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珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测(文数参考答案)



珠海市 2016 届第一学期期末高三学生学业质量监测 数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。CADDD

BBBCA BA
)C

1.已知全集 I ? ?0,1,2,3,4? ,集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3, 4? ,则 A ? ? CI B ? ? ( A、 ?1? B、 ?2,3? C、 ?0,1, 2? D、 ?0,2,3?

2.设 M 是 ?ABC 所在平面内一点, AC ? AB ? 2 AM 则( A. MC ? MB ? 0 C. AM ? BC ? 0

??? ? ??? ?

???? ? ?

)A

???? ? ????

?

B. MC ? AB ? 0 D. MA ? MB ? MC ? 0

???? ? ??? ?

???? ? ??? ?

?

???? ???? ???? ?

?

3.设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i

4 ? z =( )D z C. 3 ? 3i

D. 3 ? i

第 6 题图

4.已知 ? 是第二象限角, tan ? ? ? A.

1 8

B. ?

1 8

8 ,则 sin ? ? ( )D 15 8 8 C. ? D. 17 17
)D

5.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a 1 = ( A.

6.已知 f ( x) ? 2sin ?? x ? ? ? 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的表达式为( A. f ( x) ? 2sin ?

1 3

B. ?

1 3

C. ?

1 9

D.

1 9

)B

开始

?? ?3 x? ? 4? ?2

B. f ( x) ? 2sin ?

5? ? ?3 x? ? 4 ? ?2

输入 k m=1,n=1,p=1

2? ? ?4 C f ( x) ? 2sin ? x ? ? 9 ? ?3

25? ? ?4 D. f ( x) ? 2sin ? x ? ? 18 ? ?3

m=2m 7.已知点 P 是边长为 2 的正方形内任一点,则点 P 到四个顶点的距离均大于 1 的 概率是( )B

4 ?? 1 B. C. 4 4 8.执行右图的框图,若输入 k ? 30 ,则输出的 n ?

? A. 4

? D . 3
B 否

n=n+1

p=p+m

A.4

B.5

C.6

D.7

p>k? 是 输出 n

高三文科数学答案 第 1 页 共 8 页

结束 (第 8 题图)

9 . 若 P 点是以 F1 (? 3, 0)、 F2 (3,0) 为焦点,实轴长为 4 的双曲线与圆 x 2 ? y 2 ? 9 的一个交点,则

PF1 ? PF2 ? (
A.

)C B.6 C. 2 14 D. 2 5 )A

13

10.已知 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上是增函数,若 f ? 4? ? 0 ,则满足 x ? f ? x ? ? 0 的 x 取值范围是 ( A. ?0, 4? B. ? ??, 4? C. ? ? ?4,0 ? ? 0, 4?

?

D. ? 4, ?? ?

11.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积是 ( )B A.2 B.4 C.6 D. 12

2 2 2 正视图    2 侧视图

俯视图

第 11 题图

12.若 f ( x) ? ? 范围是( A. ? , 2 ? )A

??2 x ? 2, x ? ? ??, 0 ? ? ,x1 ? x2 ? x3 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? , 则 x1 ? x2 ?x3 的取值的 2 x ? 2 x ? 1, x ? [0, ?? ) ? ?

?3 ?2

? ?

B. ? , 2 ? 2

?3 ?

? ?

C. ? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

D. ? , 2 ?

?1 ?2

? ?
. 【答案】 y ? ?7 x ? 11

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.若直线经过点 A ? 2, ?3? 、B ?1, 4 ? ,则直线的斜截式方程为 14 . 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ln x 在

x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线 与直线

ax ? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值为

. 【答案】 ?e

?x ? y ?1 ? 0 ? 15.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值是 ?x ? 1 ?

