9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

浅谈三角函数在的应用


论文 目录

浅谈三角函数公式的应用............................................................................................ 1 公式的应用.................................................................................................................... 1 一、引言........................................................................................................................ 1 二、三角函数的发展史(参考资料-------------张红《数学简史》 ) ........................ 2 (一)、三角学的产生......................................................................................... 2 (二)、三角学的独立与发展............................................................................. 2
1、三角学的独立 ............................................................................................................. 2 2、三角学的发展 ............................................................................................................. 3

三、浅谈三角函数在三角函数的应用........................................................................ 3 (一)三角函数的基本知识................................................................................. 3 (二)、三角函数在三角函数中的应用............................................................. 6
1、化简求值..................................................................................................................... 6 2、角的变换................................................................................................................... 10 3、函数名称的变换 ....................................................................................................... 11 4 公式的变形和逆用 ...................................................................................................... 12 5 变换结构(降次升幂) ................................................................................................... 13

致谢词................................................................................................................... 14 独撰声明............................................................................................................... 14

三角函数公式的应用
摘要:简述三件函数的发展史,三角函数在在三角函数的正用、逆用、变形、升降 幂、引入辅助角等的应用。)
关键字:三角函数 计算 应用

Abstract: Describes the development history of the three functions, trigonometric functions in
the inverse trigonometric functions are used, with introducing auxiliary Angle, deformation, lifting power, etc.

Key Words:Trigonometric function computing applications

一、引言
三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数,他是描述客观世界中周 期性变化规律的重要数学模型。 三角函数是高中数学重要的基础知识之一,有着 广泛的实际背景和应用空间.三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、 三角函数的图象和性质、正弦型函数Y=Asin( ? x ? ? )的图象及应用、三角 恒等变换、解三角形.它不但在生活中的很多方面都有很广的应用,如:潮汐和 港口水深、气象方面有气温的变化,天文学方面有白昼时间的变化,地理学方面 有潮汐变化,物理方面有各种振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力等.测 量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性等。
1

在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。三角函数是对函数概念的 深化,也是沟通代数,几何,与平面向量等的一种工具。其中三角函数在导数的 应用也颇为广泛。

二、三角函数的发展史(参考资料-------------张红《数学简史》 )
(一)、三角学的产生
三角函数包含于最早被称为三角学,“三角学”一词来自拉丁文 Trigonometry ,原意是三角形。与其他科学一样,三角学也是解决实际问题中发展 起来的。 早期的三角学依附于天文学,是天文学观测结果推算的一种方法,因此最先 发展前来的是球面三角学。古希腊梅内劳斯著《球面学》,提出了三角学的基础 问题和基本概念;50 年后的托勒密著《天文学大成》,初步发展三角学。在公园 499 年,印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想;气候的瓦拉哈米西 拉最早引入正弦概念,并给出最早的正弦表;公元 10 世纪的阿拉伯学者进一步探 讨了三角学。当然,所有这些工作都是天文研究的组成部分,还谈不上作为数学 的独立分支的三角学,甚至连三角学这名称还未出现。约定名早期的三角学是天 文学的一部份,后来研究范围逐渐扩大,变成以三角函数为主要对象的学科。现 在,三角学的研究范围已不仅限于三角形,且为数理分析之基础,研究实用科学 所必需之工具。

(二)、三角学的独立与发展
1、三角学的独立 从前面可知,古埃及、古希腊通商航海、天文观测等的需要产生了 三角学知识。到了13世纪,阿波罗的纳西尔丁著《论完全四边形》中第 一次吧三角学作为独立的学科进行论述,首次清楚地论述了正弦定理, 由球面三角形的三个角可求得它的三条边,反之成立。这是区别球面三 角形和平面三角形的重要标志。至此,三角学开始脱离了天文学,走上 路独立发展之路。

