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2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)(圆锥曲线——厦门市数学组供稿)



2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)
圆锥曲线 厦门市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 x2 y2 (1) “k>9”是“方程 + =1 表示双曲线”的 ( ) 9-k k-4 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 (2)抛物线 y= x2 的准线方程是( ) 4
(A)y=-1 (B)y=-2 (C)x=-1 (D)x=-2 x2 y2 (3)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为 ( (A) 3 6 1 (B) 3 1 (C) 2 ) (D) 3 3 )

x2 y2 5 (4)已知双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( a b 2 1 1 (A)y=± x (B)y=± x 4 3 1 (C)y=± x 2 (D)y=± x )

y2 (5)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是 ( 3 1 (A) 2 (B) 3 2 (C)1 (D) 3

1 17 (6)已知 P 为抛物线 y= x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是(6, ), 2 2 则|PA|+|PM|的最小值是 ( (A)8 19 (B) 2 ) (C)10 (D) 21 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。 x2 (7)已知双曲线 2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? _________. a
x2 y2 3 (8)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 , a b 3 过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4
2 2

3,则 C 的方程为_________.

x y (9)若双曲线 2- =1 的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为 2, a 3 则该双曲线的实轴长为_________. x2 y2 (10)椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B. 4 3

当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本小题满分 10 分)
已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的 距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。

(12) (本小题满分 15 分) 如图,已知椭圆 ? :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴右端点为 A , M (1,0) 2 b a 2

为线段 OA 的中点. (Ⅰ) 求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆 ? 相交于两点 P, Q ,试探究在 x 轴上是否存在 定点 N ,使得 ?PNM ? ?QNM ,若存在,求出点 N 的坐标; 若不存在,说明理由.

y P O M A N x

Q

(13) (本小题满分 15 分) 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交 于 M,N 两点,且|MN|=8. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; → → (Ⅱ)设直线 l 为抛物线 C 的切线,且 l∥MN,P 为 l 上一点,求PM·PN的最小值.

2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)
圆锥曲线(参考答案) 厦门市数学组
一、选择题。 1.B.解析:当 k>9 时,9-k<0,k-4>0,方程表示双曲线. 当 k<4 时,9-k>0,k-4<0,方程也表示双曲线. x2 y2 ∴“k>9”是“方程 + =1 表示双曲线”的充分不必要条件.选(B) 9-k k-4 1 2. (A)解析:因为抛物线 y= x2 的标准方程为 x2=4y,所以其准线方程为 y=-1. 选 A 4 3.(D)解析:法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= 3m, c 2c |F1F2| 3m 3 故离心率 e= = = = = .选(D) a 2a |PF1|+|PF2| 2m+m 3 b2 法二:由 PF2⊥F1F2 可知 P 点的横坐标为 c,将 x=c 代入椭圆方程可解得 y=± , a b2 b2 所以|PF2|= .又由∠PF1F2=30° 可得|F1F2|= 3|PF2|,故 2c= 3· , a a 变形可得 3(a2-c2)=2ac,等式两边同除以 a2,得 3(1-e2)=2e, 解得 e= 3 或 e=- 3(舍去).选(D) 3 c2-a2 = a2

c 5 b 4. (C)解析:离心率 = ,所以 = a 2 a

?c? -1=1. ?a? 2

2

1 由双曲线方程知焦点在 x 轴上,故渐近线方程为 y=± x. 选 C 2 y2 5. (B)解析:抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F(1,0),双曲线 x2- =1 的渐近线为 3x± y= 3 0, 故点 F 到 3x± y=0 的距离 d= | 3| 3 = .选 B 1+3 2

1 1 6.(B)解析:选(B)依题意可知焦点 F(0, ),准线为 y=- ,延长 PM 交准线于 H 点(图 2 2 略). 1 1 则|PF|=|PH|,|PM|=|PH|- ,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|- ,即求|PF|+|PA|的最小值. 2 2 因为|PF|+|PA|≥|FA|,又|FA|= 17 1 62+( - )2=10. 2 2

1 19 所以|PM|+|PA|≥10- = .故选(B) 2 2

二、填空题。 7.解析:双曲线

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? 1 x , 3x ? y ? 0 ? y ? ? 3x , a2 a

3 a 3 8.解析:根据题意,因为△AF1B 的周长为 4 3,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|

? a ? 0 ,则 ? 1 ? ? 3,a ?

