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直线的倾斜角与斜率、直线方程



第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程

泰安二中数学2013年12月23日星期一

1个重要关系 直线的倾斜角与斜率的关系:斜率k是一个实数,当倾斜角 α≠90°时,k=tanα.直线都有倾斜角,但并不是每条直线都存 在斜率,倾斜角为90°的直线无斜率. 2种必会方法 1. 直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直

r />接求出方程中x,y的系数,写出直线方程.
2. 待定系数法:先根据已知条件设出直线方程.再根据已 知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直

线方程.

3 点必须注意 1. 由直线的斜率(k)求倾斜角(α)的范围时,要对应正切函数 的图象来确定,要注意图象的不连续性.如-1≤k≤1,得 α π 3π ∈[0,4]∪[ 4 ,π). 2. 求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜 率存在与不存在加以讨论. 3. 在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需 分类讨论.

课前自主导学

1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角

①定义:x轴________与直线________的方向所成的角叫做
这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜 角为________. ②倾斜角的范围为__________.

(2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的 斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=________,倾斜角是

90°的直线没有斜率.
②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=________.

直线的倾斜角θ越大,斜率k就越大,这种说法正确吗?

(1) 过 点 M( - 2 , m) , N(m,4) 的 直 线 的 斜 率 为 1 , 则 m = ________.

(2)直线x+y=1的倾斜角为________.

2.直线方程的几种形式 名称 条件
点斜 斜率 k 与点(x1, 式 y1 )

方程

适用范围

y-y1=k(x-x1) 不含直线 x=x1 不含垂直于 x 轴 y=kx+b 的直线 不含直线 x= x1(x1=x2)和直 线 y=y1(y1=y2)

斜截 斜率 k 与直线在 式 y 轴上的截距 b

两点 两点(x1, 1), 2, y-y1 x-x1 y (x = y2-y1 x2-x1 式 y)
2

名称

条件 直线在 x 轴、y

方程

适用范围 不含垂直于 坐标轴和过 原点的直线

截距式

x y 轴上的截距分 + =1 a b 别为 a、b

Ax + By+C 平 面 直 角 坐 一般式 =0(A,B 不 标 系 内 的 直 同时为 0) 线都适用

3 (1)直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- 4 的直线方程 ________. (2)过两点(0,3),(2,1)的直线方程为________. (3)过点 M(3,-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的 直线方程________.

1. 正向 向上

0° 0° ≤α<180° 正切值

y2-y1 tanα x2-x1

π 想一想:提示:这种说法不正确.由 k=tanθ(θ≠2)知 π ①当 θ∈[0,2)时,θ 越大,斜率就越大且为正; π ②当 θ∈(2,π)时,θ 越大,斜率也越大且为负,但综合起 来说是错误的.

填一填:(1)1 (2)135°

2.填一填:(1)3x+4y-14=0
7=0或4x+3y=0

(2)x+y-3=0

(3)x-y-

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1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜
率的计算公式. 2. 系. 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种 形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关

第八章 第1讲

第14页

核心要点研究

例 1 [2013· 太原段考]直线 xsinα-y+1=0 的倾斜角的 变化范围是( A. C.
? π? ?0, ? 2? ? ? π π? ?- , ? ? 4 4?

) B. (0,π) D.
? ? π? ?3π ?0, ?∪? ,π? 4? ? 4 ? ?

[审题视点] 先求斜率的范围,再求倾斜角的范围.

[解析] 直线 xsinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα, 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1. 当 0≤k≤1
? π? 时,倾斜角的范围是?0,4?, ? ? ?3π ? 时,倾斜角的范围是? 4 ,π?. ? ?

当-1≤k<0
[答案] D

(1)直线倾斜角α(α≠90°),斜率k=tanα,知其一的范围可求 另一个的范围. (2)与x轴垂直的直线的倾斜角α=90°,斜率k不存在;当α= 0°时,k=0;当0°<α<90°时,k>0;90°<α<180°时, k<0.

[变式探究]

已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,

那么直线l的倾斜角的取值范围是________.
? ? π? ?π 答案:?0,4?∪?2,π? ? ? ? ?

m2-1 解析:k= =1-m2≤1,又 k=tanα,0≤α<π,所 1-2 以l
? ? π? ?π 的倾斜角的取值范围为?0,4?∪?2,π?. ? ? ? ?

例2

[2013·广西调研](1)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+ ) B. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=0

3=0的直线方程为( A. x-2y+7=0 C. x-2y-5=0

(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距
的2倍的直线方程是________. [审题视点] 解. 结合所给条件选择适当的直线方程形式求

1 1 [解析] (1)所求直线的斜率为2,故其方程为 y-3=2(x +1),即 x-2y+7=0. (2)设直线在 x 轴上的截距为 2a, 则其在 y 轴上的截距为 a. 2 当 a=0 时,直线的斜率 k=-5,此时,直线方程为 y 2 =-5x,即 2x+5y=0.

1 x y 当 a≠0 时,点 A(-5,2)在直线2a+a=1 上,得 a=-2, 此时,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线的方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.

[答案] (1)A (2)x+2y+1=0或2x+5y=0

求直线方程的方法主要有以下两种:(1)直接法:根据已知条

件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;(2)待定
系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数, 最后代入求出直线方程.

[变式探究] 直,则l的方程是(

(1)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂 ) B. 3x+2y+7=0

A. 3x+2y-1=0

C. 2x-3y+5=0

D. 2x-3y+8=0

(2) 经 过 点 A(5,10) , 且 到 原 点 距 离 为 5 的 直 线 方 程 是 ________.

答案:(1)A (2)x-5=0或3x-4y+25=0 解析:(1)与2x-3y+4=0垂直的直线可设为3x+2y+c=0.