2

2、三角学的发展 ①三角学在西方的发展 文艺复兴的欧洲,德国数学家雷格蒙格努斯出版的《论各种三角形》 对平面三角学和球面三角学都进行了全面阐述,还编制了精密的正弦 表,并且应用了三角学解决了一些几何问题。 17世纪初对数的发明后大大简化了三角函数的计算,人们的注意力 转向了三角函数的理论研究。 于1595年德国数学家皮蒂斯楚斯不仅首次创用“三角学”一名词, 而且于1613年艰苦修订并出版了三角函数表。至此一个敬你的三角函数 表正式完成。 文艺复兴后期,法国数学家韦达首次把代数变换引进了三角学,补 充了正切定律,把斜三角形问题转化为直角三角形的问题来解决。对球 面三角形,给出计算的完整公式及其记忆法则。 近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的。欧拉用小写的拉 丁字母a、b、c表示三角形的三边,进一步简化了三角公式。欧拉还引 用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号,这是三角函数的 现代形式。 由于上述数学家及19世纪许多数学家的女里,形成了现代的三角函 数符号与手拿教学的完整理论。 ②三角学在中国的发展 我国古代没有出现角的函数概念, 只用勾股定理解决了一些三角学范围内的 实际问题。据《周髀算经》记载,约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量 太阳的高度,其方法后来称为「重差术」。明崇祯四年西方三角学首次输入,以 德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。清 同治十二年华蘅芳和英国傅兰雅合译,书名《三角数理》。

三、浅谈三角函数在三角函数的应用
(一)三角函数的基本知识
1、如图 1 y 叫做α 的正弦,记作 sinα ;x 叫做α 的余弦,记作 cosα ; y/x

(x≠0)叫正切记作 tanα ,tanα =

y sin ? ? x cos ?



3

y

P ( x, y )

r

O

x

图1 2、下列是关于三角函数的诱导公式
①终边相同的角的同一三角函数的值相等。由此可得到下列公式:

公式一:

sin(2k? ? ? ) ? sin ? , cos(2k? ? ? ) ? cos ? , tan(2k.? ? ? ) ? tan ? .其中k ? Z.
②如图 2 P(x,y) ,直线 OP 的反向延长线 OE 交圆 O 于 F 点,则 F 点的坐标为 F(-x, -y)由此可得到下列公式: 公式二:

sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? , tan(? ? ? ) ? tan ? .

4

图2 ③同理可得到: 公式三:

sin(?? ) ? ? sin ? , cos(?? ) ? cos ? , tan(?? ) ? ? tan ? .
④公式四:

sin(? ? ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? , tan(? ? ? ) ? ? tan ? .

我们可以用下面的话来概括公式一~四: a ? 2k? ? k ? z ? , ?? , ? ? ?的三角函数,等于?的同名函数值,前面加上一个把? 看成 锐角时原函数值的符号。
? ? ,射线 OL、射线 OE 关于直 2 线 BC 对称,若 L(x,y)则 E(y,x) ,由此可以得到: 公式五:

⑤如图 3 所示 ? xOL= ? yOE= ?? , ? xOE=

?

sin( ? ? ) ? cos ? , 2 cos( ? ? ) ? sin ? . 2
? ? ? ? ? ( ? ? ) ,由公式四及公式五可得: 2 2 公式六:

?

?

⑥由于

?

?

5

sin(

?
2

? ? ) ? cos ? , ? ? ) ? ? sin ? .

cos(

?
2

公式五、公式六可以概括如下: ? ? ? 的正弦(余弦)函数值,分别等于 ? 的余弦(正弦)函数值,前面加上 2 一个把 ? 看成锐角的符号。 3、两角和、差的正弦、余弦、正切公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? tan ? tan(? ? ? ) ? , 1 ? tan ? tan ? tan ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
4、二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ,

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1, sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 1 ? cos 2? cos 2 ? ? 2 2 tan ? tan 2? ? , 1 ? tan 2 ?

(二)、三角函数在三角函数中的应用
1、化简求值
在三角函数的化简求值中,有些的利用三角函数的诱导公式,有些是三角知识的应用,有些 需要利用以前学的函数知识,数学的基础知识,有的需要代入“ 1 ? sin ? ? cos ? ”
2 2

①给角求值

例 1、求值: cos(? 11? ) ? sin(? 71? ) ? tan(19? )
3 6 3

6

解: cos( ? 11? ) ? sin( ? 71? ) ? tan(19? )
3 6 3

? c o s?( ?4 ?

?
3

?)

? c o s ? s i n? 3 6 1 1 ? ? ? 3 2 2 ? 1? 3

?

?

?

s ? i n?( ? 1 2 ? 6

?

