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自主招生第1讲 集合



第 1 讲 集合 “交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合 语言描述数学现象,或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性 质和公式: 若 A? B

? B ,则 B ? A ;

若 A? B

? B ,则 A ? B ;

A? B ? B ? A; A? B ? B ? A;

( A ? B) ? C ? A ? (B ? C) ; ( A ? B) ? C ? A ? (B ? C) ;

A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ;
[I ( A ? B)

?[ A ? [ B ;
I I

[I ( A ? B)

?[ A ? [ B .
I I

容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时,为了便于计算,常常通过计算它的若干个子集的 元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此类计数公式通称为容斥原理。 “容”意指这些子集的并集是原集合, “斥”意指这些子集中两两交集不是空集时,需要将重复的元素个 数排斥掉。 通常以 |

X | 表示有限集合 X 中元素的个数,参照 Venn 图可以得到如下计数公式:
C

| A ? B |?| A | ? | B | ? | A ? B |
A B
A

| A? B ?C | ?| A| ? | B | ? |C | ?| A? B | ?| B ?C | ?|C ? A| ? | A? B ?C | ??
例题精讲 例 1. 已知数集 A ? { a ? 2 , 若A?

B

(a ? 1) 2 , a 2 ? 3a ? 3} , B ? { a ? b , 1, a ? b ? 5} 。

B ,求实数 a , b 的值。

分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。 由集合中元素的互异性及无序性, 集合 A 中三个元 素有且仅有一个为 1。椐此可求出 a ,进而求出 b 。 解 由A?

B ,得1 ? A 。

a ? 2 ? 1 ? a ? ?1 ; (a ? 1) 2 ? 1 ? a ? 0 或 a ? ?2 ; a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ? a ? ?1 或 a ? ?2 .
由集合 A 中三个元素有且仅有一个为 1,得 a 由A?

? 0 , A ? {1, 2 , 3}, B ? {1, b , 5 ? b}。

B ,得 b ? 2 或 b ? 3 。

因此,所求实数为 a 例 2. 集合

? 0, b ? 2 或 a ? 0, b ? 3 。

M ? { u | u ? 12m ? 8n ? 4l , m , n , l ? Z } N ? {u | u ? 20 p ? 16q ? 12r , p , q , r ? Z }的关系是 D M ?N
表示 4 的倍 ,设 ( )

A M ?N
解1

B M ?N N ?M C M ?N

分析 1 通过化简,认识这两个集合中元素的特征,进而作出判断。

12m ? 8n ? 4l ? 4(3m ? 2n ? l ) ,而 3m ? 2n ? l 可取任意整数,得集合 M

数的集合,即

M ? {u | u ? 4k , k ? Z} , 20 p ? 16q ? 12r ? 4(5 p ? 4q ? 3r )

p ? ?q ? k , r ? 0 ,得 N ? {u | u ? 4k , k ? Z} 。所以, M ? N ,应选 A 。
分析 2 本题供选择的结论中,均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若 则A?

?A ? B , a ? A ? a ? B ,则 A ? B ” ;证明集合相等关系的一般方法是“若 ? ?B ? A ,
解 2. 若 u ? M

B” 。

? u ? 12 m ? 8n ? 4l 。设 m ? r , n ? 2q , l ? 5 p ,则
。 若

u ? 20 p ? 16q ? 12r ? N ? M ? N

u ? N ? u ? 20 p ? 16q ? 12r

。 设

p ? ?q ? 2n ? l , r ? m ,则 u ? 12m ? 8n ? 4l ? M ? N ? M 。
由?

?M ? N ? M ? N 。所以应选 A 。 N ? M ?

