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新课标提分专家2012届高三2月预测卷二(数学理)(含详解)



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新课标提分专家 2012 届高考 2 月预测卷二

数学理
本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.下列说法错误的是 ( ) 2 2 A.命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为: “若 x≠1,则 x -3x+2≠0” B. “x>1” ,是“|x|>1”的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.若命题 p: ? x∈R,使得 x2+x+1<0”,则 ? p: ? x∈R,均有 x2+x+1≥0” “ “ 2.已知非零向量 AB 与 AC 满足( ______________. A.等腰非等边三角形 C.三边均不相等的三角形 3.若定义运算 f ( a *b)= ? A. (0,1)

AB

+

AC

) BC =0,且 ·

AB | AB |


· )

AC | AC |

=-

| AB | | AC |
B.等边三角形 D.直角三角形

1 ,则△ABC 为 2

?b, ( a ? b), 则函数 f (3x*3-x)的值域是 ? a, ( a ? b).
C. (0.+∞)





B.[1,+∞]

D. (-∞,+∞) )

y 4.虚数(x-2)+yi 中 x,y 均为实数,当此虚数的模为 1 时, 的取值范围是( x
A.[ ?

3 3 , ] 3 3

B.[-

3 3 ,0]∪(0, ) 3 3

C. [- 3, 3 ]

D.[- 3 ,0]∪(0, 3 )

5 . 对 任 意 两 个 集 合 X、Y , 定 义 X ? Y ? {x | x ? X且x ? Y } , X?Y ? ( X ? Y ) ? (Y ? X ) , 设

A ? { y | y ? x 2 , x ? R} , B ? { y | y ? 3 sin x, x ? R} ,则 A?B ?
A. ?? 3,0? ? (3,??) B.[-3,3]





C. (-∞,-3)∪(0,3) D. (-∞,0)∪(3,+∞) 6.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几 何体的侧面积为 ( ) A.

? 4

B.

2 ? 4
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C.

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1 2

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2 ? 2

D. ?

7.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2

n4 ? n2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 2
B. (k+1)2 D. 2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2. (k

( A.k +1 C.
2



(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

8.在 ?ABC 中, O 为边 BC 中线 AM 上的一点,若 AM ? 4 ,则 AO ? (OB ? OC) 的( A.最大值为 8 B.最大值为 4 C.最小值-4 D.最小值为-8



?x 2 ? 9.设 f ( x ) ? ? ?2 ? x ?
A.

x ? [0,1]
,则

x ? [1,2]
B.

?

2

0

f ( x)dx 的值为
5 6 7 6





3 4

4 5

C.

D.

10.如图所示,下列三图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边的中点,双曲线均以图中的 F1,F2 为焦点,设图中的双曲线的离心率分别为 e1,e2,e3,则 ( )

A.e1>e2>e3 B.e1<e2<e3 C.e1=e3<e2 11.某游戏中,一个珠子从如右图所示的通道(图中的斜线) 由上至下滑下,从最大面的六个出口出来,规定猜中出 口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从出口 3 出来, 那么你取胜的概率为( ) A.

D.e1=e3>e2

5 16

B.

5 32

C.

1 6

D.以上都不对

12. 设 a=(a1 , a2 ) ,b=( b1,b2 ) .定义一种向量积 a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) .已 知

1 ? m ? (2, ), n ? ( ,0) ,点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,且满 2 3
足 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) 则 y=f x) , ( 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 ( A.2, ? B.2,4 ? C. ,4? )

1 2

D.

1 ,? 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题中的横线上。 www.xe51.com 中国中小学教育资源专家

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13.已知 x,y∈Z,n∈N*,设 f(n)是不等式组 ?

