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高二上学期期末教学质量检测数学理科试题



高二上学期期末教学质量检测 数学理科试题
注意: 1、全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.编辑人:丁济亮 2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置;交卷时只交 答题卡. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1.命题“

?x ? R, 使得 | x |? 1 ”的否定是 ( A. ?x ? R, 都有 | x |? 1 C. ?x ? R, 都有 | x |? 1 A. y ? ?8 x ,
2



B. ?x ? R, 都有x ? ?1或x ? 1 D. ?x ? R, 都有 | x |? 1 ) B. y ? ?4 x
2

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线方程是(

C. y 2 ? 8 x

D. y 2 ? 4 x )

3.设随机变量 X~N(0,1) ,已知 P( X ? ?1.96) ? 0.025 ,则 P( X ? 1.96) ? ( A.0.025 C.0.950 4.不等式 x ? B.0.050 D.0.975

1 ? 0 成立的充分不必要条件是( ) x A. x ? 1 B. x ? ?1 C. x ? ?1 或 0 ? x ? 1 D. ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 5.某程序框图如右图所示,则程序运行后输出的 S 值为( A. ? 6 B. ? 10 C. ? 15 D. 10
6.从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试, 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为( A. C.
9 29 19 29





B. D.

10 29 20 29

7.从编号为 1~60 的 60 枚最新研制的某型号导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验,用系统 抽样方法抽取 5 枚导弹的编号可能是( A.1,3,4,7,9,5, C.5,17,29,41,53 ) B.10,15,25,35,45 D.3,13,23,33,43

8.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : x ? y ? 1 ,则圆 C 内任意一点到直线的距离小于 概率为( A. ) B.

2 的 2

1 4

3 4

C.

3? ? 1 4?

D.

? ?2 4?

9.“中国农谷杯”2012 全国航模锦标赛于 10 月 12 日在荆门开幕,文艺表演结束后,在 7 所 高水平的高校代表队中,选择 5 所高校进行航模表演.如果 M、N 为必选的高校,并且 在航模表演过程中必须按先 M 后 N 的次序(M、N 两高校的次序可以不相邻) ,则可选 择的不同航模表演顺序有( ) A.120 种 B.240 种 C.480 种 D.600 种 10.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左焦点 F1 作斜率为 1 的直线,该直线与双曲线 a2 b2


的两条渐近线的交点分别为 A、B,若 F1 A ? AB ,则双曲线的渐近线方程为( A. 3 x ? y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 B. x ? 3 y ? 0 D. 3 x ? 2 y ? 0

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.把二进制数 110 011 ( 2 ) 化为十进制数为 12.正二十边形的对角线的条数是 ▲ ▲ ; ;

13.NBA 某篮球运动员在一个赛季的 40 场 比赛中的得分的茎叶图如右图所示:则 中位数与众数分别为 ▲ 和 ▲



14. 已知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,A、 是抛物线上两点, ?AFB 是正三角形, ?AFB B 若 则 的边长为 ▲ 15.下列四个命题: ① 命题 P :
2 10
2



x?2 x?2 ? 0 ;则 ?P 命题是; 2 ? 0; x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3

② (1 ? kx ) ( k 为正整数)的展开式中, x 16 的系数小于90,则 k 的值为1; ③从总体中抽取的样本错误!未找到引用源。 .若记错误!未找到引用源。 ,则回归直线 错误!未找到引用源。必过点 错误!未找到引用源。 ; ④过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,若弦长|AB|=8,则这 4
(把你认为正确的序号都填上) .

样的直线恰好有 3 条; 其中正确的序号是 ▲

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本题满分 12 分) 已知命题 p:方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实根; q:不等式 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 的解集为 R; 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生, 将其成绩 (均为整数) 分成六组[40, , 50) [50, 60) ..[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: . (1)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全 这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为 及格) ; (3) 90 分以上 把 (包括 90 分) 视为成绩优秀, 那么从成绩是 60 分以上(包括 60 分)的 学生中选一人,求此人成绩优秀的概率.
0.015 0.01 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100 分数 0.025

频率 组距

18. (本小题满分 12 分) 有编号为 l,2,3,…, n 的 n 个学生,入坐编号为 1,2,3,…, n 的 n 个座位.每个 学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ? ,已知 ? ? 2 时,共有 6 种坐法. (1)求 n 的值; (2)求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图, B, 三个观察哨, 在 B 的正南, A, C A 两地相距 6km, C 在 B 的北偏东 60° ,两地相距 4km.在某一时刻,A 观察哨发 现某种信号,并知道该信号的传播速度为 1km/s;4 秒后 B,C 两 个观察哨同时发现这种信号.在以过 A,B 两点的直线为 y 轴, 以线段 AB 的垂直平分线为 x 轴的平面直角坐标系中, 试求出发 了这种信号的地点 P 的坐标.

