1 3

??12 分

(20) A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8} (Ⅰ)A +4=34(个) (Ⅱ)C =20(个) (Ⅲ)A 中取 3 有 C3 A5 种 A 中不取 3,有 A5 种 ∴ 共有 C3 A5 +A5 =300(种)
1 3 4 4 3 6 2 6

??12 分

(21) 记事件 A 为 “一次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球” 事件 B 为 , “一次取出的 2 个球都是白球” , 事件 C 为“一次取出的 2 个球都是红球” ,A (Ⅰ)∵ P(A) ?
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B

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C 互相独立

C 31C 21 C5 2
3

? 0.6
3 0

∴ P (3) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? 0.26 3 (Ⅱ)∵ B ? C ? A ∴ 可以使用 n 次独立重复试验 ∴ 所求概率为 P (2) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) 3
2 2
1

??4 分

3?2

? 0.432

??8 分

(Ⅲ)本题事件可以表示为 A·A·C+A·C·A+C·A·A ∴ P(A·A·C+A·C·A+C·A·A)=C3 P(A)P(A)P(C)=0.324 ??14 分

9

一、选择题: 1、将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( (A)81 (B)64
1 4 种;

) (D)14

(C)12

解 ①三个球全放在一个盒子中,放法有 P

2 ②二个球放在一个盒子中,另一球放在一个盒中,放法有 C3 P42 种; 3 ③每个球单独放在一个盒子中,放法有 P4 种。 2 所求放法有 P1 ? C3 P2 ? P3 ? 64 种) ( 4 4 4

2、 n ? N 且 n ? 55 ,则乘积 (5- n)(56 - n)??(69 - n) 等于( ) (A) P55?nn 69 ? (B) P15?n 69 (B) P15?n 55 (B)60 (C)24 (D) P14?n 69 (D)256 3、用 1,2,3,4 这四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数( ) (A)64 ( P1 ? P2 ? P3 ? P4 ) 4 4 4 4 (A)2160 (B)120

4、3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( ) (C)240 (D)720( P3 ) 10

5、要排一张有 5 个独唱和 3 个合唱的节目表,如果合唱节目不能排在第一个,并且合唱节目不能相邻, 则不同排法的种数是( ) (A) P3 ?P5 3 8 解 (B) P5 ?P3 5 4 (C) P5 ?P3 5 5 (D) P5 ?P3 5 6

5 个独唱节目有的排列有 P55 种; 3 个合唱节目可在 5 个位置中任选 3 个位置排列( ?1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ) ,排列数有 P53 种。 所求不同排法的种数是 P5 ?P3 种 5 5

6、5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( ) (A) P 3 解
3

(B) 4P 3

3

(C) P ? P P 5 3 3
5 2

3

(D) P P ? P P P 2 3 2 3 3
2 3 1 1

3

①5 个人的总排列有 P55 种; ②甲乙都不排在两端时(如 ??甲乙 ? ) ,另三人的排法有 P33 种,中间的三个位置甲或乙都可站,排 法是 P3 种,甲乙都不排在两端的排法是 P P 种; 3 3 所求不同排法的种数是 P5 ? P2 P3 种 5 3 3
2 3 2

7、用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000 的偶数有( ) (A)24 解 (B)36 (C)46
5

(D)60

数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数的总个数为 P ,其中偶数有 5 5 排在首位时的数大于 50000,有 P4 个,其中偶数有 小于 50000 的偶数有
4

2 5 P 个; 5 5

1 4 P 个应减去; 2 4

2 5 1 4 P ? P ? 36(个) 5 5 2 4

8、某班委会五人分工,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中 A 不能担任正班长,

B 不能担任学习委员,则不同的分工方案的种数是( )
(A) P ? P P P 4 3 3 3
4 1 1 3

(B) P P ? P P ? P 3 3 3 3 3
2 3 1 3

3

(C) P ? 2 P 5 4
5 4

4

(D) P ? P ? P3 5 4
5 4 4 3

3

解法一 ① B 为正班长时,其他委员可任意分工,有 P4 种; ② B 为副班长时, A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有 P ? P 种; 4 3
10