? x ?1 表示的平面区域内可行解的个数,则 f ?0 ? y ? ? x ? n

(1)=_______;f(2)=_______;f(n)=_______. 14.下列命题: ①G2=ab 是三个数 a、 b 成等比数列的充要条件; G、 ②若函数 y=f x) ( 对任意实数 x 都满足 f x+2) ( =-f(x) ,则 f(x)是周期函数;③对于命题 p : ?x ? R,2 x ? 3 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R,2 x ? 3 ? 0 ;④ 直线 2 ( x ? y ) ? 1 ? a ? 0 与圆 C:x2+y2=a(a>0)相离. 其中不正确命题的序号为_______(把你认为不正确的命题序号都填上) . 15.已知 an ? 2 ? ( ) n ,把数列 {an } 的各项排成三角形状:

1 3

记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的项, 则 A(10,8)=________. 16.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次, 得到如下表所示的数据: 观测次数 i 观测数据 a i 1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的程序框图(其中 a 是这 8 个数据的平均数) , 则输出的 s 的值是__________________. 三、解答题:共大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b ? cos A ? c ? cos A ? a ? cos C . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ?

7 , b ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

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18. (本题满分 12 分) 一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:

f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? x 2 , f3 ( x) ? x3 , f 4 ( x) ? sin x , f5 ( x) ? cos x , f 6 ( x) ? 2 .
(Ⅰ)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停 止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. B E

A

C

F

D

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20. (本小题满分 12 分)
2

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已知数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn ? n , n ? N .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn; 2n
1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? p 2n ? 1 对一切 n∈N*均成立的最大实教 p. a1 a2 an

(3)求使不等式 (1 ?

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21. (本题满分 12 分)
2

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设函数 h( x) ? x , ? ( x) ? 2e ln x(e为自然对数的底). (1) 求函数 F ( x) ? h( x) ? ? ( x)的极值 ; ( 2 ) 若 存 在 常 数 k 和 b, 使 得 函 数 f ( x)和g ( x) 对 其 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x 分 别 满 足 “隔离直线” 试 . f ( x) ? kx ? b和g ( x) ? kx ? b, 则称直线 l : y ? kx ? b为函数f ( x)和g ( x) 的 问:函数 h( x)和? ( x) 是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”方程,不存在,请说明理 由.

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1 2

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22. (本题满分 14 分) 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. (1)若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程; (2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明 理由.

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参考答案
一、选择题: 1.解析: C. 选项 C 中 p ? q 为假命题,则 p、q 中至少有一个为假命题即可,所以 p、q 均为假命题是错误的. 2.解析:A.

AB | AB |




AC | AC |

分别是 AB 、 AC 方向的单位向量,向量

AB

+

AC

在∠BAC 的平分线上,由

| AB | | AC |
) BC =0 知,AB=AC,由 ·

AB

+

AC

AB | AB |

·

AC | AC |

=-

| AB | | AC |
非等边三角形,故选 A.

1 ,可得∠CAB=1200,∴△ABC 为等腰 2

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3.解析:A.当 x>0 时; f (3x*3-x)=3-x, 当 x=0 时, f (30*30)=30=1, 当 x<0 时, f (3x*3-x)=3x, 故选 A. 4.解析:B. ∵?

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?( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ? y?0
2

,设 k=

y , x

则 k 为过圆 ( x ? 2) ? y ? 1 上的点及原点的直线斜率,
2

作图如下,则 | k |? 5.解析:A.

1 3

?

3 ,又∵ y ? 0 ,∴k≠0.由对称性选 B. 3

A ? ?0,?? ? , B ? [?3,3] , A ? B ? (3,??) , B ? A ? ?? 3,0? ,
∴ A?B ? ?? 3,0? ? (3,??) . 6.解析:D. 由题意得,该几何体的直观图是一个底面半径为 弧长为 2π r=π , ∴这个几何体的侧面积为 S ?

1 ,母线长为 1 的圆锥.其侧面展开图是一扇形, 2

1 ? ? ? 1 ? ,故选 D. 2 2

7.解析: D 当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k2, 当 n=k+1 时, 左侧=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?十(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2. 8.解析: A

AO ? (OB ? OC) ? AO ? 2OM ? 2 | AO | ? | OM |? 2

(| AO | ? | OM |) 2 42 ? 2? ?8 , 当 且 仅 当 4 4

| AO |?| OM |? 2 ,即点 O 为 AM 的中点时, 等号成立.故 AO ? (OB ? OC) 的最大值为 8.选 A 项.
9.解析:C

?