. 【答案】1

16.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75? 的方向上,仰角为 45? ,则此山的高度
CD ? _________m. 【答案】 300

第 16 题图

2.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
高三文科数学答案 第 2 页 共 8 页

17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 11 ,且 a2 , a5 , a6 成等比数列. (I)求 {an } 的通项公式;(II)设 Sn ? a1 ? a2 + a3 ????? an ,求 Sn . 17.解(I)设 {an } 的公差为 d ,由题意, a52 ? a2 a6 ,————————1 分 即: ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 5d ?
2

————————2 分

于是: 2a1d ? 11d 2 ? 0 又: a1 ? 11 ,得 d ? ?2 或 d ? 0 (舍) ———4 分 故 an ? ?2n ? 13 ————————5 分

(II)由(I)知当 n ? 6 时, an ? 0 ;当 n ? 7 时, an ? 0 当n ? 6时 ————————6 分

Sn ? a1 ? a2 + a3 ????? an ? a1 ? a2 +a3 ???? ? an
? na1 ? n(n ? 1) d ? 12n ? n2 2
————————8 分

当 n ? 7 时, Sn ? a1 ? a2 + a3 ????? a6 ? a7 ? ?? an

? a1 ? a2 +a3 ????? a6 ? ? a7 ? a8 ? ?? an ? ? 2 ? a1 ? a2 +a3 ????? a6 ? ? ? a1 ? a2 ? ?? an ?
? 72 ? ?12n ? n 2 ? ? n2 ? 12n ? 72
2 ? ?12n ? n   n ? 6 所以: S n ? ? 2 ? ?n ? 12n ? 72  n ? 7

—————11 分

—————12 分

18. (本小题满分 12 分) “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一 段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该 扇门对应的家庭梦想基金. 在一次场外调查中, 发现参赛选手多数分为 两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人 数如图所示. (I)写出 2× 2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与 年龄有关;说明你的理由; (下面的临界值表供参考)

P( K 2 ? k0 )
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879 第 18 题图

(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选 手,并从这 6 名选手中抽取 2 名幸运选手,求 2 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间的概率.

高三文科数学答案 第 3 页 共 8 页

(参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 .其中 n ? a ? b ? c ? d . ) (a ? b)(a ? c)(c ? d )(d ? b)

18.解: (1) 2 ? 2 列联表: 年 龄 正误 20~30 30~40 合计 正确 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120 ———6 分 则K ?
2

n(ad ? bc)2 120? (10 ? 70 ? 10 ? 30)2 ? ? 3 ? 2.706 (a ? b)(a ? c)(c ? d )(d ? b) 20 ? 40 ? 80 ?100

所以有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关. —————8 分 (2)设事件 A 为 2 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间,由已知得 20~30 岁之间的人数为 2 人设为 a,b,30~40 岁之间的人数为 4 人设为 c,d,e,f,从 6 人中取 2 人的结果如下共为有 15 种, ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef —————10 分 事件 A 的包含如下结果 ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf 共有9种 —————11 分 则 P ( A) ?

9 3 ? 15 5

—————12 分

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 为平行四边形,且 AC ? BD ? O ,

P

PA ? PC , PB ? BD ,平面 PBD ? 平面 PAC (I)求证 PB ? 面 ABCD (II)若 ?PAC 为正三角形, ?BAD ? 60? ,且四棱锥 P ? ABCD 的体积为

6 ,求侧面 ?PCD 的面积. 6
19.(I)证明:由于四边形 ABCD 为平行四边形,所以 O 为 AC 的中点;连接

A O B

D

C

PO

第 19 题图

? PA ? PC ? AC ? PO ? 平面 PBD ? 平面 PAC ,

———1 分

又? 平面 PBD ? 平面 PAC =PO , AC ? 平面 PAC

? AC ? 面 PBD ? AC ? PB

P

—————4 分

又? PB ? BD ,且 AC ? BD ? O , AC、BD ? 面ABCD

? PB ? 面 ABCD

—————6 分
D O B C

(II)解:由(I)知 AC ? 面 PBD ,所以 AC ? BD ,可知底面 ABCD 为菱形; A 设 AB ? BC ? a ,又因为 ?BAD ? 60? ,所以 BD ? a , AC ? 3a
高三文科数学答案 第 4 页 共 8 页

因为 ?PAC 为正三角形,所以 PC ? 3a

—————7 分

由(I)知 PB ? BC ,从而 ?PBC 为直角三角形,? PB ?

