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第一章公式推导



晶格具有平移不变性。因此,在研究晶体结构和性质时,常常要 遇到许多周期函数f(r),它具有如下性质:f(r) = f(r+R),式中R是 晶格平移矢量。 ? V r 如晶体中的离子实所产生的势场 ? ? 。按周期性的要求有: ? ? ? V ?r ? ? V r ? R ? V ? r ?在各原胞的相应点上均相同(晶体是个等势体)。这种具 有晶格周期性的函数,可以展开为傅立叶级数: ? ? ? iG?r V ? r ? ? ?V ? G ? ?e

?

?

G

(凡是具有晶格平移对称性的函数,都可以以

? ? ? ? 式中求和取遍矢量 G 的一切可能值,当 r 变为 r ? R 时,要求: ? ? ? ? ? ? iG ? iG ? ? ? ?? r ? R ? V r ? R ? ?V G ? e ? V ? r ? ? ?V G ? e ?r

为基函数作傅里叶级数展开)

?

?

G

? ?

?e

? ? iG? R

?1

G

? ?

? 因此,矢量 G 不是任意的,它必须满足: ? ? ? ? ? ? G ? R ? G ? ? n1a1 ? n2 a2 ? n3a3 ? ? 2? m

? ? ? ? ? ? G ? a? G ? a3 ? 2? h3 。 m 为整数,或要求 G ? a1 ? 2? h1 , 2 ? 2? h2 , h1 , h2 , h3 为整数。满足上式的 G 可以表示为: 其中, ? ? ? ? G ? h1b1 ? h2b2 ? h3b3
?2? ? ? ai ? b j ? 2?? ij ? ? ?0 i? j i? j

i, j ? 1, 2,3

如果确定了正格子基矢,倒格子基矢就不是任意的,满足 上述正交关系。

P

·

布里渊区界面方程
? 布里渊区的界面是某一倒格矢 G 的垂直平分面,界面方程 ? ? 1 2 式可以写成: k ?G ? G 2 1 ? ? ? k 在 G 上的投影是 G 的 2 。 即 ? ? ? k 是倒格子空间中的矢量。满足上式的 k 的端点将落在 G ? k 的末端的格点构成布里渊区的界 的垂直平分面上,所有 ? 面,只要给定 G ,就可以求出对应的布里渊区界面。

G G? ( k ? ) ? 0 2

?

?

?

? k
G ? 2
?

?

k?

G 2
?G
?

?

温度T ≠ 0时,晶体中的原子围绕其平衡位置做小的热 振动,导致对X射线的非弹性散射。由于所引起的能量 变化约10 meV,与104 eV(X射线光子能量)相比甚小, 此处忽略这部分变化,相当于假定晶体中所有的原子 固定不动,只考虑晶体几何结构的影响,晶体对X射线 的散射是弹性的或准弹性的。如入射波矢和散射波矢 ? ? 分别为 k 、k ? ,有
? ? k ? k?

相应的分析可称为几何理论。

劳厄公式

波矢与波长 的关系

k0 ?

2?

?

=
= =

? ? ? ? ? ? G ? R ? G ? ? n1a1 ? n2 a2 ? n3a3 ? ? 2? m

? ? ? ? 证明:对弹性散射 k ? k ? ,劳厄公式表明,k 、k ?、Ghkl

? ? ? k ? k? ? G

? ? 1 2 k ?G ? G 2

围成等腰三角形。

G G k? ? G 2

也可以两边直接平方证明。 恰好是布里渊区的界面方程。这就是说,凡是波矢从原 点出发,其端点落在布里渊区界面上的X射线都满足衍射 条件。

劳厄方程与布拉格定律的关系



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