c 3 +|BF1|+|BF2|=4a=4 3,所以 a= 3.又因为椭圆的离心率 e= = , a 3 x2 y2 所以 c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 3 2 2 2 x y 9.解析:. 2- =1 的一渐近线 3x+ay=0,被圆(x-2)2+y2=4 所截弦长为 2, a 3 2 3 所以圆心到直线距为 3,即 = 3,a=1.所以双曲线的实轴长为 2. 3+a2 10.解析:如图,设椭圆右焦点为 F′,直线 x=m 与 x 轴相交于 C, 由椭圆第一定义,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a=4, 而|AB|=|AC|+|BC|≤|AF′|+|BF′|,∴当且仅当 AB 过 F′时,△ABF 周长最大. 3? 3? 1 ? 此时,由 c=1,得 A? ?1,2?,B?1,-2?,即|AB|=3,∴S△ABF=2|AB||FF′|=3. 三、解答题。 11.解(Ⅰ)依题设椭圆 C 为 ∴?

x2 y 2 , ? ? 1(a>0,b>0) ,且右焦点 F(-2,0) a 2 b2
,解得 ?

?c=2
'

?2a=|AF|+|AF |=3+5=8 x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1 。????????????????4 分 16 12
x2 y2 ? ? 1 .又∵椭圆 C 经过点 A(2,3), b2 ? 4 b2

?c=2 2 2 2 2 ,又 a =b +c ,∴ b ? 12 , ?a=4

另解:设椭圆方程为 ∴
2

4 9 4 2 2 2 ? 2 ? 1 ,化简整理得 b ? 9b ? 36 ? 0 ,解得 b =12 或 b =-3(舍去). b ?4 b 2 2 所以所求椭圆的方程为 x ? y ? 1 .????????????????4 分 16 12 3 ? y ? x ? t, ? 3 ? 2 (Ⅱ)假设存在 l :为 y= x+t ,由 ? 消去y得3 x 2 ? 3tx ? t 2 ? 12 ? 0. 2 2 2 x y ? ? ?1 ? 16 12 ?
∵? ? (3t)2 -4 ? 3(t 2 -12) ? 0 ,解得 ?4

3 ? t ? 4 3 ,????????6 分 |t | ? 4, 解得t ? ?2 13. 另一方面,由于直线 OA 与 l 的距离 d=4,故可得 3 2 ( ) ?1 2
? ?2 13 ?[?4 3, 4 3], ∴符合题意的直线 l 不存在. ????????10 分

12.解:(Ⅰ)由已知 b ? 2 ,又 e ? 所以椭圆方程为

2 2 ,即 a ? 4 ? 2 ,得 a ? 2 2 , 2 a 2

y P O Q M A N x

x2 y 2 ? ? 1 . ????????5 分 4 8 (Ⅱ)假设存在点 N ( x0 ,0) 满足题设条件.
当 PQ 与 x 轴不垂直时,设 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

当 PQ ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有 ?PNM ? ?QNM ,即 x0 ? R ;?? 6 分 代入椭圆方程化简得: (k 2 ? 2) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,
2 k2 ?8 则 x1 ? x2 ? 2k , x1 x2 ? ,????????????????????7 分 2 ? k2 2 ? k2 y1 y2 k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) k ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) , kPN ? kQN ? ? ? ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) x1 ? x0 x2 ? x0



( x1 ?1)( x2 ? x0 ) ? ( x2 ?1)( x1 ? x0 ) ? 2x1x2 ? (1 ? x0 )( x1 ? x2 ) ? 2x0
?

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 .???????????????????11 分 2 ? k2 2 ? k2 若 ?PNM ? ?QNM , 则 kPN ? kQN ? 0 ,

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 ] ? 0 , 整理得 k ( x0 ? 4) ? 0 ,???13 分 2 ? k2 2 ? k2 ∵ k ? R ,∴ x0 ? 4 .综上在 x 轴上存在定点 N (4,0) ,使得 ?PNM ? ?QNM . 15 分
即 k[ p p 13.解:(Ⅰ)由题可知 F( ,0),则该直线方程为 y=x- ,代入 y2=2px(p>0), 2 2 p2 得 x2-3px+ =0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则有 x1+x2=3p. 4 ∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8,即 3p+p=8,解得 p=2,∴抛物线的方程为 y2=4x. 5 分 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=x+b,代入 y2=4x,得 x2+(2b-4)x+b2=0. ∵l 为抛物线 C 的切线,∴Δ=0,解得 b=1.∴l 的方程为 y=x+1. ?7 分 → → 设 P(m,m+1),则PM=(x1-m,y1-(m+1)),PN=(x2-m,y2-(m+1)), → → ∴PM· PN=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)] =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2. ???9 分 由(Ⅰ)可知:x1+x2=6,x1x2=1,∴(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4. x1-x2 2 ∵y2 =4,?????????11 分 1-y2=4(x1-x2),∴y1+y2=4 y1-y2 → → ∴PM· PN=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2 =2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,?????????14 分 → → 当且仅当 m=2,即点 P 的坐标为(2,3)时,PM· PN的最小值为-14. ???15 分



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