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高中数学《2.1.1 指数与指数幂的运算》课件 新人教A版必修1



本章概览

一、内容概述
1.通过本章学习,要了解指数函数、对数函数的实 际背景,理解指数函数、对数函数的概念,理解五种幂函 数,会运用它们解决一些实际问题. 2.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算,注意当

指数从整数指数推广到了有理数指数后,幂的意义及指数
运算性质中均增加了“底数大于0”,即“a>0”或“a

>0, b>0”.

3.y=ax(a>0 且 a≠1)为指数函数,“a>0 且 a≠1”不能忽 略,其单调性受 a>1 与 0<a<1 制约,指数函数的图象均过点 (0,1). 4.对数运算与指数运算是互逆运算,a>0 且 a≠1,ab=N? b=logaN.理解对数运算的性质,真数为正的条件,能用换底 logbN 公式 logaN= 进行化简运算. logba 5.y=logax(a>0 且 a≠1)与 y=ax(a>0 且 a≠1)互为反函数, 其图象均过(1,0)点,其单调性受 a>1 与 0<a<1 的制约. 6.y=xα(α 为常数,α∈R)叫幂函数,结合 y=x,y=x2,y 1 3 =x ,y=x ,y=x-1 的图象,了解它们的性质. 2

二、地位作用

幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数,
是高中数学函数部分的主体内容,是函数理论的主要载体, 特别是指数函数、对数函数,更是历年高考的重点、热 点.从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题,都可能以它为背景编拟.

三、学法指导

1.三种基本初等函数的概念、图象及性质.要在理
解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察、归纳得 出一般图象及性质.这种由特殊到一般的研究问题的方法 是学习数学的基本方法.另外,注意类比三种函数的图象 与性质,搞清楚三者之间的区别与联系.

2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0

且a≠1)互为反函数,所以它们的定义域和值域互换,它们
的对应关系是互逆的.它们的单调性是一致的,在掌握这 两类函数的性质时,要结合图象来加以理解和记忆.

3.要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质,牢

记两类函数表达式的形式.
4.关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点,解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.

2.1.1 指数与指数幂的运算

第1课时 根式

目标要求 热点提示 1.理解n次方根及根式 1.利用根式的运算性 的概念. 质进行化简. 2.正确运用根式运 2.条件求值问题. 算性质进行运算变换.

地球上的生物,除了病毒等少数种类以外,所有的生 物体都是由细胞构成的,生物体之所以能够存在,完全依

赖于细胞,因为生物体的一切生命活动就是在细胞内进行
的.那么细胞是怎样增多的呢?现代生物学告诉人们细胞 是通过分裂不断产生的,在众多分裂形式中有一种叫做有 丝分裂,它分裂时遵循如下特点:1个细胞分裂1次产生2个, 分裂2次产生4个,分裂3次产生8个,那分裂n次,它会产生 多少个呢?2个细胞分裂n次呢?这就需要用到本节的知识— —指数.

1.an叫做a的

n次幂

,a叫做幂的底数,n叫做幂

的 指数 ,n必须是正整数,这样的幂叫做 正整数指数幂 .

2.正整数指数幂的运算法则 同底数的幂 相乘:底数 不变指数相 加 同底数的幂 幂的乘方 相除:底数 :底数不 不变指数相 变指数相 减 乘 am÷an=am-n (am)n= amn (m>n,a≠0) 积的乘方: 各因子乘方 的积

am·an= am+n

(ab)m= am·bm

1. -8的值是 A.2 C.± 2

3

( B.-2 D.-8

)

2. 16运算的结果是 ( A.2 C.± 2 B.-2 D.以上都不对 )

4

3.若(x-5)0有意义,则x的取值范围是

(

)

A.x>5
C.x<5 答案:D

B.x=5
D.x≠5

解析:∵(x-5)0有意义,∴x-5≠0,即x≠5.

4. (-5)2=________,[ (-5)2]2=________.

5.求( a-2) + (2-a) + (2-a)3的值.

2

2

3

类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值. 5 4 4 5 2 (1) (-3) ; (2) (-3) ; (3) (π-4)2; (4) (a-b)2.