③ B 为劳动委员时, A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有 P4 ? P3 种; 4 3 ④ B 为体育委员时, A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有 P4 ? P3 种; 4 3 所求不同的分工方案的种数是 P4 ? 3( P4 ? P3 ) ? 4P4 ? 3P3 ? P4 ? P1P1P3 4 4 3 4 3 4 3 3 3 解法二 ①假设任意分工,则不同的分工方案有 P5 种。 5 ② A 为正班长、B 为任学习委员的分工方案各有 P44 ,应减去 2P4 ;但 2P4 中包含 A 为正班长 4 4 且 B 为任学习委员的分工方案,有 2P3 种;只能减去 P3 ;减去 2P3 后就应加上 P3 。 3 3 3 3 所求不同的分工方案的种数是 P5 ? 2P4 ? P3 ? 3P4 ? P3 ? P4 ? 2P4 ? P3 ? P4 ? P1P1P3 5 4 3 4 3 4 4 3 4 3 3 3 解法三 ① B 为正班长时,其他委员可任意分工,有 P44 种; ② B 非正班长时,B 有 P1 种选择,而 A 在 B 的分工确定后也有 P1 ,其他三个委员在剩下的三 3 3 种工作中选择,共有 P3 。故 B 非正班长时,分工方案有 P1 P1 P3 。 3 3 3 3 所求不同的分工方案的种数是 P4 ? P1P1P3 种. 4 3 3 3 二、填空题 9、 (1)

4 P 4 ? 2 P5 8 8 ? 0! ? P6 ? P95 8

4?



4 P 4 ? 2 P5 4P 4 ? 2? 4P 4 8 8 8 ?0 !? 8 4 ?1 ? 4 6 5 P ? P9 1 2 P ? 9 ? P4 8 8 8
8 .

(2)若 P3n =10P3 ,则 n ? 2 n 解 由 P3n =10P3 得: 2 n

2n ( 2 ? 1 ) (n2 n ?

? ) n 0? ( 2 1n

n1 , ?) (

2 )n? 2 ( n? 2

1 ) ( n ?1 ) n ? ( ? , 5

n)( 1?

2)

8

10、从 A、B、C、D 这四个不同元素中,取出三个不同元素的排列为____________.
3 解 从四个不同元素的排列中取出三个不同元素的排列的个数为 P4 =24 个) ( ,分别是:

?A B C ?A C B ? ?B A C ABC ?B C A ? ?C A B ?C B A ?

? BCD ? BDC ? ? CBD BCD ? CDB ? ? DBC ? DCB ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?

CDA CAD DAC CDA DCA ADC ACD

? ? ? ? ? ? ? ? ?

DAB DBA ABD DAB ADB BDA DAB

11、4 名男生,4 名女生排成一排,女生不排两端,则有_________种不同排法。 解 ①四女生排在一起,如 男女女女女男男男 ,有 P P P 种; 3 4 4 ②三女生排在一起,另一女生分开排,如 男女女女男女男男 ,有 P P P 种; 3 4 4 ③二女生排在一起,另二女生分开排,如 男女女男女男女男 ,有 P P P 种; 3 4 4 ④二女生排在一起且与另二排在一起的女生分开排,如 男女女男女女男男 ,有 P P P 种; 3 4 4 所求不同排法有:
2 2 4 3 2 4 2 3 4 1 4 4

P1P4 P4 ? P2 P3 P4 ? P3 P2 P4 ? P2 P2 P4 ? 2P1 ? 2P2 ? P3 ? P2)P42 P44 ? 8640 (种) 3 4 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 ( 3 3 3 3
12、有一角的人民币 3 张,5 角的人民币 1 张,1 元的人民币 4 张,用这些人民币可以组成_________种不 同币值。 解 ①单张纸币的不同币值种数: 一角、5 角、1 元,共 3 种; ②多张一角纸币组成的不同币值种数:2 角、3 角,共 2 种;
11