C

B

A

20.(本小题满分 13 分) 已知 ( x ?

1 2 x
4

) n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列.

(1)求展开式里所有的 x 的有理项; (2)求展开式里系数最大的项.

21.(本小题满分 14 分)

x2 ,且椭 ? y 2 ? 1( a ? 0 )的两个焦点是 F1 (?c , 0) 和 F2 (c , 0) ( c ? 0 ) 2 a 圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? c 2 有公共点.
设椭圆 C : (1)求 a 的取值范围; (2)若椭圆上的点到焦点的最短距离为 3 ? 2 ,求椭圆的方程; (3)对(2)中的椭圆 C ,直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与 C 交于不同的两点 M 、 N , 若线段 MN 的垂直平分线恒过点 A(0 , ?1) ,求实数 m 的取值范围.

高二数学(理)参考答案及评分标准

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BCCAD DCDDA 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 51 12. 170 13. 23 , 23 14. 15.②③④ 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分. 16.解:因为方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实根, 所以 ?1 ? m ? 4 ? 0 ,
2

∴m>2 或 m < – 2

????3 分

又因为不等式 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 的解集为 R, 所以 ? 2 ? 16(m ? 2) ? 16 ? 0 ,
2

∴1< m <3

????6 分

因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 为一真一假, ????8 分

?m ? 2或m ? ?2 ? m ? ?2或m ? 3 ? ?m ? 1或m ? 3 (1)当 p 为真 q 为假时, ????10 分

?? 2 ? m ? 2 ?1? m ? 2 ? 1? m ? 3 (2)当 p 为假 q 为真时, ?
综上所述得:m 的取值范围是 m ? ?2或m ? 3 或 1 ? m ? 2 ????12 分 17.解: (1)因为各组的频率和等于 1, 故第四组的频率为 1-(0.025 + 0.01×52 + 0.01 + 0.005)×10 = 0.3 ???2 分 直方图如下图所示: ????4 分 (2)依题意,60 及以上的分数所在的 第三、四、五、六组,频率和为(0.015+ 0.03 + 0.025 + 0.005)×10 = 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% ?8 分 (3)[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]”的人数是 9,18,15,3.所以从成绩 是(60 分)以上(包括 60 分)的学生中选一人,该生是优秀生的概率是

p?

3 1 ? 45 15
2

????12 分

18.解: (1)当 ? ? 2 时,有 Cn 种坐法,
2 ? Cn ? 6 ,即

n(n ? 1) ? 6, 2

?????2 分

n 2 ? n ? 12 ? 0, n ? 4 或 n ? ?3 舍去.
(2)? ? 的可能取值是 0,2,3,4

?n ? 4

?????4 分

又? P (? ? 0) ?

C 2 ?1 6 1 1 1 ? , P(? ? 2) ? 4 4 ? ? 4 A4 24 A4 24 4
?????8 分

P(? ? 3) ?

3 C4 ? 2 8 1 9 3 ? ? , P(? ? 4) ? ? , 4 A4 24 3 24 8

?? 的概率分布列为

?
P

0

2

3

4

?????10 分

1 1 1 24 4 3 1 1 1 3 则 E? ? 0 ? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 3 . 24 4 3 8

1 8
?????12 分

19.解: 设点 P 的坐标为(x ,y),则 A(0 ,-3), B(0,3), C( 2 3,5 ). 因为|PB|=|PC|,所以点 P 在 BC 的中垂线上. 因为 k BC ?

