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上海市静安区2012年中考二模数学试题(含答案)


静安区“学业效能实证研究”学习质量调研 九年级数学学科 2012年4月
(满分150分,100分钟)
考生注意: 1. 本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在 . 草稿纸、本调研试卷上答题一律无效; 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的 主要步骤. 一、选择题: : (本大题共 6题,每题 4分,满分 24分) 【每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂】 1. 下列运算正确的是( )

A .9 ? 3; B . 9 ? ?3 ; 2 2. 关于 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 根的情况是( A .有两个不相等的实根;

1 3

1 3

C .9 ? 3 ;


1 2

D . 9 ? ?3 k ? 1 .

1 2

C .没有实数根; 3. 函数 y ? ?1 ? k ? x 中,如果 y 随 x 增大而减小,那么常数 k 的取值范围是( ) C .k ?1; A . k ?1; B . k ? 1; D .k ?1.
4. 在一个口袋中,装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球,从中随机摸出两个球,摸到 两个球颜色不同的概率是( )

B .有两个相等的实根; D .不能确定.

A .

1 ; 4

B.

1 ; 2

1 C. ; 3

D.

2 . 3

5. 对角线互相平分且相等的四边形是( ) C .正方形; A .菱形; B .矩形; D .等腰梯形. 如果⊙ O1 的半径是 5,⊙ O2 的半径为 8, O1O2 ? 4 ,那么⊙ O1 与⊙ O2 的位置关系是 6. ( ) A .内含;

B .内切;

C .相交;

D .外离.

二、填空题: : (本大题共 12题,每题 4分,满分 48分) 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 计算:

?

3?2

?

2

?

. . . .
5

6 3 8.化简: 6a ? 3a ?

9. 不等式组 ?

? x ?1 ? 0 的整数解是 ??2 x ? 3

10. 方程 x ? 6 ? x 的根为

11. 函数 y ?
2

3x ? 2 的定义域为 2x ? 3
2



12. 已知 x ? xy ? 2 y ? 0 ? y ? 0? ,那么

x ? y



13.如果点 A 、 B 在一个反比例函数的图像上,点 A 的坐标为(1,2) )点 B 横坐标为 2,那么 A 、 B 两点之间的距离为 . 14.数据 3、4、5、5、6、7 的方差是 . 15.在四边形 ABCD 中, AB ? CD ,要使四边形 ABCD 是中心对称图形,只需添加一个条件, 这 个条件可以是 . 16.在△ ABC 中,点 D 在边 BC 上, CD ? 2 BD , AB ? a , BC ? b ,那么

??? ?

?

??? ?

?

??? ? DA ?

.?

? 17.如图,点 A 、 B 、 C 在半径为 2的⊙ O 上,四边形 OABC 是菱形,那么由 BC 和弦 BC 所 组成的弓形面积是 .
A

D

C

B

? 18.如图,在△ ABC 中,∠ C ? 90 ,点 D 为 AB 的中点, BC ? 3 , cosB ?

1 ,△ DBC 沿着 3

CD 翻折后,点 B 落到点 E ,那么 AE 的长为
三、解答题:(本大题共 7题,满分 78分) : : 【将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上】 19. (本题满分 10 分) 化简



1 ?1 0 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ,并求当 x ? 3 ? 1 时的值. x ? 3x ? 2
2

5

20. (本题满分 10 分)

1 ? 3 ? x2 ? y ? x ? y ? 2 ? 解方程组 ? . ? 6 ? 1 ?1 ? x2 ? y x ? y ?

21. (本题满分 10 分,第(1)小题满分 6分,第(2)小题满分 4分) 已知如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 5 , BC ? 8 , AE ? BC ,垂足为 E ,

3 cosB ? .求: (1) DE 的长; (2) ?CDE 的正弦值. 5

5

22. (本题满分 10 分第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分) 20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共 120 吨,每个集装箱都只装载一种商品,根据下表提 供的信息,解答以下各题: 商品类型 甲 乙 丙 每个集装箱装载量(吨) 每吨价值(万元) (1)如果甲种商品装 8 12 6 15 5 20

x 个集装箱,乙种商品装 y 个集装箱,求 y 与 x 之间的关系式;

(2)如果其中 5个集装箱装了甲种商品,求每个集装箱装载商品总价值的中位数.

23. 本题满分 12分,第(1)小题满分 7分,第(2)小题满分5分) . ( 已知:如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB ? CD ? AD ,点 E 在 BA 的延长线上, AE ? BC , ?AED ? ? . (1)求证: ?BCD ? 2? ; (2)当 ED 平分 ?BEC 时,求证:△ EBC 是等腰直角三角形.