将(-1,2)点代入得c=-1,
∴所求直线方程为3x+2y-1=0. 故应选A.

(2)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 2 =5,解得 k=4. k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

例3

[2013·北京昌平]过点P(2,1)作直线l分别与x,y轴正半

轴交于A,B两点.

当△AOB面积最小时,求直线l的方程.
[审题视点] 先建立AB所在直线方程,再求出A、B两点坐 标,表示出△ABO的面积,然后利用相关的数学知识求最值.

[解] 方法一:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0), 1 则 A(2-k ,0),B(0,1-2k). 1 1 1 △AOB 的面积 S= 2 (1-2k)(2- k )= 2 [4+(-4k)+(- 1 1 k )]≥2(4+4)=4. 1 1 当且仅当-4k=-k ,即 k=-2时,等号成立. 1 故直线 l 的方程为 y-1=-2(x-2),即 x+2y-4=0.

x y 方法二:设直线 l 的方程为a+b=1(a>0,b>0),则|OA| =a,|OB|=b. 1 ∴S△AOB=2ab. 2 1 又点 P 在直线 l 上,∴a+b=1. 2 1 ∵a>0,b>0,∴a+b≥2 即2 2 ab≤1,∴ab≥8. 2 ab,

2 1 1 即 S△AOB 最小值为 4,当且仅当a=b=2,即 a=4,b=2 时取“=”,此时,直线方程为 x+2y-4=0.

[答案] x+2y-4=0

奇思妙想:本例条件不变,当|OA|+|OB|取最小值时,求
直线l的方程. x y 解:设 l 的方程为a+b=1(a>0,b>0),
2 1 则由 P 在 l 上得a+b=1,|OA|+|OB|=a+b,
?2 1? a 2b ? + ?=3+ + ≥3+2 ∴a+b=(a+b) a b b a ? ?

2.

a 2b 当且仅当b= a 即 a= 2b 时“=”成立, 此时 b= 2+ x y 1,a=2+ 2.∴直线方程为 + =1, 2+ 2 2+1 即 x+ 2y-(2+ 2)=0.

利用直线方程解决问题时,为简化运算要灵活选用直线方程
的形式.一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择 斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.

[变式探究]

[2011· 江苏高考]在平面直角坐标系 xOy

2 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)=x的图象交于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________.

答案:4
解析:设过原点的直线方程为 y=kx(k>0). ?y=kx, ? 2k 2k 联立? 2 得 P( k , 2k),Q(- k ,- 2k). ?y=x, ? ∴PQ= = 2k 2k 2 ? k + k ? +? 2k+ 2k?2

8 8 即 k +8k≥ 16=4.当且仅当k =8k, k=1 时取等号.

课课精彩无限

【选题·热考秀】 [2013·天津模拟]过点P(2,3)作圆(x-1)2 +(y-1)2 =1的切 线,求切线的方程.

[规范解答]

因为(2-1)2+(3-1)2>1,所以点P(2,3)在圆的

外部,由平面几何知识知,过点P的圆的切线有两条.

(1)若切线的斜率存在,可设方程为 y-3=k(x-2),即 kx-y-2k+3=0.依题意,有 |k-1-2k+3| 3 =1,解得 k=4. 2 1+k 所以切线方程为 3x-4y+6=0. (2)若所求直线斜率不存在, 方程为 x=2, 经检验知符合 题意. 综上,所求切线方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

解题过程中容易犯有两处错误:一是未考查点P与圆的位
置关系;二是运用直线方程的点斜式时,忽视了点斜式方程中 隐含的条件:此方程只能表示斜率存在的直线.

No.2

角度关键词:备考建议

在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止由于未

讨论“无斜率”的情况,从而造成丢解.如在求过圆外一点的
圆的切线方程时,或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,或讨 论两直线的平行、垂直的位置关系时,一般要分直线有无斜率 两种情况进行讨论.

经典演练提能
1. 已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0 平行,则m的值为( A. 0 ) B. -8

C. 2
答案:B

D. 10

4-m 解析:由题可得 =-2,解得 m=-8. m+2

π 2. [2013· 西安质检]设2<α<π,则直线 y=xcosα+m 的倾 斜角的取值范围是( A. C.
?π ? ? ,π? ?2 ? ?π 3 ? ? , π? ?4 4 ?

) B. D.
?π 3 ? ? , π? ?2 4 ? ?3 ? ? π,π? ?4 ?

答案:D

π 解析:∵2<α<π,∴k=cosα∈(-1,0). ∴倾斜角
?3 ? θ∈?4π,π?.故应选 ? ?

D.

3. [2013·汕头月考]已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB 的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是( A. -2 B. -7 )

C. 3
答案:C

D. 1

1+m 解析:线段 AB 的中点( 2 ,0)代入直线 x+2y-2=0 中,得 m=3.

4. [2012·佛山检测]已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴 上的截距相等,则a的值是( A. 1 ) B. -1

C. -2或-1
答案:D

D. -2或1

a+2 解析:由题意得 a+2= a ,解得 a=-2 或 a=1.

5. [2013·郑州模拟]已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线 l2的方向向量为b=(-1,k).若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2,则直 线l2的方程为( )

A. x+3y-5=0
C. x-3y+5=0 答案:B

B. x+3y-15=0
D. x-3y+15=0

解析:检验法,将(0,5)代入选项,排除 A、C; 又 l2 的方向向量为 b=(-1,k), l1 的方向向量为 a=(1,3)且 l1⊥l2, 1 ∴有(-1)×1+3k=0,即 k=3. 1 3 1 ∴l2 的斜率为 =-3.因此选项 B 正确. -1



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