思路分析:根据根式的定义,注意偶次根式与奇次根

式的不同,用根式的性质解题.

解:(1) (-3)5=-3; 4 4 2 2 (2) (-3) = 3 = 3; 4 (3) (π-4)2= 4-π; ?a-b (a>b) ? 2 (4) (a-b) =|a-b|=?0 (a=b). ?b-a (a<b) ?

5

温馨提示:(1)求偶次方根应注意,正数的偶次方 根有两个. (2)根据运算中,经常会遇到开方与乘方并存情况, m n 应注意两者运算顺序是否可换, 如对 a 仅当 a≥0 时, 恒有 a)n,若 a<0,则不一定. n n (3)根式的性质, 为奇数时, a =a, 为偶数时, n n a =( m
n

m

an=|a|= ?a (a≥0) ? ? . ?-a (a<0) ? 要在理解的基础上,记准,记熟,会用,用活.

n

【例 2】 计算: 5+2 6+ 7-4 3- 6-4 2.

思路分析:本题需把各项被开方数变为完全平方的形

式,然后再利用根式运算的性质.

解: 5+2 6+ 7-4 3- 6-4 2 = ( 3)2+2 3· 2+( 2)2+ 22-2×2 3+( 3)2- 22-2×2 2+( 2)2 = ( 3+ 2)2+ (2- 3)2- (2- 2)2 =| 3+ 2|+|2- 3|-|2- 2| = 3+ 2+2- 3-(2- 2) =2 2

温馨提示:此题开方后先带上绝对值,然后根据正负

去掉绝对值符号.

类型二 条件根式的化简

思路分析:先借助代数式有意义确定出x的取值范围,

再进行根式的化简.

解:∵代数式 2x-1+ 2-x有意义 ?2x-1≥0 ? ∴? ?2-x≥0 ? 1 ∴ ≤x≤2 2 4 4 2 4 2 ∴ 4x -4x+1+2 (x-2) = (2x-1) +2 (x-2)4 =|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x) =2x-1+4-2x=3

温馨提示:进行根式的化简时,我们经常忘记条件,

根式有意义常忘记被开方数为0的情况,做题时应引起高度
注意.

【例 4】 根据已知条件求值. x+ y x- y 1 2 (1)已知 x= ,y= ,求 - ; 2 3 x- y x+ y (2)已知 a, 是方程 x2-6x+4=0 的两根, a>b>0, b 且 a- b 求 的值. a+ b

思路分析:应先据已知条件进行化简后求值.

x+ y x- y 解:(1) - x- y x+ y ( x+ y)2 ( x- y)2 4 xy = - = . x-y x-y x-y 1 2 将 x= ,y= 代入上式,得 2 3 1 2 1 4 × 4 2 3 3 1 原式= = =-24 =-8 3. 1 2 1 3 - - 2 3 6

(2)∵a, 是方程 x2-6x+4=0 b

?a+b=6. ? 的两根, ? ∴ ?ab=4. ?

∵a>b>0,∴ a> b. a- b 2 a+b-2 ab 6-2 4 2 1 ( )= = = = , a+ b a+b+2 ab 6+2 4 10 5 a- b 1 5 ∴ = = . 5 5 a+ b

温馨提示:在对所求式子进行化简的过程中,要注意

平方差公式、立方差公式、完全平方公式等的灵活运用.

化简 a + (1-a)4的结果是 A.1 B.2a-1 C.1 或 2a-1 D.0

3

3

4

(

)

计算 a+2 a-1+ a-2 a-1(a≥1)的值.

设-3<x<3,求 x2-2x+1- x2+6x+9的值.

2x- xy 若 x>0,y>0,且 x- xy-2y=0,求 的值. y+2 xy

n n n n 1.注意( a) 、 a 性质上的区别:(1)( a) =a(n>1, n n * 且 n∈N );(2)一般地,若 n 为奇数,则 a =a;若 n 为 ?a,a≥0, ? n n 偶数,则 a =|a|=? ?-a,a<0. ?
n

n

2.整数指数幂满足不等性质:若a>0,则an>0.

3.正整数指数幂满足不等性质:
(1)若a>1,则an>1; (2)若0<a<1,则0<an<1,其中n∈N*.



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