5

24. 本题满分 12分,第(1)小题满分 4分,第(2)小题满分8分) ( 如图,一次函数 y ? x ? 1 的图像与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A 、 B .二次函数的图像与 y 轴的正半轴相交于点 C ,与这个一次函数的图像相交于点 A 、 D , sin?ACB ? (1) 求点 C 的坐标; (2)如果 ?CDB ? ?ACB ,求这个二次函数的解析式.

10 . 10

5

25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 4 分) 如图,⊙ O 的半径为 6,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D , AC =4 , ?BOD ? ?A , OB 与⊙ O 相交于点 E ,设 OA ? x , CD ? y . (1) 求 BD 长; (2) 求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; (3) 当 CE ⊥ OD 时,求 AO 的长.

O E A C D B

5

参考答案及评分标准
2012.4.12
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. C ; 2. A ; 3. B ; 4. D ; 5. B ; 6. C . 二.填空题: (本大题共 12 题,满分 48 分) 7. 2 ? 3 ; 8. 2a ; 9. ? 1,0,1 ; 10. x ? 3 ; 11. x ? ?
3

12. ? 2 或 1; 13. 2 ;

3 ; 2

5 ; 3 ? ? 15. AB // CD 或 AD =BC 、 ?B ? ?C =180 、 ?A ? ?D=180 等; 1 16. ? a ? b ; 3 2 17. ? ? 3 ; 3
14. 18.7. 三、 (本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 分, 满分 78 分) 19. 解:原式=

1 1 ? ?1 ( x ? 1)(x ? 2) x ? 1
5

(3 分)

1 ? x ? 2 ? x 2 ? 3x ? 2 (2 分) ( x ? 1)(x ? 2) x 2 ? 2x ? 1 = (1 分) ( x ? 1)(x ? 2) x ?1 = . (1 分) x?2 3 ?1 ?1 3 3? 3 当 x ? 3 ? 1时,原式= . ? ? 2 3 ?1? 2 3 ?1
= 20. 解:设

(3 分)

1 1 ? a, ? b, x? y x ?y ?3a ? b ? 2, 则? ?6a ? b ? 1, 1 ? ?a ? , 3 ? ?b ? 1. ?
2

(2 分) (2 分)

(1 分)

1 ? 1 ? x2 ? y ? 3 , ? ? ? 1 ? 1, ?x ? y ? ?x 2 ? y ? 3 ? ?x ? y ? 1, ?x1 ? 2, ? x2 ? ?1, 解得 ? ? ? y1 ? ?1,? y2 ? 2.
经检验:它们都是原方程组的解. 所以原方程组的解是 ?

(1 分)

(1 分)

(2 分) (1 分)

? x1 ? 2 ? x2 ? ? 1 ,? . ? y1 ? ?1 ? y2 ? 2

21. 解: (1) ∵Rt△ ABE 中, cos B ?

BE , AB 3 ∴ BE ? AB cos B ? 5 ? ? 3 . 5
∴ AE ?

(1 分) (1 分) (2 分)

AB2 ? BE 2 ? 52 ? 32 ? 4 ,
5

∵□ ABCD 中, AD // BC , ∴ ?DAE ? ?AEB ? 90? , AD ? BC ? 8 , (1 分) ∴ DE ? AE 2 ? AD2 ? 42 ? 82 ? 4 5 . (1 分) (2)∵ CD ? AB ? 5 , CE ? BC ? BE ? 8 ? 3 ? 5 , ∴ CD ? CE , (1 分) ∴ ?CDE ? ?CED ? ?ADE . (1 分) ∴ sin ?CDE ? sin ?ADE ?

AE 4 5 . ? ? DE 4 5 5

(2 分)

22. 解: (1)丙种商品装( 20 ? x ? y ) 个集装箱, ∴ 8x ? 6 y ? 5(20 ? x ? y) ? 120, ∴ y ? 20? 3x .

