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2005-2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案



2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为( 4

?

)

>
A. y ? sin x

B. y ? cos x

C. y ? sin x ? 2

D. y ? cos x ? 4
)

2. 如果二次方程 x 2 ? px ? q ? 0( p, q ? N * ) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有( A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个
1 的最小值是( b( a ? b )

D. 8 个
)
A1 D A

P C1 B1 C B

3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2

D1

B. 3 C. 4 D. 5 4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此
四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?(

)

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个

5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an? 2 ? 16an?1 ? 63an , n? N*, 则 a2005 被 64 除的余数为
( )

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有( )

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 ??? ? 向量 OB ? _________
王新敞
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8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的
等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________
王新敞
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9. 函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ?R) 的最小值是 ________

王新敞
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10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 _________
王新敞
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11. 由三个数字 1、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数 共有 ________
王新敞
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1

12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},
N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ? 1| ? 1, x, y ?R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是__
王新敞
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三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM (用 ? 表示) ? ? , 试求 N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 BN MN
王新敞
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A

M B D

N C

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn ,


? xi ? 0 时, 总有
i ?1

n

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn ?1 ? x1 )

王新敞
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2

x2 y 2 15. 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的 a b
焦点弦
王新敞
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若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用
y
王新敞
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e 表示直线 PQ 的斜率

R

Q

F P

o

x

16. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由
王新敞
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2005 (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 , 求 n 的

最小值, 并说明理由

王新敞
奎屯

新疆

3

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案 的代表字母填在题的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括 号内) ,一律得 0 分. 2 1.已知数列{an}的通项公式 an= 2 ,则{an}的最大项是 n -4n+5 A.a1 2.函数 y=3 y B.a2 |log x| 3 的图象是 y y y C.a3 D.a4 ( ) ( )

O

x O

xO

x O

x

A. B. C. D. 2 3.已知抛物线 y =2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则 这样的 P 点共有 ( ) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数,若 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( ) A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数多条 1 3 10 6.在△ABC 中,tanA= ,cosB= .若的最长边为 1,则最短边的长为 2 10 4 5 A. 5 3 5 B. 5 C. 2 5 5 D. 5 5 ( )

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本小题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.集合 A={x|x=3n,n∈N,0<n<10} ,B={y|y=5m,m∈N,0?n?6}则集合 A∪B 的所有元素 之和为__________________. 8.设 cos2θ= 2 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是__________________. 3

9.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为__________________.

?y?0, ? 10.已知?3x-y?0, 则 x2+y2 的最大值是__________________. ? ?x+3y-3?0,
1 11.等比数列{an}的首项为 a1=2020,公比 q=- ,设 f(n)表示这个数列的前 n 项的积,则当 n= 2 _________________时,f(n)有最大值. 12. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 AB1=4, 1=3, AD 则对角线 AC1 的取值范围是________________.
4

三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题,第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)
2a 13.设集合 A={x|log1(3-x)?-2} ,B={x| ?1} ,若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. x-a 2

x2 y2 14.椭圆 + =1 的有焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 9 4 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1,若这 24 个点到右准线的距离 的倒数和为 S,求 S 的值.

5

15.△ABC 中,AB<AC,AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证明是直角. A

B

D

E

C

16.设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p.

6

2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知函数 y ? sin x ,则
2

答:[ (B)有最小正周期 ? (D)无最小周期
2

]

(A)有最小正周期 2? (C)有最小正周期
2

? 2

2. 关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小值 (C) 0 (D) ?1 ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的 (B) 1 三点是 (A) A 、 B 、 D (C) B 、 C 、 D 答:[ (B) A 、 B 、 C (D) A 、 C 、 D 答:[ ] ] 的和是 (A) 2 答:[ ]

4. 设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

, 3, 5, 7? 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ? ?1 2,4,6, , i ? 0,2 ,并且 1,
2

?

?

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为
(A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个

答:[ (D) 120 个

]

6. 已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ( x? R) , 且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1), 则 a 的值有
2

答:[ (D)无数个

]

(A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

7. 设 S n 为等差数列 ? an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 8. 设 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, ,它的反函数的图象经过点 1)

.

(2, ,则 a ? b 等于 8)

.

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 9. 已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f ( 2 x ? 2x ?1

x 的取值范围为
2 2

. .

10. 圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? x ? y ? 3 ? 0 的离心率是
7

11. 在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ?
2

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3
2

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x? R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中 有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 13. 设不等式组 ? .

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

0) 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 的直线 l 与
曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AA1C1C , A1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. C A

B A1

B1

C1

8

15. 已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?3 ? an ? 3 , an ? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

16. 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证明 你的结论.

9

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
(时间:2008 年 4 月 20 日上午 8:00—10:00)
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大值为 [ ]
2 2
2 2

A.

a?b 2

B.

ab
x

C.

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数 y ? f (x) 与其 反函数 y ? f ( x) 的图像的公共点只可能是点 [ ] A. P B. Q C. M D. N 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差 数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 答:[ ] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
?1

?1 1? ?2 4?
1 0.5

2 1

x
y

z
]

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 [ A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的平面 ? , ? [ A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分)

]

6. 设 集 合 A ? x x ? ?x ? ? 2 和B ? x x ? 2 , 其 中 符 号 ?x ? 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 则
2

?

?

?

?

A ? B ? ___________________.
7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? __________(结果要求写成既约分数). 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为____________. 9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________. 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则
2

a2 ? b2 =______________. c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分)

11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n? 时, f (x) 的取值 范围为 ? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?

10

12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9
1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已 知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角 的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).

N C A D

B M

11

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角 线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

12

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinα cosβ =1,则 cos(α +β )= _________ .

2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1= -5,则 k= _________ .

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e=
A

_________ .
3 +1 1 4.已知 x = 1-x,则实数 x= _________ 9 -1 3-3
x

R


D B Q P C

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ =2QD