)? ? t a n? ( 利用公式一化简 6 ) ? 3

?

tan 3

例2、求 sin 50。 1+ 3 tan10。 的值。 ? sin10。? 解:原式= sin 50。?1+ 3 ? cos10。? ? ? cos10。? 3 sin10。? = sin 50。? ? ? ? cos10。 ? ? ?1 ? 3 。 sin10。? ? cos10 ? 2 ? ? 2sin 50。? 2 cos10。 ? ? ? ? ? ? o o ? sin 30 cos10 ? cos 30o sin10o ? 。 ? 2sin 50 ? ? ? 两角和的正弦公式 ? cos10o ? ? o o ? sin(30 ? 10 ) ? ? 2sin 50。? ? 0 cos10 ? ? ? sin 40o ? ? 2sin 50 ? 0 ? ? cos10 ? cos 40o sin 40o ?2 ?二倍角的正弦公式? cos100 sin 80o ? ?1 cos100 ②给值求值


?

?

例 1、已知 sin ? ? ?2 cos ? ,求 sin 2 ? ? 5sin ? cos ? ? 2 的值

7

解: sin ? ? ?2 cos ? ,? tan ? ? ?2. ? sin 2 ? ? 5 sin ? cos ? ? 2 ? sin 2 ? ? 5 sin ? cos ? ? 2(sin 2 ? ? cos 2 ? ) ?"1" 代入法 ? 3sin 2 ? ? 5 sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? ?同上 ? 1 3sin 2 ? ? 5 sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 分子分母同时除以 cos 2 ? ? ? 2 2 sin ? ? cos ? 2 3 tan ? ? 5 tan ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?① tan 2 ? ? 1 将 tan ? ? ?2代入① 24 ? 5
b 例2、 tan ? = ,求a cos 2? +bsin2? a b 解: tan ? = a ? b=a tan ? 将其代入a cos 2? +bsin2? =a cos 2? +atan? sin2? sin ? sin 2? ) cos ? a(cos ? cos 2? + sin ? sin 2?) = (和角的余弦公式) cos ? a cos (2? -?) = =a cos ? ③给值求角 =a(cos 2? +

3 , x ? ? ?? , ? ? , 则x的值? 2 解: x ? ? ?? , ? ?, ? 0 ? x+? ? 2? . 例1、若cos ?? +x ? ? 3 ? 11? , ?? +x= 或? +x= 。 2 6 6 5? 5? ? x ? ? 或x ? 6 6 ④化简问题 又 cos ? x+? ? =

sin 3 ? ? cos3 ? 例 1、化简 sin 2 ? cos ? ? sin ? cos 2 ? ? cos3 ?
解:原式

8

(sin ? ? cos ? )(sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ) cos ? (sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ) sin ? ? cos ? ? cos ? ? tan ? ? 1 ?

例 2、化简 cos20 o cos40 o cos60 o cos80 o 解: cos20 o cos40 o cos60 o cos80 o
cos 200 cos 400 cos 600 cos800 1 0 2sin 20 cos 200 cos 40 0 cos 60 0 cos80 0 ? 2sin 200 sin 400 cos 400 cos 600 cos80 0 ? 4sin 200 2sin 800 cos 600 cos800 =? 8sin 200 sin1600 cos 600 ? 8sin 200 sin(1600 ? ? )cos60 0 sin 20 0 cos 60 0 1 ?? ? ? 8sin 200 8sin 20 0 16 ?

⑤证明问题 例1、 求证: ( 2 sin6? ? cos6 ? ) ? 3(sin4? ? sin4? ) ? ?1. 证明:
sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, ? ? sin 2 ? ? cos 2? ?
2

? sin 4 ? ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? cos 4 ? ? 1 ? sin 4 ? ? cos 4 ? ? 1 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? ?① 又 ? sin 2 ? ? cos 2? ? =
3

sin 6 ? ? 3sin 4 ? cos 2 ? ? 3sin 2 ? cos 4 ? + cos 6 ? =1, ? sin 6? +cos 6? =1 ? 3sin 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? sin 6? +cos 6? =1 ? 3sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ② 由①②得 左边=2( 1 ? 3sin 2 ? cos 2 ?)-3 ?1 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? ? ?1 ? 右边
9

2、角的变换
三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知。常见的变角公式有:

? ??? ? ? ; 2 ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ;?2

?? ? ??

? 等。 ? 许多相异角,可根据 ? ?? ?