(1 分) (4 分) (1 分)

(2)当 x ? 5 时, y ? 20 ? 3 ? 5 ? 5 , 20 ? x ? y ? 20 ? 5 ? 5 ? 10 . (1 分) ∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是 5、5、10, 相应的每个集装箱装载商品总价值分别为 96、90、100 万元. (1 分) 20 个集装箱装载商品总价值从小到大排列后第 10、11 个分别是 96、100 万元. 分) (1 ∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是

96 ? 100 ? 98 (万元) . 2

(1 分)

23. 证明: (1)联结 AC , (1 分) ∵梯形 ABCD 中, AD // BC , ∴ ?EAD ? ?B . (1 分) ∵ AE ? BC , AB ? AD , ∴△ DEA ≌△ ABC . (1 分) ∵ ?AED ? ? , ∴ ?BCA ? ?AED ? ? . (1 分) ∵ AD ? CD , ∴ ?DCA ? ?DAC ? ?ACB ? ? . (2 分) ?BCD ? ?DCA ? ?ACB ? 2? . ∴ (1 分) (2)∵ ED 平分 ?BEC ,∴ ?AEC ? 2?AED ? 2? . ∵梯形 ABCD 中, AD // BC , AB ? AD , ∴ ?EAD ? ?B ? ?BCD ? 2? ? ?AEC . ∴ CE ? BC ? AE . ∴ ?ECA ? ?EAC ? ?EAD ? ?DAC ? 3? . ∴ ?ECB ? ?ECA ? ?ACB ? 4? . ∵ ?B ? ?BEC ? ?BCE ? 180 ,
?
? ∴ 2? ? 2? ? 4? ? 180

(1 分) (1 分) (1 分)

(1 分)
5

∴ ?ECB ? 4? ? 90? . ∴△ EBC 是等腰直角三角形. 24. 解: (1) A ( ? 1 ,0) OA ? 1 , , 在 Rt△ AOC 中,∵ sin ?ACB ? ∴ OC ?

(1 分)

(1 分)

AO 10 , AC ? 10 , ? AC 10

(2 分) (1 分)

. AC2 ? AO2 ? 10 ?1 ? 3 ,∴点 C 的坐标(0,3)

解: (2)当点 D 在 AB 延长线上时, ∵ B (0,1) , ∴ BO ? 1 , ∴ AB ?

AO2 ? BO2 ? 2 ,

∵ ?CDB ? ?ACB , ?BAC ? ?CAD , ∴△ ABC ∽△ ACD . ∴ (1 分)

AD AC , ? AC AB



AD 10 , ? 10 2
(1 分)

∴ AD ? 5 2 . 过点 D 作 DE ⊥ y 轴,垂足为 E , ∵ DE // BO , ∴

DE AE AD , ? ? OB AO AB

∴ DE ? AE ? ∴ OE ? 4 ,

5 2 ? 5. 2

∴点 D 的坐标为(4,5) .

(1 分) (1 分)

?0 ? a ? b ? 3, 设二次函数的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? 3 ,∴ ? ?5 ? 16a ? 4b ? 3,
5

1 ? ?a ? ? 2 , ? ∴? ?b ? 5 . ? 2 ?
∴二次函数解析式为 y ? ?

1 2 5 x ? x ?3. 2 2

(1 分) (2 分) (1 分)

当点 D 在射线 BA 上时,同理可求得点 D ? ?2, ?1? , 二次函数解析式为 y ? x 2 ? 4 x ? 3 .

评分说明:过点 C 作 CG ? AB 于 G ,当点 D 在 BG 延长线上或点 D 在射线 GB 上时,可用 锐角三角比等方法得 CG ? 2 (1 分) DG ? 3 2 (1 分) , ,另外分类有 1 分其余同上.

25. 解: (1)∵ OC ? OD , ∴ ?OCD ? ?ODC , ∴ ?OAC ? ?ODB . ∵ ?BOD ? ?A , ∴△ OBD ∽△ AOC . ∴ (1 分) (1 分) (1 分)

BD OD , ? OC AC

∵ OC ? OD ? 6 , AC ? 4 , ∴

BD 6 ? , 6 4
(1 分)

∴ BD ? 9 . 解: (2)∵△ OBD ∽△ AOC , ∴ ?AOC ? ?B . 又∵ ?A ? ?A , ∴△ ACO ∽△ AOB . ∴

(1 分)

(1 分) (1 分)

AB AO , ? AO AC
5

∵ AB ? AC ? CD ? BD ? y ? 13 ,



y ? 13 x ? , x 4
1 2 x ? 13 . 4

(1 分) (1 分) (1 分)

∴ y 关于 x 的函数解析式为 y ? 定义域为 2 13 ? x ? 10 . 解: (3)∵ OC ? OE , CE ? OD . ∴ ?COD ? ?BOD ? ?A .

? ? ∴ ?AOD ? 180 ? ?A ? ?ODC ? 180 ? ?COD ? ?OCD ? ?ADO .

(1 分)

∴ AD ? AO , ∴ y ? 4? x, ∴ (1 分) (1 分) (1 分)

1 2 x ? 13 ? 4 ? x . 4

∴ x ? 2 ? 2 10 (负值不符合题意,舍去) . ∴ AO ? 2 ? 2 10 .

5


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