例 3. 不大于 1000 的自然数中,既不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数共有多少个? 分析 若不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的集合为 B 。则要求 的是|[I ( A ? B) |。 解 设不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的集合为 B ,则

1000 1000 1000 | A| ?[ ] ? 333 , | B | ? [ ] ? 200 , | A ? B | ? [ ] ? 66 。 3 5 15

因此, |

A ? B | ? | A | ? | B | ? | A ? B | ? 333 ? 200 ? 66 ? 467。
。 A ? B | ? 533(个)

所 以 , 不 大 于 1000 的 自 然 数 中 , 既 不 是 3 的 倍 数 , 也 不 是 5 的 倍 数 共 有 |[I ( A ? B) | ? 1000 ? |

例 4. 设 a , b ? R , A ? {( x ,

y) | x ? n , y ? an ? b n ? Z} ,

B ? {( x , y ) | x ? m , y ? 3m 2 ? 15 m ? Z }, C ? {( x , y ) | x 2 ? y 2 ? 144} ,
是平面 XOY 内的点集,讨论是否存在 a , b 使得 (1) A ? B

??;

(2) (a , b) ? C 同时成立。 (1986 年全国高考题) 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。 A ? B

? ? ,意为由集合 A , B 分别表示的两个方程

组成的方程组有整数解; (a , b) ? C ,则给出了 a , b 的允许值范围。 解 集 合

A, B













A ? {( x , y) | y ? ax ? b x ? Z}



B ? {( x , y ) | y ? 3x 2 ? 15

x ? Z}。

? y ? ax ? b 2 ? 3 x ? ax ? 15 ? b ? 0 , ? 2 y ? 3 x ? 15 ?
? ? a 2 ? 12 (15 ? b) ? 144 ? b 2 ? 180 ? 12b ? ?(b ? 6) 2
仅当 b

? 6 且 a ? ?6 3 (a 2 ? b 2 ? 144 ) 时, ? ? 0 ,方程组有解。此时,原方程组的解为
由于,原方程组的解不是整数解,所以满足条件的实数 a , b 不存在。

?x ? ? 3 , ? ? y ? 24 .

例 5. 一次会议有 2005 位数学家参加,每人至少有 1337 位合作者,求证:可以找到 4 位数学家,他 们中每两人都合作过。 分析 按题意,可以构造一种选法,找出符合条件的四位数学家。 解 由题意,可任选两位合作过的数学家 a , b ,设与 a 合作过的数学家的集合为 A ,与 b 合作

过的数学家的集合为 B 。则 |

A |? 1337 ,

| B |? 1337 。又 | A ? B |? 2005。于是,

| A ? B | ? | A | ? | B | ? | A ? B | ? 1337 ? 1337 ? 2005 ? 669 。

因此,在集合 A ? B 中,有数学家且不是 a , b 。从中选出数学家 c ,并设与 c 合作过的数学家的集合为

C 。则 | ( A ? B) ? C |? 2005, | C |? 1337

。于是,

| A ? B ? C | ? | A ? B | ? | C | ? | ( A ? B) ? C | ? 669 ? 1337 ? 2005 ? 1
因此,在集合

A ? B ? C 中,有数学家且不是 a , b , c 。又可从中选出数学家 d

。则数学家

a , b , c , d ,他们中每两人都合作过。即原命题得证。
子集 例 6. 求满足

{a, b} ? P ? {a, b, c, d , e}的集合 P 的个数。

分析 本题要求的是集合 的子集数。 解 由集合

{a, b, c, d , e}中,必定含有元素 a, b 的子集的个数,只要求出集合{c, d , e}

{c, d , e} 的子集数为 23 ? 8 ,得所求集合 P 的个数为 8。
A ? {2,3,4,5,6,7},对 X ? A ,定义 S ( X ) 为 X 中所有元素之和。求全体 S ( X ) 的

例 7.已知集合 总和 S 。

分析 要求出全体 解

S ( X ) 的总和 S ,只要求出每个元素出现的次数。

由集合元素的互异性,得集合 A 中某个元素在总合 S 中出现的次数,就是集合 A 中含有该元素的子

集数。所以,全体

S ( X ) 的总和 S ? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 25 ? 8640 。
p 种不同的诺言 ( p ? 0 ) ,任何两个政党都至少有一种公共诺言,
p ?1
个。 (1972 年加拿大数学竞赛)

例 8.在某次竞选中,各个政党共作出

但没有两党作出完全相同的诺言。试证明,政党的数目不多于 2

分析 这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题意,将“诺言”作为 元素,运用集合进行分析和研究。 证明 将

p 种不同的诺言构成集合 A ,则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合 A 的子集。因而政党