角与角之间之间的和差、倍半、互补、互余的关系进行变换。

例 1、已知 tan(? ? ? ) ? n tan(? ? ? ), n ? ?1 ,求证:

sin 2 ? n ?1 ? 。 sin 2? n ?1

证明: 2 ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ), 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ), sin 2 ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? ? sin 2? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) n tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? n tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) n ?1 ? n ?1

例 2、 已知锐角α , β 满足 sin ? csc ? ? 2 cos(? ? ? ), ? ? ? ? 求出β 的值。

?
2

, 求 tanβ 的最大值,

? 解: ? , ? ? (0, ), tan ? ? 0, 由条件 sin ? ? 2sin(? ? ? )sin ? ,而 2
sin ? s i? n [? (? ?? ) ? ] ? s i? n? ( ? 2 c o? s (? ? ) s? i n??, ? ? 2

? )? c o s ? ?c ? os( ?
c? o? s (? ? ) 0,

) sin

?

?

两边同除以 cos( ? ? ? )cos ? ,∴tan( ? ? ? )=3tan ? 。 从而 tan ? =tan[( ? ? ? ) ?? ] ?

tan ?? ? ? ? ? tan ? 1 ? tan ?? ? ? ? tan ?

tan ? 在(0,

? )上是增函数。 2 ? 3 ,此时 ? 的值为 。 6 3

所以 tan ? 的最大值为

10

3、函数名称的变换
三角变形中,常常需要变不同名函数为相同名函数。其目的在于“消除差异,化异为同” 。 变换的依据是同角三角函数的关系式和诱导公式, 常见的方法是切割化弦。 切割化弦就是把 三角韩式中国的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦。还有就是化弦为切,入把含有 sin ? 、cos ? 的式子转化为只含 tan

? 的式子。 2

例 1、求证

tan ? ? sec ? ? 1 1 ? sin ? ? . tan ? ? sec ? ? 1 cos ?

sin ? 1 ? ?1 cos ? cos ? 证明:左边 = (切割化弦) sin ? 1 ? ?1 cos ? cos ? sin ? ? 1 ? cos ? = sin ? ? 1 ? cos ? (sin ? ? 1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) ? ?同乘以1 ? sin ? ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? (1 ? sin ? ) (sin ? ? 1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) sin 2 ? ? 1 ? cos ? (1 ? sin ? ) (sin ? ? 1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) ? ? cos 2 ? ? cos ? (1 ? sin ? ) (sin ? ? 1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) ? cos ? (1 ? s in ? ? cos ? ) 1 ? sin ? ? ? 右边 cos ? ∴等式成立 ?

11

? ?? ? ?? 例2、已知函数f ? x ? ? tan x, x ? ? 0, ? , 若x1、x2 ? ? 0, ?,且x1 ? x2, ? 2? ? 2? 1 ?x ?x ? 求证: f ? x1 ? +f ? x2 ? ? f ? 1 2 ? . 2 ? 2 ? sin x1 sin x2 证明: tan x1 ? tan x2 ? ? ? 切割化弦 ? cos x1 cos x2 ? ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x1 sin ? x1 ? x2 ? ? cos x1 cos x2 cos x1 cos x2 2sin ? x1 ? x2 ? . cos( x1 ? x2 ) ? cos( x1 ? x2 )

? ?? 因x1、x2 ? ? 0, ? ,, cos x1 cos x2 ? 0, ? 2? 且0 ? cos (x1 +x2) ? 1, 从而有 0 ? cos (x1 +x2) ? cos( x1 ? x2 ) ? 1 ? cos( x1 ? x2 ). 由此得 tan x1 ? tan x2 ? 2sin ? x1 ? x2 ? , cos( x1 ? x2 ) ? 1

x ?x 1 故 ( tan x1 ? tan x2)>tan 1 2 , 2 2 1 ?x ?x ? 即 f ? x1 ? +f ? x2 ? ? f ? 1 2 ? . 2 ? 2 ?
4 公式的变形和逆用
三角变换中,我们经常顺用公式,但是有时我们也要逆用和变形公式,来达到化简求值的目 的。

? 例1、求

3 tan12。? 3 csc12。 的值。 4 cos 2 12。? 2 ? sin12。 ? ?1 。 3 ? 3 ? sin 12 ? cos12。 ? ? 解:原式= 4 cos 2 12。? 2 3 sin12。? 3cos12。 ? 2sin12。cos12。? 2 cos12。? 1? ? ? 2 3 ? sin12。cos 60。? cos12。sin 60。? 4 3 sin ? ?48。? sin 48。 sin 24。cos 24。 =?4 3

?

