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2012届高三数学一轮复习 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质


第二讲
一、选择题

函数、基本初等函数的图象与性质
x

?2 +1,x<1, ? 1.(2010·陕西)已知函数 f(x)=? 2 ? ?x +ax,x≥1,

若 f(f(0))=4a,则实数 a 等于

(

) A. 1 2
x

4 B. 5

C.2

D.9

? ?2 +1,x<1, 解析:f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1. ?

∵0<1,∴f(0)=2 +1=2. ∵f(0)=2≥1,∴ f(f(0))=2 +2a=4a, ∴a=2,故选 C. 答案:C 2. (2010·山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. x≥0 时, (x)=2 +2x+b(b 为常数), 当 f 则 f(-1)= A.3 B.1 C.-1 D.-3 ( )
x
2

0

解析:因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,可求得 b=-1,f(-1)=-

f(1)
=-(2 +2+b)=-3.故选 D. 答案:D 3. (2010·安徽)设 abc>0, 二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是
2 1

(

)

解析:A 项,由图象开口向下知 a<0,由对称轴位置知- <0,∴b<0.又∵abc>0, 2a ∴c>0.而由图知 f(0)=c<0;B 项,由图知 a<0,- >0,∴b>0. 2a 又∵abc>0,∴c<0,而由图知 f(0)=c>0; C 项,由图知 a>0,- <0,∴b>0. 2a 又∵abc>0,∴c>0,而由图知 f(0)=c<0;

b

b

b

-1-

D 项,由图知 a>0,- >0,∴b<0.又∵abc>0,∴c<0,由图知 f(0)=c<0.D 正确. 2a 答案:D 4.(2010·全国Ⅰ)已知函数 f(x)=|lg x|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值 范围是 ( A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞) )

b

解析:f(x)=|lg x|的图象如图所示,由图知 f(a)=f(b),则有 0<a<1<b,∴f(a)= |lg a| 1 1 =-lg a,f(b)=|lg b|=lg b,即-lg a=lg b,得 a= ,∴a+2b=2b+ .

b

b

1 1 令 g(b)=2b+ ,g′(b)=2- 2,显然 b∈(1,+∞)时,g′(b)>0,∴g(b)在(1,+

b

b

1 ∞)上为增函数,得 g(b)=2b+ >3,故选 C.

b

答案:C 5.(2009·山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是 增函数,则( ) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) 解析:∵f(x-4)=-f(x),

∴f(x-8)=f[(x-4)-4]=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 8 为周期的周期函数.

f(80)=f(8×10)=f(0), f(11)=f(3+8)=f(3)=-f(3-4)
=-f(-1)=-[-f(1)]=f(1),

f(-25)=f[8×(-3)-1]=f(-1)=-f(1).
∵f(x)在区间[0,2]上递增,∴f(0)<f(1). 又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(1)>0,∴-f(1)<0, ∴-f(1)<f(0)<f(1),f(-25)<f(80)<f(11).
-2-

答案:D 二、填空题

? π π? 2 6.已知函数 f(x)=x -cos x,对于?- , ?上的任意 x1,x2,有如下条件:①x1>x2; ? 2 2?
②x1>x2;③|x1|>x2.其中能使 f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________. π 2 解析:函数 f(x)=x -cos x 显然是偶函数,其导数 y′=2x+sin x 在 0<x< 时, 2 显然 也大于 0,是增函数,要使 f(x1)>f(x2)恒成立,即 f(|x1|)>f(|x2|)恒成立.∵f(x)
2 2

? π? 在?0, ? 2? ?
上是增函数, ∴|x1|>|x2|,即②成立,①③不成立. 答案:② 7.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 1

f? x?

,当 2≤x≤3 时,f(x)=

x,则 f(1.5)=________.
解析:∵f(x+2)=- 1

f? x?

,∴f(x+4)=-

f?

1 x+2?