2

0

f ( x)dx ? ? x 2 dx ? ? (2 ? x)dx ?
0 1

1

2

1 3 1 1 2 x |0 ?(2 x ? x 2 ) |1 3 2

1 1 5 ? ? (4 ? 2) ? (2 ? ) ? ,故选 C. 3 2 6
10.解析:D 在图(1)中令|F1F2|=2c,因为 M 为中点,所以|F1M|=c 且|MF2|= 3c . www.xe51.com
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∴ e1 ?

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2c | F1F2 | 2 ? ? ? 3 ?1 2a | MF2 | ? | MF |1 3 ?1

在图(2)中,令|F1M|=m,则|F1F2|=2 2m ,|MF2|= 5m . ∴ e2 ?

| F1F2 | 2 2 10 ? 2 ? ? ? 3 ? 1 ? e1 . | MF2 | ? | MF |1 2 5 ?1

在图(3)中, 令|F1F2|=2c,则|F1P|=c, |F2P|= 3c .∴e3= 3 ? 1 .故 e1=e3 >e2.故选 D. 11.解析:A.珠子从出口 1 出来有 C5 种方法,从出口 2 出来有 C5 种方法,依次从出口 i(l≤i≤6)出 现有 C5 方法,故取任的概率为
i ?1

0

1

C52 5 ? ,故选 A. 0 1 2 3 4 5 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 16

12.解析:C.设 Q(x,y) ,P(x0,y0) ,则由 OQ ? m ? OP ? n

1 ? ? 1 1 ? y0 ) ? ( ,0) ? (2 x0 ? , y0 ), x0 ? x ? , y0 ? 2 y , 2 3 3 2 2 6 1 1 ? 代入得 y ? sin( x ? ) , 2 2 6 1 则 y=f(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 ,4? , 2
得 ( x, y ) ? (2 x0 , 故选 C. 13.解析:填 1 3

n(n ? 1) 2

画出可行域: 当 n=1 时,可行域内的整点为(1,0),∴f(1)=1, 当 n=2 时,可行域内的整点为(1,0)(2,0)(1,1) 、 、 ,∴f(2)=3, 由此可归纳出 f(n)=1+2+3+?+n=

n(n ? 1) 2

14.解析:填①③④ 当 a=b=G=0 时,G2=ab,但是 a,G,b 不构成等比数列,①不正确,②f(x+2)=-f(x)=f(x-2) ,∴ T=4,f(x)为周期函数.②正确;③命题 ?p : ?x0 ? R,2 x0 ? 3 ? 0 ,因此,③不正确.④圆心(0,0) 到直线 2 ( x ? y ) ? 1 ? a ? 0 的距离为 15.解析:填 2 ? ( )

1? a 大于或等于圆的半径 a ,④不正确. 2

1 3

89

第 n 行共有 2n-1 个数,前九行共有 1 ? 3 ? ? ? 17 ?

1 ? 17 ? 9 ? 81 个数,故 A(10,8)相当于数列 2

1 {an } 的第 89 项,因此 A(10,8)= 2 ? ( )89 . 3
16.解析:填 7 该程序框图的功能是输出这 8 个数据的方差, www.xe51.com

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因为这 8 个数据的平均数 a ? 40 ? 故其方差

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0 ?1? 3 ? 3 ? 4 ? 6 ? 7 ? 8 ? 44 , 8

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2 ? 16 ? 2 ? 9 ? 2 ? 1 ? 4 ? 7 .故输出的 s 的值为 7. 8

三、解答题: 17.解:(Ⅰ)根据正弦定理 2b ? cos A ? c ? cos A ? a ? cos C ?