2a —————8 分

1 1 1 6 解得: a ? 1 ———9 分 VP ? ABCD ? S ABCD PB ? ? 3a 2 2a ? 3 3 2 6
P

所以 PC ? 3 、 CD ? 1 、 PB ?

2
—————10 分

? PD ? PB2 ? BD2 ? 3

取 CD 的中点 E ,连接 PE ,可知 PE ? CD

11 1 11 PE ? PC ? CE ? S PCD ? CD?PE ? 2 2 4
2 2

A

D


O B C

—12 分

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 8 ? 0 (I)若圆 C 的不过原点的切线在两坐标轴上的截距相等,求切线方程 (II)从圆 C 外一点 P ( x, y ) 引圆的切线 PQ ,点 Q 为切点, O 为坐标原点,且满足 PQ ? OP ,当 PQ 最 小时,求点 P 的坐标。 20 解:(I)圆心 C ?1 , ? 3? ,半径 r ?

2

—————1 分

由题意可设所求直线方程为: x ? y ? a ,且 a ? 0

d?

x? y?a 2

?

1? 3 ? a 2

? 2

—————4 分

解得 a ? ?4 或 a ? 0 舍。所求直线方程为: x ? y ? 4 ? 0 (II)由 OP ? PQ = PC ? r ,从而有
2 2

—————6 分

? x ? 1?

2

? ? y ? 3? ? 2 ? x 2 ? y 2 ,整理得: x ? 3 y ? 4 ? 0
2

—————8 分

则 PQ ? 当y??

x 2 ? y 2 ? 10 y 2 ? 24 y ? 16

—————9 分 —————12 分

6 ?2 6? 时, PQ 最小,此时点 P 的坐标为 ? , ? ? 5 ?5 5?

21. (本小题满分 12 分)

高三文科数学答案 第 5 页 共 8 页

已知函数 f ? x ? ?

1 2 1 x ? ? a 2 ? a ? ln x ? x ( a ? ) . 2 2

(I) 讨论函数 f ? x ? 的单调性; (II) 设 g ? x ? ? a ln x ? x ,若 f ? x ? ? g ? x ? 对 ?x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2 2

21.解(I) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .

x2 ? x ? ? a 2 ? a ? ? x ? a ?? x ? a ? 1? a2 ? a , f ?? x? ? x ? ?1 ? ? x x x
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 ? a . 当a ? —————2 分

1 1 1 时, a ? 1 ? a ,且 1 ? a ? 0 .①当 a ? 时, a ? 1 ? a ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 . 2 2 2

? f ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上单调递增;--------------------------3 分
②当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,1 ? a ? 上单调递减,在 ?1 ? a, ?? ? 上单调递增;---------------------------4 分 ③当 0 ? a ?

1 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ?1 ? a, ?? ? 上单调递增,在 ? a,1 ? a ? 上单调递减.---------------5 分 2

(II)由题意知,

1 2 x2 x ? ? a 2 ? a ? ln x ? x ? a 2 ln x 2 ? x ,即 3a 2 ? a ? 对 ?x ? 1 恒成立 2 2 ln x
---------------7 分

令 h ? x? ?

x ? 2 ln x ? 1? x2 ,则 h? ? x ? ? . 2 2 ? ln x ? 2ln x

令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ?

e.

---------------8 分

当 x ? 1, e 时, h ? x ? 单调递减; x ? 所以当 x ?

?

?

?

e , ?? 时, h ? x ? 单调递增.
---------------10 分

?

e 时, h ? x ? 取得最小值 h

? e? ? e.
6

? 3a 2 ? a ? e ? 1 ? 1 ? 12e ? a ? 1 ? 1 ? 12e .
6
又? a ?