③多张一元纸币组成的不同币值种数:2 元、3 元,4 元,共 3 种; ④一角纸币与 5 角纸币组成的不同币值种数: 6 角、7 角,8 角,共 3 种; ⑤一元纸币与 1 角纸币组成的不同币值种数: 1.1 元、1.2 元、1.3 元 2.1 元、2.2 元、2.3 元 3.1 元、3.2 元、3.3 元 4.1 元、4.2 元、4.3 元 ⑥一元纸币与 5 角纸币组成的不同币值种数: 1.5 元、2.5 元、3.5 元、4.5 元,共 4 种; ⑦含有一元、五角、一角纸币的不同币值种数: 1.6 元、1.7 元、1.8 元 2.6 元、2.7 元、2.8 元 3.6 元、3.7 元、3.8 元 4.6 元、4.7 元、4.8 元 所求不同的币值种数为 3+2+3+3+12+4+12=39 种 三、解答题 13、用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,组成没有重复数字的五位数, (1)在下列情况,各有多少个? ①奇数;②能被 5 整除;③能被 15 整除;④比 35142 小;⑤比 50000 小且不是 5 的倍数. (2)若把这些五位数按从小到大排列,第 100 个数是什么? 解(1) 共 12 种; 共 12 种;

1 6 3 5 3 P ? P ? 3 ? )P5 ? 288 个) ( 6 5 ( 2 5 5 5 2 1 1 ② P6 ? P5 ? 2 ? )P5 ? 216 个) ( 6 5 ( 6 5 5 5
① ③ ④ ⑤

1 ××× × 1 0 ××× 1 2 ××× 1 3 ××× 1 4 ××× 1502× 15032 15034

12

14、7 个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头; (2)甲不排头,也不排尾; (3)甲、乙、丙三人必须在一起; (4)甲、乙之间有且只有两人; (5)甲、乙、丙三人两两不相邻; (6)甲在乙的左边(不一定相邻) ; (7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序; (8)甲不排头,乙不排当中。 解(1) P6 ? 720 6 (2) P7 ? 2P6 ? 3600 7 6 (3) P3 P5 ? 720 3 5

? ?? ??? (4)甲、乙之间有且只有两人的站位形式为,甲??乙 ???,甲??乙 ??, 甲??乙?, 甲??乙 ,
乙 ? ? ? ?,乙 甲 ? ? 甲 ? , 乙 ? ? ,? 乙 ?甲 。从其余甲乙外的五名学生中任选二人排 ? ?? 甲 ? ? ?? ??
在甲乙之间的选法有 P 2 种,剩下的三名学生的排法有 P3 。所求排法种数为: 5 3

8P2 P3 ? 960 种) ( 5 3
(5)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法形式有 ①甲?乙? 丙?? P3 P4种),甲?乙? 丙? P3 P4种), 甲?乙? 丙(P3 P4种), 3P3 P4 种; 共 3 4 (3 4 ? (3 4 ?? 3 4 ②甲??乙? 丙? P3 P4种),甲?乙??丙? P3 P4种), 2P3 P4 种; 共 3 4 (3 4 (3 4 ③ ?甲??乙? 丙(P3 P4种),甲?乙??丙(P3 P4种), 2P3 P4 种; 共 3 4 ? 3 4 3 4 ④甲??乙??丙(P3 P4种), 3 4 ⑤甲???乙? 丙(P3 P4种),甲?乙??? 丙(P3 P4种), 2P3 P4 种; 共 3 4 3 4 3 4 所求排法种数为: 10P3 P4 ? 1440 种) ( 3 4 (6) 从七人中任选七人的排列数为 P7 , 甲在乙左边与乙在甲左边的排列数是相等的, 所求排法种数:
7

1 7 P ? 2520 种) ( (注意:如果甲乙一定相邻,则甲在乙左边的排列数为 P66 ) 2 7
(7)甲、乙、丙三人从左到右,从高到矮排列,可看成一人参与排列,所求排列数为:

P74 ? 840 种) ( (注意:如甲、乙、丙三人三人从左到右,从高到矮排列在一起的排列数为 P55 种)
(8)7 人中选 7 的全排列为 P 7 ;甲排头的排列为 P 6 ,乙排尾的排列也为 P 6 ;甲排头和乙排尾中的 7 6 6 相同排列是 P5 。因此,所求排列数为: 5

P7 ? 2 P6 ? P5 ( 4 2 - 1 2)1 P5 ? (种) ? 3720 7 6 5 ? 5
15、从 2,3,4,7,9 这五个数字任取 3 个,组成没有重复数字的三位数。 (1)这样的三位数一共有多少个? (2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少? (3)所有这些三位数的和是多少? 解(1) P5 =60 个) (
3

(2)个位上的数字分别是 2,3,4,7,9 的数的个数分别是 上的数字之和是:

60 ? 12 个) ( ,所有这些三位数的个位 5

1 2? 2? 3? 4? 7? 9 ? 3 0 0 ( )
13

(3)百位、十位、个位上的数字之和都是 300,故所有这些三位数的和是:

3 0 0 1 0? ? ( 0

10 ? ?) 1

33300

答案:
一、选择题: 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 二、填空题 9.(1)5;(2)8 10.abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc 11.8640 12.39 三、解答题 13.(1)①3× ② ③ ④ ⑤ (2)略。 =288

14.(1) (2)5 (3) (4) (5)

=720 =3600 =720 =960 =1440
14

(6) (7) (8)

=2520 =840

15.(1)

(2) (3)300× (100+10+1)=33300

排列与组合练习
4 1、若 P3 ? 6Cn ,则 n 的值为( ) n

(A)6 解 由 P ? 6C 得:
3 n 4 n

(B)7

(C)8

(D)9

6 ( ? 1 )n ? 2n ? 3 ) n ( )( , 6(n ? 3) ? 4!, n ? 7 n( n? 1 ) ( ? 2 ? n ) 4!
2、某班有 30 名男生,20 名女生,现要从中选出 5 人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于 2 人的 选法为( ) (A) C30C20C46
4 4 (C) C5 ? C1 C20 ? C30C1 50 30 20 2 2 1

(B) C50 ? C30 ? C20
5 5 5 3 2 2 3 (D) C30C20 ? C30C20

3、空间有 10 个点,其中 5 点在共面,其余没有 4 点共面,则 10 个点可以确定不同平面的个数是( ) (A)206 (B)205 (C)111 (D)110

4、6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( ) (A) C6 C4 解
2 2

(B)

2 2 2 C6 C 4 C 2 P33

(C) 6P3

3

(D) 6C3

3

ab 从 6 本书 a, b, c, d , e, f ) ( 中选 2 本的组合是 C6 种: , ac, ad , ae, af , bc, bd , be, bf , cd , ce, cf , de, df , ef 。
2 当分给甲、乙、丙三人中的一人的书确定后(如 ab ) ,剩下四本书( c, d , e, f )选 2 本的组合是 C4

2

种: cd , ce, cf , de, df , ef ) ( ,可见分给三人中的另二人书的分法有 C4 种,故总分法是:
2 C6 C 2 种 4

2

5、由 5 个 1,2 个 2 排成含 7 项的数列,则构成不同的数列的个数是( ) (A)21 (B)25
15

(C)32

(D)42



1 ①2 个 2 排列在一起时的数列的个数 P6 ; 2 ②2 个 2 分开排列时的数列的个数 C6 ; 1 2 构成不同的数列的个数: P6 ? C6 =21 个) ( .