12

1+ sin ? ? cos ? 1+ sin ? ? cos ? ? 。 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? ?? 1+2sin cos ? ?1 ? 2sin 2 ? 1+ sin ? - cos ? 2 2 ? 2? 解: = ?正余弦半角公式? 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 1 2 2 2 ?? ? ?? 2sin ? cos + sin ? ? 2? 2 2? ? ? tan ?? ? ?? 2 2 cos ? sin ? cos ? 2? 2 2? 1+ sin ? ? cos ? 1 ? = 1 ? sin ? ? cos ? tan ? 2 1+ sin ? ? cos ? 1+ sin ? ? cos ? ? 1 ? ? = tan ? 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 tan ? 2 例2、化简 ? tan 2

?

2

?1

2 tan 2 2 1 ? ?2 ? ?2 cot ? tan ?
5 变换结构(降次升幂)

tan

?

? ?2

1 ? tan 2

?

?

2 ? 正切二倍角公式的变形用?

1 例1、 csc ?? -? ? =3sin ?? +? ?,求 sin 2 2? + sin 2 ? + cos 4 ?的值。 4 1 解: sin 2 2? + sin 2 ? + cos 4 ? 4 1 1- cos 2 ? ( 1+ cos 2?) 2 = sin 2 2? + +( )? 化为同角? 4 2 1 1 1 1 = (sin 2 2? +cos 2 2?) + + + ? cos 2? ? cos 2 ? ? 4 2 4 2 =1-sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? .---------------------② csc ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? , 1 ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? . 3 代入② 1-sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? = 2 3

13

致谢词
本文得到老师的悉心指导和帮助,尹绍君老师耐心严谨,在百忙之中抽出时 间为本人提供了宝贵的建议和指导,论文的完成也得到了尹绍君帮助。在这里谨 向他们表示衷心的感谢!

独撰声明
我声明,本论文(设计)是由本人在指导教师的指导下独立完成的,在完成 论文(设计)时所利用的一切资料均已在参考文献中列出。

14


赞助商链接

更多相关文章:
浅谈单位圆在三角函数的应用
浅谈单位圆在三角函数的应用单位圆是半径等于单位长的圆,而三角函数是以自变量为实数的函数;它们似乎没 什么关系,在直角坐标系的媒介作用下,这两者的关系可谓“...
浅谈三角函数在高考中的应用
浅谈三角函数在高考中的应用。三角函数在高考中占有重要地位,此文章希望对读者有一定的帮助浅谈y ? Asin(?x ? ? ) ? b 或 y ? Acos(?x ? ? ) ? b ...
浅谈三角函数的证明及应用
Keywords: trigonometric functions proved observation analysis -1- 三角函数证明方法与应用 浅谈三角函数的证明及应用一、 三角函数起源与发展三角学形成于公元 ...
浅谈直角三角形在三角函数的运用
浅谈直角三角形在三角函数的运用曲靖市罗平职业技术学校 李小卫 【摘要】已知一个角的三角函数值,求该角的其他三角函数值,常见的题目有三种:一是函数值已知且...
浅谈数学三角函数在数控专业中的应用及步骤
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈数学三角函数在数控专业中的应用及步 骤 作者:王宗巍 来源:《文理导航》2013 年第 09 期 【摘要】作为数学中的三角...
谈“单位圆”在三角函数的应用教师版
浅谈“单位圆”在三角函数的应用新课程用单位圆定义任意角的三角函数,提升了单位圆、三角函数线的地位,三角函数 的知识结构和方法体系也发生了一些变化, 利用单位...
浅谈“单位圆”在三角函数的应用(1)
浅谈“单位圆”在三角函数的应用胡海光 (宝鸡文理学院数学系 陕西宝鸡 721013) 摘要:新课程用单位圆定义任意角的三角函数,提升了单位圆、三角函数线的地位,三角...
浅谈三角函数中数学建模思想的应用
浅谈三角函数中数学建模思想的应用浅谈三角函数中数学建模思想的应用隐藏>> 浅谈建模思想在三角函数中的应用摘要:随着新课程改革的不断深入,新型的教育模式要求重点培养...
教学论文:浅谈新课标下化归方法在三角函数的应用
教学论文:浅谈新课标下化归方法在三角函数的应用摘要:新课程标准关注在教学中培养学生数学能力,而掌握基本数学思想方法则是形成和发展学生 能力的基础。 在数学教学...
三角函数性质理解和简单应用
三角函数性质理解和简单应用_数学_高中教育_教育专区。浅析三角函数性质理解和简单应用 摘要:通过分析三角函数图像可以掌握三角函数性质。在解 决三角函数问题是...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图