2 cos A sin B ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin(A ? C ) ? sin B ,

??4 分

1 ? sin B ? 0,? cos A ? , 2
又? 0 ? A ? 180 ,? A ? 60 .
o o o

??????????6 分、

(Ⅱ)由余弦定理得:

7 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos 60 ? ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc ,??8 分
代入 b+c=4 得 bc=3, 故△ABC 面积为 S ? ????????????????????10 分

1 3 3 bc sin A ? . ??????????????12 分 2 4

18.解;(1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ,

C32 1 由题意知 P( A) ? 2 ? . ???4 分 C6 5
(2) ? 可取 1, 2,3, 4 . P (? ? 1) ?
1 C3 1 C1 C1 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? , 1 1 1 C6 2 C6 C5 10

P(? ? 3) ?

1 1 1 C3 C2 C3 C1 C1 C1 C1 1 3 ;???6 分 ? 1? 1 ? , P(? ? 4) ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

故 ? 的分布列为

?
P

1
1 2

2
3 10

3
3 20

4
1 20
???9 分

E? ? 1 ?

1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 2 10 20 20 4
7 4

答: ? 的数学期望为 . ???12 分 19. (1) 证法一:取 CE 的中点 G ,连 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , www.xe51.com

1 DE .????1 分 2
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∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ?

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1 ???2 分 DE ,∴ GF ? AB . 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . B ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . ???4 分 证法二:取 DE 的中点 M ,连 AM、FM . G A ∵ F 为 CD 的中点,∴ FM // CE . ????1 分 H ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ DE // AB . 1 C 又 AB ? DE ? ME , F 2 ∴四边形 ABEM 为平行四边形,则 AM // BE .?2 分 ∵ FM、AM ? 平面 BCE , CE、BE ? 平面 BCE , ∴ FM // 平面 BCE , AM // 平面 BCE . 又 FM ? AM ? M ,∴平面 AFM // 平面 BCE . ∵ AF ? 平面 AFM , ∴ AF // 平面 BCE . ????4 分 (2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD . ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF . 又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE . ???6 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????8 分 (3) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ? CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ? 平面 CDE , ∴ FH ? 平面 BCE . ∴ ?FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. ????10 分
设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,则 FH ? CF sin 45? ?

E

M

D

2 a, 2

BF ?

AB 2 ? AF 2 ? a 2 ? ( 3a ) 2 ? 2a ,

R t△ FHB 中, sin ?FBH ?

FH 2 ? . BF 4

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

2 .????12 分 4

方法二:设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,则

A ? 0, 0 ? ,C ? 2a, 0 ? , B ? 0, 0, a ? , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a . 0, 0,
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ? www.xe51.com

?

? ?

?

?3 ? 3 a, a, 0 ? .???2 分 ?2 ? 2 ? ?
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(1) 证: AF ? ?

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? ??? ? ?3 ? ??? 3 a, a, 0 ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? , ?2 ? 2 ? ? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ∵ AF ? BE ? BC , AF ? 平面 BCE ,∴ AF // 平面 BCE . ????4 分 2 ??? ?

?

?

?

?

(2) 证:∵ AF ? ? ?

??? ?

?3

?2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ,∴ AF ? CD, AF ? ED .
∴ AF ? 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE .

a,

? ??? ? ? ??? 3 a, 0 ? , CD ? ? a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? , ? 2 ?

?

?

????6 分

??? ?

????8 分

? ? ??? ? ? ??? ? (3) 解:设平面 BCE 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得:
? x ? 3 y ? z ? 0, 2 x ? z ? 0 ,取 n ? 1, ? 3, 2 .

?

?

????10 分

又 BF ? ?

?3 ? 3 ? 2 a, 2 a, ? a ? ,设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ,则 ? ? ? ??? ? ? BF ?n 2a 2 . sin ? ? ??? ? ? ? ? 4 BF ? n 2a ? 2 2 ??? ?