数应不大于集合 A 的子集数。 又任何两个政党都至少有一种公共诺言,所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对互补的子集。故政

2p ? 2 p ?1 。 党数 ? 2
例 9.证明:任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序,使得任何两个相邻的子集仅相差一个元素。 分析 本题可采用构造方法进行证明,即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法,满足题 设的要求。为此,可从特殊情况入手进行探索。

若有限集元素的个数 n 当n 当n

?1

时,子集数为 2,可排列为 ? , {a1} ;

? 2 时,子集数为 22,可排列为 ? ,{a1},{a1, a2},{a2}; ? 3 时,子集数为 23,可排列为

? , {a1}, {a1 , a2 }, {a2 }, {a2 , a3}, {a1 , a2 , a3}, {a1 , a3}, {a3};
??
每增加 1 个元素,子集数增加 1 倍。将原来已排列好的所有子集分别增加一个新元素,得到又一列排列 好的子集。再将排列好的子集倒序后,接排在原来已排好的子集列后面,得到符合条件的新的子集列。 证明 设有限集的元素个数为 n 。 当n 当n 当n

? 1 时,子集数为 2,全部子集可排列为: ? ,{a1} ;
? 2 时,子集数为 22,全部子集可排列为:? ,{a1},{a1, a2},{a2}; ? 3 时,子集数为 23,全部子集可排列为:
若n

? , {a1}, {a1 , a2 }, {a2 }, {a2 , a3}, {a1 , a2 , a3}, {a1 , a3}, {a3};
??
全部子集可排列为: A 1, 当n

? k 时,子集数为 2k,

A2 , ? , A2 k ,且任何两个相邻的子集仅相差一个元素。

? k ?1

即增加一个元素 ak ?1 时,按下面的方法可得由 k

? 1 个元素组成的有限集的全部子集的

一个排列,

A1 , A2 , ? , A2 k , ak ?1 ? A2 k , ak ?1 ? A2 k ?1 , ?, ak ?1 ? A1 。
因为

A1 , A2 , ? , A2 k



2k

个子集中任何两个相邻的子集仅相差一个元素,所以, 个子集中任何两个相邻的子集也仅相差一个元

ak ?1 ? A2 k , ak ?1 ? A2 k ?1 , ?, ak ?1 ? A1 共 2k
素。又 A k 与 ak ?1 2

? A2 k

也相差一个元素,因此,上述由 k

? 1 个元素组成的有限集的全部子集的一

个排列是符合条件的排列。 由此,我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法,即原命题得证。 例 10.对{ :对每一个子集按照递减的次 1,2,?, n} 及其每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和” 序重新排列,然后从最大的数开始交替的减或加后继的数(例如, { 1,

2, 4, 6, 9} 的“交替和”是

。对 n ? 7 ,求所有这些“交替和”的总和。 9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ; {5}的“交替和”是 5) 分析 求所有这些“交替和”的总和的关键,在于每一个数字在“交替和”中出现的次数及符号。 解 对集合 { 1,2,?, n} 的全部子集分为两类:含元素 n 的子集共有 2

n ?1

个,不含元素 n 的子集也有

2n ?1 个。
将含元素 n 的子集{n, a1, a2 , ?, ak }与不含元素 n 的子集{a1, a2 ,?, ak } 相对应, 得这两个子集的 “交替和”恒为 n 。 所以,所有这些“交替和”的总和为 2

n ?1

6 “交替和”的总和为 7 ? 2 ? 448 。 ? n 。当 n ? 7 时,

例 11.已知集合 S 中有 10 个元素,每个元素都是两位数。求证:一定可以从 S 中取出两个无公共元素的 子集,使两个子集的元素和相等。 分析 本题要求的是从集合 S 的子集中,找到两个元素和相等的子集。这两个子集即使有公共元素,只要 同时除去公共元素就可以满足题意。 证明 由集合 S 中每个元素都是两位数,故它们的总和不超过

1000。而集合 S 共有 210 ? 1024个

子集。由抽屉原理,得集合 S 的子集中至少有两个子集的和相等。若这两个子集有公共元素,只要同时从 这两个子集中同时除去公共元素, 得到两个无公共元素的子集, 且使两个子集的元素和相等。 即命题得证。