6、设 P1、P2…,P20 是方程 z20=1 的 20 个复根在复平面上所对应的点,以这些点为顶点的直角三角形的 个数为( ) (A)360 (B)180 (C)90 (D)45

k? k? k 7、若 C21 4 ? C21 2 ? C21?1 (k ? N ), ,则 k 的取值范围是( )

(A)[5,11]

(B)[4,11]

(C)[4,12]

(D)4,15]

8、口袋里有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,每次取出 4 个球,取出一个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,则使总分不小于 5 分的取球方法种数是( )
2 (A) C1 C3 +C2C6 +C3 C1 4 6 4 4 6 4 (B) 2C4 +C6 4 4 4 4 (C) C10 ? C6 (D) 3C3 C6 4 解 取球的顺序与计分是无关的,并且只当所取的三个球都是白球时, 总分才小于 5 分,故使总分不小

于 5 分的取球方法种数是: C10 ? C6
4

4

答案: 1、B
2 3

2、D
4 5

3、C
6 7

4、A
8

5、A

6、B

7、B

8、C

1、计算: (1) C5 ? C6 ? C7 ? C8 ? C9 ? C10 ? C11 ? _______
2 3 4 5 6 3 解 C5 ? C 6 ? C 7? C ? C ? C ?7C ? 8C ? C5 ? C3 6 ? C 3 7? C 3? C 3? C 8 9 10 11 8 9 3 10 3 11

5 ? 4 ? 3 ? 6 ? 5 ? 4 ? 7 ? 6 ? 5 ? 8 ? 7 ? 6 ? 9 ? 8 ? 7 ? 10 ? 9 ? 8 ? 11?10 ? 9 3 ! ? 10 ? 20 ? 35 ? 56 ? 84 ? 120 ? 165 ? 490 ?
(2) C20
17 ?n 3 ? C13n?n = _______

2、把 7 个相同的小球放到 10 个不同的盒子中,每个盒子中放球不超 1 个,则有_______种不同放法。 解 每个盒子中放球不超 1 个, 故每 7 个小球的每一种放法都必须用 7 个盒子; 7 个小球都是相同的, 因 故小球的放法与盒子的排列顺序无关,从 10 个不同的盒子中任选 7 个盒子组合放球是一种放法。
7 3 因此,所求小球不同放法的种数是 C10 =C10 =120(种) ?

3、在∠AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共 12 个点,以这 12 个点为顶点的三角 形有_______个。

4、以 1,2,3,…,9 这几个数中任取 4 个数,使它们的和为奇数,则共有_______种不同取法。 解
4 4 4 2 2 C9 ? C5 ? C4 ? C4 C5 ? 0 种 ) 6 (

5、已知

1 1 7 m ? m ? ,求 C8 m C5 C6 10C7m

16





1 1 7 得: ? m ? m C5 C6 10C7m

(6 - m) m ! 6m ! 7m! ? ? 6 ? 5 ? 4 ? ? ? (7 - m)(6 - m) 6 ? 5 ? ? ? (7 - m)(6 - m) 10 ? 7 ? 6 ? ? ? (8 - m) (7 - m)(6 - m) 6 ? 6 ? m) ( ? 10 2 m ? 23m ? 42 ? 0 (m ? 2)(m ? 21) ? 0 m1 ? 2,??m2 ? 21(由C5m知m ? 5,m2 ? 21不合题意,舍去)

C8m ? C82 ? 28
6、 (1)以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个? (2)以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个? (3)以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个?

7、集合 A 中有 7 个元素,集合 B 中有 10 个元素,集合 A∩B 中有 4 个元素,集合 C 满足 (1)C 有 3 个元素; (2) C ? A ? B ; (3) C ? B ? ? , C ? A ? ? . 求这样的集合 C 的个数。

8、在 1,2,3,……30 个数中,每次取两两不等的三个数,使它们的和为 3 的倍数, 共有多少种不同的取法?

答案: 1、490 2、31 3、165 4、60 5、解:

6、解: (1) (2)
17

(3)58+48=106 7、解:A∪B 中有元素 7+10-4=13

8、解:把这 30 个数按除以 3 后的余数分为三类: A={3,6,9,…,30} B={1,4,7,…,28} C={2,5,8,…,29} (个)

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