=f(x)∴T=4,∴f(1.5)=

f(1. 5-4)= f(-2.5)=f(2.5)=2.5.
答案:2.5 8.(2010·全国Ⅰ)直线 y=1 与曲线 y=x -|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是 ________. 解:y=x -|x|+a 是偶函数,图象如图所示.
2 2

由图可知 y=1 与 y=x -|x|+a 有四个交点, 1 5 需满足 a- <1<a,∴1<a< . 4 4 5 答案:1<a< 4

2

-3-

1 9.(2010·重庆)已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈ 4 R),则

f(2 010)=________.
1 1 解析:解法一:∵当 x=1,y=0 时,f(0)= ;当 x=1,y=1 时,f(2)=- ;当 x 2 4 1 1 =2,y=1 时, f(3)=- ;当 x=2,y=2 时,f(4)=- ;当 x=3,y=2 时,f(5) 2 4 1 = ; 4 1 1 当 x=3,y=3 时,f(6)= ;当 x=4,y=3 时,f(7)= ;当 x=4,y=4 时,f(8) 2 4 = 1 - ;… 4 ∴f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 010)=f(0+335×6)=f(0)= . 2 1 解法二:∵f(1)= ,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f (x-y), 4 1 π ∴构造符合题意的函数 f (x)= cos x, 2 3 1 ∴f(2 010)= cos 2 1 答案: 2 三、解答题 10.在直角坐标平面中,已知点 P1(1,2),P2(2,2 ),对平面上任一点 A0,记 A1 为 A0 关 于点 P1 的对称点,A2 为 A1 关于点 P2 的对称点. → (1)求向量A0 A2的坐标; (2)当点 A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y=f(x)的图象,其中 f(x)是以 3 为周期的周期函数, 且当 x∈(0,3]时, (x)=lg x. f 求以曲线 C 为图象的函数在(1,4] 上的解析式. 解:(1)设 A0(x,y), 根据已知条件 A1(2-x,4-y),A2(2+x,4+y), → ∴A0 A2=(2,4). (2)∵f(x)为以 3 为周期的周期函数,且 f(x)=lg x,x∈(0,3],
-42

?π ×2 010?=1. ?3 ? 2 ? ?

当 x∈(3,6]时,x-3∈(0,3].

f(x)=f(x-3)=lg (x-3),
由(1)知?
? ?x2=2+x, ?y2=4+y. ?

当 1<x≤4 时,3<x2≤6, 由 y2=lg(x2-3)得 4+y=lg (x-1), 即 y=lg(x-1)-4,(1<x≤4).
? ?f? x? 2 11.已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a>0),F(x)=? ? ?-f? x?

? ?

x>0? , x<0? .

若 f(-1)

=0,且对 任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时, g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1, ∴f(x)=ax +(a+1)x+1. ∵f(x)≥0 恒成立, ∴?
?a>0, ? ? ?Δ =? ?a>0 ? ∴? ? ?? a-1?
2 2

a+1?

2

-4a≤0,

2

≤0

.

∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x +2x+1,
? ? ?x +2x+1 ∴F(x)=? 2 ?-x -2x-1 ? ?
2 2

x>0? , x<0? .
2

(2)g(x)=x +2x+1-kx=x +(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, ∴

k-2
2

≤-2 或

k-2
2

≥2,解得 k≤-2 或 k≥6.

所以所求 k 的取值范围为 k≤-2 或 k≥6. 12.(2009·江苏镇江)已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m、n ∈ [-1,1],m+n≠0 时,有

f? m? +f? n? >0. m+n

? 1? (1)解不等式 f?x+ ?<f(1-x); ? 2?
(2)若 f(x)≤t -2at+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值 范围. 解:(1)任取 x1 、 x2 ∈[-1,1],且 x2>x1 ,则 f(x2)- f(x1)= f(x2)+ f(- x1)=
-52

f? x2? +f? -x1? ·(x2 x2+? -x1?
-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)是增函数.

? 1? f?x+ ?<f(1-x)? -1≤1-x≤1, ? 2?

? ? ? 1 ?x+2<1-x ?

1 -1≤x+ ≤1, 2 1 ? 1? ?0≤x< , 即不等式 f?x+ ?<f(1-x) 4 ? 2?

的解集

? 1? 为?0, ?. ? 4?
(2)由于 f(x)为增函数,∴f(x)的最大值为 f(1)=1, ∴f(x)≤t -2at+1 对 a∈[-1,1]、x∈[-1,1]恒成立?t -2at+1≥1 对任意 a∈ [-1,1]恒成立?t -2at≥0 对任意 a∈[-1,1]恒成立. 把 y=t -2at 看作 a 的函数, 由 a∈[-1,1]知其图象是一条线段, ∴t -2at≥0 对任意 a∈[-1,1]恒成立
?t -2×? -1? ×t≥0, ? ?? 2 ? ?t -2×1×t≥0
2 2 2 2 2 2

?t +2t≥0, ? ?? 2 ? ?t -2t≥0

2

??

? ?t≤-2或t≥0 ? ?t≤0或t≥2

,?t≤-2,或 t=0,或 t≥2.

-6-


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