课后练习: 1.若 A ? {x | 0

? x 2 ? ax ? 5 ? 4} 是单元素集合,则实数 a
B ?2 C ?3 D

的值为





A ?2 3

不存在这样的实数

2.某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计:数学有 21 人优秀,物理有 19 人优秀,化学 有 20 人优秀,数学和物理都优秀的有 9 人,物理和化学都优秀的有 6 个,数学和化学都优秀的有 8 个。 若该班有 7 人数学、物理、化学三科中没有一科优秀,试确定该班总人数 S 的范围及仅数学一科优秀的人 数 3.

x

的范围。 设

f ( x) ? x 2 ? bx ? c ( b , c ? R )



A ? {x | x ? f ( x) , x ? R }



B ? {x | x ? f ( f ( x)) , x ? R}。若集合 A 是单元素集,则 A ? B 。
4.设 a ?R, A ? {x ? R | | 的取值范围是

x ? a |? 1} , B ? {x ? R | | x ? 1 |? a 2 }。若 A 不是 B 的真子集,则 a
( )

A ?1 ? a ? 1
5.已知 A 围。

B a ? ?2 或 a ? 1

C ? 2 ? a ?1

D ?2? a ?0

? {( x, y ) | y ? ax ? 1} , B ? {( x, y ) | y ? x 2 } ,又 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范
x ? a} , B ? {y | y ? 2x ? 3, x ? A}


6. 设 A ? {x | ?2 ?

C ? {z | z ? x 2 , x ? A} 且 C ? B ,求实数 a 的取值范围。
7. 设 M

? {a | a ? x 2 ? y 2 , x, y ? Z }, 求证: (1) 一切奇数属于 M

; (2) 形如 4k

? 2 (k ? Z )

的数不属于 M ; (3) M 中任意两个数的积仍属于 M 。 8. 设 A ? {n | 100

? n ? 600 , n ? N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为
x f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) 2

__________。 (1994 年江苏省数学竞赛) 9.已知对任意实数

x

,函数

f ( x)

都有定义,且

,如果集合

A ? {a | f (a) ? a 2 } 不是空集,试证明 A 是无限集。 (1994 年江苏省数学竞赛)

2 ? ? x ? ax ? 5 ? 4 1. 集合 A 表示不等式组 ? 2 ? ? x ? ax ? 5 ? 0

的解集。当两个不等式的解集有共同的边界点,或者两个

不等式的解集中,有一个是单元素集时,不等式组解集有可能为单元素集。由此,不等式

x 2 ? ax ? 5 ? 4 可化简为 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,当 a ? ?2 时
应选 B 。 2. 设

,此不等式的解集为单元素集。故

A ? {该班数学成绩优秀的学生} B ? {该班物理成绩优秀的学生} C ? {该班化学成绩优秀的

学生} 则

| A | ? 21 , | B | ? 19 , | C | ? 20 , | A ? B | ? 9 ,

| B ?C | ? 6 , | C ? A| ? 8 , | A? B ?C | ? k .
| A? B ?C | ?| A| ? | B | ? |C | ?| A? B | ?| B ?C | ?|C ? A| ? | A? B ?C | ? 21 ? 19 ? 20 ? 9 ? 6 ? 8 ? k ? 37 ? k .
由 A? B ?C 是 A? B ,

B ? C , C ? A 的子集,得

k ? min{ 9 , 6 , 8 } ? 0 ? k ? 6 。
因此, 37

? 0 ? 7 ? S ? 37 ? 6 ? 7 ? 44 ? S ? 50



x ? | A ? [ I B ? [ I C | ? | A ? [ I (B ? C) | ?| A? B ?C | ?| B ?C | ?| A ? B ? C | ?(| B | ? | C | ? | B ? C |) ? 37 ? k ? (19 ? 20 ? 6) ?k?4
因此, 4

? x ? 10 。 44 ? S ? 50 ; 4 ? x ? 10


所以,该班总人数 S 的范围是

仅数学一科优秀的人数 x 的范围是 3.若集合 A 是单元素集,设 A ? { ?} 即

f ( x) ? x ? ( x ? ? ) 2 ,则

f ( x) ? ( x ? ? ) 2 ? x ,

f ( f ( x)) ? x ? [( x ? ? ) 2 ? x ? ? ]2 ? ( x ? ? ) 2 ? x ? x ? ( x ? ? ) 2 [( x ? ? ? 1) 2 ? 1] ? ( x ? ? ? 1) 2 ? 1 ? 0 ? f ( f ( x)) ? x ? 0 ? x ? ? . ? B ? {? } ? A .
4.