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为
2

2 . 4
2

????12 分

20.解(1)当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 . 而 a1=1 符合 n≥2 时 an 的形式,因此 an ? 2n ? 1, n ? N .
*

????2 分

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????7 分 (3)由题意得 p ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) 对任意 n∈N*恒成立. a1 a2 an 2n ? 1

设 F ( n) ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ,则 a1 a2 an 2n ? 1

????10 分 显然 F(n)>0,因此,F(n+1)>F( n) ,即 F(n)随着 n 的增大而增大.所以 F(n)的最小 值是 F (1) ?

2 3 2 3 2 3 .p? ,即最大实数 P 为 .??12 分 3 3 3

注: (1)中不验证 a1=1 符合 n≥2 时 an 的形式,扣 1 分. 21.解; (1)? F ( x) ? h( x) ? ? ( x) ? x ? 2e ln x, ( x ? 0)
2

? F ' ( x) ? 2 x ?
当x ?

2e 2( x ? e )( x ? e ) ? x x

0 e时, F ' ( x) ? 0 ,易得 F ( x)在 e处取得极小值为 ,且为最小值.???4 分 e取等号)
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(2)由 1)知当 x ? 0 时, h( x) ? ? ( x), (仅当x ? 若存在“隔离直线”,则存在常数 k和b ,使得 www.xe51.com

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h( x) ? kx ? b和? ( x) ? kx ? b, ( x ? 0) 恒成立
? h( x)和g ( x)的图像在x ? e处有公共点,
因此若存在 h( x)和g ( x) 的“隔离直线”,则该直线必过这个公共点 ( e , e) 设该直线为 y ? e ? k ( x ? e ), 即y ? kx ? e ? k e 由 h( x) ? kx ? e ? k e , ( x ? R) 恒成立,得 ? ? (k ? 2 e ) ? 0, 故k ? 2 e ?8 分
2

以下证明 ? ( x) ? 2 ex ? e,当x ? 0时恒成立 令 G ( x) ? ? ( x) ? 2 e x ? e ? 2e ln x ? 2 e x ? e, ( x ? 0)

G ' ( x) ?

2e 2 e ( e ? x) ?2 e ? ,容易得当 x ? e 时有 G(x)的极大值 为 0. x x

从而 G( x) ? 0 ,即 ? ( x) ? 2 e x ? e, ( x ? 0) 恒成立. 故函数 h(x ) 和 ? (x) 存在唯一的“隔离直线” y ? 2 e x ? x .??????12 分 22.解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. ????2 分 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? 6k 2 则? . ? x1 ? x 2 ? ? 2 3k ? 1 ?
由线段 AB 中点的横坐标是- , 得
1 2

① ② ????4 分

x1 ? x 2 1 3k 2 3 =- 2 =- ,解得 k=± ,适合①. 2 3 2 3k ? 1

?????6 分

所以直线 AB 的方程为 x- 3 y+1=0,或 x+ 3 y+1=0.??????7 分 (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0) ,使 MA? MB 为常数. (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 x1+x2=- ?
6k 2 3k ? 1
2

,x1x2=

3k 2 ? 5 3k 2 ? 1

. ③

所以 MA? MB =(x1-m) 2-m)+y1y2 (x 2 =(x1-m) 2-m)+k (x1+1) 2+1) (x (x 2 2 =(k +1)x1x2+(k -m) 1+x2)+k2+m2. (x 将③代入,整理得
MA? MB =
(6m ? 1)k 2 ? 5 3k ? 1
2

????9 分

+m2

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1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? 3 3 +m2 = 3k 2 ? 1

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=m2+2m- -

1 3

6m ? 14 3(3k 2 ? 1)



??????11 分

注意到 MA? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=- ,此时 MA? MB = . (ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时点 A,B 的坐标分别为 ? ? 1, ?
? ? ? ? 2 ? ? 、 ? ? 1,? 2 ? , ? ? 3? 3? ? ?
7 3 4 9

??????12 分

当 m=- 时,亦有 MA? MB = . 综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? ,0 ? ,使 MA? MB 为常数. ????14 分 ? ?
7 ? 3 ?

7 3

4 9

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