1 1 ? 1 ? 12e 1 ,? ?a? . 2 6 2

---------------12 分

选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , 已 知 四 边 形 A B C D是 ⊙ O 的 内 接 四 边 形 , 过 点 A 的 切 线 与 CB 的 延 长 线 交 于 点 P , 且

PA ? 8 2 , PB ? 8 .
(1)若 ?APB ? 45? 求 ?D 的大小; (2)若⊙ O 的半径为 5,求圆心 O 到直线 BC 的距离.
高三文科数学答案 第 6 页 共 8 页 D
C

A P O

B

第 22 题图

22.解:(1)在 ?PAB 中,有 PA ? 8 2 , PB ? 8 , ?APB ? 45? 由余弦定理得: AB ? 8 所以 ?PAB 为 Rt ? ,即 AB ? PC --------------2-分 所以 ?ABC ? 90? , 又因为四边形 ABCD 是 ? O 的内接四边形, 所以 ?D ? 90? ; ---------------5 分 (2)连接 OC ,作 OM ? BC 于 M 由垂径定理可知: M 为 BC 的中点, 由切割线定理得: PA ? PB ? PC
2

A

--------------6 分 ---------------7 分
D O B

P

又 PA ? 8 2 , PB ? 8 , 所以 PC ? 16 , BC ? 8 , MC ? 4 ---------------9 分 因为 ? O 的半径为 5,所以在 Rt ?OMT 中有, OM ? 3 ---------------10 分 所求圆心 O 到直线 BC 的距离为 3 . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin2 ? ? 4cos? , 直线 l 1:? ?


C

?
3

, l 2:? sin ? ? 4 3 分别与曲线 C 交于

A, B 两点( A 不为极点),(1)求 A, B 两点的极坐标方程;(2)若 O 为极点,求 ?AOB 的面积.

? ? sin 2 ? ?4cos ? ? 23 解(1)由 ? ,显然极点 ? 0,? ? 为该方程的解,但由于 A 不为极点 ? ?? ? 3 ?
8 ? ?? ? ? ?8 ? ? 3 所以得 ? ,所以 A ? , ? ?3 3 ? ?? ? ? ? 3 ?
? ? sin 2 ? ?4cos ? ? 由? ? ? ? sin ? ? 4 3

---------------3 分

?? ? 8 3 ?? ? ? 解得: ? ? 所以 B ? 8 3, 3 ? ? ? ?? ? 6 ?
(2)由(1)得 A ? , 所以 ?AOB ? 所以 S ?AOB

---------------6 分

?? ?8 ? ? ? ? , B ? 8 3, ? 3? ?3 3 ? ?
?
, OA ?

8 ---------------8 分 , OB ? 8 3 3 6 1 8 1 64 1 3 ---------------10 分 ? OA OB sin ?AOB ? ? ? 8 3 ? ? 2 3 2 3 2
高三文科数学答案 第 7 页 共 8 页

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设函数 f ? x ? ? 2x ? m ? 4x. (1)当 m ? 2 时,解不等式: f ? x ? ? 1 ; (2)若不等式 f ? x ? ? 2 的解集为 ?x | x ? ?2? ,求 m 的值. 24.解: (1)当 m ? 2 时,函数 f ? x ? ? 2x ? 2 ? 4x ,由不等式 f ? x ? ? 1 可得 ① ?

?x ? 1 ,或 ② ?2 x ? 2 ? 4 x ? 1

?x ? 1 1 . 解 ① 可 得 x ?? , 解 ② 可 得 x ? ? , 故 不 等 式 的 解 集 为 ? 2 ?2 ? 2 x ? 4 x ? 1
1 {x | x ? ? } . 2
---------------5 分

m ? 6 x ? m  x ? ? ? 2 ,连续函数 ( 2 ) ∵ f ( x) ? ? f ? x ? 在 R 上 是 增 函 数 , 由 于 f ? x? ? 2 的 解 集 为 ?2 x ? m  x ? m ? ? 2
{x | x ? ?2} ,故 f ? ?2? ? 2 ,
当 ---------------7 分

m ? ?2 时,有 2 ? ? ?2? ? m ? 2 ,解得 m ? 6 . 2 m 当 ? ?2 时,则有 6 ? ? ?2? ? m ? 2 ,解得 m ? ?14 . 2
综上可得,当 m ? 6 或 m ? ?14 时,f(x)≤2 的解集为 {x | x ? ?2} . ---------------10 分

注:如有不同解答,请参考以上标准计分。

高三文科数学答案 第 8 页 共 8 页



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