3 ,BC 中点 D( 3, 4 ) , 3

?????2 分

所以直线 PD 方程为 y ? 4 ? ? 3( x ? 3) ①。

?????4 分

又因为|PB|-|PA|=4,所以点 P 必在以 A,B 为焦点的双曲线的下支上, 双曲线方程为

y 2 x2 ? ? 1, ( y ? 0) ② 4 5
32 (舍去),所以 x= 5 3 11

?????8 分

联立①②,解得 y= ?8 ,或 y=

?????11 分 ?????12 分

所以 P 点坐标为( 5 3, ?8 ) 20.解: (1)∵ C 0 ? 1 , C1 ? n n 由题设可知 2 ?
1 n 1 1 ? , C 2 ( ) 2 ? n (n ? 1) n 2 2 2 8

n 1 ? 1 ? n (n ? 1), n 2 ? 9n ? 8 ? 0 2 8
3 4? r x 4

?????2 分

解得 n=8 或 n=1(舍去) 当 n=8 时,通项 Tr ?1 ? 据题意, 4 ?
r C8 (

x)

8? r

? (2 x )

4

?r

?

r C8

?2

?r

?

?????4 分

3r 必为整数,从而可知 r 必为 4 的倍数,而 0≤r≤8 4

∴ r=0,4,8,故 x 的有理项为 T1 ? x 4 , T5 ?

35 1 ???6 分 x , T9 ? 8 256 x 2 t t (2)设第 r+1 项的系数 tr+1 最大,显然 tr+1>0,故有 r ?1 ≥1 且 r ? 2 ≤1 tr t r ?1

t t ?1 C r ? 2 ?r 9?r 9?r ? r ?8 ? r ?1 ? ∵ , 由 ≥1 得 r≤3 1 tr 2r 2r C8 ? 2

?????9 分

又∵

r t r ? 2 C 8?1 ? 2 ? ( r ?1) 8?r 8?r ? ? ,由 ≤1 得:r≥2 r ?r t r ?1 2(r ? 1) 2(r ? 1) C8 ? 2

?????11 分

5

7

∴ r=2 或 r=3 所求项为 T3 ? 7 x 2 和 T4 ? 7 x 4 21.解: (1)由已知, a ? 1 ,

?????13 分

? x2 2 1? ? ? y ?1 ? ∴ 方程组 ? a 2 有实数解,从而 ?1 ? 2 ? x 2 ? c 2 ? 1 ? 0 ,故 c 2 ? 1 ?2 分 ? a ? ?x 2 ? y 2 ? c 2 ?
所以 a 2 ? 2 ,即 a 的取值范围是 [ 2 , ??) . (2)设椭圆上的点 P ( x, y ) 到一个焦点 F2 (c,0) 的距离为 d , 则 d ? ( x ? c) ? y ? x ? 2cx ? c ? 1 ?
2 2 2 2 2

?????4 分

x2 c2 2 ? x ? 2cx ? c 2 ? 1 a2 a2
?????6 分

c2 ? 2 a


? a2 ?x ? ? c ?

? ? (? a ? x ? a ) . ? ?

2

a2 ? a ,∴ 当 x ? a 时, d min ? a ? c , c

于是, ?

?a ? 3 ?a ? c ? 3 ? 2 ? ? ,解得 ? 2 2 ?a ? c ? 1 ?c ? 2 ? ?
x2 ? y 2 ? 1. 3



∴ 所求椭圆方程为

?????8 分

(3)由 ?

? y ? kx ? m ?x ? 3 y ? 3
2 2

得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx ? 3(m 2 ? 1) ? 0 (*) ???10 分

∵ 直线与椭圆交于不同两点, ∴ △ ? 0 ,即 m 2 ? 3k 2 ? 1 .① 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 、 x 2 是方程(*)的两个实数解, ∴ x1 ? x 2 ? ?

m ? 6mk ? 3mk ,∴ 线段 MN 的中点为 Q? ? , 2 ?, 2 2 3k ? 1 ? 3k ? 1 3k ? 1 ?

又∵ 线段 MN 的垂直平分线恒过点 A(0,?1) ,∴ AQ ? MN , 即?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 (k ? 0 ) ② 3mk k

?????12 分

由①,②得 m 2 ? 2m , 0 ? m ? 2 ,又由②得 m ? ∴ 实数 m 的取值范围是 ? ,2 ? .

1 , 2
?????14 分

?1 ?2

? ?



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