A ? {x ? R | | x ? a |? 1} ? [a ? 1, a ? 1] ,
B ? {x ? R | | x ? 1 |? a 2 } ? [1 ? a 2 , 1 ? a 2 ].
2 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? a , ? ?a ? 1 ? 1 ? a , 若 A 是 B 的真子集,则 ? 或? 2 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? a . ? ?a ? 1 ? 1 ? a .
解得 a ? ?2 或 a

? 1。所以,若 A 不是 B 的真子集,则 ? 2 ? a ? 1 。故应选 C 。
无解。

5.由题意,方程组 ?

? y ? ax ? 1
2 ?y ? x

由方程组 ?

? y ? ax ? 1 ?y ? x
2

? x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,得

? ? a2 ? 4 ? 0 ? ? 2 ? a ? 2.

所以实数 a 的取值范围是 ? 2 ? 6.

a ? 2。

B ? {y | y ? 2x ? 3, x ? A} ? [?1, 2a ? 3] ,
?[a 2 , 4] , ? C ? {z | z ? x 2 , x ? A} ? ?[0 , 4] , ? 2 ?[0 , a ] ,
当? 2 ?

? 2 ? a ? 0, 0 ? a ? 2, a ? 2.

1 1 a ? 0 时, 2a ? 3 ? 4 ? a ? ? . ? ? ? a ? 0 ; 2 2

当0 ? 当a

1 a ? 2 时, 2a ? 3 ? 4 ? a ? ? . ? 0 ? a ? 2 ; 2

? 2 时, 2a ? 3 ? a 2 ? ? 1 ? a ? 3 . ? 2 ? a ? 3 .

综上,所求实数 a 的取值范围是 ? 7.(1)奇数集合可表示为 P

1 ? a ? 3。 2

? {a | a ? 2n ? 1 , n ? Z} 。

a ? P ? a ? 2n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? a ? M ;
(2)

x 2 ? y 2 ? ( x ? y )( x ? y ) 。
y 与 x ? y 同为奇数或同为偶数,所以, x 2 ? y 2 或为 2m ? 1 (m ? Z ) ,或为

因为 x ?

4m (m ? Z ) ,不可能为形如 4k ? 2 (k ? Z ) 的数。故形如 4k ? 2 (k ? Z ) 的数不属于
M

2 2 2 2 p , q ? M ,则 p ? x1 ? y1 , q ? x2 ? y2

(1) 设 所以,

x1, x2 , y1, y2 ? Z ,

2 2 2 2 p ? q ? ( x1 ? y1 )( x2 ? y2 ) ? ( x1x2 ? y1 y2 ) 2 ? ( x1 y2 ? x2 y1 ) 2 ? M 。
8. 设 B

? {b ? A | b ? 7k ? 2 , k ? N} 。
600 ? 2 99 ? 2 ] ?[ ] ? 85 ? 13 ? 72 ; 7 7



| B |? [

由100 又 57 k

? 57 k ? 600 ? 2 ? k ? 10 。
? 7 ? 8k ? k ,故当 k ? 2 或 9 时, 57 k 被 7 除余 2。

所以,集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 72 9.由题意,存在非零实数 x ?

? 2 ? 70 (个) 。

A ,得 f ( x) ? x 2 ? 0

x x x f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) ? f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) ? 2 f 2 ( x) f ( ) 2 2 2 x ? x 2 ? f ( x) ? 2 f ( x) f ( ) 2 x x2 x ? f( )? ? ( )2 . 2 2 2
即 由

f ( x) ? x 2 ?

x x f ( ) ? ( ) 2 。又非零实数 x 可无限平分,所以原命题得证。 2 2



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